27.2.1相似三角形的判定

27.2.1相似三角形的判定相似三角形的判定(3)DBACE（2）∵DE∥BC∴△ADE∽△ABC判定三角形相似的方法知识回顾ACBEDF（1）∵∠A=∠D,∠B=∠E,∠C=∠F∴△ABC∽△DEF（3）∵∴△ABC∽△DEF（4）∵∠A=∠D∴△ABC∽△DEF这两个三角形的三个内角的大小有什么关系？三个内角对应相等的两个三角形一定相似吗？三个内角对应相等。观察你与老师的直角三角尺,会相似吗？(30O

与60O)思考相似画△，使三个角分别为60°，45°,75°。①同桌分别量出两个三角形三边的长度；②同桌这两个三角形相似吗?即：如果一个三角形的三个角分别与另一个三角形的三个角对应相等，那么这两个三角形_______．相似一定需三个角吗？如果一个三角形的两角分别与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似．相似三角形的识别方法：思考：如果两个三角形仅有一对角是对应相等的，那么它们是否一定相似？观察CAA'BB'C'∵∠A=∠A'，∠B=∠B'∴ΔABC∽ΔA'B'C'用数学符号表示：相似三角形的识别(两个角分别对应相等的两个三角形相似)问题引入：

观察两副三角尺，其中同样角度（30°与60°，或45°与45°）的两个三角尺大小可能不同，但它们看起来是相似的。一般地，如果两个三角形有两组对应角相等，它们一定相似吗？

求证：ΔA'B'C'∽ΔABC已知：在△ABC和△A´B´C´中,∠A=∠A',∠B'=∠BACBB´A´C´∵∠A=∠A'，∠B=∠B'∴ΔABC∽ΔA'B'C'用数学符号表示：判定定理3：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。两角对应相等，两三角形相似。ACBB´A´C´相似三角形判定方法1、(定义)三组对应边的比相等且对应角相等；3、（判定定理1）三组对应边的比相等的两个三角形相似。2、（平行）平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似。4、（判定定理2）两组对应边之比相等且夹角相等的两个三角形相似。5、（判定定理3）两角对应相等的两个三角形相似。如图所示，在两个直角三角形△ABC和△A′B′C′中，∠B＝∠B′＝90°，∠A＝∠A′，判断这两个三角形是否相似．

C'B'A'CBA例题欣赏解：∵∠B＝∠B′＝90°（已知），∠A＝∠A′（已知），∴△ABC∽△A′B′C′（两个角分别对应相等的两个三角形相似．）

ABCA’B’C’基础演练1、下列图形中两个三角形是否相似？ABCDEABCA’C’B’ABCDE(1)(2)(3)(4)2、根据下列条件,判断△ABC和△A’B’C’是否相似,并说明理由:(1)∠A=35°,AB=12cm,AC=15cm,∠A’=35°,A’B’=36cm,A’C’=45cm,(2)AB=12cm,BC=15cm,AC=24cm,A’B’=20cm,B’C’=25cm,A’C’=40cm.(3)∠A=105°,∠B=15°;∠A’=105°,∠B’=15°基础演练∠B’=60°3.已知：DE∥BC，EF∥AB.求证：△ADE∽△EFC.AEFBCD解:∵DE∥BC，EF∥AB（已知）∴∠ADE＝∠B＝∠EFC（两直线平行，同位角相等）∠AED＝∠C（两直线平行，同位角相等）∴△ADE∽△EFC

（两个角分别对应相等的两个三角形相似）如图,弦AB和CD相交于⊙O内一点P,求证:PA▪PB=PC▪PDO▪DPCBA例题讲解ABCDEABCDE21OCBAD常见图形OCDABABCDE变式１：如果弦AB和CD相交于圆O外一点P，结论还成立吗？变式２：上题中Ａ，Ｂ重合为一点时，又会有什么结论？OO1、已知如图直线BE、DC交于A，∠E=∠C求证：DA·AC=AB·AEDEABC证明：∵∠E=∠C∠DAE=∠BAC∴△ABC∽△ADE∴AC:AE=AB:AD

