2020-2021学年遂宁市高二年级上册期末数学试卷(文科)(含解析)

2020-2021学年遂宁市高二上学期期末数学试卷（文科）

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）

1,直线/过点（3,2）且斜率为-4,则直线2的方程为（）

A.%+4y—11=0B.4%+y—14=0

C.x—4y+5=0D.4%+y—10=0

2.若圆第2+y2_2%+4y+1=0上至少有两个点到直线2%+y-c=0的距离等于1,则实数c的

取值范围为（）

A.(0,3佝B.[-V5,V5]C.(-3V5,3A/5)D.(0,V5)

3.将圆区|平分的直线的方程可以是（)

A.0B.0C.0D.□

4.已知样本数据1,2,4,3,5,下列说法不正确的是（)

A.平均数是3B.中位数是4C.极差是4D.方差是2

5.如图，空间四边形ABCD中，E,F分别是AB,4D的中点，则EF与平面BCD的

位置关系是（)

A.相交

B.平行

C

C.在平面内

D.不能确定

6.某人射击5枪,命中3枪，3枪中恰有2枪连中的概率为（）

A3

A-5D

C七-点

%—y>0

7.设变量X,y满足约束条件2x+yW2,则目标函数z=|3x+y|的最大值为（)

ly+2>0

A.4B.6C.8D.10

8.如图的三视图表示的几何体是（）

A.圆台

B.棱锥O

C.圆锥

D.圆柱

9.已知两定点6（—1,0）、52（1，0）和一动点P，若I&F2I是IPF1I与IPF2I的等差中项，则动点P的轨迹

方程为（）

丫2“2丫2.,22.,2.,2丫2

A.-+^=1B.土+匕=1C.Yt—匕=1D.匕+二=1

1694316943

10.如图，在空间直角坐标系中有长方体4BCD—a'B'C'D',且力B=2,AD=2,AA'=1,则异面

直线4B与C'D夹角的余弦值为（）

11.点P在直线x+y—4=0上，。为原点，则|喈|的最小值为（）

A.2B.腐C.喳&D.版

12.已知命题P：“若a＞小＞0，则l°gi°+，则命题P的原命题，逆命题，否命题,

22

逆否命题中正确命题的个数为（）

A.0B.1C.2D.4

二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.已知直线a久—y+5=0与直线（3a—l）x+ay+a=0互相垂直，贝!|a=.

14.为了了解1000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则分段的

间隔为.

15.在区间［-常可上随机取一个数雷，使得归-归-可比1成立的概率为

16.若直线y=fc(x-2)+4与圆％2+(y-I)2=4相切，则实数々=

三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）

17.已知平面a//平面/?,m,九是异面直线，m//a,mt，.

且21zu,11n,

求证:

(2)/18.

..54

18.在448c中,cosA=——,sinB=

(1)求cosC的值；

(2)设BC=15.求△ABC的面积.

19.对某校高一年级学生参加“社区志愿者”活动次数进行统计，随机抽取M名学生作为样本，得

到这M名学生参加“社区志愿者”活动的次数.据此作出频数和频率统计表及频率分布直方图

如下：

分组频数频率蛀

组断

[10,15)50.25

[15,20)12n

[20,25)mP

[25,30]10.05

合计M11015202530次数

(1)求出表中M,p及图中a的值;

(2)若该校高一学生有720人，试估计他们参加“社区志愿者”活动的次数在［15,20)内的人数;

(3)若参加“社区志愿者”活动的次数不少于20的学生可被评为“优秀志愿者”，试估计每位志

愿者被评为“优秀志愿者”的概率.

20.某种产品的广告费用支出双万元)与销售额y(万元)

之间有如下的对应数据:

X24568

y3040605070

(1)画出散点图；

(2)求回归直线方程；

(3)据此估计广告费用为9万元时，销售收入y的值.

注：①参考公式：线性回归方程系数公式》=杂优詈，弓=亍—最；

乙—TLXJ

②参考数据：2—e=145,2,疗=13500,£巳%%=1380.

21.如图，四边形PC8M是直角梯形,NPC8=90°,PM"BC,PM=AC=1,BC=2,4ACB=120°,

AB1PC,直线力M与直线PC所成的角为60。.

(I)求证：平面PAC_L平面4BC；

(n)求锐二面角M-AC-B的余弦值.

