2022-2023学年山西省大同市统招专升本数学自考真题(含答案带解析)

2022-2023学年山西省大同市统招专升本数

学自考真题（含答案带解析）

学校:班级:姓名:考号:

一、单选题(30题)

1.

vo,

函数八"=1z在7=0处连续，则A=()

Ik,T=0

A.OB.2C.yD.1

2.

与W=(2,-l,2)共线且满足二；=-18的向量;为()

A.(-4,2,-4)B.(-2,1-2)C.(4,2,4)D.(2-1,2)

3.

下列方程是一阶微分方程的是()

A.2y”|x3yfIy=0B.(7J?—6j)d:rI(xIy)dy=0

C.+_ry⑷一丁=0D.(/):+5(/)2-J+/=0

4.

已知/'&)=3,则极限］im,Go+3二)-/(%)=()

10X

1

A.-B.1C.3D.9

3

5.

.已知向量a・b的夹角为牛,且IaI=1.Ibl=x/F,则Ia+b\=

4

A.15B.V5C.V2D.1+s/2

6.

矩阵可逆满足的条件是)

A.AB=EB.A=0

C.Ar|=IA|D.|A|W0

7.

设函数y=]—Jsini,则半=

)

Ldy

A.1-ycosjfB.1-jcos.r

22

D.

2—cosy2—cosi

8.

设函数/(.r)的定义域为(一I"，则函数e"i>的定义域为)

A.L-2,23B.(-1,13C.(-2,0]D.(0,2]

9.

,设二元函数z—，则蒜

B.3J-2D.2.r

10.

若/(«)可导，且y=/(2，),则dy=)

Aj(2DdzB./'(2')d2’C.[/(2')]'d2'D./(2r)2rdz

11.

若/'(］)>0(0<2〈”).且八0)=0，则下面成立的是()

B.f'G)在［0,a］上单调增加

/(.r)>0D.在［0,a］上单调增加

12.

函数/(z)在丁=4处有定义是/Q)在z=#。处极限存在的()

A.必要条件B.充分条件

C.充要条件D.无关条件

13.

已知级数,则下列结论正确的是(

”♦I

若lim〃”=0•则X收敛

n・8.

I

OOOO

3.若£”,，的部分和数列｛S“｝有界•则收敛

N«1n-1

88

;若£|u„I收敛.则»为绝对收敛

««■I««1

OO8

、若2IM„I发散.则也发散

tt"1i

14.

=4,则「/(/r+1)d.r=

已知J()

A.2B.4C.8D.0

15.

.下列说法正确的是)

A.函数的极值点一定是函数的驻点B.函数的驻点一定是函数的极值点

C.二阶导数非零的驻点一定是极值点D.以上说法都不对

16.

用钢板做成一个表面枳为54m2的有盖长方体水箱.欲使水箱的容积最大.则水箱的最

大容积为（）

A.18m3B.27m3

C.6m3D.9m3

17.

L函数》=.在（一l.D内()

A.单调增加B.单调减少C.有极大值D.有极小值

18.

ib二始+1在4（1』）处的微1粒",服二

A.lB.2C.3D.4

下列级数条件收敛的是（)

8

n1

A.£(-1尸B.£(-1尸

2n-\2H-1

00sm〃8I

C.zD-¥廿十

n=l

19.

20.

.如果f（r）的一个原函数为a—arcsinr,则=)

11

A.1++CB.1——,+C

1+M，1—M

1

C.a—arcsin.r+CD.1+■■+C

-/I—jr2

21.

已知函数/（］）在Jo处有二阶导数,且/'（〃））=O,/（J-O）=1,则下列结论正确的是

A.工。为f（式）的极小值点B.为f（叉）的极大值点

C.XQ不是/（7）的极值点D.（No,f（7o））是曲线y=/（T）的拐点

22.

若/（xo）=2,则极限lim△・&.=（.）

A-*On

A.—2B.2C.一4D.4

23.

直线L：'=工^=胃与平面五：6①一4y+10之一1=0的位置关系是（）

o-L0

A.L在汗上B.L与7r平行但无公共点

与k相交但不垂直D.L与k垂直

24.

下列级数发散的是（)

B.S(_8-DnT07C.%00丁1D.£CO(T)71

n-]°si、/力Z"

25.

