七年级数学下学期期中押题卷（北师大版范围：第一、二、三章）（含解析）-【尖子生培优】2023-2024学年七年级数学下学期重难点压轴题突破专练（北师大版）

2024七年级数学下学期期中押题卷（北师大版，范围：第一、二、三章）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题（每小题3分，共36分）1．计算式子的结果用科学记数法表示为（

）A． B． C． D．2．如图，直线相交于点，，垂足为，则图中与的关系是（）A．互为余角 B．互为补角 C．对顶角 D．相等角3．如图为利用尺规作一个角等于已知角的作图过程，下面说法正确的是（）

A．的长度不能随意取 B．的长度也是任意长度C．的长度是任意长度 D．的长度必须等于4．已知，则代数式有（

）A．最大值10 B．最小值 C．最小值10 D．最大值5．如图，将大正方形的阴影部分裁剪下来重新拼成一个图形，利用等面积法可证明某些乘法公式，在给出的4幅拼法中，不能够验证平方差公式的是(

)A．

B．

C．

D．

6．我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”．这个三角形给出了（n＝1，2，3，4，…）的展开式的系规律（按a的次数由大到小的顺序）：请根据上述规律，则展开式中含项的系数是（

）A．2021 B．2022 C．2023 D．20247．如果，，．则a，b，c三数的大小关系是（

）A． B． C． D．8．下列说法正确的个数（

）①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；②平面内，互相垂直的两条直线一定相交；③有公共顶点且相等的角是对顶角；④直线外一点到已知直线的垂线段，叫做这点到直线的距离；⑤过一点有且只有一条直线与已知直线平行．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个9．若，则的值等于（

）A．4 B．6 C． D．810．用一水管向图中容器内持续注水，若单位时间内注入的水量保持不变，则在注满容器的过程中，容器内水面升高的速度（

）A．保持不变 B．越来越慢 C．越来越快 D．快慢交替变化11．在《科学》课上，老师讲到温度计的使用方法及液体的沸点时，好奇的小红同学准备测量食用油的沸点，已知食用油的沸点温度高于水的沸点温度，小红家只有刻度不超过的温度计，她的方法是在锅中倒入一些食用油，用煤气灶均匀加热，并每隔测量一次锅中油温，测量得到的数据如下表：时间010203040油温1030507090小红发现，烧了时，油沸腾了，则下列说法不正确的是（

）A．加热，油的温度是 B．估计这种食用油的沸点温度约是C．在一定范围内，每加热，油的温度升高 D．加热，油的温度是12．如图，直线，．其中，，则的最大整数值是（）

A．109° B．110° C． D．二、填空题（每小题3分，共18分）13．若，则．14．某商品原价为a元，由于供不应求，先提价进行销售，后因供应逐步充足，价格又一次性降低，则现在的售价比原价少了元．15．如图，点O为直线上一点，过点O作射线，使．将直角三角板绕点O旋转一周，当直线与直线互相垂直时，的度数是．

16．小明和小华是同班同学，也是邻居，某日早晨，小明7：00先出发去学校，走了一段路后，在途中停下来吃了早饭，后来发现上学时间快到了，就跑步到学校；小华离家后直接乘公交车到了学校．如图是他们从家到学校已走的路程和小明所用时间的关系图，则下列说法中正确的是．①小明吃早饭用时；②小华到学校的平均速度是；③小明跑步的平均速度是；④小华到学校的时间是7：05．