22.已知点4、B的坐标分别是(0,-1),(0,1),直线4”、BM相交于点M,且它们的

斜率之积为一

(I)求点M的轨迹T的方程；

(□)设过点E(-l,0)且不与坐标轴垂直的直线交轨迹7于C、D两点，若线段CD的垂直

平分线与无轴交于点F，求点尸横坐标的取值范围.

参考答案及解析

1.答案：B

解析：

本题考查了直线的点斜式方程，考查点斜式和一般式的互化，属于基础题.

直接由直线方程的点斜式写出直线方程，化为一般式得答案.

解：・•・直线I过点(3,2)且斜率为-4,

由直线方程的点斜式得：y—2=—4(%—3),

整理得：4%+y-14=0.

故选：B.

2.答案：C

解析：

本题考查圆上的点到直线距离问题，点到直线的距离公式，解题关键是通过图象找出圆心到已知直

线的距离的取值范围，考查了数形结合的数学思想.

把圆的方程化为标准方程后，找出圆心坐标和圆的半径，用点到直线的距离公式表示出圆心到己知

直线的距离d,画出图象，根据图象和题意列出关于d的不等式，求出不等式的解集即可得到c的取

值范围.

解：把圆的方程化为标准方程得：(x-1)2+(y+2)2=4,

得到圆心坐标为(1,一2),半径r=2,

根据题意画出图象，如图所示：

因为圆心到直线2x+y—c=0的距离d=詈

根据图象可知：当0Wd<3时，

圆上至少有两个点到直线2尤+y+c=。距离等于1,

即04<3,

解得，一3病<c<3小，

则满足题意的c的取值范围是(-3年34)，

故选：C.

3.答案：D

解析：试题分析：圆心回，将圆区平分的直线必过圆心，经判断可知其直线方程可以是s.

考点：直线与圆.

4.答案:B

解析：

根据样本数据1,2,4,3,5,分别求出它的平均数、中位数、极差和方差即可.

本题考查了求简单的样本数据的平均数、中位数、极差和方差的应用问题，是基础题.

解：样本数据1,2,4,3,5,它的平均数是元=*x(1+2+3+4+5)=3,A正确；

按从小到大的顺序排列后，排在中间的数是3,故中位数是3,B错误；

极差是5-1=4,C正确；

方差是

s2=|X[(1-3)2+(2-3)24-(4-3)2+(3-3)2+(5-3)2]=2,£>正确.

故选：B.

5.答案：B

解析：解：,••空间四边形4BCD中，E,F分别是AB,AD的中点，

EF//BD,

■■■EFC平面BCD,BDu平面BCD,

•••£77/平面BCD.

故选：B.

由己知得£T〃BD,由此能证明〃平面8CD.

本题考查直线与平面的位置关系的判断，是基础题，解题时要认真审题.

6.答案：A

解析：

本题主要考查了古典概型的应用，以及排列组合的知识，属于中档题.

先求出总可能数，然后把连中的2枪捆在一起排列即可求出答案.

解：根据题意共有俏=10种情况，

则3枪中恰有2枪连中，只需要把连中的2枪捆在一起和另一枪中的插入剩余2个不中枪的空隙中,

共有题=6种情况，

故所求概率为P=^=|,

故选A.

7.答案：C

x-y>0

解析：解：作出变量刈y满足约束条件2%+y<2对

,y+2>0

应的平面区域如图，

由z=|3x+y|,平移z=|3x+y|,由图象可知当z=

|3x+y|经过点4时,直线z=|3x+y|取得最大值，

由得4（-2,一2）

此时z的最大值为z=|-3X2-2|=8,

故选：C.

作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值.

本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法，要熟练掌握目标

函数的几何意义.

8.答案：A

解析：解：由题意，该几何体为圆台；

故选A.

三视图中长对正，高对齐，宽相等；由三视图想象出直观图，一般需从俯视图构建直观图，该几何

体为圆台.

三视图中长对正，高对齐，宽相等；由三视图想象出直观图，一般需从俯视图构建直观图，本题考

查了学生的空间想象力.

9.答案:B

解析：

本题主要考查了应用椭圆的定义以及等差中项的概念求椭圆方程，关键是求a,b的值，本题属于基

础题.