设5=47一［殳〉0）,其反函数1=3（》）在y=0处导数是（）

26.

已知函数/（J-）=X8-,则/（.r）是(

A.奇函数B.偶函数

C.非奇非偶函教D.无法判断

27.

函数y=，4+父+arctan：的定义域是()

A.1―4,+8)B.(—4,+8)

C.[—4,0)U(0，+8)D.(—4.0)(J(0,+8)

28.

,设2=/（XJ）有二阶偏导数，则（)

氏»/二0于R6"士*f

D.牛

dxdydydxdxdydydx

业d2f»/g2fd2f

C.z在（x,y）处可微Dn.当——,一人连续时，一—=——

dxdydydxdxdydydx

29.

，设,=/+3"+log3j?+3,则dy=()

A.(3d+3,++严B./3x2+^+—\dx

〈ln3x)

C.严+3，ln3+++3)dHD.”+31n3+焉产

30.

下列函数在给定区间上满足罗尔中值定理的是()

A./(,[_—1.1]B.fix')=2+|,r|,[—1」]

C./(1)=e,,1,1]D./(T)=14-J-!,[—1,1]

二、填空题(20题)

「102、

矩阵0t,且4的秩为2,则常数f=

31.U2tt2+2,

32.

设随机变量X〜N(2,/),若P(0<X<4)=0.3,则P(X<0)=,

33.

函数/("r,y,N)=.r2++z2在点(1,1,1)处方向导数的最大值为.

3-1

—11

设矩阵A;40.矩阵8=,则AB=

02

—35

34.

35.

/z、—a,2、,

已知f(Q=J若函数/(工)在支=1处连续，则a=

I\nx,i二1,

oo

若lim-=£1>0),则正项级数的敛散性为

36.…8TTf

37设a=(1.2.3),6=(0,1.—2),则(aIb)X(a-b)=

a。-刀，=。在点(0.I)处的切线方程是^_______.

3o.____

交换二次积分1=/dyff(.jr,y)djc的积分次序，则I=

39.J。J。

已知In|之|是/(才)的一个原函数•则/(i)cLr=

40.J

4］已知函数亡=ln(--+).则全微分出JJ,=

设/'(2)=■•则极限lim八2;华三芈2)=

Lioln(1—//)

设/(0)==l+i,则lim^^

43.3

dx

02

44.x+2x+2

45.曲面z-d+2孙=3在(1,2,0)处的切平面方程为

“苔/(f)=—(J*>0),则/(.r)=

46.r

siiwr+e2c,r—1,

--------------，x¥0A,

设/(x)=<x在i=0处连续，则

一a，JC=°

47.

4父曲线V=的拐点为

4o.

，200、

设矩阵4=231则心）=.

3

49.Jb

函数（f-1）2d的拉氏变换为

50.

三、计算题（15题）

51.

JCI+2力—力+心=2,

19.已知线性方程组:2q+44一八+3h=a,当a取何值时，方程组有解？并求

3不+61*2-24+4*=5,

出通解.

计算二重积分［枭（学dy

52.

y"+2y'+歹=0,

求微分方程=4,的特解.

=-2

53./Ix=0

已知xe*是/（x）的一个原函数，求Jj^'QOdx.

54.

求y"+2/—8y—+De”的通解.

55.

求曲线3，=（?-1）行■的凹凸区间及拐点.

求微分方程y"—4y'+4、=（1+l）e•'的通解.

57.

计优二事枳分“声加八II：中。={（尺/）|14£+/«4}.

58.。

求不定积分Jsin2xcos3xAx.

59.

,n

，求塞级数二六的收敛域及和函数.

n

60.

将函数f（x）=£—展开成麦克劳林级数.

61.3+1

计算曲线,y=Inx相应于伍的一段弧长.

62.

、口(①11产I2)''上f

设y=—；——-----------2ky.

63.，工+3Cr+4)

64.

计算曲线积分£（2町，一工2）必+（工+丁）的,其中1,是由抛物线＞=健及＞2=工所

围成的区域的正向边界曲线.

-3x2

_p..„PR..r(l—e)sinj-,4.1

求极限hm-------------5-----------+sin—

0JTJt,

65.