17．如图，，平分，，已知，则度．三、解答题（共66分）18．填写下列空格完成证明：如图，，，求．解：，_______．（理由是：______），．_____________．（理由是：_______）_______．（理由是：______），________．19．计算(1)；(2)；(3)；(4)．20．已知，.(1)当时，求的值；(2)当时，且，是整数，试说明的值能被5整除．21．定义：对于依次排列的多项式，（a，b，c，是常数），当它们满足，且M为常数时，则称a，b，c是一组完美数，M是该组完美数的完美因子．例如：对于多项式，因为，所以1，3，5是一组完美数，4是该组完美数的完美因子．(1)已知2，4，6是一组完美数，求该组完美数的完美因子M；(2)当a，b，c之间满足什么数量关系时，它们是一组完美数，并说明理由．22．我国首辆火星车正式被命名为“祝融”，为应对极限温度环境，火星车使用了新型隔温材料——纳米气凝胶，该材料的导热率与温度的关系如下表：T100150200250300350K0.150.200.250.35(1)补全表格；(2)在这个过程中，哪个是自变量，哪个是因变量？(3)当该材料导热率为时，温度为多少？23．阅读下面的材料：；；……利用上面材料中的方法解答下列各题：(1)①____________；②________________________；(2)计算：．24．数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助图形直观性，可以帮助理解数学问题，现有长与宽分别为a、b的小长方形若干个．(1)用两个这样的小长方形拼成如图1的大正方形，请写出图1所能解释的乘法公式_______；(2)用四个相同的小长方形拼成图2的正方形，请根据图形写出三个代数式、、之间的等量关系式：________；根据上面的解题思路与方法，解决下面问题：(3)直接写出下列问题答案：①若，，则________；②若，则________．(4)如图3，点C是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，请根据以上信息求图中阴影部分的面积．25．平行直线与被直线所截．

(1)如图1，点E在之间的直线上，P、Q分别在直线上，连接，若求的值；(2)如图2，点E在之间的直线上，P、Q分别在直线上，连接，平分，平分则和之间有什么数量关系，请写出你的结论并说明理由．26．已知，点、分别是、上的点，点在、之间，连接、．(1)如图，若，求的度数；(2)如图，若点是下方一点，平分，平分，已知，求的度数；(3)如图，若点是上方一点，连接、，且的延长线平分，平分，，求的度数．七年级数学下学期期中押题卷（北师大版，范围：第一、二、三章）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题（每小题3分，共36分）1．计算式子的结果用科学记数法表示为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】此题考查了同底数幂相乘，科学记数法的表示方法．先根据他同底数幂相乘得出结果，再运用科学记数法进行解答，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．【详解】解：故选：A2．如图，直线相交于点，，垂足为，则图中与的关系是（）A．互为余角 B．互为补角 C．对顶角 D．相等角【答案】A【分析】本题考查了垂直的定义，互为余角的定义，根据垂直可得，进而得到，即可求解，掌握互为余角的定义是解题的关键．【详解】解：∵，∴，∵，∴，∴与互为余角，故选：．3．如图为利用尺规作一个角等于已知角的作图过程，下面说法正确的是（）

A．的长度不能随意取 B．的长度也是任意长度C．的长度是任意长度 D．的长度必须等于【答案】D【分析】先分析作一个角等于已知角的作法，再利用作法进行一一判断即可．【详解】解：①以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点D、C，②画一条射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，③以点为圆心，长为半径画弧，与②中所画的弧相交于点，④过点画射线，则，从上面做法可以看出，只有D选项符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了作图一基本作图:基本作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法.掌握五种基本作图是解题的关键．4．已知，则代数式有（

）A．最大值10 B．最小值 C．最小值10 D．最大值【答案】C【分析】本题主要考查了完全平方公式，先根据题意得到，进而推出，再根据偶次方的非负性得到，则当时，代数式有最小值10，据此可得答案．【详解】解：∵，∴，∴，∵，∴，∴当时，代数式有最小值10，故选：C．5．如图，将大正方形的阴影部分裁剪下来重新拼成一个图形，利用等面积法可证明某些乘法公式，在给出的4幅拼法中，不能够验证平方差公式的是(

)A．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】本题考查了几何图形与平方差公式；分别计算原图阴影部分面积与拼后图中阴影部分的面积，根据面积相等即可作出判断，从而确定结果．【详解】解：A．原图阴影部分面积为，拼后新图是平行四边形，其中底为，底边上高为，则阴影部分面积为，则有，故可以验证；B．原图阴影部分面积为，拼后新图形中阴影部分是长方形，长为，宽为，阴影部分面积为，则有，故可以验证；C．原图阴影部分面积为，拼后新图是由两个相同的直角梯形组成的平行四边形，其底为，底边上高为，阴影部分面积为，则有，故可以验证；D．原图阴影部分面积为，拼后新图是由四个相同长方形组成的大长方形，长为，宽为，阴影部分面积为，则有，故不能验证．故选：D．6．我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”．这个三角形给出了（n＝1，2，3，4，…）的展开式的系规律（按a的次数由大到小的顺序）：请根据上述规律，则展开式中含项的系数是（

