第8章 整式乘法与因式分解（教师版）

2023-2024学年沪科新版数学七年级下册章节知识讲练1.掌握正整数幂的运算性质，并能运用它们熟练地进行运算；掌握单项式乘（或除以）单项式、多项式乘（或除以）单项式以及多项式乘多项式的法则，并运用它们进行运算；2.会推导乘法公式（平方差公式和完全平方公式），了解公式的几何意义，能利用公式进行乘法运算；3.掌握整式的加、减、乘、除、乘方的较简单的混合运算，并能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算；4.理解因式分解的意义，并感受分解因式与整式乘法是相反方向的运算，掌握提公因式法和公式法（直接运用公式不超过两次）这两种分解因式的基本方法，了解因式分解的一般步骤；能够熟练地运用这些方法进行多项式的因式分解.知识点01：幂的运算【高频考点精讲】1.同底数幂的乘法：(为正整数)；同底数幂相乘，底数不变，指数相加.2.幂的乘方：(为正整数)；幂的乘方，底数不变，指数相乘.3.积的乘方：(为正整数)；积的乘方，等于各因数乘方的积.4.同底数幂的除法：(≠0,为正整数，并且).同底数幂相除，底数不变，指数相减.5.零指数幂：即任何不等于零的数的零次方等于1.6.负指数幂：(，为正整数).任何不等于0的数的－次幂，等于这个数的次幂的倒数.【易错点剖析】公式中的字母可以表示数，也可以表示单项式，还可以表示多项式；灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁.知识点02：整式的乘法【高频考点精讲】1.单项式乘以单项式单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.2.单项式乘以多项式单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.即(都是单项式).3.多项式乘以多项式多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即.【易错点剖析】运算时，要注意积的符号，多项式中的每一项前面的“＋”“－”号是性质符号，单项式乘以多项式各项的结果，要用“＋”连结，最后写成省略加号的代数和的形式．根据多项式的乘法，能得出一个应用比较广泛的公式：.知识点03：乘法公式【高频考点精讲】1.平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 【易错点剖析】在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.2.完全平方公式：；两数和(差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.【易错点剖析】公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.知识点04：因式分解【高频考点精讲】把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.因式分解的方法主要有:提公因式法,公式法,分组分解法,十字相乘法,添、拆项法等.【易错点剖析】落实好方法的综合运用：首先提取公因式，然后考虑用公式；两项平方或立方，三项完全或十字；四项以上想分组，分组分得要合适；几种方法反复试，最后须是连乘式；因式分解要彻底，一次一次又一次.检测时间：120分钟试题满分：100分难度系数：0.51一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填写在括号内）1．（2分）（2023秋•宜阳县期末）下列运算正确的是（）A．a3+a2＝a5 B．a3•a3＝2a3 C．a5÷a2＝a3 D．33•23＝6解：A、a3与a2不属于同类项，不能合并，故A不符合题意；B、a3•a3＝a6，故B不符合题意；C、a5÷a2＝a3，故C符合题意；D、33•23＝27×8＝216，故D不符合题意；故选：C．2．（2分）（2023秋•崆峒区期末）通过计算比较图1，图2中阴影部分的面积，可以验证的计算式子是（）A．a（b﹣x）＝ab﹣ax B．b（a﹣x）＝ab﹣bx C．（a﹣x）（b﹣x）＝ab﹣ax﹣bx D．