四、证明题(10题)

66.

设平面图形D由曲线JT=2y［y,y=，一工与直线y=1围成，试求：

(1)平面图形D的面积；

(2)平面图形。绕z轴旋转一周所形成的旋转体的体积.

证明：当7>0时，有(1+K)ln(1十］)〉arctan.r.

67.

68.

已知6.a?心是Ar=b的解*证明:p=3ai—«2—2<fc为齐次线性方程组Ar=0的解.

69.

设/(x)在［0,c］上可导J(H)单调递减且八0)=0,用拉格朗日中值定理证明：对任

意a,6,0&a4b&a+6=c,恒有/(«+6)</(a>+/<6).

70.

设/(力在［1,2］上连续，在(1,2)内可导，且/(D=；,/(2)=2,证明存在

“。,2),使得，'0)=义里.

71.

设平面图形D由曲线z=24~=/=与直线y=1围成，试求：

(1)平面图形。的面积；

(2)平面图形D绕z轴旋转一周所形成的旋转体的体积.

72.

已知/(x)在［0,1］上连续，在(0,1)内可导，且/(。)=/(1)=0,试证，在(0,1)内至

少存在一点2使得/'（g）cosg=/C）sing成立.

73.

求抛物线丁=I一/及其在点Q，o）处的切线和,轴所围成图形的面积，并计算该图

形绕3-轴旋转一周所成旋转体的体积.

74.

已知方程4.r+3,r3—r5=0有一负根了=—2.证明方程4+9.r2—5.r'=0必有一个

大于一2的负根.

证明对任意工都有1一丁<1.

75.e

五、应用题（10题）

76.

某立体声收音机厂商测定，为了销售一新款立体声收音机]台，每台的价格（单位:元）

必须是=800—7,厂商还测定，生产Z台的总成本为C（Z）=2000+10].为使利润最大

化，厂商必须生产多少台?最大利润是多少？

77某产品总成本c为月产量W的函数：

C（.r）=0.25/+6]+100（元）.

产品销量价格为力•需求函数为x=工（力）=100—2P.

（1）求当①=10时的总成本和边际成本。

（2）求总收入函数，当价格p为多少时总收入最大？最大收入是多少？

78.

某工厂生产某产品时，日总成本为C元，其中固定成本为50元，每多生产一单位产

品，成本增加2元，该产品的需求函数为。=50-5p,求。为多少时，工厂日总利润£

最大？最大利润是多少？

79.

求函数八幻=/在7>0时的最大值，并从数列I,夜，相，拖.…，而，…中选出最大

的一项(已知△<焉').

80.

过点M(3,0)作曲线)，=ln(.r—3)的切线，该切线与此曲线及/轴围成一平面图形D.

试求平面图形D绕,轴旋转一周所得旋转体的体积.

81.

建筑一个容积为8000n?,深为6m的长方体形无盖蓄水池,池壁的造价为a元/n?,

池底的造价为2a元/n?,问蓄水池底面的边长各为多少时,总造价最低？

平面图形。由曲线3,=右,直线》=工一2及x轴所围成.

(1)求此平面图形的面积；

”(2)求此平面图形绕才轴旋转一周而成的旋转体体积.

o2.

83.

半径10cm的金属圆片加热后，半径伸长了0.05cm,问其面积增大了多少？

84.

一曲线通过点(/,3)且在任一点处的切线的斜率等于该点横坐标的倒数,求：

(1)该曲线的方程；

(2)该曲线与z轴及直线工=e?所围成的图形绕y轴旋转一周所成旋转体的体积.

85.

要建造一个无盖长方形水池，其底和壁的总面积为192m2,问水池的尺寸如何设计

时，水池的容积最大？

六、综合题(2题)

86.

—11/(x)djrdy,r#0,

设g(t)=«'*，其中。是由工==/.以及坐标轴围成的正方

a«t—0»

形区域,函数/(x)连续，且为偶函数.

(1)求a的值使得g(“连续:

⑵求g'Q).

87.

设连续函数/(X)在［°向上单调增加.又G3=占。⑺dm6(小)♦

(1)试证:G'Cr)在(a,力内非负;

(2)求

参考答案

1.D

［答案］D

［精析］lim/(z)=lim''+〔''"=lim-----------------------------=］,

，一。…x…H(GFT+

/(0)=3根据函数在1=0连续知k=1.故选D.