∴DA·AC=AB·AE练习ABCDE2.已知D、E分别是△ABC的边AB,AC上的点，若∠A=35°,∠C=85°,∠AED=60°则AD·AB=AE·AC3、判断题：⑴所有的直角三角形都相似.（）⑵所有的等边三角形都相似.（）⑶所有的等腰直角三角形都相似.（）⑷有一个角相等的两等腰三角形相似.（）

×√√×顶角相等底角相等顶角与底角相等BCAA'B'C'第一种情况∴ΔABC∽ΔA'B'C'顶角相等BCAA'B'C'第二种情况∴ΔABC∽ΔA'B'C'底角相等第三种情况ABCA'B'C'两三角形不相似顶角与底角相等ABDC图3填一填（1）如图3，点D在AB上，当∠

＝∠

时，

△ACD∽△ABC。（2）如图4，已知点E在AC上，若点D在AB上，则满足条件

，就可以使△ADE与原△ABC相似。●ABCE图4∠

ACD∠

B

(或者∠

ACB＝∠

ADB)DE//BCD(或者∠

C＝∠

ADE)(或者∠

B＝∠

ADE)D3、求证：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似。ADBC已知：在RtΔABC中，CD是斜边AB上的高。此结论可以称为“母子相似定理”,今后可以直接使用.求证：ΔABC∽ΔACD∽ΔCBD结论：

ΔACD∽ΔCBDCD2=AD·DBΔACD∽ΔABCAC2=AD·ABΔBCD∽ΔABCBC2=BD·ABP49练习2思考题ABCDE1已知DE∥BC且∠1=∠B，则图中共有

对相似三角形。∵DE∥BC∴△ADE∽△ABC∵

∠1=∠B，∠A=∠A

∴△ACD∽△ABC∴△ADE∽△ACD∵DE∥BC∵

∠EDC=∠DCB，

又∵

∠1=∠B∴△DEC∽△CDB4DBCA1、如图：在Rt△ABC中，∠ABC=900，BD⊥AC于D

若AB=6AD=2则AC=BD=BC=

184√2

12√2

2.如图直线BE、DC交于A,AD·AC=AE·BA，求证：∠E=∠CEDBCAABCED将△DAE绕A点旋转如何证明∠DEA＝∠C？EABDC解：

∵∠A=∠A∠ABD=∠C∴△ABD∽△ACB∴AB:AC=AD:AB∴AB2=AD·AC∵AD=2AC=8∴AB=43.已知如图，∠ABD=∠CAD=2，AC=8，求ABABCDABDCABDC4、如图：在Rt△ABC中，∠ABC=900，BD⊥AC于D

问：图中有几个直角三角形？它们相似吗？为什么？解：图中有三个直角三角形，分别是：△ABC、△ADB、△BDC

△ABC∽△ADB∽△BDC

如果，当∠ＡＣＤ满足什么条件时，△ＡＣＤ∽△ＡＢＣ？ＡＣＢＤ猜一猜：答案：∠ＡＣＤ＝∠ＡＢＣ相似三角形的识别方法有那些？方法1：通过定义方法5：通过两角对应相等。课堂小结（这可是今天新学的，要牢记噢！)方法2：平行于三角形一边的直线。方法3：三边对应成比例。方法4：两边对应成比例且夹角。１.有一个锐角对应相等的两个直角三角形是否相似？为什么？２.顶角相等的两个等腰三角形是否相似？为什么？解答题：探索与思考如图，在Rt△ABC的一边AB上有一点P(点P与点A，B不重合），过点P作直线截得的三角形与△ABC相似，想一想满足条件的直线共有多少条？试画出图形并简要说明理由.思考：若三角形为任意三角形，点P为三角形任意一边上的点，则这样的直线有几条？我们来试一试…ABCDEABCDE21OCBAD常见图形OCDABABCDE例5：如图，△ABC中，AD是∠BAC的平分线，AD的垂直平分线交AD于E,交BC的延长线于F求证：△ABF∽△CAFABFCDE乐业大石围天坑是我们百色市有名的旅游景点，为了测量一个峡谷的宽度，地质勘探人员在对面的岩石上观察到一个特别明显的标点O，再在他们所在的这一侧选点A、B、D，使得AB⊥AO,DB⊥AB,然后确定DO和AB的交点C，测得AC=60米，CB=30米，BD=12米，你能帮助他们算出峡谷的宽AO吗？OACBD一、填空题

