2023-2024学年学年北师大版七年级数学下册期中强化训练试题

-2024学年学年北师大版七年级数学下册期中强化训练试题一.选择题1．在利用太阳能热水器加热的过程中，热水器里的水温随所晒时间的长短而变化，这个问题中因变量是()A．太阳光强弱B．水的温度C．所晒时间D．热水器2．某种微生物长度约为0.0000035米，将0.0000035用科学记数法表示为（）A． B． C． D．3.下列运算正确的是（）A．a4+a5=a9 B．a3•a3•a3=3a3 C．2a4×3a5=6a9 D．（﹣a3）4=a74．如图，直线a，b被c所截，则与是（）A．同位角 B．内错角 C．同旁内角 D．邻补角5．下列等式能够成立的是（）A．（x﹣y）2＝x2﹣xy+y2 B．（x+3y）2＝x2+9y2 C． D．（m﹣9）（m+9）＝m2﹣96．小明早晨从家里外出晨练，他没有间断地匀速跑了20min后回家．已知小明在整个晨练途中，出发tmin时所在的位置与家的距离为skm，且s与t之间的函数关系的图象如图中的折线段OA﹣AB﹣BC所示，则下列图形中大致可以表示小明晨练路线的为（）A． B． C． D．7．如果a2+2a﹣1＝0，那么代数式a3﹣5a的值是（）A．1 B．﹣1 C．﹣2 D．28.变量x与y之间的关系式是y=12x2-3,当自变量x=4时,因变量y的值是(A.-1 B.-5 C.5 D.19．如图，，，，则∠BCD的度数为（

）A．125°B．135°C．115°D．105°10．将一副三角板按如图放置，则下列结论①；②如果，则有；③如果，则有；④如果，必有，其中正确的有（）A．①②③ B．①②④ C．③④ D．①②③④二.填空题1．将0.000000156用科学记数法表示为．2．如图，直线AB、CD、EF相交于点O，∠BOE的对顶角是，∠COF的邻补角是．若∠AOC：∠AOE＝2：3，∠EOD＝130°，则∠AOC＝，∠BOC＝．3．若关于x的多项式（x+n）（3x﹣1）展开后不含x项，则n的值为．4．如图，①若AB∥CD，则（两直线平行，内错角相等）；②若AB∥CD，则∠1+＝180°（两直线平行，同旁内角互补）．5．某工程队为教学楼贴瓷砖，已知楼体外表面积为、所需的瓷砖块数n与每块瓷砖的面积S（单位：）的关系式是______．三.解答题1.已知：如图，BE?CD，求证：∠C=∠E．证明：?BE?CD,∴∠2=∠C，又∵∠A=，（已知）∴AC∥．∴∠2=．∴∠C=∠E．2．计算：(1)(ab－4)2－(ab＋3)(ab＋5)；(2)(m＋2n－1)(m＋2n＋1)．3.已知x＋y＝a，试求(x＋y)3(2x＋2y)3(3x＋3y)3的值．4.如图，在中，于点D，且AD平分，点E是BA延长线上一点，过点E作于点F，与AC交于点G．（1）试说明；（2）与是否相等，并说明理由．5.小明从家骑自行车上学,当他骑了一段路时,想起要买某本书,于是又折回到刚经过的某书店,买到书后,继续去学校.如图是他本次上学所用的时间t(分钟)与离开家的距离y(米)的图象.根据图象提供的信息回答下列问题:(1)小明家到学校的距离是米;

(2)小明在书店停留了分钟;

(3)本次上学途中,小明一共骑行了多少米?(4)整个上学的途中,哪个时间段小明骑车速度最快?6.已知：如图，AB∥CD，BG、FG分别是∠AEF和∠CFE的角平分线，BG、FG交于点G．（1）求证：∠BGF=90°；（2）点M是直线AB上的动点，连接MG，过点G作GN⊥MG，交直线CD于点N，画出图形直线，写出∠MGE和∠NGF的数量关系______；（3）在（2）的条件下，当∠MGE=20°，∠AEG=40°时，求∠CNG的度数．7已知直线l1∥l2，直线l3与l1、l2分别交于C、D两点，点P是直线l3上的一动点（1）如图，若动点P在线段CD之间运动（不与C、D两点重合），问在点P的运动过程中是否始终具有∠3+∠1=∠2这一相等关系？试说明理由；（2）如图，当动点P在线段CD之外且在直线的上方运动（不与C、D两点重合），则上述结论是否仍成立？若不成立，试写出新的结论，并说明理由；（3）请画出动点P在线段CD之外且在直线的下方运动（不与C、D两点重合）时的图形，并仿照图①、图②标出∠1，∠2，∠3，此时∠1，∠2，∠3之间有何等量关系，请直接写出结论，不必说明理由．北师大版七年级下册相交线与平行线中的动点问题（培优练）1．已知：如图，点是直线上一动点，是直线外一点．连接，过点作交直线于点．（1）如图1，当点在线段上时，①依题意，在图1中补全图形；②若，，则______度．（2）当点在直线上时，请写出、、的数量关系，请任选一个结论证明．2．已知：直线，点A是上一个定点，点B是上一个动点，点C在上，且在点B左侧，点D在上，且在点A的右侧．点F在上，且在点B右侧，连接AF，满足．过点B画AB的垂线BE，与直线AF交于点H．在上方，过点A画射线AG与AB垂直，画的平分线AP，与交于点Q．记．（1）如图1，当时，补全图形，①直接写出_____________（用含的式子表示）；②先测量____________，再求；（2）如图2，点B从左向右运动，当时，直接写出的值__________．3．已知直线，点为直线，间的动点，和的角平分线相交于点．（1）如图1，当，，求的度数；（2）如图1，当时，直接写出的度数；（用含的代数式表示）（3）如图2，点在直线，间运动到某一处，此时恰好，，求的度数．4．已知，直线，点为直线上一定点，射线交于点，平分，．

