2022-2023学年湖北省黄石市初中教研协作体九年级（上）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年湖北省黄石市初中教研协作体九年级第一学期期

末数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）

1.下列方程一定是一元二次方程的是（）

A.x2--2—0B.x（%-3）=N

C.ax2+5x-4=0D.3x2=3（x2-1）+3

2.习近平主席在2022年新年贺词中提到“人不负青山，青山定不负人”，一语道出“人与

自然和谐共生”的至简大道.下列有关环保的四个图形中，是轴对称图形，但不是中心

对称图形的是（）

3.下列说法正确的是（）

A.“经过有交通信号的路口遇到红灯”是必然事件

B.己知某篮球运动员投篮投中的概率为0.7,则他投10次一定可投中7次

C.明天太阳从东方升起是随机事件

D.投掷一枚硬币正面朝上是随机事件

4.习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之

气."某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆.据统计，

第一个月进馆600人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆2850人次，若进馆

人次的月平均增长率为无，则可列方程为（）

A.600（1+无）=2850

B.600（1+x）2=2850

C.600+600（1+x）+600（1+x）2=2850

D.2850（1-尤）2=600

5.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，如图1,

点M表示筒车的一个盛水桶.如图2,当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心。为

圆心.5米为半径的圆，旦圆心在水面上方，若圆被水面截得的弦A8长为8米，则筒车

工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为（）

A.1米B.2米C.3米D.4米

6.已知y=-炉-2尤-2,其中x为实数，则y的取值范围是（）

A.-lWy<0B.y<0C.yW-1D.全体实数

7.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=%x经过点A,作无轴于点8,将△AB。

绕点B逆时针旋转60°得到△C8O.若点B的坐标为（2,0）,则点C的坐标为（）

A.（-1,V3）B.（-2,%）C.（-6，1）D.（-遥，2）

8.如图1和图2,已知点P是。。上一点，用直尺和圆规过点P作一条直线，使它与

相切于点尸.以下是甲、乙两人的作法：

甲：如图1,连接。尸，以点P为圆心，。尸长为半径画弧交。。于点A,连接并延长04,

再在。4上截取A3=。尸，直线PB即为所求；

乙：如图2,作直径PA,在上取一点B（异于点P,A）,连接AB和BP,过点P

作则直线PC即为所求.

对于甲、乙两人的作法，下列判断正确的是（）

P

国I

A.甲、乙两人的作法都正确

B.甲、乙两人的作法都错误

C.甲的作法正确，乙的作法错误

D.甲的作法错误，乙的作法正确

9.如图1是一个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的

变化来实现.如图2是该台灯的电流/(A)与电阻R(C)成反比例函数的图象，该图象

经过点P(880,0.25).根据图象可知，下列说法正确的是()

A.当7?<0.25时，/<880

B./与R的函数关系式是/=2等(R>0)

K

C.当R>1000时，/>0.22

D.当880<R<1000时，/的取值范围是0.22</<0.25

10.二次函数y=ox2+6x+c(a,b,c为常数，aWO)的图象开口向下，与x轴交于(1,0)

和(m,0),且有下列结论：①tzbc>0；②2a+c<0；③若方程a(x-m')

(x-1)-1=0有两个不相等的实数根，则4ac-炉<4a；④当m=-1.5时，若方程

1ax2+法+°|=1有四个根，则这四个根的和为-05其中，正确结论的个数是()

A.1B.2C.3D.4

二、填空题(11-14小题，每小题3分，15-18小题，每小题3分，共28分)

11.已知关于x的方程mx2-2x+l=0有两个不相等的实数根，则m可取的最大整数

是.

12.在不透明的箱子里，装有若干个除颜色外完全相同的红球和白球，其中白球的个数为

12个.为了估计红球的个数，将箱子里面的球搅匀后，随机从中摸出一个球并记下颜色,

然后把它放回箱子中，重复上述摸球过程10。次，其中摸到红球的次数为40次，由此可

以估计箱子里红球个数约是个.

x2（x42）

13.如图，若直线y=m（机为常数）与函数y=<4、的图象恒有两个不同的交点,

-（x>2）

x

则常数m的取值范围是

14.已知/APE,有一量角器如图摆放，中心。在PA边上，为0°刻度线，OB为180°

刻度线，角的另一边PE与量角器半圆交于C,。两点，点C,。对应的刻度分别为160。，

68°,则/APE=0.