2.A

A

【评注】2=二1=2,；与:共线,2x(一4)+(-l)x2+2x(-4)=-18,故选A.

-42-4

3.B

［答案］B

【精析】微分方程的阶数是方程中未知函数y的导数的最高阶数，可知A项为2阶,B

项为1阶,C项为4阶,D项为2阶.

4.D

5.B

\a+b\2=（a+b）2=\a\2+\b\2+2a•b=3+2•1•s/2-=5,

则Ia+b|=同.故应选B.

［答案］D

6Q【精析】矩阵A可逆的充要条件为其行列式IAIWO.

dr__1__12

【精析】，应选D.

dvdv112—COSE

-r-1——cosr

7.Dd.zI

8.D

【精析】因为一1<1一1<1,所以0VwW2,应选D.

9cJ=3…彘=2y.C.

10.B

【精析】dy=df（2l）=，（2"）d2'=「（2］）・2’♦ln2di.

ll.B

/〃（彳）>0只能说明/'（"是［0.幻上的增函数.而八、3口中结论无法得到.

12.D

L答案」1）

【精析】函数在某•点处有定义与函数在该点处有极限是无关的.举反例说明.例如.

1,.2”）1.

函数/（H）=J函数/S）在1=1处有定义.但在1=1处左右极限不同.

I—1.工<1・

故极限不存在；又例如函数g（z）l迎在.r=0处没有定义.但g（-r）却在丁=0处有

极限.故应选D.

A项中若=工,结论不成立；

13.Cn

B项中若=(―1)".结论不成立；

D项中若〃“=(―1)"上.结论不成立；

n

由绝对收敛的定义知，C项正确.

14.C

【精析】［/7TT)心令'=£/(/)-2/dz=2)“⑺d/=8.

15.C

［答案1C

【精析】函数的极值在驻点或导数不存在的点处取得~=1才I在1=0处取得极小

值.但在该点导数不存在*A项不正确；1=0是y=V的驻点，但不是极值点，故B项

不正确；C选项正确.

16.B

【精析】设水箱的长、宽、高分别为工7,之•则有2xy+2yz+2xz=54,即xy+yz+

xz=27.体积V=wy之，令之)=xyz+A(xy+yz+xz—27),

Fj=y之+入(y+之)=0，

F=q+4(①+之)=0,

令1v解得1=3,y=3,之=3,

Fz=+=0,

FA=xy+y之+工2-27=0,

由于驻点(3,3.3)唯一,实际中确有最大值,故当/=3,、y=3,之=3时长方体体积最

大.最大值V=27.故应选B.

17.A

［答案］A

【精析】(=>0,因此y在(一1.1)内单调增加,

(1—工，),=(1F—*

故应选A.

18.A

【髓】由导频几何意义聊湖麴勒，二加二21,所

(1,2)(1,2)

ilk=1,

19.B

【评注】A不对.因为lim(-l)"T/一wO.C,D都不对，它们均为绝对收敛的.

2»-1

20.C

［答案1C

【精析】由题意知/(.r)=(x—arcsin.r)',所以1一arcsine+C.

21.A

【精析】由于f(H)在尤0处有二阶导数，/'(*)=1〉。且/'(Z)=0,则为/(1)

的极小值点.

22.D

［精析］litn工。i)=2Hm=工。+—=(*—h)=2/(工。)=4.

fc-*ohA-*o乙h

23.D

直线的方向向量为s=<3.-2.5},平面的法向量为〃={6,-4.10},由

京=工=1知s〃n,故L与以垂直.本即选D.

0-41U

C

【评注】”L为p级数，0」时发散.

24.C"川G2

25.A

【精析】‘=4+3,且》=0时，得1=5或£=—^-(舍)=8.

j：NNN

彳=w(y)在丁=0处的导数为—\一=!，故应选A.

不)

26.B

fJr)=(一］尸一(一1尸=/一］4=/(幻.即/(jr)为偶函数.

27.C

/4+x>0，

【精析】要使函数有意义，则解得7>—4且*片0,应选C

“力0，

28.D

D【评注】选项D是关于二阶混合偏导数的一个定理的表述，故选D.