根据I6F2I是|P&|与IPF2I的等差中项，得到2I&F2I=|P&|+\PF2\,即|P0|+\PF2\=4,得到点P在

以F],尸2为焦点的椭圆上，已知a，c的值，做出6的值，写出椭圆的方程.

解：•••&(-1,0)、4(1，。)，

・•.|F/2l=2,

:|&尸2|是|P川与|P4I的等差中项，

•••2|a凡=仍尸1|+伊61，

即IP&I+IP&I=4,

•••点P在以尸2为焦点的椭圆上，

2ci—4fCL=2,c—1,

•••b2—3,

22

.•.椭圆的方程是土+匕=1.

43

故选：B.

10.答案：D

解析：解：由题意可知4(0,0,1),5(2,0,0),£>(0,2,0),C'(2,2,l),

则而=(2,0,—1)，FK=(-2,0,-1)>

所以异面直线4B与C'D夹角的余弦值为要黑=叁犁=3.

\AiB\\C'D\V5XV55

故选：D.

求出福，而，由向量的夹角公式，即可求异面直线4B与C'。夹角的余弦值.

本题考查利用向量的夹角公式求异面直线所成的角，属于基础题.

1L答案：C

解析：试题分析：由题可知，过。向直线工+y-4=0做垂线，垂足为点P,此时|OP|取得最小值,

由点到直线的距离公式美卜巧—=粤=地；

考点：点到直线的距离公式

12.答案：C

解析：解：由bglaC/oglb+l得JogLa-/0gJ_b=，ogLf<l，即?且&>口，b>0,

22222bb2

若a>b>。，则导>，原命题为真命题，则逆否命题为真命题.若?且a>0,b>0,

b2b2

当a=3,b=4时，满足且a>0,b>0,但a>6>0不成立，.•.逆命题为假命题，则否命题也为

D2

假命题.

故命题p的原命题，逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数为2个.

故选C.

13.答案：。或；

解析：解:由a(3a-1)一a=0,解得a=0或|.

故答案为：0或|.

根据直线a久—y+5=0与直线(3a—l)x+ay+a=0互相垂直与斜率之间的关系即可得出.

本题考查了直线相互垂直与斜率之间的关系方程，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.

14.答案：25

解析：解：由已知得：

分段的间隔为：甯=25.

40

故答案为：25.

利用系统抽样的性质求解.

本题考查系统抽样的分段间隔的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意系统抽样的性质的合理

运用.

"I

15.答案：-

J-X-3<声：-工

解析：设施磷=归#1|一|需一那则河礴」舐—ZTE"草，当出雷三兽时，.理礴打成

।X室":三笔

、e署一工：1

立部=-------=一

VV

【考点定位】本题把绝对值不等式和几何概型相结合来考查概率的运算，体现了几何概型“无处不

在”的特点，考查了分类讨论思想和运算能力.

16.答案：得

解析：解：•・,直线y=忆(％—2)+4与圆％2+(y-1)2=4相切，

・•・圆心(0,1)到直线y=k(x-2)+4的距离d=r,

即暇善=2,解得k=总

故答案为：5

根据直线与圆相切,得到圆心到直线的距离d=r,列出关于k的方程,求出方程的解即可得到k的值.

本题考查了直线与圆的位置关系，直线与圆的位置关系由d与r的大小来判断，属于中档题.

17.答案：证明：(1)记/与a的交点为4

由直线m和直线外一点4确定一个平面y,

记a与y的交线为a,夕与y的交线为b.

因为平面a〃平面0,平面an平面y=a,平面£C平面y=b,所以

a//b

因为rn〃a,mcy,any-a,所以m〃a,

因为a〃匕，m//a,所以

又因为bu0,所以...(7分)

(2)因为ri是异面直线，且由(1)可知ni〃6,

所以在平面0内，n与b相交，

记交点为T,因为I1爪，m//b,所以216,

又因为Zin,bC\n-T,be/?,nu0,

所以Z10....(14分)

解析：(1)记l与a的交点为4,由直线m和直线外一点4确定一个平面y,记a与y的交线为a,£与y的

交线为b.推导出a〃b,m//a,m//b,由此能证明机〃£.

(2)推导出m〃b,在平面0内，71与b相交，记交点为T.推导出Z16,由此能证明11

本题考查线面平行、线面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考

查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题.