15.圆锥的底面半径为3c加，侧面积为12冗（7徵2,则这个圆锥的母线长为cm.

16.过反比例函数y**W0）的图象上一点A,分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为点

x

B,C若△ABC的面积为4,则％的值为.

17.如图，在平面直角坐标系中，四边形OA8C是菱形，NAOC=120°,点8的坐标为（4,

0）,点。是边BC的中点，现将菱形0ABe绕点。顺时针旋转，每秒旋转60°,则第

2021秒时，点。的坐标为.

18.如图，在△ABC中，AB=\O,AC=8,BC=6,经过点C且与边AB相切的动圆与CA,

CB分别相交于点P,Q,则线段PQ长度的最小值是.

31

三、解答题(本大题共7小题，共62分)

19.用适当的方法求下列方程：

(1)x2+3—4(x+2)；

(2)2N-3x-4=0.

20.如图，△ABC中，AB^AC,NA4c=42。,。为△ABC内一点，连接A。，将绕

点A逆时针旋转42°,得到AE,连接。E,BD,CE.

(1)求证：BD=CE；

(2)DE±AC,求NBA。的度数.

21.为落实关于开展中小学课后服务工作的要求，某学校开展了四门校本课程供学生选择：

A.趣味数学；B.博乐阅读；C.快乐英语；D.硬笔书法.全校共有100名学生选择了

A课程，为了解选A课程学生的学习情况，从这100名学生中随机抽取了30名学生进行

人数中所占百分比

(1)其中70Wx<80这一组的数据为74,73,72,75,76,76,79,则这组数据的中位

数是,众数是.

(2)根据题中信息，估计该校共有人，选A课程学生成绩在80Wx<90的有

人.

(3)如果学校规定每名学生要选两门不同的课程，小张和小王在选课中，若第一次都选

了课程C,那么他俩第二次同时选课程A或B的概率是多少？请用列表法或画树状图的

方法加以说明.

22.(1)»、&是关于x的一元二次方程/-2(左+1)X+R+2=0的两实根，且(xi+1)•

(%2+1)=8,求k的值.

(2)已知：a,p(a>P)是一元二次方程N-x-1=0的两个实数根，设si=a+0,S2

=。2+俨，…，s“=a"+0".根据根的定义，有a2-a-l=0,俨-0-1=0,将两式相加，

得(。②+国)-(a+p)-2=0,于是，得S2-SI-2=0.

根据以上信息，解答下列问题：

①直接写出SI,S2的值.

②经计算可得：52=4,53=7,54=11,当时，请猜想S”，5„-1,S*2之间满足的数

量关系，并给出证明.

23.为了落实“乡村振兴战略”，我县出台了一系列惠农政策，使农民收入大幅度增加，某

农业生产合作社将黑木耳生产加工后进行销售.已知黑木耳的成本价为每盒60元，经市

场调查发现，黑木耳每天的销售量y(盒)与销售单价x(元/盒)满足如下关系式：y=

-20X+1800,设该农业生产合作社每天销售黑木耳的利润为w(元).

(1)求w与x之间的函数关系式；

(2)若要使该农业生产合作社每天的销售利润为2500元且最大程度地减少库存，则黑

木耳的销售单价为多少元？

(3)若规定黑木耳的销售单价不低于76元，且每天的销售量不少于240盒，则每天销

售黑木耳获得的最大利润是多少元？

24.已知A8是。。的直径，AC是弦，N8AC的角平分线交O。于点。，DE±ACE.

(1)如图1,求证：OE是。。的切线；

(2)如图1,若A8=10,AC=6,求即的长；

(3)如图2,过点3作O。的切线，交的延长线于凡若ED=DF,求要的值.

25.如图，在平面直角坐标系中，抛物线＞=0+笈+4与无轴交于A、8两点(A在B的左

2

侧)，与y轴交于点C,已知点B(4,0),此抛物线对称轴为x=5.

(1)求抛物线的解析式；

(2)将抛物线向下平移/个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在△8OC内(包括

△20C的边界)，求f的取值范围；

(3)设点P是抛物线上任一点，点Q在直线x=7上，△E4Q能否成为以点P为直角顶

点的等腰直角三角形？若能，求出符合条件的点尸的坐标；若不能，请说明理由.

