人教A版高中数学必修二第六章第1节《平面向量的概念》解答题 (11)(含答案解析)

必修二第六章第1节《平面向量的概念》解答题(11)

一、解答题(本大题共30小题，共360.0分)

1.己知瓦？=(1,1)，OB=(0,-1)，OM=6/?).。是坐标原点.

(1)若点A,B,M三点共线，求，的值；

(2)当f取何值时，两.而取到最小值？并求出最小值.

2.如图，已知|瓦？|=1.\OB\=2.|OC|=10,就与话的夹角为120。,

况与元的夹角为60。，用沅5与丽表示沆

3.(I)已知单位向量可与五夹角为60。，且五=2可一丽石=可+可，求五方的值.(口)已知|砧=2,

|/?|=3>|a—6|=4>求五与b夹角的余弦值.

4.在直角梯形A5CD中，已知4B〃CD,NZMB=90。,48=6,4。=CO=3,对角线AC交8。于点

。，点M在A8上，ROM1BD.

(1)求丽•前的值；(2)若N为线段AC上任意一点，求丽.丽的取值范围.

5.已知向=4，荷=2,且三与方夹角为120。,求:

(l)(a-2h)-(a+h)s

(2)|2a-hp

(3)a与a+人的夹角.

6.在锐角中，内角4,B,C的对边分别是a,b,c,力点是BC边上的中点.

(1)求|八|(磔,c,A表为；

(2)若BC=2,且满足c(l+cos4)=a(2cosA+cosB),求中线4。的取值范围.

7.已知向量；，I满足:|a|=4,力=3,0—b)+2b)=0.

(1)求卜之+可的值：

(2)若向量；1倒+应)，求实数4的值.

8.已知向量五=(1,遍)范=(一2,0).

(1)求为一石的坐标以及五一3与五之间的夹角;

(2)当te时，求区-t司的取值范围.

9.设A,B,C,9为平面内的四点,且4(1,3),6(2,-2),C(4,l).

(1)若丽=而，求。点的坐标：

(2)设向量五=荏，b=BC＞若k为一方与五+3方平行，求实数%的值.

10.已知向量；在向量力=(1,⑹方向上的投影长为2,(2-2力

(1)求向量2与1的夹角；

(2)求112a-匕的值;

(3)若向量”=3%—4b，d=ma+b,,求,"的值•

11.已知两个不共线的向量五，b满足方=(1,V5)，b=(cos8,sin0),6&R.

(1)若五〃方，求角。的值；

(2)若2方-方与4-7方垂直,求|日+1|的值;

12.已知落石是两个不共线的非零向量.

(1)记函=1，OB=tb，OC=l(a+b),则当实数，为何值时，A,B,C三点共线-

(2)若|成=|石|=1，且五与石的夹角为120。，则当实数x为何值时，|五一的值最小・

13.已知五=(4,3),b=(-1,2).u=a-Ab＞万=2苍+及按照下列条件求4的值或范围.

(1)u1V;

⑵正〃亦

(3)丘与万的夹角为钝角.

14.已知向量益骨的夹角为45。，且=同=e，若热=2蔡+亢，=一3蔡+二

(1)求向量：与7的夹角；

(2)设K=/—b,d=2茄一I，若。/d，求实数，的值•

15.已知|©=4,巧|=8,五与石的夹角是60。，计算:

(1)(2a+K)•(2a-h);

(2)|4a-2b|.

16.已知向量行,至满足|五|=1,=&，(a-K)1a.

(1)求向量8与E的夹角及向量石在向量五上的投影向量；

(2)求|2可一同的值;

(3)若向量3方+5石，d=ma-3b，c//d，求m的值.

17.已知向量a=3瓦*—2筱，b=4可+可，其中e】=(1,0),e2=(0,1).

⑴求「V向+可；⑵求［与。的夹角的余弦值.

18.已知日=(1,3)范=(2,—1)(1)求|2五+3；

(2)k为何值时，k五+3与五-2施直？

19.△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,h,c,向量记=(a,gb)与记=(cosA,sinB)平行.

⑴求A;

(2)若a=V7,b=2,求sinC的值.

20.已知向量五=(l,V3),b=(-2,0)

(1)求五-石的坐标以及五-石与丘之间的夹角；

(2)当％为何值时，k五+石与五一3加垂直？

(3)当时,求区-t司的取值范围.

