2022年浙江省宁波市部分学校中考数学强基试卷

1、2022年浙江省宁波市部分学校中考数学强基试卷一、选择题（每小题5分，共30分）1（5分）已知a、b、c都是实数，并且abc，那么下列式子中正确的是（）AabbcBa+bb+cCabbcD2（5分）已知实数ab，且满足（a+1）233（a+1），3（b+1）3（b+1）2，则的值为（）A23B23C2D133（5分）若直角三角形的两条直角边长为a，b，斜边长为c，斜边上的高为h，则有（）Aabh2BCDa2+b22h24（5分）若实数a为常数，关于x的不等式组的整数解只有8个，则a的值为（）A1B0C1D25（5分）已知二次函数yax2+bx+1（a0）的图象的顶点在第二象限，且过点（1，0）

2、当ab为整数时，ab（）A0BCD26（5分）如图，四边形ABHK是边长为6的正方形，点C、D在边AB上，且ACDB1，点P是线段CD上的动点，分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作正方形AMNP和正方形BRQP，E、F分别为MN、QR的中点，连接EF，设EF的中点为G，则当点P从点C运动到点D时，点G移动的路径长为（）A1B2C3D6二、填空题（每小题5分，共30分）7（5分）函数的自变量x的取值范围是 8（5分）在ABC中，A90，B60，AB2，若D是BC边上的动点，则2AD+DC的最小值为 9（5分）已知方程a2x2（3a28a）x+2a213a+150（其中a为非负整数）至少有一个整

3、数根那么a 10（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线yx与双曲线y相交于A，B两点，C是第一象限内双曲线上一点，连接CA并延长交y轴于点P，连接BP，BC若PBC的面积是20，则点C的坐标为 11（5分）如图，E、F在矩形ABCD的边BC、CD上，CECF，BE8，DF6，EAF45，则EF的长为 12（5分）已知x表示不超过x的最大整数（例如：22，1.251），0a1，且满足a+a+a18，则10a 三、解答题（第1题10分，第2题15分，第3题15分，共40分）13（10分）如图，抛物线yax2+bx3，顶点为E，该抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且OBOC3OA，直

4、线y1与y轴交于点D，求DBCCBE14（15分）如图，将OA6，AB4的矩形OABC放置在平面直角坐标系中，动点M、N以每秒1个单位的速度分别从点A、C同时出发，其中点M沿AO向终点O运动，点N沿CB向终点B运动，当两个动点运动了t秒时，过点N作NPBC，交OB于点P，连接MP（1）点B的坐标为 ；用含t的式子表示点P的坐标为 ；（2）记OMP的面积为S，求S与t的函数关系式（0t6），并求t为何值时，S有最大值？（3）试探究：当S有最大值时，在y轴上是否存在点T，使直线MT把ONC分割成三角形和四边形两部分，且三角形的面积是ONC面积的？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由15（1

5、5分）定义：圆心在三角形的一条边上，并与三角形的其中一边所在直线相切的圆称为这个三角形的切圆，相切的边称为这个圆的切边（1）如图1，ABC中，ABAC，A30，点O在AC边上，以OC为半径的O恰好经过点B，求证：O是ABC的切圆（2）如图2，ABC中，ABAC5，BC6，O是ABC的切圆，且另外两条边都是O的切边，求O的半径（3）如图3，ABC中，以AB为直径的O恰好是ABC的切圆，AC是O的切边，O与BC交于点F，取弧BF的中点D，连接AD交BC于点E，过点E作EHAB于点H，若CF8，BF10，求AC和EH的长2022年浙江省宁波市部分学校中考数学强基试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小

6、题5分，共30分）1（5分）已知a、b、c都是实数，并且abc，那么下列式子中正确的是（）AabbcBa+bb+cCabbcD【解答】解：根据不等式性质：abc，a+bb+c，故B正确，abc的符号不确定，A、C、D不成立，故选：B2（5分）已知实数ab，且满足（a+1）233（a+1），3（b+1）3（b+1）2，则的值为（）A23B23C2D13【解答】解：a、b是关于x的方程（x+1）2+3（x+1）30的两个根，整理此方程，得x2+5x+10，2540，a+b5，ab1故a、b均为负数因此故选：B3（5分）若直角三角形的两条直角边长为a，b，斜边长为c，斜边上的高为h，则有（）Aabh

