立足“基本图形”巧妙构“圆”解题中小学数学

立足“基本图形”，巧妙构“圆”解题“圆”是初中数学重要的几何图形，也是重要的解题工具，近些年各地各级试题中出现了不少表面看来好像与圆毫无关系的几何试题，但实际上其中蕴涵着丰富的圆的知识，如果采用常规方法解答，一般比较麻烦，若能结合图形的某些特征，恰如其分地构造出一个圆来帮助我们，不但可以使题目解法简单，而且易于理解，既能培养学生的数学思维，也能提高学生的解题兴趣．而如何构造圆，依据甚多，本文从“基本几何图形”的角度来说明如何构造辅助圆来达到解题的目的，供大家欣赏：基本图形1：等腰三角形圆的旋转定义：在一个平面内线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆．圆上的任意一点P（除A外）到O的距离均等于OA，则得到的△POA为等腰三角形．因此我们可以从“等腰三角形”的这个基本图形出发，构造一个辅助圆（圆弧）来帮助我们解题．例1（2015年威海市）如图1-1，已知AB＝AC＝AD，∠CBD＝2∠BDC，∠BAC＝44°，则∠CAD的度数为（）图1-2A．68°B．88°C．90°C．图1-2图图1-1分析：因为AB＝AC＝AD，故图中有基本图形“等腰三角形”，因此以A为圆心，AB为半径的圆必经过C、D，如图1-2，利用同弧所对的圆心角等于所对圆周角的2倍，可知∠CAD＝2∠CBD，∠BAC＝2∠BDC，结合已知条件∠CBD＝2∠BDC，得到∠CAD＝2∠BAC，即可解决问题即．解：如图1-2，∵AB＝AC＝AD，∴点B、C、D在以点A为圆心，以AB的长为半径的圆上，∵∠CBD＝2∠BDC，∠CAD＝2∠CBD，∠BAC＝2∠BDC，∴∠CAD＝2∠BAC，而∠BAC＝44°，∴∠CAD＝88°，答案选B．点评：借助辅助圆将分散的条件集中，灵活运用圆周角定理及其推论等几何知识点来解答直观、简洁，提高了解题效率．基本图形2：斜8相似形圆周角的推论1：在同（等）圆中，同（等）弧所对的圆周角相等，相等的圆周角对的弧也相等．位于同一个圆周上8字型图则满足这一结论，这个图形也是我们相似中常见的“斜8相似形”，因此我们可以从“斜8相似形”的这个基本图形出发，构造一个辅助圆（圆弧）来帮助我们解题．例3（2014诸暨市校级期中）如图2-1，四边形ABCD的两条对角线相交于点P，∠ADB＝∠BCA，DC＝AP＝6，DP＝3，则AB＝（）A．15B．12C．9D．图2-2图2-1图2-2图2-1分析：由∠ADB＝∠BCA，∠APD＝∠BPC，得△ADP∽△BCP，所以图中有基本图形“斜8相似形”，即A、B、C、D四点在同一圆周上，如图2-2，利用同（等）圆中，同弧所对的圆周角相等，可得∠ABP＝∠DCP，所以△CDP∽△BAP．解：根据题意知A、B、C、D在同一圆周上，如图2-2，因为∠ABP＝∠DCP，∠DPC＝∠APB，所以△DCP∽△ABP，所以eq\f(DC,AB)＝eq\f(DP,AP)，又因为CD＝6，DP＝3，AP＝6，所以eq\f(6,AB)＝eq\f(3,6)，解得AB＝12，答案选B．点评：借助“斜8相似形”构造辅助圆解题思路简单、过程条理清晰，避开了相似三角形的判定与性质的多次应用，达到了化繁为简的目的。基本图形3：对角互补四边形在圆中，同一条弦所对的圆周角有两个，一个是优弧所对的角，一个是劣弧所对的角，利用圆周角定理可知这两个圆周角之和为180°，也就是说圆的内接四边形对角互补，反过来，如果四边形对角互补，那么这个四边形内接于圆。因此在解题中，若遇对角互补四边形时，可过四个顶点构造辅助圆来帮助我们解题．例4（2015年盐城市）如图3-1，把△EFP按图所示的方式放置在菱形ABCD中，使得顶点E、F、P分别在线段AB、AD、AC上．已知EP＝FP＝4，EF＝4eq\r(\s\do1(),3)，且AB＞4eq\r(\s\do1(),3)．