21.已知向量|引=3,|b|=2,a,b的夹角为120°.求：(1)(2五+b),(苍—2b)的值;

(2)|2五+B|的值.

(3)(2a+3)与(五-2石)的夹角的余弦值

22.边长为1的正三角形ABC,E、F分别是边A8、AC上的点，若屈=巾荏，AF=nAC＞其中

m,n£(0,1),设EF的中点为M,BC中点、为N.

(1)若A、M、N三点共线，求证：m=n;

(2)若m+n=l,求|MN|的最小值.

23.已知向量值=(cosx,sinx),b=(cosy,siny)(l)若2|方+石|=|不一3|，求cos(x-y)的值;

(2)若记=(-1,1),mlb，x,y为锐角，求为方的取值范围

24.已知|社|=4,|b|=8,a与匕的夹角为号.

⑴求|方+方|;

(2)求k为何值时，0+2石)1(4五一石).

25.在团ABC中，角4,B,C的对边分别为小b,c,且gasinB=2bcos2等.

(1)求角A的大小;

(2)若BC边上的中线4D=2,求回4BC面积的最大值.

26.如图在矩形ABCD中，^48=a,AD=石,N是CD的中点，M是线段AB上的点，同=2,\b\=1。

(1)若M是AB的中点，求证：询与而共线；

(2)在线段A8上是否存在点“，使得丽与而垂直？若不存在请说明理由，若存在请求出M点

的位置；

(3)若动点尸在矩形48C。上运动，试求而•存的最大值及取得最大值时P点的位置。

27.已知五=(cosa,sina),b=(cos^?,sin/?)>且,a+©=>0).

(1)用上表示£1；

(2)求£%的最小值，并求出此时N与石的夹角。.

28.已知向量五=(1,2),b=(cosa,sina)，设沅=五+t另(£ER).

(1)若c；,求当|而|取最小值时实数，的值；

(2)若定，了，问：是否存在实数7,使得向量力一方与向量沅的夹角为W?若存在，求出实数，的

值；若不存在，请说明理由.

29.如图，在平面斜坐标系xOy中，ZxOy仅)，平面上任一点P在该斜坐标系中的斜坐标是这

样定义的：若前=x^+y瓦(其中瓦(、石分别为与x轴、y轴正方向同向的单位向量)，则P点

斜坐标为(x,y).

⑴若P点斜坐标为(2,-2),求尸到0的距离|P0卜

(2)若AABC三个顶点的斜坐标分别为4(1,4),B(4,2),C(3,5),求三角形的内角NA.

30.已知平面向量五，方，a=(1,2).

(1)若方=(0,1)，求|弓+29|的值；

(2)若石=(2,?n),五与五一石共线，求实数机的值.

【答案与解析】

1.答案：解：(1)因为a=(1,1),0B=(0,-1).OM=(2t,t)(tG

所以而=而一刃=(一1,一2)，AM=OM-OX=(2t-1,t-1).

又因为A,B,M三点共线，所以同与祠共线，

因此—(t-1)+2(2t—1)=0,解得t=

(2)因为罚=MB=(-2t,-l-t)-

所以值•丽=-2t(l-2t)-(1-t2)=5t2-2t-1.

而t€R,因此当t=2时，稔•而取得最小值一|.

解析：本题考查了二次函数，共线向量的概念，向量的数量积，平面向量的坐标运算和平面向量共

线的充要条件，属于中档题.

(1)利用平面向量的坐标运算得前与宿的坐标，再利用共线向量的概念得荏与宿共线，再利用平

面向量共线的充要条件，计算得结论；

(2)利用平面向量的坐标运算得而与加的坐标，再利用向量数量积的坐标运算得以-MB=5t2-

2t-l,最后利用二次函数的最值，计算得结论.

2.答案：解：以O为坐标原点，向量次所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，如下图：

因为|函|=1，|而|=2,\OC\=10.函与话的夹角为120。，成与小的夹角为60。,

所以市=(1,0).OB=(2cosl20°,2sinl20°)=(-1.V3),

OC=(10cos60°,10sin60°)=(5,5>/3).