（a﹣x）（b﹣x）＝ab﹣ax﹣bx+x2解：图1中，阴影部分＝长（a﹣x）宽（a﹣2b）长方形面积，∴阴影部分的面积＝（a﹣x）（b﹣x），图2中，阴影部分＝大长方形面积﹣长a宽x长方形面积﹣长b宽x长方形面积+边长x的正方形面积，∴阴影部分的面积＝ab﹣ax﹣bx+x2，∴（a﹣x）（b﹣x）＝ab﹣ax﹣bx+x2．故选：D．3．（2分）（2023秋•如皋市期末）在下面的正方形分割方案中，可以验证（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab的图形是（）A． B． C． D．解：∵由选项A可得a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），∴选项A不符合题意；∵由选项B可得（a+b）2＝a2+2ab+b2，∴选项B不符合题意；∵由选项C可得（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2．∴选项C不符合题意；∵由选项D可得（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab，∴选项D符合题意；故选：D．4．（2分）（2023秋•乌达区期末）将下列多项式因式分解，结果中不含有因式a+1的是（）A．a2﹣1 B．a2+a C．a2﹣2a+1 D．（a+2）2﹣2（a+2）+1解：∵a2﹣1＝（a+1）（a﹣1），a2+a＝a（a+1），a2+a﹣2＝（a+2）（a﹣1），（a+2）2﹣2（a+2）+1＝（a+2﹣1）2＝（a+1）2，∴结果中不含有因式a+1的是选项C．故选：C．5．（2分）（2023秋•永春县期末）已知a，b，c为正整数，且满足2a×3b×4c＝384，则a+b+c的取值不可能是（）A．5 B．6 C．7 D．8解：根据题意得：2a+2c•3b＝27×3，∴a+2c＝7，b＝1，∵a，b，c为正整数，∴当c＝1时，a＝5；当c＝2时，a＝3；当c＝3时，a＝1，∴a+b+c不可能为8．故选：D．6．（2分）（2023秋•武汉期末）已知x，y，z都是正整数，其中x＞y，且x2﹣xz﹣xy+yz＝23，设a＝x﹣z，则[（3a﹣1）（a+2）﹣5a+2]÷a＝（）A．3 B．69 C．3或69 D．2或46解：x2﹣xz﹣xy+yz＝23，x2﹣xz﹣xy+yz＝23，x（x﹣z）﹣y（x﹣z）＝23，（x﹣y）（x﹣z）＝23，∵x＞y，∴x﹣y＞0，∵x，y，z都是正整数，∴x﹣z＝1，x﹣y＝23或x﹣z＝23，x﹣y＝1，∴a＝x﹣z＝1或23，[（3a﹣1）（a+2）﹣5a+2]÷a＝（3a2+6a﹣a﹣2﹣5a+2）÷a＝3a2÷a＝3a，∵a＝x﹣z，∴[（3a﹣1）（a+2）﹣5a+2]÷a＝3a＝3（x﹣z），当x﹣z＝1时，3a＝3，当x﹣z＝23时，3a＝69，∴[（3a﹣1）（a+2）﹣5a+2]÷a＝3或69，故选：C．7．（2分）（2023秋•南昌期末）设a，b是实数，定义关于“*”的一种运算如下：a*b＝（a+b）2﹣（a﹣b）2．则下列结论：①若a*b＝0，则a＝0或b＝0；②a*（b+c）＝a*b+a*c；③若ab≠0，a*b＝8，则；④不存在实数a，b，满足a*b＝a2+4b2，其中正确的是（）A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④解：a*b＝（a+b）2﹣（a﹣b）2＝a2+2ab+b2﹣a2+2ab﹣b2＝4ab，①∵a*b＝0，∴4ab＝0，∴a＝0或b＝0，故①正确；②∵a*（b+c）＝4a（b+c）＝4ab+4ac，a*b+a*c＝4ab+4ac，∴a*（b+c）＝a*b+a*c，故②正确；③∵ab≠0，a*b＝8，∴4ab＝8，∴ab＝2，∴÷＝•＝＝＝，故③正确；④∵a*b＝a2+4b2，∴4ab＝a2+4b2，∴a2﹣4ab+4b2＝0，∴（a﹣2b）2＝0，∴a﹣2b＝0，∴a＝2b，∴当a＝2b时，满足a*b＝a2+4b2，故④不正确；所以，上列结论，其中正确的是①②③，故选：A．8．（2分）（2023秋•平山县期末）如图，两个正方形的边长分别为a和b，如果a﹣b＝2，ab＝26，那么阴影部分的面积是（）A．30 B．34 C．40 D．