若△EFP的三个顶点E、F、P分别在线段AB、AD、AC上运动，请直接写出AP长的最大值和最小值．图3-2图3-2图3-1分析：由EP＝FP＝4，EF＝4eq\r(\s\do1(),3)，可得∠EPF＝120°，∠BAD＝60°，所以∠FAE＋∠FPE＝180°，所以图中有基本图形“对角互补四边形”，所以A、E、P、F四点在同一圆周上，如图3-2，AP为弦，而圆中的最长弦为直径，当AP为直径时，AP有最大值，而当点E或F与点A重合时或点P与A在EF的同侧且EF⊥AP时最短．解：当点P与A在EF的异侧时，四边形AEPF内接于圆，如图3-2，AP为弦，而圆中的最长弦为直径，当AP为直径时，AP最大，利用直径对的圆周角是直角，可知此时EF⊥AC，因为EP＝4，所以AP＝8.当点E或F与点A重合时AP最短，此时AP＝4，综上，AP的最大值是8，最小值是4．点评：此题借助“对角互补四边形”这个基本图形构造辅助圆，利用圆中的弦最值模型确定结果逻辑清晰，易于理解，锻练学生的创造性思维能力的同时，考查了学生的模型思想的掌握。基本图形4：直角三角形圆周角定理的推论：“半圆（直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径”，直角三角形的外接圆是以斜边中点为圆心，斜边长度为直径的圆且此圆必过直角顶点，因此我们可以从“直角三角形”的这个基本图形出发，构造一个辅助圆（圆弧）来帮助我们解题．例2（2012年济南市）如图4-1，∠MON＝90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM、ON上，当B在边ON上运动时，A随之在OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB＝2，BC＝1，运动过程中，点D到点O的最大距离为（）A．eq\r(\s\do1()2)＋1 B．eq\r(\s\do1(),5) C．eq\f(\r(145),5) D．eq\f(5,2)图4-2E图4-2E图4-1分析：在运动过程中，△AOB始终为直角三角形，图中有基本图形“直角三角形”，因此我们可以AB的E为圆心，AB直径构造一个辅助圆，此圆必过点O，如图4-2，当D、E、O三点一线时，DO最大．解：连接DE、OE，在Rt△AOB中，OE＝eq\f(1,2)AB＝1，在Rt△ADE中，DE＝eq\r(\s\do1(),AD2＋AE2)＝eq\r(\s\do1(),12＋12)＝eq\r(\s\do1(),2)，因为DO≤OE＋DE，所以DO≤1＋eq\r(\s\do1(),2)，答案选A．点评：若直接取AB的中点E，连接DE、OE，利用三角形三边关系解答，学生会感觉到抽象，不能理解，借助辅助圆，利用与圆相关的线段最值模型就能直观地说明问题。基本图形5：共斜边同侧双直角三角形对于“共斜边同侧双直角三角形”来说，两个直角三角形的外接圆是同一个圆，即以斜边中点为圆心，斜边为直径的圆经过两个直角三角形的四个顶点，因此我们可以从“共斜边同侧双直角三角形”的这个基本图形出发，构造一个辅助圆（圆弧）来帮助我们解题．例5如图5-1，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是BC上任意一点，连接AD，过点B作BE垂直于AD，交射线AD于点E，连接CE，求∠AEC的度数．图5-1图5-1图5-1图5-1分析：由题意得∠C＝∠AEB＝90°，即△ABC与△ABE均为直角三角形，所以图中有基本图形“共斜边同侧双直角三角形”，因此A、C、E、B四点共圆，如图5-1，利用同弧对的圆周角相等可得∠AEC＝∠ABC．解：以AB为直径，过A、C、E、B四点作圆，所以∠AEC＝∠ABC，因为Rt△ABC为等腰三角形，∠ABC＝∠BAC＝45°，所以∠AEC＝45°．