设元=xOA+yOB^

则(5,575)=x(l,0)+y(-l,V3)=(x-y,V3y),

因此叱羲3°

所以元=lOOA+S'OB.

解析：本题考查了向量的模，向量的夹角，向量的加法和数乘运算，平面向量的基本定理及其应用

和平面向量的坐标运算，属于中档题.

以。为坐标原点，向量成所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，利用平面向量的坐标表示得向量

万?、而和前的坐标，设走=xH?+y而，利用向量加法和数乘的坐标运算得（5,5百）=

（%-y,V3y）,再利用平面向量的基本定理得「二最后计算得结论.

3.答案：解：（/）,.・单位向量瓦与瓦夹角为60。，

・,•乐•瓦=，否||瓦|cos60°=lxlx1=|.

・•・五•b=(2百一勾)•固+前)

r-)---->2.---->----»---->2

=2U]+ex-e2-e2

=21

(H)v\a-b\=4,

/.a2—2a-6+Z)=16,即4一2五7+9=16,

Aa-/?=—

故五与石夹角的余弦值为--

解析：本题考查了向量的夹角和向量的数量积，是基础题.

（/）先得出可♦石，再由五7=（2瓦一瓦）•⑹+区）展开计算即可；

（口）由|苍-方|=4,两边同时平方可得益不，由向量夹角公式可得弓与石夹角的余弦值.

4.答案：解：（1）因为NDAB90,

所以以A为坐标原点，AB、A。分别为X、），轴，建立平面直角坐标系如下图：

y

A\MB

因为AB〃CD,AB=6,AD=CD=3,

所以4(0,0),8(6,0),C(3,3),0(0,3).

又因为对角线AC交于点O,

所以由而=t而得标=(3t,3t)，即O(3t,3t),

因此丽=(3t,3t-3)，DB=(6,-3)，

而说〃而，所以一3x3t-6x(3t-3)=0,解得t=g,

因此0(2,2).

又因为点“在A8上，所以设M(m,0),

因此两=0—2,—2)，BD=(-6,3).

而。M1BD,所以而.BD=-6(m-2)-6=0，

解得m=l,即M(l,0),

因此前•彳？=-15

(2)因为N为线段AC上任意一点，

所以由(1)知：可设N(n,n)(0<n<3)(包括端点)，

因此丽=(n-3,n-3)，MN=(n-l.n).

所以就-MW=2n2-7n+3.

因为函数y=2/一7八+3的图象开口上，对称轴为n=

而0<n43,

所以函数y=2几2_7n+3的值域为卜

即EW•而7的取值范围是［-学3)

解析：本题考查了二次函数，向量的数量积，相等向量的概念，向量垂直的判断与证明，平面向量

的坐标运算，平面向量共线的充要条件和向量的几何运用，属于中档题.

(1)根据题目条件，以A为坐标原点，AB、AD分别为小y轴，建立平面直角坐标系，利用相等向量

的概念的坐标运算得标=(3t,3t)，从而得O(3t,3t),再利用向量的坐标运算得前=(3t,3t-3)和

丽=(6,-3)，再利用平面向量共线的充要条件得得t=|,从而得。(2,2),设从而得而=

(m-2,-2),前=(一6,3),再利用向量垂直的判断的坐标运算得m=1,从而得再利用向量

数量积的坐标运算，计算得结论；

(2)利用(1)的结论，结合题目条件设N(n,n)(O4九43)(包括端点)，再利用向量的坐标运算得丽=

5-3,n-3),和丽=(n-l,n),再利用向量数量积的坐标运算得丽・丽=2M-7n+3,最后

利用二次函数，计算得结论.

5.答案：解：

(1)由题意，a-K=4x2xcos120。=-4，

所以位—zK)-(a+K)=a2—a-K—zK2=16+4—8=12；

(2)因为Q4一By=4五2一4五)+=64+16+4=84，

所以|2五一=2V21;

(3)因为0+/)2=H2+2a-K+b2=16-8+4=12>

所以|五+9|=2®又五・(五+方)=日2+五不=16—4=12，

所以cos<a,a+b>==12=―,

'|a||a+b|4X27r32

所以；与3+1的夹角为?

解析：本题考查了向量的数量积、模长的计算，考查了向量的夹角公式，属于基础题.