参考答案

一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)

1.下列方程一定是一元二次方程的是()

A.X2-2=0B.x(%-3)=x2

C.ax2+5x-4=0D.3x2—3(x2-1)+3

【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可.

解：A.N-2=0是一元二次方程，故本选项符合题意；

B.方程整理可得3尤=0,是一元一次方程，故本选项不符合题意；

C.当。=0时，办2+5尤-4=0不是一元二次方程，故本选项不符合题意；

D.3N=3(x2-1)+3整理后不合未知数，故本选项不符合题意.

故选：A.

【点评】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键,

注意：只含有一次未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二

次方程.

2.习近平主席在2022年新年贺词中提到“人不负青山，青山定不负人”，一语道出“人与

自然和谐共生”的至简大道.下列有关环保的四个图形中，是轴对称图形，但不是中心

对称图形的是()

【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可.

解：A、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意;

2、既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项不合题意；

C、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；

。、是轴对称图形但不是中心对称图形，故此选项符合题意；

故选：D.

【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念.轴对称图形的关键是寻找对

称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自

身重合.

3.下列说法正确的是()

A.“经过有交通信号的路口遇到红灯”是必然事件

B.已知某篮球运动员投篮投中的概率为0.7,则他投10次一定可投中7次

C.明天太阳从东方升起是随机事件

D.投掷一枚硬币正面朝上是随机事件

【分析】根据随机事件，必然事件，不可能事件的特点，概率的意义判断即可.

解：4“经过有交通信号的路口遇到红灯”是随机事件，故A不符合题意；

B、已知某篮球运动员投篮投中的概率为0.7,则他投10次不一定投中7次，故8不符合

题意；

C、明天太阳从东方升起是必然事件，故c不符合题意；

。、投掷一枚硬币正面朝上是随机事件，故。符合题意.

故选：D.

【点评】本题考查了随机事件，概率的意义，概率的公式，熟练掌握随机事件，必然事

件，不可能事件的特点是解题的关键.

4.习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之

气.”某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆.据统计，

第一个月进馆600人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆2850人次，若进馆

人次的月平均增长率为x,则可列方程为()

A.600(1+x)=2850

B.600(1+x)2=2850

C.600+600(1+x)+600(1+无)2=2850

D.2850(1-%)2=600

【分析】先分别表示出第二个月和第三个月的进馆人次，再根据第一个月的进馆人次加

第二和第三个月的进馆人次等于2850,列方程即可.

解：设进馆人次的月平均增长率为x,则由题意得：

600+600(1+x)+600(1+x)2=2850.

故选：C.

【点评】本题属于一元二次方程的应用题，列出方程是解题的关键.本题难度适中，属

于中档题.

5.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，如图1,

点M表示筒车的一个盛水桶.如图2,当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心。为

圆心.5米为半径的圆，旦圆心在水面上方，若圆被水面截得的弦A8长为8米，则筒车

工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为（）

【分析】过。点作半径。于E,如图，由垂径定理得到AE=BE=4,再利用勾股

定理计算出OE,然后即可计算出DE的长.

在RtAA£（?中,0E=Y0A2s2=^52-42=3，

：.ED=OD-OE=5-3=2（机），

答：筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为2m.

故选：B.

【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧,

能熟练应用垂径定理是解决问题的关键.

6.已知y=-/-2x-2,其中x为实数，则y的取值范围是（）

A.-IWyCOB.y<0C.yW-1D.全体实数

【分析】运用配方法把二次函数的一般式化为顶点式，根据二次函数的性质解答即可.

解："-'y=-X2-2x-2

=-（N+2%+1）-1

=-（无+1）2-1,

•••函数的最大值是-1,即yW-1.

故选：C.

【点评】本题考查的是二次函数的三种形式以及二次函数的性质，正确运用配方法把二

次函数的一般式化为顶点式是解题的关键.