1．______三角形一边的______和其他两边______，所构成的三角形与原三角形相似．

2．如果两个三角形的______对应边的______，那么这两个三角形相似．

3．如果两个三角形的______对应边的比相等，并且______相等，那么这两个三角形相

似．

4．如果一个三角形的______角与另一个三角形的______，那么这两个三角形相似．

5．在△ABC和△A′B′C′中，如果∠A＝56°，∠B＝28°，∠A′＝56°，∠C′＝28°，那么这两个三角形能否相似的结论是______．理由是________________．

6．在△ABC和△A’B′C′中，如果∠A＝48°，∠C＝102°，∠A′＝48°，∠B′＝30°，那么这两个三角形能否相似的结论是______．理由是________________．

7．在△ABC和△A’B′C′中，如果∠A＝34°，AC＝5cm，AB＝4cm，∠A′＝34°，A’C′＝2cm，A′B′＝1.6cm，那么这两个三角形能否相似的结论是______，理由是____________________．

8．在△ABC和△DEF中，如果AB＝4，BC＝3，AC＝6；DE＝2.4，EF＝1.2，FD＝1.6，那么这两个三角形能否相似的结论是____________，理由是__________________8．如图6，已知△ABC∽△DEF，AB=6，BF=2，CE=8，CA=10，DE=15．求线段DF，FC的长

相似三角形对应高的比等于相似比∵△ABC∽△A1B1C1∴∠B=∠B1

又∵∠ADB=∠A1D1B1=900∴△ADB∽△A1D1B1（角角）A1B1C1ABCDD1证明：∴相似三角形对应角平分线的比等于相似比∵△ABC∽△A1B1C1∴∠B=∠B1，∠BAC=∠B1A1C1∵AD，A1D1分别是∠BAC和∠B1A1C1的角平分线∴∠BAD=∠B1A1D1∴△ADB∽△A1D1B1（角角）A1B1C1ABCDD1证明：∴相似三角形对应中线的比等于相似比A1B1C1ABCDD1相似三角形判定方法1、(定义)三组对应边的比相等且对应角相等；3、（判定定理1）三组对应边的比相等的两个三角形相似。2、（平行）平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似。4、（判定定理2）两组对应边之比相等且夹角相等的两个三角形相似。5、（判定定理3）两角对应相等的两个三角形相似。探究4已知：△ABC∽△A1B1C1.求证：你能证明吗？HLABCA1B1C1Rt△ABC和Rt△A1B1C1.

如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。知识要点判定三角形相似的定理之四HLABC△ABC∽△A1B1C1.即：如果那么√A1B1C1Rt△ABC和Rt△A1B1C1.课堂小结1.相似图形三角形的判定方法：

通过定义平行于三角形一边的直线三边对应成比例两边对应成比例且夹角相等两角对应相等两直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例（三边对应成比例，三角相等）（SSS）（AA）（SAS）（HL）

对应角相等。对应边成比例。对应高的比等于相似比。对应中线的比等于相似比。对应角平分线的比等于相似比。2.相似三角形的性质：（1）所有的等腰三角形都相似。（2）所有的等腰直角三角形都相似。（3）所有的等边三角形都相似。（4）所有的直角三角形都相似。（5）有一个角是100°的两个等腰三角形都相似。（6）