⑴先计算1V再把@_2%).6+小展开，代入已知计算可得答案；

(2)先对江-%进行平方运算，再开方可得答案；

(3)先对2+%进行平方运算，再开方求其模长，再计算；.&+：)，最后代入夹角公式可得答案.

6.答案：解：⑴由同=家血+而)，

得|而|="(而+而/

][----»2-----»----»---->2

=^dAB-I-2AB-AC+AC

_Vb*2+c2+2bccosA^

—2'

(2)因为c(l+COSJ4)=a(2cosA+cosB),

由正弦定理得sinC(l+cosA)=sin4(2cos4+cosB),

KPsinC+sinCcosA=2s\nAcosA4-sinAcosB,

由sinC=sin(?1+B)=sinAcosB+cosAsinB,

所以sinAcosB+cosAsinB+sinCcosA=2sin4cos力+sinAcosB,

所以cosAsinB+sinCcosA=2sinAcos4,

易知cos/H0,得sinB+sinC=2sinA,

所以匕+c=2a=4,即c=4一b,

伊+4>(4-4

由锐角A.AB「得解得|<b<l，

1(4—b)2+4>从

由II—"2+c2+2bccosA_a+c+2bc.2bc

_72b2+2c2-4_42b2+2(4-6)2-4

=2=2

y/4(b-2)z+12

2

由*得回且亘e［低空).

222L27

解析：本题考查向量的加法运算，考查正弦定理、余弦定理，考查三角恒等变换及二次函数性质，

属于较难题.

(1)由而=)费+而)，结合|万|(荏+前)2,即可求得；

(2)由正弦定理及三角恒等变换可得b+c=2a=4,由锐角△.A3。得b的范围，结合(1)可得|荷|=

48-2)2+12,即可求得中线的取值范围.

2

7.答案：解：⑴•・,0-1)0+2万)=0，.・•2+：.b-2b2=0，

由同=4,力卜3，...16+Q•b—18=0=Q•b=2，

12Q+/?|=4Q2+4五,Z?+b—64+8+9=81，J,|2a+b|=9.

(2)若aJ.(a+比)，则a-(a+(b)=0=>a2+Aa-Z?=0>

：|a|=4,a-b=2>■.a2+Aa-fe=16+2A=0>解得，=8.

解析：本题考查向量的数量积运算、垂直向量的数量积关系，属于基础题.

⑴由伞~b)(a+2b)=0根据向量的数量积运算律可展开求出三)，求出必+12即可求得

2a+b的值；

(2)根据垂直向量的数量积关系列出等式求解人

8.答案:解:(1)因为向量五=(1,V3),b=(—2,0)，

所以五一方=(1,8)一(-2,0)=(3,遮)，

设五一区与方之间的夹角为氏

同CO%-(五一♦)五-3X1+6X__V3

人JCOS"一磔岗@一际%而一2'

而0<8故。=g

o

所以向量方-石与丘之间的夹角为2

O

(2)-a-tb=(l,V3)-t(-2,0)=(1+2t,V3)

—____________/

**•|ci-th|=J(1+2t)2+3=4+—J+3

在上递减，在卜表1］上递增，所以"一泄，忖—t司最小值为次,

±=1时，忖-闻最大值为2百，故忖-t3的取值范围为［四2码.

解析：本题主要考查向量的坐标运算，向量的数量积和向量的模，考查了二次函数的单调性，考查

学生综合分析及解决问题能力，属于中档题.

(1)由已知条件能表示出往一方的坐标，设五一3与五之间的夹角为。，根据cos。="需，代入求值即

可得出结果；

(2)求出五一的坐标，由|有一=J(l+2t)2+3=卜(t+乎+3,结合函数的二次函数的单调

性，即可求出取值范围.

9.答案：解：(1)设。(x,y),

・••4,B,C,。为平面内的四点，且4(1,3),8(2,—2),C(4,l).

AB=CD，即(2,-2)-(1,3)=Q,一一(4,1),即(1,-5)=(x—4,y—1),

.・・｛；_：二解得久=5，y=-4,

D(5,-4).

(2)---a=AB=(1,-5).b=BC=(2,3)，

kQ,—b=(k-2,—5fc—3)»

3+36=(7,4),

V卜之一石与方+33平行，

7(-5fc-3)-4(fc-2)=0,

解得k=*

实数%的值为

解析：(1)设n(K,y),由荏=而，能求出。点坐标.