7.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=5/百x经过点A,作无轴于点B,将△AB。

绕点B逆时针旋转60°得到△C8D若点B的坐标为（2,0）,则点C的坐标为（）

A.（-1,>/3）B.（-2,仆）C.（-e，1）D.（-%，2）

【分析】作CHLx轴于H,如图，先根据一次函数图象上点的坐标特征确定A（2,2近），

再利用旋转的性质得BC=A4=2聪，ZABC=60°,则/C3H=30°,然后在

中，利用含30度的直角三角形三边的关系可计算出CH=，/C=J§,BH=^CH=3,

所以QB=3-2=1,于是可写出C点坐标.

解：作CHLx轴于H,如图，

:点8的坐标为（2,0）,ABLx轴于点8,

点横坐标为2,

当x=2时，y=Mx=2M，

：.A（2,2禽），

：△AB。绕点8逆时针旋转60。得到△CB。，

:.BC=BA=2M，ZABC=60°,

：.ZCBH=30°,

在RtZXCBH中，CH=fBC=迎,

BH=MCH=3,

OH=BH-0B=3-2=1,

：.C(-1,技.

故选：A.

【点评】本题考查了坐标与图形变化-旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图

形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标.常见的是旋转特殊角度如：30°,45°,60°,

90°,180°.也考查了一次函数图象上点的坐标特征和含30度的直角三角形三边的关

系.

8.如图1和图2,已知点尸是。。上一点，用直尺和圆规过点P作一条直线，使它与。。

相切于点P.以下是甲、乙两人的作法：

甲：如图1,连接。P,以点P为圆心，。尸长为半径画弧交。。于点A,连接并延长OA,

再在。4上截取AB=OP,直线PB即为所求；

乙：如图2,作直径PA,在。。上取一点2（异于点尸，A）,连接A8和BP,过点P

作N3PC=NA,则直线PC即为所求.

对于甲、乙两人的作法，下列判断正确的是（）

A.甲、乙两人的作法都正确

B.甲、乙两人的作法都错误

C.甲的作法正确，乙的作法错误

D.甲的作法错误，乙的作法正确

【分析】甲乙都是正确的，根据切线的判定定理证明即可.

解：甲正确.

理由：如图1中，连接尸A.

U：AP=PO=AO,

•••△AO尸是等边三角形，

：.ZOPA=ZOAP=60°,

'：AB=OP=AP,

：.ZAPB=ZABPf

9：ZOAP=ZAPB+ZABP,

：.ZAPB=ZABP=30°,

：.ZOPB=90°,

Z.OP±PB,

・•・依是OO的切线，

乙正确.

理由：TAP是直径，

ZABP=90°,

AZAPB+ZPAB=90°,

ZBPC=NBAP,

：.ZAPB+ZBPC=90°,

ZAPC=90°,

・・・OP_LPC,

・・・尸。是OO的切线，

故选：A.

【点评】本题考查作图-复杂作图，切线的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活

运用所学知识解决问题，属于中考常考题型.

9.如图1是一个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的

变化来实现.如图2是该台灯的电流/(A)与电阻R(C)成反比例函数的图象，该图象

经过点尸(880,0.25).根据图象可知，下列说法正确的是()

A.当R<0.25时，/<880

B./与尺的函数关系式是/=2罂(R>0)

K

C.当1000时，/>0.22

D.当880<R<1000时，/的取值范围是0.22C/C0.25

【分析】由待定系数法求出反比例函数的解析式，根据反比例函数的性质逐项分析即可

得到结论.

解：设/与R的函数关系式是/=乌(R>0),

・・,该图象经过点尸(880,0.25),

・•・。=220,

990

・・・/与R的函数关系式是/=等(R>0),故选项5不符合题意;

当H=0.25时，/=880,当尺=1000时，7=0.22,

•.•反比例函数/=2（R>0）/随R的增大而减小，

当RC0.25时，/>880,当R>1000时，/<0.22,故选项A,C不符合题意；

•.•♦=0.25时,7=880,当R=1000时，7=0.22,

...当880<R<1000时，/的取值范围是0.22</<0.25,故。符合题意；

故选：D.

【点评】本题主要考查了反比例函数的应用，由待定系数法求出反比例函数的解析式是

解决问题的关键.