44解：如图，∵a﹣b＝2，ab＝26，∴a2﹣2ab+b2＝4，∴a2+b2＝4+2ab＝4+52＝56，阴影部分的面积＝S△ABC+S△CDM+S△AEF+S△GHM＝2×（a﹣b）×a+2×b×b＝a（a﹣b）+b2＝a2+b2﹣ab＝56﹣26＝30．故选：A．9．（2分）（2023春•拱墅区期末）设a，b为实数，多项式（x+a）（2x+b）展开后x的一次项系数为p，多项式（2x+a）（x+b）展开后x的一次项系数为q：若p+q＝6，且p，q均为正整数，则（）A．ab与的最大值相等，ab与的最小值也相等 B．ab与的最大值相等，ab与的最小值不相等 C．ab与的最大值不相等，ab与的最小值相等 D．ab与的最大值不相等，ab与的最小值也不相等解：（x+a）（2x+b）＝2x2+bx+2ax+ab＝2x2+（b+2a）x+ab，（2x+a）（x+b）＝2x2+2bx+ax+ab＝2x2+（2b+a）x+ab，∵多项式（x+a）（2x+b）展开后x的一次项系数为p，多项式（2x+a）（x+b）展开后x的一次项系数为q，∴p＝b+2a，q＝2b+a，∵p+q＝6，且p，q均为正整数，∴b+2a+2b+a＝6，整理得：a+b＝2．又p＝b+2a，q＝2b+a，∴p＝a+2，q＝b+2．∴a＝p﹣2，b＝q﹣2．∴ab＝（p﹣2）（q﹣2）＝pq﹣2（p+q）+4＝p（6﹣p）﹣2×6+4＝﹣p2+6p﹣8＝﹣（p﹣3）2+1．∵p，q均为正整数，∴p的取值为1，2，3，4，5．∴ab的最大值为1，ab的最小值为﹣3．∵a＝p﹣2，b＝q﹣2，∴＝＝＝＝＝﹣1+（q≠2）．∵p，q均为正整数，∴q的取值为1，2，3，4，5．∴的最大值为1，的最小值为﹣3．故选项A正确，符合题意．故选：A．10．（2分）（2023春•高青县期中）如图所示，两个正方形的边长分别为a和b，如果a+b＝10，ab＝20，那么阴影部分的面积是（）A．10 B．20 C．30 D．40解：首先令直线BF与直线CD的交点为O；则S△BDO+S△EFO＝S△BDC+S▱ECGF﹣S△BGF＝a•a÷2+b•b﹣（a+b）•b÷2；①S△DEF＝底EF•高DE÷2＝b•（a﹣b）÷2；②S△CGF＝底CG•高GF÷2＝b•b÷2；③∴阴影部分面积＝①+②+③＝a2÷2+b2﹣（ab+b2）÷2+（ab﹣b2）÷2+b2÷2＝{a2+2b2﹣（ab+b2）+（ab﹣b2）+b2}÷2＝（a2+b2）÷2，④由已知a+b＝10，ab＝20，构造完全平方公式：（a+b）2＝102，解得a2+b2+2ab＝100，a2+b2＝100﹣2•20，化简＝60代入④式，得60÷2＝30，∴S阴影部分＝30．故选：C．二、填空题（本大题共10小题，每题2分，共20分．不需写出解答过程，请将正确答案填写在横线上）11．（2分）（2023秋•南昌期末）若（2024﹣A）（2023﹣A）＝2024，则（2024﹣A）2+（A﹣2023）2＝4049．解：设2024﹣A＝m，2023﹣A＝n，∴m﹣n＝2024﹣A﹣（2023﹣A）＝2024﹣A﹣2023+A＝1，∵（2024﹣A）（2023﹣A）＝2024，∴mn＝2024，∴（2024﹣A）2+（A﹣2023）2＝m2+n2＝（m﹣n）2+2mn＝12+2×2024＝1+4048＝4049，故答案为：4049．12．（2分）（2023秋•丰泽区期末）边长为a的正方形ABCD与边长为b的正方形DEFG按如图所示的方式摆放，点A，D，G在同一直线上．已知a+b＝10，ab＝24．则图中阴影部分的面积为14．解：由S阴影部分＝S正方形ABCD+S正方形DEFG﹣S△ABC﹣S△AFG可得，S阴影部分＝a2+b2﹣a2﹣b（a+b）＝a2+b2﹣ab＝（a2+b2﹣ab）＝[（a+b）2﹣3ab]＝×（100﹣72）＝14，故答案为：14．13．（2分）（2023秋•武隆区期末）若2m＝a，32n＝b，m，n为正整数，则23m+10n＝a3b2．解：32n＝25n＝b，则23m+10n＝23m•210n＝a3•b2＝a3b2．故答案为：a3b2．14．（2分）（2023秋•丰台区期末）关于x的二次三项式x2+6x+m是完全平方式，则m的值为9．解：∵关于x的二次三项式x2+6x+m是完全平方式，且6x＝2•x•3，∴m＝32＝9．故答案为：9．15．