(2)住位=而=(1,-5)，3=同=(2,3)，求出5苍一I=(1-2,一58-3)，N+3石=(7,4)，由A五一片

与3+3石平行，能求出实数％的值.

本题考查。点坐标的求法，考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意平面向量坐标

运算法则、向量平行的性质的合理运用.

10.答案：解：⑴♦.)=(1,遮)，则勾=。百=2,

设向量二与b的夹角为仇则。|cos6=2,所以a-b=|a卜bcos。=4,

(a-2b)1.a，■1•(a—2b)-a=0，可得a?=2a•b=8',',|^|=2y/2>

TT「

所以，COS0=7^77=—0<0<7T,­•-6>=p

HH24

因此，向量;与了的夹角为全

(2)|2a-b|=J(2a-t)2=j4a2-4a-b+b2=<4x8-4x44-22=2炳;

(3)<-iid，设d=Ac1则(?na+b)=A(3a—4b),

由于2、%不共线，贝I解得机=一*

解析：本题考查向量的数量积的应用，向量的夹角以及向量的模的求法，考查计算能力.

⑴由由射影定义和伍-231；即可求出两向量,，3的夹角；

(2)利用公式片=佃产可求得向量的模；

(3)利用向共线定理，即若则存在实数;I,使得》=4"成立，由此利用向量相等可得参数值.

11.答案：解：⑴由题得sinO-V'&XKS().：.、4，所以角。的集合为g€z｝；

(2)由条件知|砧=2,|方|=1，又与五一7万垂直，

所以(2方-3)・0一79)=8—15五1+7=0,所以五•另=1.

所以|五+旬2=|五『+2」.1+|司2=4+2+1=7,故|五+3|=近.

解析：本题主要考查向量平行垂直的坐标表示，向量的模的计算，属于基础题.

(1)根据向量平行满足的条件进行解答即可；

(2)利用条件2五一石与五一7石垂直，建立方程关系，先求五不，然后求向量的模.

12.答案:解：(1)由三点4,8,C共线，必存在一个常数f使得超=A5C1则有方-OA=A(OC-OB)

又就=五，话=tb,OC=i(a+h)

tb-a=^A(a+b)-Atb,又方、石是两个不共线的非零向量

故存在t=：时，A、B、C三点共线

⑵•••|矶==1且Z两向量的夹角是120。

_T_213

|a-xh|2=a2-2xa-b+x2b=l+x+x2=(x+-)2+-

•・・当X=时，国―X&I的值最小为当

解析：本题考查平面向量的综合题，解题的关键是熟练掌握向量共线的坐标表示，向量的模的坐标

表示，理解题设条件，正确转化.本题把三点共线转化为了向量共线，将模的最小值求参数的问题

转化为求函数的最小值，解题时要注意恰当地运用转化、化归这一数学思想

(1)由三点A,B,C共线，必存在一个常数f使得同=2瓦,由此等式建立起关于九1的方程求出

f的值;

(2)由题设条件，可以|五_刀小表示成关于实数x的函数，根据所得的函数判断出它取出最小值时的

x的值.

查看答案

13.答案：解：(1)因为方=(4,3),b=(-1,2).u=a-Ab>v=2a+b>

由日J.N得至IJ伍-，石)•(21+石)=2a2-Ab2+(1-2A)a-K=0，

即50-5A+(1-2A)(-4+6)=0,

所以；I=弓；

(2)由题意知:u=a-AK=(4+2,3-22)

v=2a+b=(7,8)，

由丘〃济得到7(3—24)—8(4+4)=0,

所以4=—^；

(3)当正〃万时，u-v<0月无力不共线，

则50—54+2(1—2；1)<0,且2彳一;

所以;l>f.

解析：本题考查向量的坐标运算，考查向量垂直，向量共线的充要条件应用，考查向量模求法，属

基础题.

(1)依题意，根据向量垂直的充要条件得50-54+(1-22)(-4+6)=0,求解即可；

(2)依题意,求得过=(4+A,3-2A),v=(7,8),根据向量共线的充要条件得7(3-2A)-8(4+2)=0,

求解即可；

(3)依题意，得50-5A+2(1-22)<0且4H计算即可.