（1）如图1，当时，______°；（2）点为线段上一定点，点为直线上的一动点，连接，过点作交直线于点．①如图2，当点在点右侧时，求与的数量关系；②当点在直线上运动时，的一边恰好与射线平行，直接写出此时的度数（用含的式子表示）．5．如图，已知．

（1）如图1，是直线上的点，写出、和的数量关系，并证明你的结论；（2）如图2，是直线上的点，写出、和的数量关系，并证明你的结论；（3）如图，点，分别是直线，上的动点，四个角，，，之间的数量关系有种．（不要证明）6．已知，，AB，CD被直线l所截，点P是l上的一动点，连接PA，PC．

（1）如图①，当P在AB，CD之间时，求证：；（2）如图②，当P在射线ME上时，探究，，的关系并证明；（3）如图③，当P在射线NF上时，直接写出，，三者之间关系．7．综合与实践问题背景：数学课上，同学们以“长方形纸带的折叠”为主题开展数学活动，已知长方形纸带的边，，，点为线段上一动点，将纸片折叠，使点B和点重合，产生折痕，点E是折痕与边的交点，点F是折痕与边的交点．

动手操作：（1）如图1，若点E与点A重合时，则的度数为______．实践探究：（2）如图2，移动点，其余条件不变．①小静发现图中无论点如何移动，始终成立，请说明理由；②小东发现折叠后所形成的角，只要知道其中一个角的度数，就能求出其它任意一角的度数，若，求的大小．8．（1）“一条彩虹路，尽览红叶美，”渑池县以打造最美旅游公路为重点，弘扬地域文化、彰显仰韶特色．数学课上，老师把山路抽象成图1所示的样子，并提出了一个问题：如图1，已知，，，求的度数．小明同学的思路：过点P作，点G在点P的左侧，进而推出，由平行线的性质来求，得______．（2）图2、图3均是由一块直角三角尺和一把直尺拼成的图形，，，与相交于点E，有一动点P在边上运动，连接，，记，．①如图2，当点P在C，D两点之间运动时，请直接写出与，之间的数量关系；②如图3，当点P在B，D两点之间运动时，与，之间有何数量关系？请判断并说明理由．