10.二次函数y=ar2+bx+c（°,%,c为常数，°力0）的图象开口向下，与x轴交于（1,0）

和（加，0）,且-2<机<-1.有下列结论：①abc>0；②2a+c<0；③若方程a（x-m）

（x-1）-1=0有两个不相等的实数根，则4ac-b2<4a；④当m--1.5时，若方程

|办2+云+4=1有四个根，则这四个根的和为-05其中，正确结论的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

【分析】由抛物线对称性及（1,0）和（相，0）可得抛物线对称轴的位置，由抛物线开

口向下，-2<机<-1可得a与b的符号，由抛物线开口向下，抛物线与无轴有2个交

点可得c>0,从而判断①②，由抛物线与直线y=l有两个交点时，抛物线顶点纵坐标大

于1,可判断③，由根=可得函数y=g2+fcv+d的对称轴，由函数的对称性可得四个

根的和，从而判断④.

解：•..抛物线开口向下,

“V0,

-2<m<-1,

1/1+m

---<----<0,

22

-尹如。,

Z?<0,

(m,0),(1,0),在y轴左右两侧,

抛物线与y轴交点在x轴上方，即c>0,

abc>0,①正确.

--<-——VO,aVO,b<0,

22a

b>a,

•.•抛物线经过（1,0）,

a+b+c—0,

2a+c<0,②正确.

:抛物线开口下，

...抛物线与直线y=l有两个交点时，抛物线顶点纵坐标大于1,

即4abb2>],

4a

4ac-b2<4a,

工方程4（%-加）（x-1）-1=0有两个不相等的实数根时4〃C-/?2<4Q,③正确.

3

,:m=

2

抛物线对称轴为直线尤=守1

4

方程|ot2+bx+c|=l的根为函数y=|办2+6x+c|与直线y=l的交点横坐标,

由函数的对称性可得X1+X2+尤3+X4=2X(-5)+2X(-5)=-1.

44

.•.④错误.

故选：C.

【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数与方程的关系.

二、填空题（11-14小题，每小题3分，15-18小题，每小题3分，共28分）

11.已知关于x的方程mx2-2x+l=。有两个不相等的实数根，则m可取的最大整数是

1.

【分析】由二次项系数非零及根的判别式A>0,即可得出关于机的一元一次不等式组,

解之即可得出机的取值范围.

解：••・关于x的方程mx?-2x+l=0有两个不相等的实数根，

A=（-2）2-4/nX1>0且m¥=3

解得：m<l且m^O.

故答案为：-L

【点评】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，根据二次项系数非零及根的

判别式A>0,找出关于m的一元一次不等式组是解题的关键.

12.在不透明的箱子里，装有若干个除颜色外完全相同的红球和白球，其中白球的个数为

12个.为了估计红球的个数，将箱子里面的球搅匀后，随机从中摸出一个球并记下颜色,

然后把它放回箱子中，重复上述摸球过程10。次，其中摸到红球的次数为40次，由此可

以估计箱子里红球个数约是8个.

【分析】利用摸球100次，红球出现的频率来估计总体中红球的概率，列方程计算即可.

解：设箱子里有x个红球，由题意得，

x_40

12+x―而，

解得，x=8,

经检验，尤=8是原方程的解，

即箱子里有红球8个，

故答案为：8.

【点评】本题考查利用频率估计概率，理解频率、概率的意义及其相互联系与区别是解

决问题的前提.

x2(x42)

13.如图，若直线(机为常数)与函数4、的图象恒有两个不同的交点，

-(x>2)

x

【分析】根据题意和函数图象，可以直接写出当直线y^rn(m为常数)与函数y

x2(x42)

4、的图象恒有两个不同的交点时.常数机的取值范围.

-(x>2)

x

解：由图象可得,

x2(x42)

直线>=根(根为常数)与函数》=<4、的图象恒有两个不同的交点时.常数机

-(x>2)

x

的取值范围是2WmW4,

故答案为：2WmW4.

【点评】本题考查反比例函数的性质、二次函数的性质，利用数形结合的思想解答是解

答本题的关键.

14.已知NAPE,有一量角器如图摆放，中心。在抬边上，0A为0°刻度线，08为180°

刻度线，角的另一边尸£与量角器半圆交于C,。两点，点C,。对应的刻度分别为160。，

68°,则/APE=24°.

【分析】连接。DOC,根据圆周角定理得出/AOO=68°,ZAOC=160°,进而得出

ZCOD^ZAOC-ZAOD^92°,ZCOP=180°-ZAOC=20°，根据等腰三角形的性

质得出/。。=44°,根据三角形外角性质求解即可.