>

14.答案：解：(1)由己知有|'5『=|2记+书|2=4|$|2+4］南|.|咒］.00845。+|'5?『=10,

所以|五|=V10,

|了『=I一3沆+7?|2=9|"『一6|示I•+|=5，

所以|b|=V5>

a-b=(2m+n)•(-3m+n)=-6|m\2-m-n+|n\2=-5»

…八了-55/2

所以。咐。-------=r=-7=---7==--—,

\7t\•|6|v7!!)xy52

又0工8工兀，

所以。=1,

即五与石的夹角为：;；

(2)由已知/=t方-3=(2t+3)m+(t-l)n«d=2m-n>

因为不〃工所以存在实数；I使得3=42，

所以y*3号解得卜二Z

(t-1=-A,h=5

解得t=d

解析：本题考查向量的模及向量的数量积，向量平行的判断与证明，向量的加法、减法、数乘运算,

向量的数量积和向量的夹角.属于一般题.

(1)利用向量的数量积得五不=-5,然后求出五与石的模，代入夹角计算公式即可求解；

(2)将C用记，元表示，然后利用平行的充要条件求解即可.

15.答案：解：(1)因为|引=4,但|=8，

所以(21+弓)•(2五一3)

=(2a)2-b2=4|a|2-|K|2

=4x42-82=0；

(2)因为|初=4,@=8,充与石的夹角是60。，

所以|4五一2司2=(4a-2b)2=16a2-16a-b+4b2

=16x42—16x4x8xcos600+4x82=256.

所以|4五一2石|=16.

解析：本题考查向量的模的求解、向量的数量积，属于基础题.

(1)直接利用数量积的运算性质计算即可；

(2)先求出|4五一2石产，即可求出结果.

16.答案：解：(1)设向量五与方的夹角为。，

因为位一至)，方，所以0—石)・五=0=九=1，

所以(：0$。=稔而=§,又。6[0,用，1,

E在五上的投影向量为同cos。五=a;

2

(2)|2a-bl=y4a—4a-b+b=V4-4+2=y/2'

(3)因为不〃3，所以F=；lZ所以3五+53=2(771五一33)，

因为行与方不共线，

所以｛广丝解得血=_*.

15=-345

解析：本题主要考查向量的数量积，投影向量，平行向量，向量垂直等基本概念，难度一般，属于

中档题。

(1)由0-1)J.五求出两向量的夹角，再由投影向量的计算公式可得；

(2)利用公式片=同2可求得向量的模；

(3)利用向量共线定理得到方程组，求解即可.

.答案：解：由已知，向量五=再一备，

1732b=4et+e2»

其中瓦=

(1,0),e2=(0,1),

・•・a=(3,-2),b=(4,1),

(1)3-6=3x4-2x1=10，

\a+b\=|(7,-1)|=5V2;

(2)|a|=V13.\b\=g,

解析：此题主要考查向量的模、平面向量的坐标运算、数量积及夹角运算，属基础题.

(1)先根据a=(1,0),芍=(0,1)表示出向量五、b，然后根据向量的数量积运算和向量模的运算求出

答案；

(2)先求出向量正石的模,然后根据c°s。=器,将数值代入即可得到答案.

18.答案：解：(1)因为2元+3=(4,5)，所以|2五+方|="16+25=俯;

(2)因为五=(1,3)花=(2,—1)，

所以为b=lx2+3x(―1)=-1，\a\=V10,\b\=y/5,

所以(k1+b)•0—2b)=Z弓之+(i—2k)a-b—2b2

=10/c-(l-2/c)-10=0,

解得/c=

故当时，攵五+3与方一垂直.

解析：本题考查向量模长的计算公式，向量垂直的判断与证明，平面向量的坐标运算，属于简单题.

(1)由2五+3=(4,5)，利用向量的坐标计算模即可；

(2)由k2+石与五-石垂直，可得数量积等于0,利用向量的坐标运算可得.