9．如图，，点为直线上一定点，为直线上的动点，在直线与之间且在线段的右方作点，使得．设（为锐角）．

（1）求与的和；（提示过点D作）（2）当点在直线上运动时，试说明；（3）当点在直线上运动的过程中，若平分，也恰好平分，请求出此时的值．10．如图1，已知两条直线被直线所截，交点分别为M、N，交于点P，且．（1）判断是否平分，并说明理由．（2）如图2，点E是射线上一动点（不与点P、N重合），平分交于点F，过点F作交于点Q，①当点E在线段上时，若，求的度数；②当点E在运动过程中，设，（和（之间有怎样的数量关系？请直接写出结论．11．已知直线AD∥EC，直线DE分别与AD，EC交于D，E两点，点B是直线DE上的一个动点，试探究∠ABC与∠1，∠2之间的数量关系．（1）如图①，当点B在线段DE上运动（点B不与D，E重合）时，若∠1＝25°，∠2＝15°，则∠ABC＝°；猜想：此时数量关系是：∠ABC＝，请说明理由；（2）如图②，当点B在点D的上方运动（A，B，C三点不在同一直线上）时，猜想：此时数量关系是：∠ABC＝，请说明理由；（3）如图③，当点B在点E的下方运动（A，B，C三点不在同一直线上）时，猜想：此时数量关系是：∠ABC＝．12．如图，，点、分别在直线、上，点是、之间的一个动点．【感知】如图①，当点在线段左侧时，若，，求的度数．分析：从图形上看，由于没有一条直线截与，所以无法直接运用平行线的性质，这时需要构造出“两条直线被第三条直线所截”的基本图形，过点作，根据两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，可知，进而求出的度数．【探究】如图②，当点在线段右侧时，、、之间的数量关系为______．13．已知：直线∥，A为直线上的一个定点，过点A的直线交于点B，点C在线段BA的延长线上．D，E为直线上的两个动点，点D在点E的左侧，连接AD，AE，满足∠AED＝∠DAE．点M在上，且在点B的左侧．（1）如图1，若∠BAD＝25°，∠AED＝50°，直接写出（ABM的度数；（2）射线AF为∠CAD的角平分线．①如图2，当点D在点B右侧时，用等式表示∠EAF与∠ABD之间的数量关系，并证明；②当点D与点B不重合，且∠ABM＋∠EAF＝150°时，直接写出∠EAF的度数．14．如图，∠EBF＝50°，点C是∠EBF的边BF上一点．动点A从点B出发在∠EBF的边BE上，沿BE方向运动，在动点A运动的过程中，始终有过点A的射线AD∥BC．（1）在动点A运动的过程中，（填“是”或“否”）存在某一时刻，使得AD平分∠EAC？（2）假设存在AD平分∠EAC，在此情形下，你能猜想∠B和∠ACB之间有何数量关系？并请说明理由；（3）当AC⊥BC时，直接写出∠BAC的度数和此时AD与AC之间的位置关系．15．已知：直线，点G为直线CD上一定点，点E是直线AB上一动点，连结EG．在EG的左侧分别作射线EM、GN，两条射线相交于点F，设．（1）当，时，如图1位置所示，求的度数（用含有的式子表示），并写出解答过程；（2）当时，过点G作EG的垂线．①请在图2中补全图形；②直接写出直线与直线CD所夹锐角的度数______（用含有的式子表示）．16．如图，点，，，四点共线，点，，，四点共线．，相交于点，点是直线与之间的一个动点，．（1）求证：；（2）若平分，平分，请探索并证明和之间的数量关系；（3）若，，（2）中的结论还成立吗？若成立请证明；若不成立，请写出你认为正确的结论，并证明．17．如图，已知，M，N分别是直线AB，CD上一点，点E在直线AB，CD之间．（1）如图1，求证：；（2）如图2，F是EM上一点，NE平分，FH平分，试探究与之间的数量关系？并证明你的结论；（3）如图3，P为直线MN上一动点（不与点N重合），过点P作交直线CD于点G，∠PNG的角平分线和∠PGC的角平分线交于点O，则∠O的度数为______（直接写出结果）．18．已知：如图，ABCD，BG、FG分别是∠AEF和∠CFE的角平分线，BG、FG交于点G．（1）求证：∠BGF＝90°；（2）点M是直线AB上的动点，连接MG，过点G作GN⊥MG，交直线CD于点N，画出图形直线，写出∠MGE和∠NGF的数量关系；（3）在（2）的条件下，当∠MGE＝20°，∠AEG＝40°时，求∠CNG的度数．19．如图1，一块直尺和一块含30°的直角三角板如图放置，其中直尺和直角三角板的斜边平行，我们可以抽象出如图2的数学模型：，，，分别交、于点E、F、的角平分线交于点D，H为线段上一动点（不与A、B重合），连接交于点．（1）当时，求．（2）在线段上任意移动时，求，，之间的关系．（3）在（1）的条件下，将绕着点以每秒5°的速度逆时针旋转，旋转时间为，则在旋转过程中，当的其中一边与的某一边平行时，直接写出此时的值．20．如图1，射线上有A、B两点，，．一动点P从点O出发，以每秒4个单位的速度沿射线的方向运动，当点P到达点A时，射线开始绕点A按逆时针方向以每秒的速度旋转，同时点P降速一半沿射线的方向运动（如图2），当点P到达点B时，射线旋转停止，接着，射线开始绕点B按顺时针方向以每秒的速度旋转，同时点P再降速一半沿射线的方向运动（如图3），设点P运动的时间为t秒．（1）的长等于________；当点P到达点B时，等于________；（2）当射线与所在直线第一次重合（不包括图2的情形）时，点P是线段的中点吗？为什么？（3）在射线旋转的过程中，若它与所在直线第二次重合时所有运动停止，则t为多少秒时，所在直线与所在直线垂直？21．【发现】如图1，直线被直线所截，平分，平分．若，，试判断与平行吗？并说明理由；【探究】如图2，若直线，点在直线之间，点分别在直线上，，P是上一点，且平分．若，则的度数为________；【延伸】若直线，点分别在直线上，点在直线之间，且在直线的左侧，是折线上的一个动点，保持不变，移动点，使平分或平分．设，，请直接写出与之间的数量关系．22．如图，直线，点A为l1线上的一个定点，点B为直线、之间的定点，点C为直线上的动点．

