平面向量知识归纳(文档良心出品)

平面向量的鸡毛蒜皮一、向量概念1、向量：既有大小，又有方向的量．零向量：长度为的向量;零向量和任意向量平行或垂直.平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行．相等向量：长度相等且方向相同的向量．相反向量：长度相等且方向相反的向量．单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与共线的单位向量是)；2、向量加法运算：=1\*GB2⑴三角形法则的特点：首尾相连．=2\*GB2⑵平行四边形法则的特点：共起点．3、向量减法运算：=1\*GB2⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量．坐标运算：设，，则．设、两点的坐标分别为，，则．4、向量数乘运算：=1\*GB2⑴实数与向量的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作．=1\*GB3①，=2\*GB3②当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；当时，．平面向量基本定理：如果、是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数、，使．6、平面向量的数量积：，;注意数量积是一个实数，不再是一个向量.=1\*GB2⑴．零向量与任一向量的数量积为．=2\*GB2⑵性质：=1\*GB3①．=2\*GB3②．=3\*GB3③．(3)坐标运算：设两个非零向量，，则．(4)(5)（或者，注意考虑分母为0的情况）．(6)在上的投影为，它是一个实数，但不一定大于0.例子：已知，，且，则向量在向量上的投影为______（答：）的几何意义：数量积等于的模与在上的投影的积.;;二、三角形“四心”焖锅三条中线定相交，交点位置真奇巧，交点命名为“重心”，重心性质要明了，重心分割中线段，数段之比听分晓；长短之比二比一，灵活运用掌握好．——重心之歌三角对应三顶点，角角都有平分线，三线相交定共点，叫做“内心”有根源；点至三边均等距，可作三角形内切圆，此圆圆心称“内心”，如此定义理当然．——内心之歌（1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1；（2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直；（3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等；（4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等，；（5）旁心：略1、已知O是平面上一定点，A,B,C是平面上不共线的三个点，动点P满足：，，则的轨迹一定通过的重心.，则的轨迹一定通过的重心.（3），，则动点的轨迹一定通过的垂心．（4），，则动点的轨迹一定通过的内心．（5），，则动点的轨迹一定通过的外心。2、奔驰定理已知O是平面上一定点，A,B,C是平面上不共线的三个点，若,则三角形OBC,OAC,OAB,ABC面积之比为：.以下是奔驰定理关于四心的推论：（1）O是的重心；为的重心.（2）O是的垂心；；（3）O是的外心（或）；；（4）O是的内心是的内心.三、向量里一点点可能会遇到的结论1、三角形的外心、重心、垂心三点共线——“欧拉线”；若O、H分别是△ABC的外心和垂心.求证：.设O、G、H分别是锐角△ABC的外心、重心、垂心.求证：三点共线定理：A，B，C三点共线，O为平面上任意一点，则极化恒等式：极化恒等式的三角形模式：如右图，假如点D是BC中点，则角平分线定理：假如AD是角平分线，则;直角三角形内接圆半径；(c是斜边)重心真的很神奇，若三角形ABC重心为G，则，；重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等，即重心到三条边的距离与三条边的长成反比；重心到三角形3个顶点距离的平方和最小.7、线段的定比分点：设点P是直线PP上异于P、P的任意一点，若存在一个实数，使，则叫做点P分有向线段所成的比，P点叫做有向线段的以定比为的定比分点；(1)设、，分有向线段所成的比为，则.(2)点M为平面内的任一点，则，特别地为的中点；8、一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用；9、，特别地，当同向或有例子：已知，则的范围是[3,7].（可以直接用9的结论，也可以平方）的面积公式很多，例如;;；海伦公式等等.在向量里，有一种行列式表示，可以简化计算，中，则.证明：.平面向量问题解题策略向量的分解，合并（线性运算），三点共线定理；向量的几何化，数形结合；向量的实数化（已知夹角，长度，数量积）向量的坐标化（图形特殊化，长度特殊化，建立坐标系）练习题(高考真题)设向量a，b满足|a＋b|＝eq\r(10)，|a－b|＝eq\r(6)，则a·b＝1.2、已知向量，，则9.3、已知向量a=，b=,若ma+nb=,则实数的值为__-3___.4、已知两个单位向量a,b的夹角为60°,c=ta+(1-t)b,若b·c=0,则t=2.5、已知A，B，C为圆O上的三点，若eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))，则eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(AC,\s\up6(→))的夹角为90o．6、设为所在平面内一点，则（A）（A）(B)（C）(D)7、设向量，不平行，向量与平行，则实数______.8、设四边形ABCD为平行四边形，，.若点M，N满足，，则（C）（A）20（B）15（C）9（D）69、（11年10）已知a与b均为单位向量，其夹角为，有下列四个命题,其中的真命题是（A）（A）（B）（C）（D）10、若平面向量满足:;则的最小值是.11、已知是单位向量,.若向量满足12、在平面直角坐标系中，O为原点，A(－1，0)，B(0，eq\r(3))，C(3，0)，动点D满足|eq\o(CD,\s\up6(→))|＝1，则|eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))|的最大值是___1＋eq\r(7)_____．13、已知圆O的半径为1，PA,PB为该圆的两条切线，A,B为切点，则的最小值为.14、已知点，，在圆上运动，且，若点的坐标为，则的最大值为（7）15、,M是BC中点，AM=3,BC=10,则-16.（极化恒等式可以一试）16、[2014·惠州调研]已知△ABC中，角A为锐角，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.设向量m＝(cosA，sinA)，n＝(cosA，－sinA)，且m与n的夹角为eq\f(π,3).(1)计算m·n的值并求角A的大