19.答案：解：(1)向量记=(a,8b)与记=(cos4s讥B)平行,

asinB=y[3bcosA,

・•・sinAsinB=y/3sinBcosA，

vsinBW0,

••・sinA=\[3cosA，

・••tanA=V3»

v0<71<7T,

n

AA

.3

b

由正弦定理可得啖=

(2)sinBf

2

bsinA_XY_x/H

・•・sinBa-V7-7'

**a>b,

・•・A>B,

・•.cosB="-sin28号,

•6■/X,ox-n,A.n遍、，2上11、，怎3怎

AsmC=sinM+8)=smAcosB+cosAstnB=—x-----1--x——=-----•

k7272714

解析：(1)利用平面向量共线(平行)的坐标表示可得as讥B=bbcosA，又sinBNO,结合正弦定理

可得：tanA=g，再结合范围0<4<兀，即可求得A的值；

(2)根据正弦定理求出sinB,再根据sinC=sin(4+B),即可求出答案.

本题主要考查了平面向量共线(平行)的坐标表示，正弦定理，考查了转化思想和数形结合思想，属

于中档题.

20.答案：解:

(1)因为向量行=(1,遮)，b=(-2,0).

所以为一方=(1,次)一(-2,0)=(3,V3)-

所以cos〈五一第五>=3煞

\a-b\-\a\

一3+3_V3

-2x717—2°

因为(五一石，a>e[0,7T],

所以向量五-石与行之间的夹角为3

O

(2)fca+b=(fc-2,V3/c)，a-3&=(1+6,V3)=(7,回

因为+9与五一3方垂直，所以仅日+了),0—3])=0，则7(k—2)+3k=0得k=(,

=J(a-tK)2=^a2-2ta-b+t2f=

(3)由|苍一㈤74t2+田+4=j4(t+'+3,

因为te[-1,1],所以旧《j4(t+1)2+3<2V3,

所以苗<|a-tK|<2>/3.

解析：本题主要考查向量的坐标运算，向量的数量积和向量的模，考查学生综合分析及解决问题能

力.

(1)根据向量差公式与夹角公式可得结果；

(2)由kW+E与1一3方垂直可得(人方+石)•(a-3b)=0.即可求得结果；

⑶由|五一高|=后方=国荔37康化简再结合teHU］即可求范围•

21.答案：解：(1)|a|=3,\b\=2,且区3的夹角为120。,

•-a'b=\a\'\b|cosl20°=3x2x(--)=—3,

(2a+b)-(a-2b)=2|a|2-3a-K-2|K|2=2x9-3x(-3)-2x4=19;

(2)|2a+K|2=4|a|2+4a-b+|K|2=36-12+4=28,

.-.\2a+b\=2V7.

(3)v(a-2fa)2=|a|2-4a-b+4|b|2=9+12+16=37,

.-.\a-2b\=V37,

>_(2-+/)0-2/)_19_19>/^

：,cos<(2a+b),(a—2b)

一\(2a+b)\\(a-2b)\~277x737-518

解析：本题考查向量的数量枳的运算，向量的夹角公式，向量的模，考查计算能力，属于基础题.

(1)先求出为4=-3，再根据向量的数量积计算即可；

(2)先平方，再根据向量的数量积运算即可；

(3)求出用-29|=同，从而利用向量的夹角公式计算即可.

22.答案：(1)证明：由4,M,N三点共线，得而〃询，设祠=2而(AeR)，

即*荏+方)=/(荏+禧)，

所以m荏+n前=2(南+近)，

由南，而不共线得m=ri=4,

即m=n.

(2)解：AB-AC=ixlxcos60°=

因为丽=AN-AM=^(AB-AC)-^(AE-AF)

=U荏+三而，

22

又m+n=l,所以而=皇而+1前，

所以|丽|2=^1^荏2+?而2+1］一小加荏而

=i(l—m)2+^m2+^(1—m)m=(m—1)2+*

故当m=］时，|而|mm=f.

即|而|的最小值为

解析：本题考查平面向量的加减及数乘运算，考查平面向量共线的条件，考查平面向量的数量积与

求向量的模长，是中档题.

⑴由A,M,N三点共线，得祠〃丽，设宿=2而(4CR)，所以“荏+正)=/(四+而)即

可求解：

(2)化简所为而=^AB+^-AC,再两边平方利用数量积即可求解.