（1）当点C运动到图1所示位置时，求证：；（2）点D在直线上，且，平分．①如图2，若点D在的延长线上，，求的度数；②若点D不在AB的延长线上，请你利用图1补全图形，探究并证明与之间的数量关系．（本问中的角均为小于的角）23．已知：如图，直线，直线与、分别交于E、F两点．过F作射线平分，交于点G．射线上有一动点P，过P作，交直线于点Q．（1）如图1，当经过点E时，求证：平分；（2）当点P在运动过程中，作的角平分线，交射线于点M，试探究与的数量关系，请写出你的猜想并加以证明．

24．如图，，点E在直线和之间，且在直线的左侧，．（1）如图1，求的度数（用含的式子表示）；（2）连接，过点E作，交于点F，动点G在射线上，．①如图2，若，平分，判断与的位置关系并说明理由．②连接，若，于点G，是否存在常数k，使为定值，若存在，求出k的值，若不存在，请说明理由．参考答案：1．（1）①见分析；②120；（2）∠ADC=∠ADE+∠EDC或∠ADC=∠ABC−∠BCD或∠ABC+∠ADC+∠BCD=180°，证明见分析【分析】（1）①依题意补全图形即可；②由平行线的性质及已知，可得∠ADE、∠EDC的度数，由∠ADC=∠ADE+∠EDC即可求得结果；（2）分D点在线段AB上、点在的延长线上、点在的延长线上三种情况考虑，根据平行线的性质即可求得、、的数量关系．解：（1）①补全的图形如图1，②，∴，∠EDC=∠BCD=20°，∴∠ADC=∠ADE+∠EDC=100°+20°=120°；故答案为120；（2）当D点在线段AB上时，如图1，∠ADC=∠ADE+∠EDC理由如下：，∴，∠EDC=∠BCD，∴∠ADC=∠ADE+∠EDC；当点在的延长线上时，如图2，∠ADC=∠ABC−∠BCD；理由如下：，∴，∠EDC=∠BCD，∴∠ADC=∠ADE−∠EDC=∠ABC−∠BCD；当点在的延长线上时，如图3，∠ABC+∠ADC+∠BCD=180°；理由如下：，∴∠ADE=∠ABC，∠BCD+∠EDC=180°，∴∠ADE+∠ADC+∠BCD=180°，∴∠ABC+∠ADC+∠BCD=180°．【点拨】本题考查了平行线的性质，角的和差运算，涉及分类讨论，掌握平行线的性质是关键，注意分类讨论．2．（1）①90°−α；②45°，理由见分析；（2）45°【分析】（1）①由得∠BAD=∠CBA=α，，又，得，进而得出；②由题意得∠GAD=90°+α，再由角平分线的性质，得∠PAE=∠GAD=45°+α，进而得出∠PAF；（2）由（1）得，∠BHA=90°−α，由平行线的性质，得∠PQF=∠PAE=∠GAD=45°+α，当时，列方程求解即可．（1）解：如图所示．①∵，∴∠BAD=∠CBA=α，．又，∴．∵BE⊥AB，∴∠ABE=90°，∴∠BHA=∠ABE−∠BAF=90°−α．故答案为90°−α；②用量角器测得∠PAF=45°，理由如下：∵，∴∠BAD=∠CBA=α．∵AG⊥AB，∴∠GAB=90°，∴∠GAD=90°+α．∵AP平分，∴∠PAE=∠GAD=45°+α，∴∠PAF=∠PAE−∠FAE=45°+α−α=45°．故答案为45°．（2）解：由（1）得，∠BHA=90°−α．∵，∴∠PQF=∠PAE=45°+α．∵，∴90°−α=45°+α解得α=45°．故答案为45°．【点拨】本题考查平行线的性质，角平分线以及垂线的定义，熟练地运用这些知识找到角之间的和差关系是解决问题的关键.3．（1）；（2）；（3）【分析】（1）如图所示，过点F作，则，由平行线的性质得到，由平角的定义求出，，再根据角平分线的定义求出，由此求出的度数即可求出的度数；（2）如图所示，过点C作，则，由平行线的性质得到，进而得到，再仿照（1）求出，则；（3）根据平行线的性质推出，再由（2）的结论得到方程，解方程即可得到答案．（1）解：如图所示，过点F作，∵，，∴．∴，∵，，∴，，∵和的角平分线相交于点，∴，∴，∴；（2）解：如图所示，过点C作，∵，，∴，∴，∴，∵，，∴，由（1）可知，∴，∴；（3）解：∵，，∴，∴，由（2）可得，∴，∴．【点拨】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟知角平分线的性质，添加平行线探究角的关系是解题的关键．4．（1）60；（2）①；②或【分析】（1）由平行线的性质得，由平角的定义得再由角平分线的定义求解即可；（2）①过点P作，则，根据平行线的性质和等量代换即可求解；②先由平行线的性质和角平分线可得，当时，延长交于点H，根据平行线的性质即可求解；当时，过点P作，则，根据平行线的性质即可求解．（1）解：∵，∴∵∴∴∵平分，∴，故答案为：60；（2）①过点P作，则，如图，

