2021-2022学年广东省汕头市高三（上）期末数学试卷

2021-2022学年广东省汕头市高三（上）期末数学试卷

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的。

1.（5分）若集合A={x|x>l},B={x\-l<x<2],则AU8=（）

A.{x|l<x<2}B.{x\-l<x<2}C.{加>-1且xW2}D.[x\x>-1}

2.（5分）已知i为虚数单位，复数z满足z（l-i）=4-3i,贝Uz=（）

A.TiLB.IllC.坦D.

2222

3.（5分）记出为等差数列{斯}的前〃项和，已知出=0，06=6,贝IJ（）

1

A.an—12-nB.tzio—16C.Sn—lri-lOnD.Sio—50

4.（5分）已知sinJa€,兀）,则cos（a-）=（）

22o

A.-1B.0C.A.D.返

22

5.（5分）某市场一摊位的买菜员发现顾客来此摊位买菜后选择只用现金支付的概率为0.2,

选择既用现金支付又用非现金支付的概率为0.1,且买菜后无赊账行为，则选择只用非现

金支付的概率为（）

A.0.5B.0.6C.0.7D.0.8

6.（5分）金刚石的成分为纯碳，是自然界中天然存在的最坚硬物质，它的结构是由8个等

边三角形组成的正八面体.若某金刚石的棱长为2,则它的体积为（）

2.J_j_

7.(5分)已知4=2"b=g2,c=,则a,b,c的大小关系为()

A.a<b<cB.c<a<bC.a<c<bD.c<b<a

8.(5分)已知函数/(x)=/+/+(a-3)x+l在区间(0,1)上有最小值，则实数a的

取值范围是()

A.(-e,2)B.(-e,1-e)C.(1,2)D.(-1-e)

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项

符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得分。

（多选）9.（5分）某中学为了解学生数学史知识的积累情况，随机抽取150名同学参加数

学史知识测试，测试题共5道，每答对一题得20分，答错得0分得分不少于60分记为

及格，不少于80分记为优秀，测试成绩百分比分布图如图所示，则（）

A.该次数学史知识测试及格率超过90%

B.该次数学史知识测试得满分的同学有15名

C.该次测试成绩的中位数大于测试成绩的平均数

D.若该校共有1500名学生，则数学史知识测试成绩能得优秀的同学大约有720名

（多选）10.（5分）对于函数/（x）=sinxcosx,xCR,贝!］（）

A.f（x）的最大值为1B.直线为其对称轴

C.f（x）在［0,卷-］上单调递增D.点（弓0）为其对称中心

（多选）11.（5分）如图，平行四边形ABC。中，AB=2,AD=4,/BAD=匹，E为CD

3

的中点，AE与DB交于F,则（）

A.而在瓦方向上的投影为0

B.AF=yAB-^AD

C.AF•AB=2

D-|AF|=2^7

（多选）12.（5分）在棱长为1的正方体ABCD-4B1C1D1中，M为底面ABCD的中心,

而=入5高，入6（0,1）,N为线段A。的中点，则（）

A.CN与QM■共面

B.三棱锥A-OMN的体积跟人的取值无关

C.入小时，过A,Q,M三点的平面截正方体所得截面的周长为幺历+2力行

33

D.入=［时，AMLQM

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.（5分）已知偶函数/（x）在区间［0,+°°）上单调递减，若f（T）=0,则满足/（〃z）

>0的实数机的取值范围是.

14.（5分）（x+y）（x-y）'的展开式中，/y7的系数为.

15.（5分）“四书”是《大学》《中庸》《论语》《孟子》的合称，又称“四子书”，在世界文

化史、思想史上地位极高，所载内容及哲学思想至今仍具有积极意义和参考价值.某校

计划开展“四书”经典诵读比赛活动，某班有A、2两位同学参赛，比赛时每位同学从这

4本书中随机抽取1本选择其中的内容诵读，则A、B两位同学抽到同一本书的概率

为.

16.（5分）设数列｛斯｝满足。1=1,a3=3且斯+2-2斯+1+斯=2,贝!|°4"3=，数列

｛劭｝的通项an=.

四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（10分）已知正项等比数列｛斯｝的前"项和为8,S2=4,a2a4=81.

（1）求数列｛斯｝的通项公式；

（2）数列｛岳｝满足bi=l,当时，b=7：---------------------------，求数列｛为｝的前n

nlog3an-log3an,1

项和Tn.

18.（12分）在△A3C中，角A,B,C所对的边分别〃，b,c.已知2Z?COS3=CCOSA+QCOSC.

(1)求&

（2）若a=2,b=V6，设。为CB延长线上一点，且AO_LAC,求线段的长.

19.（12分）某土特产超市为预估2022年元旦期间游客购买土特产的情况，对2021年元旦

期间的90位游客购买情况进行统计，得到如下人数分布表：

购买金额（元）[0,150)[150,300)[300,450)[450,600)[600,750)[750,900]

人数101520152010

（1）根据以上数据完成2X2列联表，并判断是否有95%的把握认为购买金额是否少于

600元与性别有关.

不少于600元少于600元合计

男40

女18

合计

（2）为吸引游客，该超市推出一种优惠方案：购买金额不少于600元可抽奖3次，每次

中奖概率为尸（每次抽奖互不影响，且P的值等于人数分布表中购买金额不少于600元

的频率），中奖1次减50元，中奖2次减100元，中奖3次减150元.若游客甲计划购

买800元的土特产，请列出实际付款数X（元）的分布列并求其数学期望.

附：参考公式和数据：心皿）n=a+b+C+d-

附表：

ko2.0722.7063.8416.6357.879

P(K22公)0.1500.1000.0500.0100.005

20.（12分）如图，直三棱柱（即侧棱与底面质直的棱柱）ABC-481cl内接于一个等边圆

柱（轴截面为正方形），AB是圆柱底面圆O的直径，点。在A/1上，且AbD=3DBi.若

AC=BC.

（1）求证：平面CODJ_平面ABBiAi；

（2）求证：平面COD与平面CB31C1所成锐二面角的余弦值.

弓片=1(a>6>0)的离心率为返，又点(1,工)在椭

21.(12分)已知椭圆E：

a*b*222

圆E上.

(1)求椭圆£的标准方程；

(2)若动直线/与椭圆E有且只有一个公共点，过点M(1,0)作直线/的垂线，垂足

为。，试探究：|。。|是否为定值，如果是，请求出该值；如果不是，请说明理由.

22.(12分)已知函数/(x)=lnx,xe(0,+°°)；g(x)=7-尤+1,xGR.

(1)求函数〃(无)=/(尤)-g(x)在区间(0,+8)上的极值；

(2)证明：有且只有两条直线与函数/(x),g(x)的图象都相切.

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