23.答案：解：(1)3=(cosx^inx),b=(cosy,siny)，

可得有2=E2=i,a-b=cosxcosy+sinxsiny—cos(x—y)，

由2|R+b|二|五一b|，可得4日之+4b+8a-K=a2+b—2a-b1

即为6+lOcos。-y)=0,

解得cos(x-y)=-|；

⑵若沅=(-1,1),m1b，

贝ijcosy—siny=0,即cosy=siny,

因为x,y为锐角，所以％=y=%所以9=(今当，

a-h=~cosx+—sinx=sinfx+-\

22\4/

因为xe(o,»*+H祥),

所以当<sin(%+W)W1,即曰<a-K<1.

解析：本题考查向量的数量积的坐标表示和性质，向量的平方即为模的平方，考查正弦型函数的性

质，属于中档题.

(1)运用平方法，结合向量的数量积的坐标表示和性质，向量的平方即为模的平方，再由两角的差的

余弦公式，计算即可得到所求值；

(2)运用向量垂直的数量积的坐标表示，可得石=(¥，¥),利用数量积运算可得心了=sin(x+

从而可得答案.

24.答案：解：(1)由已知可得云不=|用向cosl20。=4x8x(_；)=-16.

4

所以I五+石I=/=742+82+2X(-16)=V3.

yja+b+2ab

(2)v(a+2b)1(/ca-K).

=2+=

■11(a+2K)'(ka-b)k32_2b(2k-l)ab°>

•••16k-128+(2k-1)x(-16)=0,

化为k=-7.

■,当k-—7值时，(a+2b)l(fca-b)-

解析：本题考查了数量积定义及其运算性质、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能

力，属于中档题.

(1)利用数量积定义及其运算性质即可得出；

(2)由于0+2石)J.(卜日一石)，0+2石).(卜五_石)=0,展开即可得出.

25.答案：解：(1)依题意有7^5也8=2儿052等=(1一854)乩

V3sinAsinB=(1—cosA)sinB>sinB*0,

•••V3sin4=1—cosA，

又sin27l+cos2A=1

解得sinA=—>cos>1=-1，.1-4=?.

223

(2)［而|=|^|^|=2,\AB+AC\=4,即

|画2+।宿2+2\AB\\AC\cos—=\AB\2+\AC\2-\AB\\AC\=16\AB\\AC\

（|AB||XC|）max=16，当且仅当|荏|=|而|=4时成立.

故&ABC面积的最大值为S=\\AB\\AC\sin4=4百

解析：本题考查解三角形、三角恒等变换和平面向量的综合应用，属于一般题.

(1)利用余弦的二倍角公式及降塞公式可得V3asinB=2bcos2^-=(1-cosA)b,再利用正弦定理

边化角求解即可.

(2)利用向量的中线公式得|同|=|亨|=2平方后化简得(|荏||而|)max=16,即可求面积的最

大值.

26.答案：（1）证明："AN=AD+'DN=b+^a,CM=~CB+'BM=-b-^a,

A/V=-CM，

：.前与西共线.

(2)解：在线段AB上存在点例，使的与而垂直.

理由：设丽=a%~BD=AD-AB=b-a^CM=CB+BM=-b+

•••丽与两垂直，.•.前•加=0.

叩④-3）•（-5+4五）=0,

|a|=2,|ft|—1，五.b=0'2=-*.

・•・存在满足条件的点M，即4M=|,使得丽与而垂直.

此时点M在线段A8的四等分点，最靠近点8的位置.

(3)解:

①当尸在线段A8上时，设而=卜五，(0<fc<1),贝1J：AP-AB=ka-a=4k,

.•.加・南的最大值为4,此时P在B点处；

②当尸在线段BC上(不含端点)时，设9=1+九3，.,・方・南=(五+忆方)・a=4，

此时P在线段8c上(端点除外)；

③当P在线段C。上时，设方=-kk，(0</c<1),AP-AB=(a+b-ka)-a=4(1-k)>

AP.荏的最大值为4,此时P在C点处；

④当P在线段4。上时，AP-AB=0.

综上所述，当户在线段8c上时，而.近的最大值是4.

解析：本题考查了向量共线的判定，向量垂直的判定，向量的数量积，向量的几何运用.

(1)解答本题的关键是由向量的几何运用将前和前用行和方表示出来，可发现丽=—而，由此即可

证得宿与而共线；

(2)解答本题的关键是将宿、而用五和B