∴，，∵，∴即，∴，∵，∴，∴，②∵，∴，∴，∵平分，∴，如图，当时，延长交于点H，

∵，∴，∵，∴，当时，如图所示，过点P作，则，

∴，∵，∴，∵，∴即，∴，∵，∴，故的度数为或．【点拨】本题考查了平行线性质的综合应用，熟练掌握平行性的性质是解题的关键．5．（1），证明见分析；（2），证明见分析；（3）【分析】（1）利用两直线平行内错角相等，即可得出结论；（2）利用两直线平行同旁内角互补，即可得出结论；（3）分情况画出图形，然后根据平行线的性质写出关系式．解：（1），证明：，，，，；（2），证明：，，，，，，；（3）如图1，；如图2，；如图3，；如图4，；四个角，，，之间的数量关系有4种，故答案为：4．

【点拨】本题考查平行线的性质，解题的关键是熟练掌握两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补．6．（1）见分析；（2），见分析；（3）【分析】（1）过点作，则，再由得出，故，利用等量代换即可得出结论；（2）先由平行线的性质得出，再由三角形外角的性质即可得出结论；（3）根据得出，再由三角形外角的性质即可得出结论；解：（1）证明：过点P作

∵∴

∴，∴即

（2）理由：过点P作∵∴∴∴∴

（3）∵

【点拨】本题考查的是平行线的性质，根据题意作出辅助线，构造出平行线是解答此题的关键7．（1）；（2）①理由见分析；②【分析】（1）根据折叠的性质，再结合平行的性质可得答案；（2）①根据平行线的性质可得答案；②利用角的和差关系、折叠的性质可得，再由平行线的性质可得答案．解：（1）根据折叠的性质可得，∵点E与点A重合，∴，即：，又∵，∴，故答案为：；（2）①∵，∴，∵，∴，∴．②，，∴，由①知，由折叠可知，又∵，即∴，又∵，∴，∴．【点拨】此题考查的是平行线的性质，折叠的性质，掌握其性质定理是解决此题的关键．8．（1）；（2）①；②【分析】（1）过点P作，点G在点P的左侧，根据平行线的性质及平行公理即可；（2）①过点P作，根据平行线的性质及平行公理即可；②过点P作，根据平行线的性质及平行公理即可．解：（1）过点P作，点G在点P的左侧．

∵，∴．∴，．又∵，，∴．故答案为：；（2）①与，之间的数量关系为．理由如下：如图①，过点P作．

图①∵，∴．∴，．∴．∴与，之间的数量关系为．②与，之间的数量关系为．理由：如图②，过点P作．

图②∵，∴∴，．∴．【点拨】本题考查了平行线的性质及平行公理，熟练掌握平行线的性质及平行公理，作出合适的辅助线是本题的关键．9．（1）；（2）详见分析；（3）【分析】（1）过点作，根据平行的性质可得，，即可得，问题随之得解；（2）由（1）得：，结合，即可得作答；（3）根据角平分线的定义有，，再根据平行的性质可得，即有，在结合（2）的结论即可作答．解：（1）如图，过点作，则．