）A．2021 B．2022 C．2023 D．2024【答案】C【分析】本题主要考查了多项式乘法中的规律探索，首先确定含的项是的展开式中的第二项，再根据杨辉三角可得展开式中的第二项系数为n，据此可得答案．【详解】解：由图中规律可知：含的项是的展开式中的第二项，∵展开式中的第二项系数为1，展开式中的第二项系数为2，展开式中的第二项系数为3，展开式中的第二项系数为4，……，∴以此类推，可知展开式中的第二项系数为n，∴的展开式中的第二项系数为2023，故选：C．【点睛】本题考查了数字的变化类、数学常识、多项式、完全平方式，解决本题的关键是理解“杨辉三角”．7．如果，，．则a，b，c三数的大小关系是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题主要考查了幂的大小比较．熟练掌握0指数幂，负整数指数幂的性质，负数的偶次幂的性质，有理数的大小比较法则，是解决本题的关键．把负数的0次幂，负数次幂，负数的偶次幂分别化简，所得结果比较大小，逐一判断即得【详解】∵，，，且，∴．故选：A．8．下列说法正确的个数（

）①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；②平面内，互相垂直的两条直线一定相交；③有公共顶点且相等的角是对顶角；④直线外一点到已知直线的垂线段，叫做这点到直线的距离；⑤过一点有且只有一条直线与已知直线平行．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】B【分析】根据两直线相交、对顶角的定义、点到直线距离的定义、平行公理，即可一一判定．【详解】解：①同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故该说法不正确；②平面内，互相垂直的两条直线一定相交，故该说法正确；③有公共顶点且相等的角不一定是对顶角，故该说法不正确；④直线外一点到已知直线的垂线段的长度，叫做这点到直线的距离，故该说法不正确；⑤过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故该说法不正确；故正确的只有1个，故选：B．【点睛】本题考查了直线相交、对顶角的定义、点到直线距离的定义、平行公理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．9．若，则的值等于（

）A．4 B．6 C． D．8【答案】A【分析】本题主要考查了幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，根据幂的乘方以及同底数幂的乘法法则计算即可，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．【详解】∵，∴，∴，故选：A．10．用一水管向图中容器内持续注水，若单位时间内注入的水量保持不变，则在注满容器的过程中，容器内水面升高的速度（

）A．保持不变 B．越来越慢 C．越来越快 D．快慢交替变化【答案】C【分析】此容器不是一个圆柱体，从下到上直径越来越小，因为相同体积的水在直径较大的地方比在直径较小的地方的高度低，因此，若单位时间内注入的水量保持不变，容器内水面上升的速度会越来越快．【详解】由图可知：此容器不是一个圆柱体，从下到上直径越来越小∵相同体积的水在直径较小的地方比在直径较大的地方的高度更高∴若单位时间内注入的水量保持不变，容器内水面上升的速度会越来越快故选：C【点睛】本题考查了体积、直径、高之间的关系，寻找出三者之间的变化关系是解题关键．11．在《科学》课上，老师讲到温度计的使用方法及液体的沸点时，好奇的小红同学准备测量食用油的沸点，已知食用油的沸点温度高于水的沸点温度，小红家只有刻度不超过的温度计，她的方法是在锅中倒入一些食用油，用煤气灶均匀加热，并每隔测量一次锅中油温，测量得到的数据如下表：时间010203040油温1030507090小红发现，烧了时，油沸腾了，则下列说法不正确的是（