（2分）（2023秋•瑶海区期末）给等式中的某些字母赋予一定的特殊值，可以解决一些问题．比如对于等式（x+3）2＝ax2+bx+c，当x＝0时，可得32＝c，计算得c＝9；请你再给x赋不同的值，可计算得4a+2b＝16．解：当x＝2时，可得（2+3）2＝a×22+b×2+c，化简得4a+2b+c＝25，∵c＝9，∴4a+2b＝16，故答案为：16．16．（2分）（2023秋•凉州区校级期末）若（x+y+z）（x﹣y+z）＝（A+B）（A﹣B），且B＝y，则A＝x+z．解：∵（x+y+z）（x﹣y+z），＝（x+z+y）（x+z﹣y），＝[（x+z）+y][（x+z）﹣y]，＝（A+B）（A﹣B），∵B＝y，∴A＝x+z．17．（2分）（2023秋•东莞市校级期末）已知a﹣b＝4，ab＝3，则a2+b2的值为22．解：∵a﹣b＝4，ab＝3，∴a2+b2＝（a﹣b）2+2ab＝42+2×3＝16+6＝22，故答案为：22．18．（2分）（2023春•宝安区校级期中）如图，在长方形ABCD中，AB＝6，点E，F是边BC，CD上的点，EC＝3，且BE＝DF＝x，分别以FC，CB为边在长方形ABCD外侧作正方形CFGH和CBMN，若长方形CBQF的面积为20，则图中阴影部分的面积和为41．解：设CF＝a，BC＝b，由题意得，FC＝6﹣x，BC＝3+x，即a＝6﹣x，b＝3+x，∵长方形CBQF的面积为20，∴ab＝（6﹣x）（3+x）＝20，又∵a+b＝（6﹣x）+（x+3）＝9，∴＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝92﹣2×20＝41，∴阴影部分的面积和为41．19．（2分）（2023秋•兴文县期中）若规定符号的意义是：＝ad﹣bc，则当m2﹣2m﹣3＝0时，的值为9．解：由题意可得，＝m2（m﹣2）﹣（m﹣3）（1﹣2m）＝m3﹣7m+3，∵m2﹣2m﹣3＝0，∴m2＝2m+3，m2﹣2m＝3∴m3﹣7m+3＝m（m2）﹣7m+3＝m（2m+3）﹣7m+3＝2m2﹣4m+3＝2（m2﹣2m）+3＝2×3+3＝9，所以当m2﹣2m﹣3＝0时，的值为9．故答案为：9．20．（2分）（2022•隆昌市校级模拟）已知（a﹣4）（a﹣2）＝3，则（a﹣4）2+（a﹣2）2的值为10．解：∵（a﹣4）（a﹣2）＝3，∴[（a﹣4）﹣（a﹣2）]2＝（a﹣4）2﹣2（a﹣4）（a﹣2）+（a﹣2）2＝（a﹣4）2+（a﹣2）2﹣2×3＝4，∴（a﹣4）2+（a﹣2）2＝10．故答案为：10．三、解答题（本大题共8小题，共60分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）21．（6分）（2023秋•宜阳县期末）计算：（1）（2x﹣y）（4x2+2xy+y2）﹣7y3；（2）[（a﹣3b）2+（3a+b）2﹣（a+5b）2+（a﹣5b）2]÷（a2﹣2ab+b2）．解：（1）（2x﹣y）（4x2+2xy+y2）﹣7y3＝8x3+4x2y+2xy2﹣4x2y﹣2xy2﹣y3﹣7y3＝8x3﹣8y3；（2）[（a﹣3b）2+（3a+b）2﹣（a+5b）2+（a﹣5b）2]÷（a2﹣2ab+b2）＝{（a﹣3b）2+（3a+b）2﹣[（a+5b）2﹣（a﹣5b）2]}÷（a﹣b）2＝（a2﹣6ab+9b2+9a2+6ab+b2﹣20ab）÷（a﹣b）2＝（10a2﹣20ab+10b2）÷（a﹣b）2＝10（a﹣b）2÷（a﹣b）2＝10．22．（6分）（2023秋•金乡县期末）在幂的运算中规定：若ax＝ay（a＞0且a≠1，x、y是正整数），则x＝y．利用上面结论解答下列问题：（1）若9x＝36，求x的值；（2）若3x+2﹣3x+1＝18，求x的值；（3）若m＝2x+1，n＝4x+2x，用含m的代数式表示n．解：（1）∵9x＝36，∴32x＝36，∴2x＝6，解得：x＝3；（2）∵3x+2﹣3x+1＝18，∴3x+1×3﹣3x+1＝18，2×3x+1＝2×32，∴x+1＝2，解得：x＝1；（3）∵m＝2x+1，n＝4x+2x，∴n＝（2x）2+2x＝2x（2x+1）＝m2x＝m（m﹣1）＝m2﹣m．23．（8分）（2023秋•龙山区期末）两个边长分别为a和b的正方形（a＜b＜a），如图1所示放置，其未重合部分（阴影）的面积为S1，若在图1的右下角再摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形重合部分（阴影）面积为S2．