∵，，∴，∴，∴．∵，∴，∴．（2）由（1）得：，则．∵，∴，∴．（3）若平分，也恰好平分，则有，，．∵，∴，∴．由（2）知：，则，解得：．【点拨】本题主要考查的是平行线的性质，熟练掌握平行线的性质定理是解题的关键，10．（1）平分，详见分析；（2）①，或【分析】本题考查了平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．（1）利用平行线的性质可得，然后利用等量代换可得，从而利用角平分线的定义即可解答；（2）①设，先利用角平分线的定义可得，再利用平行线的性质可得，从而利用角的和差关系可得，进而可得，然后再利用平行线的性质可得，从而可得，进而可得，最后进行计算即可．②分两种情况：当点E在线段上时；点E在线段的延长线上时；然后分别进行计算即可解答．（1）解：平分，理由如下：∵，∴，∵，∴，即平分．（2）解：①设，∵平分，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，解得：x=40，∴．分两种情况：当点E在线段上时，；当点E在线段的延长线上时，；理由：当点E在线段上时，设，∵平分，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，即；如图：当点E在线段的延长线上时，设，∵平分，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴；综上所述：当点E在线段上时，；当点E在线段的延长线上时，．11．（1）40°，∠1+∠2；理由见分析；（2）∠2－∠1，理由见分析；（3）∠1－∠2．【分析】（1）过作BF∥AD，根据两直线平行，内错角相等解答即可；（2）过作BG∥AD，根据两直线平行，内错角相等解答即可；（3）过作BH∥AD，根据两直线平行，内错角相等解答即可.解：（1）∠ABC＝40°，此时数量关系是：∠ABC＝∠1+∠2，理由：如图，过作BF∥AD∵AD∥EC∴AD∥EC∥BF∴∠1＝∠ABF，∠2＝∠CBF，∵∠1=25°，∠2=15°，∴∠ABC＝∠ABF+∠CBF＝∠1+∠2=40°，故答案为：40°，∠1+∠2；（2）此时数量关系是：∠ABC＝∠2－∠1

理由：如图，过作BG∥AD，∵AD∥EC∴AD∥EC∥BG∴∠1＝∠3，∠2＝∠CBG∵∠CBG＝∠3+∠ABC∴∠ABC＝∠CBG－∠3＝∠2－∠1，故答案为：∠2﹣∠1；（3）此时数量关系是：∠ABC＝∠1－∠2

理由：如图，过作BH∥AD，∵AD∥EC∴AD∥EC∥BH∴∠1＝∠ABH，∠2＝∠CBH∵∠ABH＝∠CBH+∠ABC∴∠ABC＝∠ABH－∠CBH＝∠1－∠2，故答案为：∠1﹣∠2．【点拨】本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质，添加平行线是解答的关键．12．感知：探究：【分析】本题考查了平行线的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．感知：过点作，根据猪脚模型，即可解答；探究：过点作，根据铅笔模型，即可解答．感知：解：过点作，，，，，，的度数为；探究：解：过点作，，，，，，，故答案为：．13．（1）；（2）①，见分析；②或【分析】（1）由平行线的性质可得到：，，再利用角的等量代换换算即可；（2）①设，，利用角平分线的定义和角的等量代换表示出对比即可；②分类讨论点在的左右两侧的情况，运用角的等量代换换算即可．解：．解：（1）设在上有一点N在点A的右侧，如图所示：∵∴，∴∴（2）①．证明：设，．∴．∵为的角平分线，∴．∵，