点评：本题借助“共斜边同侧双直角三角形”构造辅助圆解题思路简单、过程条理清晰，避开了多次应用相似三角形的判定与性质，起到了化繁为简的作用，进一步体现的圆的工具性在解题中巧妙应用，本题也可从“斜8相似形”这个基本图形着眼，殊途同归。基本图形6：共斜边异侧双直角三角形此基本图形集“直角三角形”、“对角互补四边形”的特征于一体，既可从“直角三角形”的角度，也可从“对角互补四边形”的角度出发构造圆（圆弧）来帮助我们解题．例6（2015年永州市）已知⊙O的半径为2，AB，CD是⊙O的直径．P是eq\o(BC,\s\up5(⌒))上任意一点，过点P分别作AB，CD的垂线，垂足分别为N，M．（1）若直径AB⊥CD，对于eq\o(BC,\s\up5(⌒))上任意一点P（不与B、C重合）（如图6-1），证明四边形PMON内接于圆，并求此圆直径的长；（2）若直径AB⊥CD，在点P（不与B、C重合）从B运动到C的过程汇总，证明MN的长为定值，并求其定值；（3）若直径AB与CD相交成120°角．①当点P运动到eq\o(BC,\s\up5(⌒))的中点P1时（如图6-2），求MN的长；②当点P（不与B、C重合）从B运动到C的过程中（如图6-3），证明MN的长为定值．（4）试问当直径AB与CD相交成多少度角时，MN的长取最大值，并写出其最大值．图6-1图6-1图6-2图6-3分析：（1）如图6-1，易证∠PMO＋∠PNO＝180°，从而可得四边形PMON内接于圆，直径OP＝2；（2）如图6-1，易证四边形PMON是矩形，则有MN＝OP＝2，问题得以解决；（3）①如图6-2，根据等弧所对的圆心角相等可得∠COP1＝∠BOP1＝60°，根据圆内接四边形的对角互补可得∠MP1N＝60°．根据角平分线的性质可得P1M＝P1N，从而得到△P1MN是等边三角形，则有MN＝P1M．然后在Rt△P②设四边形PMON的外接圆为⊙O′，连接NO′并延长，交⊙O′于点Q，连接QM，如图6-3，根据圆周角定理可得∠QMN＝90°，∠MQN＝∠MPN＝60°，在Rt△QMN中运用三角函数可得：MN＝QN·sin∠MQN，从而可得MN＝OP·sin∠MQN，由此即可解决问题；（4）由（3）②中已得结论MN＝OP·sin∠MQN可知，当∠MQN＝90°时，MN最大，问题得以解决．解：（1）如图6-1，∵PM⊥OC，PN⊥OB，∴∠PMO＝∠PNO＝90°，∴∠PMO＋∠PNO＝180°，∴四边形PMON内接于圆，直径OP＝2；（2）如图6-1，∵AB⊥OC，即∠BOC＝90°，∴∠BOC＝∠PMO＝∠PNO＝90°，∴四边形PMON是矩形，∴MN＝OP＝2，∴MN的长为定值，该定值为2；（3）①如图6-2，∵P1是eq\o(BC,\s\up5(⌒))的中点，∠BOC＝120°，∴∠COP1＝∠BOP1＝60°，∠MP1N＝60°．∵P1M⊥OC，P1N⊥OB，∴P1M＝P1N，∴△P1MN是等边三角形，∴MN＝P∵P1M＝OP1·sin∠MOP1＝2×sin60°＝eq\r(\s\do1(),3)，∴MN＝eq\r(\s\do1(),3)；②设四边形PMON的外接圆为⊙O′，连接NO′并延长，交⊙O′于点Q，连接QM，如图6-4，则有∠QMN＝90°，∠MQN＝∠MPN＝60°，图6-4在Rt△QMN中，sin∠MQN＝eq\f(MN,QN)，图6-4∴MN＝QN·sin∠MQN，∴MN＝OP·sin∠MQN＝2×sin60°＝2×eq\f(\r(3),2)＝eq\r(\s\do1(),3)，∴MN是定值．（4）由（3）②得MN＝OP·sin∠MQN＝2sin∠MQN．当直径AB与CD相交成90°角时，∠MQN＝180°－90°＝90°，MN取得最大值2．点评：过圆内一点的所有弦中，直径是最长的弦，而过这个点垂直于直径的弦则是最短的弦，掌握圆中的弦最值模型是解决此