解：如图，连接。£),OC,

NAO£>=68°,ZAOC=160°,

：.ZCOD=ZAOC-ZAOD=92°,ZCOP=180°-ZAOC=20°,

,JOC^OD,

：.ZOCD^ZODC^X(180°-92°)=44°,

'：ZOCD=ZCOP+ZAPE,

NAPE=24°,

故答案为：24.

【点评】此题考查了圆周角定理，熟记圆周角定理是解题的关键.

15.圆锥的底面半径为侧面积为12710n2,则这个圆锥的母线长为

【分析】设圆锥的母线长为/cm,根据圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形的弧长等于圆

锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式得到寺・2上3・/=12m

然后解方程即可.

解：设圆锥的母线长为/C7W,

根据题意得■^■•2ir3・/=12n,

解得/=4,

所以圆锥的母线长为4cs.

故答案为：4.

【点评】本题考查了圆锥的计算，正确记忆圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧

长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长是解题关键.

16.过反比例函数y』（#0）的图象上一点A,分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为点

x

B,C若AABC的面积为4,则1的值为±8.

【分析】根据反比例函数y=-（左WO）系数k的几何意义得到』■因=4,然后解方程即

x2

可.

解：根据题意得亨|川=4,

解得k=±8.

故答案为±8.

【点评】本题考查了反比例函数（ZWO）系数左的几何意义：从反比例函数

x

（ZWO）图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为因.

17.如图，在平面直角坐标系中，四边形O48C是菱形，乙4。。=120。，点2的坐标为（4,

0）,点。是边BC的中点，现将菱形0ABe绕点。顺时针旋转，每秒旋转60°,则第

2021秒时，点2的坐标为（3,JC）.

【分析】根据菱形的性质，中点坐标公式分别求出前9秒时，。点的坐标，再根据规律

求得结果.

解：如图，连接O。，过点C作C//L0B于H,

:四边形0ABe是菱形，/AOC=120°,点8的坐标为（4,0）,

.•.03=4,OC=BC,NBOC=60°,

.•.△BOC是等边三角形，

.•.0C=08=2C=4,

:点。是8C中点，

：.OD±BC,BD=2,

：.0D=MBD=2M，

'：CH±0B,ZCOB^60°,

：.OH=BH=2,CH=MOH=2M，

.•.点C（2,-2近），

;点。是BC中点，

.•.点。（3,-技,

:将菱形。ABC绕点。顺时针旋转，每秒旋转60°,

.,.第1秒后，点Di坐标为（0,-24），第2秒后，点£）2坐标为（-3,-弧），第

3秒后，点。3坐标为（-3,相），第4秒后，点。4坐标为（0,2a）,第5秒后，

点。5坐标为（3,,第6秒后，点£>6坐标为（3,-，…

由上可知，点。的坐标每6个为一组依次循环着，

；.2021+6=371…5,

.•.第2021秒时，点。的坐标为（3,遥），

故答案为：（3,相）.

【点评】本题考查了菱形形的性质，点的坐标特征，求中点坐标，数字规律探索，关键

是求出前面6秒时。点的坐标，找出规律.

18.如图，在△ABC中，AB=IO,AC=8,BC=6,经过点C且与边AB相切的动圆与C4,

CB分别相交于点尸，Q,则线段尸。长度的最小值是4.8.

31

【分析】设。尸的中点为尸，圆尸与的切点为。，连接阳，连接CF,CD,则有尸£(

±AB；由勾股定理的逆定理知，△ABC是直角三角形尸。+如=尸。，由三角形的三边关

系知，CF+FD>CD-,只有当点尸在。上时，FC+FD=PQ有最小值为C。的长，即当

点尸在直角三角形A8C的斜边AB的高上。时，PQ=C。有最小值，由直角三角形的

面积公式知，止匕时CD=BC・AC+A8=4.8.

解：如图，VAB=10,AC=8,BC=6,

.,.AB^AC^+BC2,

：.ZACB=90°,

，P。是。尸的直径,

设。尸的中点为E圆厂与AB的切点为。，连接ED,连接CRCD,则如，AB.