∴．∴．∴．②当点在点右侧时，如图：由①得：又∵∴∵∴当点在点左侧，在右侧时，如图：∵为的角平分线∴∵∴，∵∴∴∵∴又∵∴∴当点和在点左侧时，设在上有一点在点的右侧如图：此时仍有，∴∴综合所述：或【点拨】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，角的等量代换等，灵活运用平行线的性质和角平分线定义等量代换出角的关系是解题的关键．14．（1）是；（2）∠B＝∠ACB，证明见分析；（3）∠BAC＝40°，AC⊥AD．【分析】（1）要使AD平分∠EAC，则要求∠EAD＝∠CAD，由平行线的性质可得∠B＝∠EAD，∠ACB＝∠CAD，则当∠ACB＝∠B时，有AD平分∠EAC；（2）根据角平分线可得∠EAD＝∠CAD，由平行线的性质可得∠B＝∠EAD，∠ACB＝∠CAD，则有∠ACB＝∠B；（3）由AC⊥BC，有∠ACB＝90°，则可求∠BAC＝40°，由平行线的性质可得AC⊥AD．解：（1）是，理由如下：要使AD平分∠EAC，则要求∠EAD＝∠CAD，由平行线的性质可得∠B＝∠EAD，∠ACB＝∠CAD，则当∠ACB＝∠B时，有AD平分∠EAC；故答案为：是；（2）∠B＝∠ACB，理由如下：∵AD平分∠EAC，∴∠EAD＝∠CAD，∵AD∥BC，∴∠B＝∠EAD，∠ACB＝∠CAD，∴∠B＝∠ACB．（3）∵AC⊥BC，∴∠ACB＝90°，∵∠EBF＝50°，∴∠BAC＝40°，∵AD∥BC，∴AD⊥AC．【点拨】此题考查了角平分线和平行线的性质，熟练掌握角平分线和平行线的有关性质是解题的关键．15．（1），解答过程见分析；（2）①补全图形见分析；②或或或【分析】（1）根据平行线的性质得出∠AEG+∠EGC=180°，则∠AEF+∠GEF+∠EGF+∠FGC=180°，然后把∠AEF，∠GEF，∠EGF代入计算即可求解；（2）①分点E在G的左侧，F不在AB、CD之间；点E在G的左侧，F在AB、CD之间；点E在G的右侧，F在AB、CD之间；点E在G的右侧，F不在AB、CD之间四种情形画图即可；②根据①中四种情形分别求解即可．（1）解：∵，∴∠AEG+∠EGC=180°，即∠AEF+∠GEF+∠EGF+∠FGC=180°，又，，，∴（2）解：①当点E在G的左侧，F不在AB、CD之间时，如图，；当点E在G的左侧，F在AB、CD之间时，如图，；当点E在G的右侧，F在AB、CD之间时，如图，；当点E在G的右侧，F不在AB、CD之间时，如图，；②当点E在G的左侧，F不在AB、CD之间时，如图，，∵，∴∠AEG+∠EGC=180°，即∠AEG+∠FEG+∠EGC=180°，∵，∠FEG=45°，∴∠EGC=，又l⊥CD，∴l与CD所夹的锐角为；当点E在G的左侧，F在AB、CD之间时，如图，∵，∴∠AEG=∠EGD，∵，∠FEG=45°，∴，又l⊥CD，∴l与CD所夹的锐角为；当点E在G的右侧，F在AB、CD之间时，如图，，∵，∴∠AEG=∠EGD，∵，∠FEG=45°，∴，又l⊥CD，∴l与CD所夹的锐角为；当点E在G的右侧，F不在AB、CD之间时，如图，∵，∠FEG=45°，∴，∵，∴∠AEG=∠EGD=，又l⊥CD，∴l与CD所夹的锐角为；【点拨】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质，以及能够进行正确分类讨论是解题的关键．16．（1）证明见分析；（2），证明见分析；（3）不成立；，证明见分析【分析】（1）过点作，根据平行线的性质即可得结论；（2）过点作，过点作，根据平行线的判定和性质以及角平分线的定义可得，，，，则，即可得到和之间的数量关系；（3）过点作，过点作，根据平行线的判定和性质和已知条件，得出，，，，则，从而得到和之间的数量关系．解：（1）证明：如图，过点作，∴，∵，∴，∴，∴．（2）解：，证明如下：过点作，过点作，由（1）知：，∴，∴，，∴，即，∵，∴，又∵，∴，∴，∴，即，∵平分，平分，∴，，∴，∴．（3）如图，（2）中的结论不成立，正确的结论是，证明如下：过点作，过点作，由（2）得：，，∵，，∴，，∴，∴【点拨】本题考查了平行线的判定和性质，平行公理的推论，角平分线的定义等知识．正确添加辅助线、熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．17．（1）证明见分析；（2）2∠NHF=180°+∠BME，理由见分析；（3）45°或135°【分析】（1）如图所示，过点E作，利用平行线的性质得到∠MEF=∠BME，∠NEF=∠DNE，即可证明结论；（2）如图所示，过点F作，过点H作，同（1）可证∠MFG=∠BME，∠PHN=∠DNE，∠GFN=∠DNF，∠GFH+∠PHF=180°，再根据角平分线的定义得到∠NFE=2∠NFH，∠DNF=2∠DNE，在分别推出，，即可得到答案；（3）分点P在点N上方和点P在点N下方，利用平行线的性质与角平分线的定义分类讨论求解即可．