7、2BCDa2+b22h2【解答】解：abchh故选：C4（5分）若实数a为常数，关于x的不等式组的整数解只有8个，则a的值为（）A1B0C1D2【解答】解：由x7且不等式组的整数解只有8个，则不等式组的整数解为6、5、4、3、2、1、0、1，1a2+2a2，可得（a1）20，则a1，故选：C5（5分）已知二次函数yax2+bx+1（a0）的图象的顶点在第二象限，且过点（1，0）当ab为整数时，ab（）A0BCD2【解答】解：依题意知a0，0，a+b+10，故b0，且ba1，aba（a1）2a+1，于是1a0，12a+11又ab为整数，2a+10，故ab，ab，故选：B6（5分）如图，四边形AB

8、HK是边长为6的正方形，点C、D在边AB上，且ACDB1，点P是线段CD上的动点，分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作正方形AMNP和正方形BRQP，E、F分别为MN、QR的中点，连接EF，设EF的中点为G，则当点P从点C运动到点D时，点G移动的路径长为（）A1B2C3D6【解答】解：设KH中点为S，连接PE、ES、SF、PF、PS，可证明四边形PESF为平行四边形，G为PS的中点，即在点P运动过程中，G始终为PS的中点，G的运行轨迹为CSD的中位线，CDABACBD6114，点G移动的路径长为42故选：B二、填空题（每小题5分，共30分）7（5分）函数的自变量x的取值范围是0x6且x4【解

9、答】解：根据题意得：122x0且x4，x0，解得：0x6且x48（5分）在ABC中，A90，B60，AB2，若D是BC边上的动点，则2AD+DC的最小值为 6【解答】解：过点C作射线CE，使BCE30，再过动点D作DFCE，垂足为点F，连接AD，如图所示：在RtDFC中，DCF30，DFDC，2AD+DC2（ADDC）2（AD+DF），当A，D，F在同一直线上，即AFCE时，AD+DF的值最小，最小值等于垂线段AF的长，此时，BADB60，ABD是等边三角形，ADBDAB2，在RtABC中，A90，B60，AB2，BC4，DC2，DFDC1，AFAD+DF2+13，2（AD+DF）2AF6，2

10、AD+DC的最小值为6，故答案为：69（5分）已知方程a2x2（3a28a）x+2a213a+150（其中a为非负整数）至少有一个整数根那么a1，3或5【解答】解：显然a0故原方程为关于x的二次方程（3a28a）24a2（2a213a+15），a（a+2）2是完全平方式故x即x12，x21当2是整数时，a1，3；当1是整数时，a1，5综上所述，a1，3或510（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线yx与双曲线y相交于A，B两点，C是第一象限内双曲线上一点，连接CA并延长交y轴于点P，连接BP，BC若PBC的面积是20，则点C的坐标为（，）【解答】解：BC交y轴于D，如图，设C点坐标为（a

11、，）解方程组得或，A点坐标为（2，3），B点坐标为（2，3），设直线BC的解析式为ykx+b，把B（2，3）、C（a，）代入得，解得，直线BC的解析式为yx3，当x0时，yx33，D点坐标为（0，3）设直线AC的解析式为ymx+n，把A（2，3）、C（a，）代入得，解得，直线AC的解析式为yx3，当x0时，yx33，P点坐标为（0，3）SPBCSPBD+SCPD，26a620，解得a，C点坐标为（，）故答案为：（，）11（5分）如图，E、F在矩形ABCD的边BC、CD上，CECF，BE8，DF6，EAF45，则EF的长为 10【解答】解：在DA上截取DNDF6，连接NF，在BA上截取BMBE8

12、，连接ME，设CECFx，四边形ABCD是矩形，BBADCD90，ABCDx+6，BCAD8+x，BME45，DNF45，MEBE8，NFDF6，EAF45，BAE+DAFBADEAF45，MAE+AEM45，NAF+AFN45，MAEAFN，AEMDAF，AMEFNA，x10或x10（舍去），CECF10，EFCE10，故答案为：1012（5分）已知x表示不超过x的最大整数（例如：22，1.251），0a1，且满足a+a+a18，则10a6【解答】解：0a1，1a2，a1，a+a+a18，0a1，aaa0，aaa1，0a1，1a2，0a，0.6a1.4，0.6a，10a6故答案为：6三、解答