（1）用含a，b的代数式分别表示S1，S2；（2）若a+b＝15，ab＝5，求S1+S2的值；（3）当S1+S2＝64时，求出图3中阴影部分的面积S3．解：（1）由图可得，S1＝a2﹣b2，S2＝2b2﹣ab；（2）∵S1+S2＝a2﹣b2+2b2﹣ab＝a2+b2﹣ab＝（a+b）2﹣3ab，∴当a+b＝15，ab＝5时，S1+S2＝225﹣3×5＝210；（3）由图可得，S3＝a2+b2﹣b（a+b）﹣a2＝（a2+b2﹣ab）＝（S1+S2），∴当S1+S2＝64时，S3＝（S1+S2）＝×64＝32．24．（8分）（2023秋•十堰期末）“以形释数”是利用数形结合思想证明代数问题的一种体现，做整式的乘法运算时利用几何直观的方法获取结论，在解决整式运算问题时经常运用．例1：如图1，可得等式：a（b+c）＝ab+ac；例2：由图2，可得等式：（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．（1）如图3，将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为a+b+c的正方形，从中你发现的结论用等式表示为（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知a+b+c＝10，a2+b2+c2＝36．求ab+bc+ac的值．（3）如图4，拼成AMGN为大长方形，记长方形ABCD的面积与长方形EFGH的面积差为S．设CD＝x，若S的值与CD无关，求a与b之间的数量关系．解：（1）∵正方形面积为（a+b+c）2，小块四边形面积总和为a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac∴由面积相等可得：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，故答案为：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac．（2）由（1）可知2ab+abc+2ac＝（a+b+c）2﹣（a2+b2+c2），∵a+b+c＝10，a2+b2+c2＝36；∴2（ab+bc+ac）＝（a+b+c）2﹣（a2+b2+c2）＝100﹣36＝64，∴．（3）由题意知，BC＝2a，DE＝3a，EH＝CF＝b，EF＝CD+CF﹣DE＝x+b﹣3a，∵S长方形ABCD﹣S长方形EFGH，∴S＝CD•BC﹣EH•EF＝x•2a﹣b•（x+b﹣3a），即S＝2ax﹣bx﹣b2+3ab＝（2a﹣b）x﹣b2+3ab，又∵S为定值，∴2a﹣b＝0，即b＝2a．25．（8分）（2023秋•锦江区校级期末）定义＝ad﹣bc，如＝1×4×﹣2×3＝﹣2．已知A＝（n为常数），B＝．（1）若B＝4，则x的值为1；（2）若A的代数式中不含x的一次项，当x＝1时，求A+B的值；（3）若A中的n满足8×2n+1＝24时，且A＝B+2，求16x2﹣8x+9的值．解：（1）（x+1）（x+1）﹣（x﹣1）（x﹣1）＝4x，∵4x＝4，∴x＝1，故答案为：1．（2）2x（2x+1）﹣1（nx﹣1）＝4x2+2x﹣nx+1＝4x2+（2﹣n）x+1，∵代数式中不含x的一次项，∴2﹣n＝0，解得n＝2．∴A＝4x2+（2﹣2）x+1＝4x2+1，∴A+B＝4x2+1+4x，把x＝1代入，A+B＝4×12+1+4×1＝9．（3）8×2n+1＝23×2n+1＝2n+4＝24，∴n+4＝4，∴n＝0，∴A＝4x2+（2﹣n）x+1＝4x2+2x+1，∵B+2＝4x+2，∴4x2+2x+1＝4x+2，即：4x2﹣2x＝1，两边都乘4得到：16x2﹣8x＝4，∴16x2﹣8x+9＝4+9＝13．26．（8分）（2023秋•衡阳期末）仔细阅读下面例题，解答问题：例题：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值．解：设另一个因式为（x+n），得x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n）则x2﹣4x+m＝x2+（n+3）x