29.D

32

【精析】dy=d(.r+3*+log3x+3)=3xd.r+3*ln3d.:r+

(3工2+3，ln3++)故应选D.

30.D

［答案］D

【精析】从罗尔定理的三个条件验证排除,只有选项D符合三个条件,故应选D.

31.2

32.0

【精析】X-、(2,，).则2^211〜

-9V_9ooo

P(0<X<4)=P—<---<—=1—20^—~j=0.3,故◎(_1)=0.35,

\aa

V-99,2

P(X<0)=^<—=0(—^\=0.35.

33.

2A/3

【精析】fr(w，3，k)|=2i=2,八(工,y,N)=2y=2.

I(El,1>(1.1.1)(1,1.1)(1.1.1)

人(x,y,z)=2z=2.故,1y，之)在点(1.1.1)处的梯度gradf=2i+

<1.1.1>Ci.l.D

2j+2匕故方向导数的最大值为|grad/|=|2i+2j+2Al=+2?+2?=2氐

34.

-31

［答案1-44

37

-31-1—31

-11

一44【精析】AB=40-44

02

37-3537

35.1

【精析】=lim(JC—a)——1—a,lim/(jr)——limln_r=Ini=0=/(1),由

.r-*l.1—*■11

/(i)在①=1连续，得1一。=0,即。=1.

36.

发散

oooo

因为=lim=旌/>0).故»”与2-具有相同的敛散性•所

"•8-8-L«-1N-1〃

n

oo

以2发散.

冷-I

37.

【精析】a+b=(1.3.D.0-/，=(1.1.5).

iJk

(a+h)X(a-b)=131=(14.-4.-2).

(14.-4,-2)115

38.

•T•中一？旬；

39.

【精析】画出题中二重积分的积分区域，如图所示，所以若

改变积分次序，则

f(x,y)dy.

40.

hl|.rHC(C为任意常数)

【精析】由题意知:/("&r=InU1为任意常数.

41.

di+d1y

耳空Y=普J•则

<?£JC+yHy+y

ds=,2：~~7dr—-rdy=d.r+dv.

(i.i)j:"y(i.i>JCy(i.n

42.

1

八2+2力）一/（2）/(2+2/D—”2)2h

【精析】lim=lim

A-0Ind+/D2/iIn(l+A)

/(2+2/D-/(2)

=lim..2h

2h,呼ln(l+/i)

r（2）.阳华=2八2)=1.

43.

［答案］1+i

/(z)—/(0)

【精析】lim-----=lim

z—0

；/(0)=1+i.

1+i

44.

n

4

।评注】「遇rH瑞*…-*.

45.

2x+y-4=0

【评注】F(x,y,z)=z-e+2xy,在(1,2,0)处(如”吗=(4,2,0)，所以此点处

(&dydzJ

的切平面方程是4(x-l)+2(y-2)+0(z-0)=0.

46.

【精析】由/(1)='=-♦得/'(①)=

2G+C所以/Cr)=J/①=26+C

47.

1

48.

2-\

\2)

[答案](2谕)

【精析】y'—c-jr—.yn=-e-jr—(e-J—ac-jr)=ure-J—2e-J=e-^(r—2),

o

令y=0得2=2,即拐点为(2,£).

49.

2

（200、「200、’000、

【评注】因为4=231->100100，所以“4)=2.

3IJ31；J31J

50.

s'—4,v+5

［答案］3—1尸

【精析】L[(r-D2eG

=/.[(产-2/4-l)c叮

J(r-2f+l)cTi〃df

22,1.

厂了+♦)L,

x2—4x+5『一45+5

(L1尸(5-1)1

51.

12-11212-112

【精析】熠广矩阵5=（A・b）=24-130011-1

36-2450000。一3

当a=3时・r（B）=r（A）=2<4,方程组有解，此时

2021

011-1

0000

,其中储为任意常数.

52.

【精析】由被积函数形式可知原二重积分计算比较复杂，故先交换积分次序，再计

算，即

M学”［时学』］啜加=(cosjydy=sin了=sinl.

।o

53.