）A．加热，油的温度是 B．估计这种食用油的沸点温度约是C．在一定范围内，每加热，油的温度升高 D．加热，油的温度是【答案】D【分析】根据表格中的数据得：每加热，温度升高，由此逐一进行分析即可得．【详解】解：A、由表可知，加热，油的温度是，故A正确，不符合题意；B、∵烧了时，油沸腾了，∴这种食用油的沸点温度，故B正确，不符合题意；C、由表可知，在一定范围内，每加热，油的温度升高，故C正确，不符合题意；D、加热，油的温度，故D不正确，符合题意；故选：D．【点睛】本题考查函数的表示方法；能够通过表格确定自变量与因变量的变化关系是解题的关键．12．如图，直线，．其中，，则的最大整数值是（）

A．109° B．110° C． D．【答案】A【分析】先添加辅助线，再根据平行线的性质和三角形外角性质，求出与的关系式，最后由，即可求出范围，得出答案．【详解】如图，延长，分别交和于点，，

∵，，∴，∵，∴，∵，，，∴，∴，∴，整理得：，∴，解得：，∴的最大整数值是．故选：．【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形外角性质的应用，解题的关键是熟练掌握平行线的性质及等角度的转换．二、填空题（每小题3分，共18分）13．若，则．【答案】【分析】本题考查了完全平方公式应用，设，，则，，由完全平方公式即可求解，掌握完全平方公式是解题的关键．【详解】解：设，，∴，，∴，∴，∴，故答案为：．14．某商品原价为a元，由于供不应求，先提价进行销售，后因供应逐步充足，价格又一次性降低，则现在的售价比原价少了元．【答案】【分析】本题考查了列代数式、整式的四则混合运算等知识点，审清题意、理清提价和降价后的百分比是解题的关键．根据提价和降价的百分比列式表示出现在的售价，然后再运算整式的运算法则计算现在的售价，然后作差即可．【详解】解：由题意得：现在的售价，，∴现在的售价比原价少了元．故答案为：．15．如图，点O为直线上一点，过点O作射线，使．将直角三角板绕点O旋转一周，当直线与直线互相垂直时，的度数是．

【答案】或【分析】本题考查了垂直的定义，角的和差计算，分在直线的右侧和在直线的左侧两种情况求解即可．【详解】解：∵，∴．当在直线的右侧时，如图，

∵，∴，∴．当在直线的左侧时，如图，

∵，∴，∴．故答案为：或．16．小明和小华是同班同学，也是邻居，某日早晨，小明7：00先出发去学校，走了一段路后，在途中停下来吃了早饭，后来发现上学时间快到了，就跑步到学校；小华离家后直接乘公交车到了学校．如图是他们从家到学校已走的路程和小明所用时间的关系图，则下列说法中正确的是．①小明吃早饭用时；②小华到学校的平均速度是；③小明跑步的平均速度是；④小华到学校的时间是7：05．