18.答案：解：(1)△中,vcosA——卷,sinB=sinA-V1-cos2X=—,cosB=V1—sin2B=

3

5’

5312463

故cosC=—cos(i4+8)=—cosAcosB+sinAsinB=—(—G)'g+G'g=

DfAC,15AC

(2)BC=15,由正弦定理可得一二=一不，即文=丁，AC=13.

、，sinAsinB石g

.-.A力BC的面积S=-BC-AC-sinC=--15-13-V1-cos2c=--15-13•—=24.

22265

解析：⑴由条件利用同角三角函数的基本关系求得sin/和cosB的值，再利用诱导公式、两角和的余

弦公式求得cosC=-COS(T4+8)的值.

⑵由条件利用正弦定理求得AC的值，可得△A8C的面积S=^BC-AC-sinC的值.

本题主要考查同角三角函数的基本关系，诱导公式、两角和的余弦公式，正弦定理的应用，属于基

础题.

19.答案：解：(1)根据频率分布表，得：

•M•--=0.25,

•••样本容量为M=20,

m=20—5—12—1=2,

.•・对应的频率为P=看=0.1,

(2)参加“社区志愿者”活动的次数在［15,20)内的频率为0.6,

・•・估计参加“社区志愿者”活动的次数在［15,20)内的人数为：

720x0.6=432(人)；

(3)参加“社区志愿者”活动的次数在20以上的频率为：0.1+0.05=0.15,

样本中可评为“优秀学生”的频率为：p=0.15,

.•・估计小明被评为“优秀学生”的概率为0.15.

解析：本题考查频率分布表与直方图及用样本估计总体.

(1)根据频率分布表，利用频率=^^的关系，求出M、m,p、n以及a的值;

样本谷里.

(2)利用参加“社区志愿者”活动的次数在［15,20)内的频率，求出对应的频数;

(3)求出参加“社区志愿者”活动的次数在20以上的频率即可估计总体中的概率.

20.答案：解：(1)根据表中所给的五对数据，得到五个有序数对，在平面直角坐标系中画出点，得

到散点图.

/c、—2+4+5+6+8广—30+40+60+50+70厂八

(2),・,x=-------------=5,y=--------------------=50,

根据参考数据：芨=1参=145,芨=i参=13500,2L阳%=1380.

由线性回归方程系数公式6=零斗呼，S=y_C；

,*,b—6.5

a=y-b~x=50—6.5x5=17.5

・•・回归直线方程为y=6.5x+17.5

(3)当x=9时，预报y的值为y=9x6.5+17.5=76(万元).故销售收入为76万元

解析：(1)根据表中所给的五对数据，得到五个有序数对，在平面直角坐标系中画出点，得到散点图.

(2)先做出横标和纵标的平均数，得到这组数据的样本中心点，利用最小二乘法做出线性回归方程的

系数，再做出a的值，协会粗线性回归方程.

(3)把所给的乂的值代入线性回归方程，求出y的值，这里的y的值是一个预报值，或者说是一个估计

值.

本题考查线性回归方程的求法和应用，本题解题的关键是看出这组变量是线性相关的，进而正确运

算求出线性回归方程的系数，本题是一个基础题.

21.答案：解：(I)因为PC148,PC1BC,ABCBC=B；

所以PC1平面4BC.

又因为PCu平面P8C,所以平面PAC_L平面ABC

(H)在平面ABC内，过C作Cx1CB,

建立空间直角坐标系C-xyz(如图)

X

由题意有C(0,0,0),做今―go),

设P(0,0,Zo)(z°>0),则M(O,l,Zo),AM=z0)»

CP=(0,0,ZQ).

由直线AM与直线PC所成的解为60。得

AMCP=\AM\\'CP|cos60%=73+zo-zo-p

解得Zo=1.

所以诙=(0,1,1)，C4=(y,-|,0)

设平面MAC的一个法向量为元=Q1，V1，Z1),

贝e亘=。，即信+z：°n.

s•cz=o-5yl=°

取%1=1,得元=(i,遮，一遍).

平面4BC的法向量取为访=(0,0,1)

设而与元所成的角为。，贝！JcosJ=二：=一尊

因为二面角M-AC-8的平面角为锐角，

故二面角M-ac-B的平面角的余弦值为叵.

7

解析：(I)证明PC1平面ABC,然后证明平面PAC