:.FC+FD=PQ,

：.CF+FD>CD,

,/当点厂在直角三角形ABC的斜边AB的高上CD时，PQ=CD有最小值

.,.C£)=BC・AC+A2=4.8.

故答案为4.8.

【点评】本题利用了切线的性质，勾股定理的逆定理,三角形的三边关系，直角三角形

的面积公式求解.

三、解答题(本大题共7小题，共62分)

19.用适当的方法求下列方程：

(1)/+3=4(x+2)；

(2)2N-3尤-4=0.

【分析】(1)先变形得至!JN—4X-5=0,再利用因式分解得到(x-5)(x+1)=0,则

原方程化为X-5=0或x+l=0,然后解一次方程即可；

(2)利用公式法求解.

【解答】解(1)/+3=4(x+2),

x2-4%-5=0,

(x-5)(x+1)=0,

Ax-5=0或x+l=0,

•»X1—■5,X2~'i1;

(2)2x2-3x-4=0,

\*a=2,b=-3,c=-4,

：.b2-4ac=(-3)2-4X2X(-4)=9+32=41>0,

._3±V41_3±^/41

••X,

2X24

.-WJI_3-V41

・・X1------------,X2--------------.

44

【点评】本题考查了解一元二次方程-直接开平方法，配方法，因式分解法，公式法，

熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键.

20.如图，△ABC中，AB^AC,ZBAC=42°,。为△ABC内一点，连接A。，将绕

点A逆时针旋转42°,得到AE,连接。E,BD,CE.

(1)求证：BD=CE；

(2)若。E_LAC,求NBA。的度数.

【分析】(1)根据旋转的性质得到AD^AE,NDAE=42°,求得NC4E=NA4。，根

据全等三角形的性质得到BD=CE；

(2)根据等腰三角形的性质得到,根据全等三角形的性质得到

结论.

【解答】(1)证明：•..将A。绕点A逆时针旋转42°,得到AE,

：.AD=AE,ZDAE=42°,

：/BAC=42°,

，ZBAC=/DAE,

：.ZCAE=ZBAD,

在△ABO与△ACE中，

，AB=AC

<ZBAD=ZCAE.

AD=AE

.,.△ABD段LACE(SAS),

:.BD=CE；

(2)解：由(1)知NZME=42°,

■：DE±AC,

.,.NCAE=/NZ)AE=21。,

■:NBAD=/CAE,

：.ZBAD=2V.

【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握旋转的性质是解

题的关键.

21.为落实关于开展中小学课后服务工作的要求，某学校开展了四门校本课程供学生选择：

A.趣味数学；B.博乐阅读；C.快乐英语；D.硬笔书法.全校共有100名学生选择了

A课程，为了解选A课程学生的学习情况，从这100名学生中随机抽取了30名学生进行

人数中所占百分比

（1）其中70Wx<80这一组的数据为74,73,72,75,76,76,79,则这组数据的中位

数是75分，众数是76分.

（2）根据题中信息，估计该校共有30—人，选A课程学生成绩在80Wx<90的有_^0

人.

（3）如果学校规定每名学生要选两门不同的课程，小张和小王在选课中，若第一次都选

了课程C,那么他俩第二次同时选课程A或B的概率是多少？请用列表法或画树状图的

方法加以说明.

【分析】（1）先把这组数据从小到大排列，然后直接得到中位数和众数；

（2）由选择A课程的学生数是100,占20%,即可得出该校的总人数；用选择A课程的

学生乘以成绩在80Wx<90的学生所占的百分比即可；

（3）画树状图展示所有9种等可能的结果数，找出他俩第二次同时选择课程A或课程8

的结果数，然后根据概率公式计算.

解：（1）把这些数从小到大排列为72,73,74,75,76,76,79,

则这组数据的中位数是75分，

众数是76分；

故答案为：75分，76分；

（2）估计该校共有学生人数有：100・20%=500（人），

Q

选A课程学生成绩在80Wx<90的有100X拄=30（人）；

oU

故答案为:500,30；

（3）根据题意列树状图如下:

开始

共有9种等可能的结果数，其中他俩第二次同时选择课程A或课程B的有2种,

则他俩第二次同时选择课程4或课程B的概率是旨.

y

【点评】本题考查了列表法与树状图法:利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果小

再从中选出符合事件A或8的结果数目m,然后利用概率公式计算事件A或事件B的概

率.