解：特征方程尸+2r+1=0,特征根a=々=-1,通解

x

y=CRT+C2xe~.

由初始条件此闻=4Mz=_2,得｛_之晨；。2,即上:2,

所求特解为y=4eT+2xe-x.

54.

解：/(x)=(xexy=ex(l+x),/'(x)=e%2+x),

Jx/ff(x)dx=jxdf'(x)=矿(x)-J/'(x)dx=xf\x)-/(x)+C=ex(x2+x-1)+C.

55.

【精析】原方程对应的齐次方程的特征方程为，+2「-8=0,解得1=-4,七=2,

所以对应的齐次方程的通解为丫=Gef+CzeL

A=3,不是特征方程的根，故设原方程的特解为寸=e'FAr+B),则

(?•)'=e"(3Ar+3B+A),(.y")"=e"(9Ar-9B+6A),

代人原方程得

e"(9Ax+9B+6A)+2e3，(3Ar+38+A)—8e3«Ar+B)=(x+l)e3S

解得A=5,B=-L故原方程的通解为

749

=Cib""十Ce2x

y249

56.

【精析】函数的定义域是(-8,+8).且

2（5.r+1）

9T

当11---F-时，=0•当/2=0时f不存在,故以4----F和工2=0将定义域分

成三个部分区间，并列表讨论如下：

_r（-8，T）~T(-春。)0（0,+8）

n

y一0+不存在+

v=/<-r）n有拐点u无拐点U

所以，在(一8.一内曲线是凸的，在(一+8)内曲线是凹的，曲线的拐点

为(一5jjj，

57.

【精析】对应齐次方程的特征方程为/一"一4=0.

求解得特征根为为=2,上=2.

所以对应齐次方程的通解为Y=(C,+C")e±

设原方程特解形式为旷=(以十6)er,

代入原方程得a=1,4=3,

所以可得原方程的一个特解为旷=(彳十3)e，.

故原方程的通解为y=(G+C")产十(/+3)e\

58.

【精析】令X=J=r$in8则其积分区域为I<I<20<J<2万,

故|j'ejF+、，dxd\=「d8「e-rdr=J'e:d0-2^^~.

59.

232222

解:Jsinxcosxdx=Jsinxcosxd(sinx)=Jsinx(l-sinx)d(sinx)

=J(sin2x-sin4x)d(sinx)=ysin3x-^sin5x+C.

60.

【精析】R=!知VHF=2,

当工=一2时，原级数收敛；当z=2时，原级数发散，

原级数收敛域为［—2,2）.

8OC90c.i

令口自鸣念K耳?旬=

因为S'（£）=1—/—=T——•/£（—1»1）»

1—/

z

所以s（t）=rs（/）dz+s（o）=1])，力=—ln(l-e[―1♦1)

J0

Lxa

--j=ln2—ln(2—i)£[-2,2).

61.

1

【精析】d-fH）

oo

(—l)i

=s(||<3).

n=13"

62.

【精析】s=、门+［（lnx）T<Lr

=占）山=d：+/J：（占一为）力

=1+7(ln陆川：=1+如/

63.

【精析】两边同取自然对数，得

1ny=21n(%+1)+31n(z+2)—+3)—ln(x+4),

l乙

两边分别对工求导，得

]_，=2,311

一工+1+才+22(工+3)一彳十4‘

，=(1+1)“工+2»「2,3_I1-I

J:1

A/7T3(x+irL+1+22(%+3)#+4.

64.

【精析】令P=2卬-z2,Q=］十丁，则

望=21岁=】，

dydx

利用格林公式可得

12

(.2jcy-x)dr—(JT+y?)办=|j(1—2“JcLrdy=「da[?(1—2z)dy

D1

[(1-2x)(>/T-)ctz

Jci

—JC2—+2上Ddi

2i134±.11_1

丁工？-可]一+4x)

JJJ4c―30'

65.

【精析】由于当/f0时1是无穷小量,且sin3|=1,故可知lim合sin±=0.

1I-ON

当if0时,1—e"3j〜3/,故

I-(1-c"3j)sin2.r「3^2•sinz.r「3sin2

lim-------------；-----------=lim----------J-------=hm=—=3Q.

J--oJC)・o14・。1

所以

lim~(1-C-3J,