【答案】①③【分析】观察图像，根据路程、速度、时间之间的关系依次判断即可．【详解】由图知小明从家出发，第8分钟至第13分钟在吃早饭，因此小明吃早饭用了5分钟，故①正确；由图知小华从家到学校的路程为1200米，用时分钟，因此小华到学校的速度为，故②正确；由图知小明从第13分钟至第20分钟跑步到学校，用时分钟，跑的路程为米，因此小明跑步的速度为，故③正确；由图知小华到学校的时间为7：13，故④错误．故答案为：①③【点睛】本题主要考查了用图像法表示变量之间的关系，读懂题意，能从所给图像中获取信息是解题的关键．17．如图，，平分，，已知，则度．【答案】115【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，．如图所示，连接，过点C作，先根据角平分线的定义和平行线的性质证明，再由平行线的性质证明，同理可得，，由此推出，再由，推出，根据，推出，再由，推出，即．【详解】解：如图所示，连接，过点C作，∵，∴，∵平分，∴，∴，∵，∴，∵，∴，同理可得，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，即，故答案为：．三、解答题（共66分）18．填写下列空格完成证明：如图，，，求．解：，_______．（理由是：______），．_____________．（理由是：_______）_______．（理由是：______），________．【答案】；两直线平行，同位角相等；；；内错角相等，两直线平行；；两直线平行，同旁内角互补；110【分析】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．根据平行线的判定和性质结合推理过程填空即可．【详解】解：∵，∴．（理由是：两直线平行，同位角相等），∵，∴，∴．（理由是：内错角相等，两直线平行），∴．（理由是：两直线平行，同旁内角互补），∵，∴．故答案为：；两直线平行，同位角相等；；；内错角相等，两直线平行；；两直线平行，同旁内角互补；110．19．计算(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)9(2)(3)(4)【分析】本题考查了实数的混合运算、整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键．（1）先计算乘方、零指数幂和负整数指数幂，再计算加减即可；（2）先计算同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方、同底数幂的除法，再合并同类项即可；（3）先计算括号内的乘方，再计算除法即可得出答案；（4）先利用平方差公式和完全平方公式计算，再合并同类项即可．【详解】（1）解：；（2）解：；（3）解：；（4）解：．20．已知，.(1)当时，求的值；(2)当时，且，是整数，试说明的值能被5整除．【答案】(1)0(2)见详解【分析】（1）先计算得到，再把代入即可求解；（2）先根据得到，再计算得到变形为，即可证明的值能被5整除．【详解】（1）解：当时，原式；（2）解：∵，∴，∴，∴，∴，∴当时，且，是整数，的值能被5整除．【点睛】本题考查了整式的加减以及幂的乘方，积的乘方，同底数幂的乘法等知识，熟知相关知识并根据题意灵活变形是解题关键．21．定义：对于依次排列的多项式，（a，b，c，是常数），当它们满足，且M为常数时，则称a，b，c是一组完美数，M是该组完美数的完美因子．例如：对于多项式，因为，所以1，3，5是一组完美数，4是该组完美数的完美因子．(1)已知2，4，6是一组完美数，求该组完美数的完美因子M；(2)当a，b，c之间满足什么数量关系时，它们是一组完美数，并说明理由．【答案】(1)4(2)，理由见解析【分析】本题考查了整式的混合运算-化简求值及新定义问题，熟练掌握运算法则是解本题的关键．（1）直接根据定义计算M的值；（2）根据定义化简计算，可得a，b，c之间满足的数量关系式．【详解】（1）解：根据题意，得；（2）解：理由：假设a，b，c是完美数，则结果为常数，原式，∵结果为常数，∴．22．我国首辆火星车正式被命名为“祝融”，为应对极限温度环境，火星车使用了新型隔温材料——纳米气凝胶，该材料的导热率与温度的关系如下表：T100150200250300350K0.150.200.250.35(1)补全表格；(2)在这个过程中，哪个是自变量，哪个是因变量？(3)当该材料导热率为时，温度为多少？【答案】(1)见解析(2)温度是自变量，导热率是因变量(3)【分析】本题考查了函数的表示法，观察表格得出温度每增加，导热率增加是解答本题的关键．（1）根据导热率变化规律计算即可；（2）根据导热率随着温度的变化而变化即可解答；（3）根据度每增加，导热率增加求解即可．【详解】（1）观察表格可知温度每增加，导热率增加，，，T100150200250300350K0.150.200.250.300.350.40（2）∵导热率随着温度的变化而变化，∴温度是自变量，导热率是因变量；（3）．23．阅读下面的材料：；；……利用上面材料中的方法解答下列各题：(1)①____________；②________________________；(2)计算：．【答案】(1)①；②，(2)1【分析】本题考查利用平方差公式进行有理数简便计算，熟练掌握平方差公式是解题的关键．（1）①利用平方差公式计算即可；②先变形为，再利用平方差公式计算即可；（2）先运用平方差公式计算乘法，再计算加减即可．【详解】（1）解：①；②；（2）解：．24．数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助图形直观性，可以帮助理解数学问题，现有长与宽分别为a、b的小长方形若干个．(1)用两个这样的小长方形拼成如图1的大正方形，请写出图1所能解释的乘法公式_______；(2)用四个相同的小长方形拼成图2的正方形，请根据图形写出三个代数式、、之间的等量关系式：________；根据上面的解题思路与方法，解决下面问题：(3)直接写出下列问题答案：①若，，则________；②若，则________．(4)如图3，点C是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，请根据以上信息求图中阴影部分的面积．【答案】(1)(2)(3)①；②13(4)【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景及完全平方公