22.(1)»、及是关于x的一元二次方程N-2(Z+l)x+R+2=0的两实根，且(xi+1)•

(乃+1)=8,求左的值.

(2)已知：a,p(a>P)是一元二次方程N-%-1=0的两个实数根，设si=a+0,S2

22nn2

=a+p,•••,sn=a+^.根据根的定义，有a2-a-l=0,p-P-1=0,将两式相加，

得(a2+p2)-(a+p)-2=0,于是，得52-51-2=0.

根据以上信息，解答下列问题：

①直接写出SI,S2的值.

②经计算可得：S2=4,53=7,54=11,当〃23时，请猜想品，S〃-2之间满足的数

量关系，并给出证明.

【分析】(1)先根据根与系数的关系得到的+皿=2(Z+1),XIX2=F+2,再变形已知条

件得到N+2+2(H1)+1=8,解得女1=-3,左2=1,然后根据判别式的意义确定人的值.

(2)①此小题只需对N-1=1配方解得x的值即为①p的值，再由si=a+0,52=。2+俨

求得SI,S2的值；

②此小题可猜想得到S〃=S〃一1+加一2,再根据根的定义证明即可.

解：(1)由已知定理得：Xl+X2=2(Hl),XlX2=F+2,

(xi+1)(垃+l)=%ix2+(xi+%2)+1=2(女+1)+N+2+l=8,

即无2+2左-3=0,解得：ki=-3,女2=1,

当心=-3时，A=4(Z+l)2-4(N+2)=42-4Xll<0,

:・ki=-3舍去,

当Z2=1时，A=4(Hl)2-4(N+2)=(-4)2-4X3>0,

:・k的值为1；

(2)①移项，得N-%=1,

配方，得N-2X尤义!+/)2=1+(1)2,即(x-l)2冶,

22224

开平方，得尤-£=土手，即1土淮，

所以&=上半_,6=上挛■,

22

于是，si=l,52=3.

②猜想：S〃=S〃_l+S〃-2.

证明：根据根的定义，a2-a-1=0,

1

两边都乘以a"?得a"-a"--2=0①，

同理，伊-伊一1-伊池=0②，

①+②，得(a'+伊)-(a«-i+p«-i)-(a"%/")=0,

因为5"=(1"+[3”,Sn-1=0tn-1+P«1>S"-2=a”一2+0”一2,

所以SnSn-1~S"-2=0,即Sn=Sn-l^Sn-2-

【点评】本题主要考查了根与系数的关系，正确利用根的判别式和配方法解一元二次方

程是解题关键.

23.为了落实“乡村振兴战略”，我县出台了一系列惠农政策，使农民收入大幅度增加，某

农业生产合作社将黑木耳生产加工后进行销售.已知黑木耳的成本价为每盒60元，经市

场调查发现，黑木耳每天的销售量》(盒)与销售单价x(元/盒)满足如下关系式：y=

-20x+1800,设该农业生产合作社每天销售黑木耳的利润为w(元).

(1)求W与X之间的函数关系式；

(2)若要使该农业生产合作社每天的销售利润为2500元且最大程度地减少库存，则黑

木耳的销售单价为多少元？

(3)若规定黑木耳的销售单价不低于76元，且每天的销售量不少于240盒，则每天销

售黑木耳获得的最大利润是多少元？

【分析】(1)根据题意，可以写出w与x之间的函数关系式；

(2)根据“每天的销售利润为2500元列出一元二次方程，求解即可；

(3)根据题意，可以得到售价的取值范围，再根据(1)中的函数关系式和二次函数的

性质，可以得到每天销售黑木耳获得的最大利润.

解：(1)由题意可得，

w与x之间的函数关系式为：w=y(x-60)

=(-20x+1800)(x-60)

=-20x2+3000x-108000,

...w与尤之间的函数关系式是w--20x2+3000x-108000；

(2)令-20x2+3000.r-108000=2500,

解得尤i=85,X2—65,

•••要最大程度的减少库存，

.,.x=65,

答：黑木耳的销售单价为65元；

(3)..•规定该黑木耳的销售单价不低于76元，且要完成每天不少于2