（1）解：如图所示，过点E作，∵，∴，∴∠MEF=∠BME，∠NEF=∠DNE，∴∠BME+∠DME=∠MEF+∠NEF=∠MEN；（2）解：2∠NHF=180°+∠BME，理由如下：如图所示，过点F作，过点H作，同（1）可知，∴∠MFG=∠BME，∠PHN=∠DNE，∠GFN=∠DNF，∠GFH+∠PHF=180°，∴∠MFN=∠BME+∠DNF，∵FN平分∠NFE，NE平分∠DNF，∴∠NFE=2∠NFH，∠DNF=2∠DNE，∴∠NFE=2∠NFH=180°-∠MFN=180°-∠BME-2∠DNE，∴，∵∠GFH+∠PHF=180°，∴∠GFN+∠NFH+∠PHF=180°，∴2∠DNE+∠NFH+∠PHF=180°，∴，∴，∴2∠NHF=180°+∠BME；（3）解：如图1所示，当点P在点N上方时，过点O作，∴∠KOG=∠∠NGO，∠LON=∠GNO，∴∠OGN+∠ONG+∠GNO=∠KOG+∠LON+∠GON=180°，∵∠OGC+∠OGN=180°，∴∠OGC=∠GON+∠ONG，同理可证∠OGC=∠GPN+∠PNG，∵OG平分∠PGC，ON平分∠PNG，∴∠PNG=2∠ONG，∠PGC=2∠OGC，∴2∠OGC=∠GPN+2∠ONG，∵PG⊥MN，∴∠GPN=90°，∴∠OGC=45°+∠ONG，∴∠GON=∠OGC-∠ONG=45°；如图2所示，当点P在点N下方时，同上可证∠NPG+∠PNG+∠PGN=180°，∠O+∠ONG+∠OGN=180°，∠NPG=90°，∴∠PNG+∠PGN=90°，∵NO平分∠PNG，GO平分∠PDN，∴∠PNG=2∠ONG，∠PGN=2∠OGN，∴∠ONG+∠OGN=45°，∴∠O=135°，综上所述，∠O的度数为45°或135°．【点拨】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，垂直的定义，熟知平行线的性质是解题的关键．18．（1）见分析；（2）相等或互补；（3）∠CNG=30°或70°．【分析】（1）过点G作GPAB，根据平行线的性质，即可得出∠AEF+∠CFE=180°，∠AEG=∠EGP，∠CFG=∠FGP，再根据角平分线的定义，即可得到∠EGF=∠AEG+∠CFG=90°；（2）分两种情况进行讨论：当点M在射线EA上时，由∠MGN=∠EGF=90°，可得∠MGE=∠NGF；当点M在射线EB上时，由∠MGN=∠EGF=90°，可得∠MGE=∠NGF；（3）分两种情况进行讨论，根据角的和差关系以及两直线平行，内错角相等进行计算，即可得出∠CNG的度数．解：（1）如图，过点G作GPAB，∵ABCD，∴GPCD，∴∠AEF+∠CFE=180°，∠AEG=∠EGP，∠CFG=∠FGP，∵EG、FG分别是∠AEF和∠CFE的角平分线，∴∠AEG=∠AEF，∠CFG=∠CFE，∴∠AEG+∠CFG=∠AEF+∠CFE=（∠AEF+∠CFE）=×180°=90°，∵∠EGF=∠EGP+∠FGP，∴∠EGF=∠AEG+∠CFG=90°；（2）如图，当点M在射线EA上时，由∠MGN=∠EGF=90°，可得∠MGE+∠NGF=180°；当点M在射线EA上时，由∠MGN=∠EGF=90°，可得∠MGE=∠NGF；当点M在射线EB上时，由∠MGN=∠EGF=90°，可得∠MGE=∠NGF；故答案为：相等或互补；（3）当点M在射线EA上时，∵∠MGE=∠NGF，∠MGE=20°，∴∠EGN=∠MGN-∠MGE=90°-20°=70°，∵ABGP，∠AEG=40°，∴∠PGE=∠AEG=40°，∴∠PGN=∠EGN-∠PGE=70°-40°=30°，∵GPCD，∴∠CNG=∠PGN=30°；当点M在射线EB上时，∵∠MGE=∠NGF，∠MGE=20°，∴∠NGF=20°，∴∠EGN=∠MGN+∠MGE=90°+20°=110°，∵ABGP，∠AEG=40°，∴∠PGE=∠AEG=40°，∴∠PGN=∠EGN-∠PGE=110°-40°=70°，∵GPCD，∴∠CNG=∠PGN=70°，综上所述：当∠MGE=20°，∠AEG=40°时，∠CNG=30°或70°．【点拨】本题主要考查了平行线的性质，解决问题的关键是作辅助线构造内错角，依据两直线平行，内错角相等进行计算求解．解题时注意分类思想的运用．19．（1）；（2）；（3）t为6或12或21或24或30【分析】（1）由三角形内角和定理求出，由，得到，由，则，由角平分线和平行线性质得到，即可得到答案；（2）由得到，由即可得到结论；（3）分五种情况画图求解即可．（1）解：∵，，∴，∵，∴，∵，∴，∵平分，∴，∵，∴，∴，即；（2）∵，∴，∵，∴；（3）由（1）知，，，∴，如图1，当时，，∵，∴此时是旋转了，此时，；如图2，当时，∵，∴此时是旋转了，此时，；如图3，当时，∵，∴此时是旋转了，此时，；如图4，当时，设与相交于点S，∴，∴，∴此时是旋转了，此时，；如图5，当时，∴，∴此时是旋转了，此时，；∴当的其中一边与的某一边平行时，t为6或12或21或24或30．【点拨】此题考查了平行线的性质、三角形内角和定理、旋转等知识，分情况讨论是解题的关键．20．（1）24，；（2）点P是线段的中点，理由见分析；（3）25秒或37秒．【分析】（1）利用，即可得解；用的长度除以点的运动速度，求出时间，求出射线旋转的度数，进而求出的度数即可；（2）求出射线与所在直线第一次重合时，所用的时间，利用点的运动速度乘以时间，求出的长，利用求出的长，比较的大小关系，即可得出结论；（3）分射线旋转和旋转两种情况进行讨论求解即可．（1）解：∵，