13、题（第1题10分，第2题15分，第3题15分，共40分）13（10分）如图，抛物线yax2+bx3，顶点为E，该抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且OBOC3OA，直线y1与y轴交于点D，求DBCCBE【解答】解：由题意得：OC3，则：以下各点的坐标分别为：A（1，0）、B（3，0）、C（0，3），直线yx+1与y轴交于点D，D坐标为（0，1），ODAO1，ACODBO（SAS），DBOACO，OBCOCB45，DBCACB，则二次函数的表达式为yx22x3，则顶点E的坐标为（1，4），由点B、E坐标可知，BE所在的直线的kBE2，过点C作OFBE，则FCBCBE，DBCCBEACF

14、，则直线CF所在的方程的kkBE2，方程为y2x3，点F的坐标为（，0），在ACF中，由A、C、F的坐标可求出：则AC，CF，AF，过点A作AHCF，设：CHx，则根据AH2AC2CH2AF2FH2，解得：x，则cosACH，ACH45，DBCCBEACH45，14（15分）如图，将OA6，AB4的矩形OABC放置在平面直角坐标系中，动点M、N以每秒1个单位的速度分别从点A、C同时出发，其中点M沿AO向终点O运动，点N沿CB向终点B运动，当两个动点运动了t秒时，过点N作NPBC，交OB于点P，连接MP（1）点B的坐标为（6，4）；用含t的式子表示点P的坐标为（t，t）；（2）记OMP的面积为S

15、，求S与t的函数关系式（0t6），并求t为何值时，S有最大值？（3）试探究：当S有最大值时，在y轴上是否存在点T，使直线MT把ONC分割成三角形和四边形两部分，且三角形的面积是ONC面积的？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）延长NP交OA于H，如图1所示：矩形OABC，BCOA，OCB90，PNBC，NHOC，四边形CNHO是平行四边形，OHCN，OA6，AB4，点B的坐标为（6，4）；由图可得，点P的横坐标0HCNt，纵坐标4NP，NPBC，NPOC，NP：OCBN：CB，即NP：4（6t）：6，NP4t，点P的纵坐标4NPt，则点P的坐标为（t，t）；故答案为：

16、（6，4）；（t，t）；（2）SOMPOMt，S（6t）tt2+2t（t3）2+3（0t6）当t3时，S有最大值（3）存在理由如下：由（2）得，当S有最大值时，点M、N的坐标分别为：M（3，0），N（3，4），则直线ON的函数关系式为：yx设点T的坐标为（0，b），则直线MT的函数关系式为：yx+b，解方程组得，直线ON与MT的交点R的坐标为（，），SOCN436，SORT SOCN2，当点T在点O、C之间时，分割出的三角形是OR1T1，如图2所示，作R1D1y轴，D1为垂足，则SOR1T1RD1OTb23b24b160，解得：b（负值舍去）b，此时点T1的坐标为（0，）当点T在OC的延长线上

17、时，分割出的三角形是R2NE，如图，设MT交CN于点E，由得点E的横坐标为，作R2D2CN交CN于点D2，则SR2NEENR2D2（3）（42b2+4b480，解得：b22（负值舍去）b22此时点T2的坐标为（0，2）综上所述，在y轴上存在点T1（0，），T2（0，22）符合条件15（15分）定义：圆心在三角形的一条边上，并与三角形的其中一边所在直线相切的圆称为这个三角形的切圆，相切的边称为这个圆的切边（1）如图1，ABC中，ABAC，A30，点O在AC边上，以OC为半径的O恰好经过点B，求证：O是ABC的切圆（2）如图2，ABC中，ABAC5，BC6，O是ABC的切圆，且另外两条边都是O的切

18、边，求O的半径（3）如图3，ABC中，以AB为直径的O恰好是ABC的切圆，AC是O的切边，O与BC交于点F，取弧BF的中点D，连接AD交BC于点E，过点E作EHAB于点H，若CF8，BF10，求AC和EH的长【解答】（1）证明：连接OB，如图，ABAC，A30，AC30CAB180AC120OBOC，OBCC30OBACBAOBC90即OBBAOB是圆的半径，AB与O相切圆心O在AC边上，O是ABC的切圆；（2）解：当圆心O在BC边上，O与AB，AC边相切于点M，N时，连接OA，OM，ON，如图，AB，AC是O的切线，OMAB，ONAC，AO平分BACABAC，AOBC，OBOCBC3AOBO，OMAB，BOMBAOBMOM；当圆心O在AC边上，O与AB，BC边相切于点M，N时，连接OM，ON，BO，过点A作AHBC于点H，如图，设OMONr，AB，BC是O的切线，OMAB，ON