2022-2023学年山西省阳泉市成考专升本数学(理)自考真题(含答案)

2022-2023学年山西省阳泉市成考专升本数

学（理）自考真题（含答案）

学校:班级:姓名:考号:

一、单选题（30题）

1.石展开式中的常数项是（）

A.7150B.5005C.3003D.1001

2.若0<lga<lgb<2,贝ij（）o

A.l<b<a<100

B.0<a<b<l

C.l<a<b<100

D.0<b<a<l

3已1函数「：…\.1『…写!（）

A.A.A-4

B.l

C.2

D-iog：1）

4,函数人工）=1。&二百是

A.奇函数B.偶函数C.既奇又偶函数D.非奇非偶函数

5.已知抛物线y2=6x的焦点为F,点A(0,-1),则直线AF的斜率为

0°

3

A.2

_3

B.2

2

C."3

2

D.3

命题甲：*>叫命题乙:X>2F,则甲是乙的

(A)充分条件但不是必要条件(B)必要条件但不是充分条件

6(C)充分必要条件(D)不是必要条件也不是充分条件

7.下列四组中的函数f(x),g(x)表示同一函数的是()

A.A.

B.

C.

D.

8.若〃工)=1/4N•则下列不等式成立的是()

A.A.f(l/4)>f(l/3)>f(2)

B.f(2)>f(l/3)>f(l/4)

C.f(l/4)>f(2)>f(l/3)

D.f(l/3)>f(2)>f(l/4)

9.A=20o,B=25。贝!J(l+tanA)(l+tanB)的值为()

A.V3

B.2

C.1+贝

D.2(tanA+tanB)

10.在△八鼓,中.巳知AB=质・AC=2.BC=l.!!l!!linA等于()

A.A.0

B.1

c.

D.

函数y--4x+4()

(A)当工=±2时，函数有极大值

(B)当#=-2时，函数有极大值；当x=2时,函数有极小值

(C)当x=-2时，函数有极小值;当x=2时,函数有极大值

”(D)当*=±2时,函数有极小值

已知Igsin。=a,Igcos^=b,则sin2tf=)

(A)审(B)2(a+6)

]2(C)10中(D)270・“

13.设复数7=1+厅」是虚数单位.则；的幅角主值为()

A.7i/6B.117i/6C.7i/3D.571/3

函数y=x+l与y=L图像的交点个数为

X

14(A)0(B)1(C)2(D)3

15设为第二象限角.则cosa=

A「同2

B..

C.-1/2

D.1/2

16.

设甲：二次不等式/+/＞上+。＞0的解蛆为空集合;乙;△=〃-4QV0,则

A.A.甲是乙的必要条件，但不是乙的充分条件

B.甲是乙的充分条件，但不是乙的必要条件

C.甲不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件

D.甲是乙的充分必要条件

17.已知tana、tanp是方程2x2—4x+l=0的两根，贝Ijtan(a+P)=()

A.4B.-4C.4/3D.8

18.下列函数为奇函数的是()o

A.y=12

B.y=log?.

c.y=3，

D.y=sin才

420

复数(4)的值等于

(A)l(B)i

19.t1(D)-i

20.设集合M={123,4,5},N={2,4,6),则MPN=()o

A,{2,4}B.{2,4,6}C.{1,3,5}D.{1,2,3,4,5,6)

21.设函数f(x)=logax,且f(4)=2,则下列各式成立的是

A.A.f(3)<O

)>0

B.

C.f(5)<f(3)

D.f(3)<f(5)

cosA=——

22.在等腰三角形ABC中，A是顶角，且2，则cosB=

c

--fD4

23.若a<b<0,则下列不等式中不成立的是

A->!B.C.Ia|>|6ID.Q加

aoQ-ba

24.下列函数中，为偶函数的是（）

D.y=lg*x

A.A.AB.BC.CD.D

25.已知cos2a=5/13（3兀/4<a<兀），则tana等于（）

A.A.-3/2B.-2/3C.2/3D.3/2

26设甲:smr=l；乙:i一］.则（）

A.A.甲是乙的必要条件，但不是乙的充分条件

B.甲是乙的充分条件，但不是乙的必要条件

C.甲不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件

D.甲是乙的充分必要条件

27.不等式|x-2|<1的解集是（）

A.{x-1<x<3}B.{x|-2<x<l}C.{x|-3<x<1}D,{x|l<x<<3)

28.若/(工下列不等式成立的是

A.f(l/4)>f(l/3)>f(2)

B.f(2)>f(l/3)>f(l/4)

C.f(l/4)>f(2)>f(l/3)

D.f(l/3)>f(2)>f(l/4)

29.如果圆锥的轴截面是等边三角形，那么这个圆锥的侧面展开图的圆

心角是()

A.7iB.5K/6C.2K/3D.TI/2

30.对满足a>b的任意两个非零实数，下列不等式成立的是

A.B.lga?>lgd2C.a*>64口(打V信)"

二、填空题(20题)

31.设离散型随机变量X的分布列为X-1012Pc2c3c4c则c=

32.将二次函数y=l/3(x-2)2-4的图像先向上平移三个单位，再向左平移五

个单位，所得图像对应的二次函数解析式为.

33.已知i,j,k为单位向量且互相垂直，向量a=i+j,b=-i+j-k则a*b=

已知球的半径为1,它的一个小圆的面积是这个球表面积的"I■，则球心到这个小

34.圆所在的平面的距离是

35.=(4.3)>jb=(1.-12)区相垂1'［，则工=.

36.已知直线3x+4y-5=0,'二十3’的最小值是.

37.设某射击手在一次射击中得分的分布列表如下，那么4的期望值等

e123

P0.40.10.5

38.sin'"»<i!i,-.

39.某同学每次投篮命中的概率都是06各次是否投中相互独立，则该

同学投篮3次恰有2次投中的概率是______o

4O.f(u)=u-l,u=(p(x)=lgx,则［(p(10))=()

41.正方体的全面积是a2,它的顶点都在球面上，这个球的表面积是

42,已知/（*）=/+'.则

43.曲线V="-2］在点（1,一1）处的切线方程为

44.

设3=cosrsirur,则丫,

45.

某次测试中5位同学的成绩分别为79,81,85,75,80,则他们成绩的平均数为

46.直线3x+4y-12=0与z轴、y轴分别交于A,B两点，O为坐标原

点，则AOAB的周长为

设正三角形的一个顶点在原点，关于X轴对称，另外两个顶点在抛物线/=23

47,则此三角形的边长为

已知双曲线与-匕=1的离心率为2,则它的脚条斯近线所夹的悔用为

ab

48.

49.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，A1A与B1D1所成的角的度

50.已知正三棱锥的侧棱长是底面边长的2倍，则侧棱与底面所成角的

余弦值等于

三、简答题（10题）

51.

（本小题满分13分）

如图,巳知楠国IG：专+/=】与双曲线G：4-r,=1（«>>）•

aa

（1）设外科分别是的离心率,证明e,e,<lS

（2）设44是G长轴的两个端点，尸（%,九）（1与1>a）在G上.直线与G的

另一个交点为Q,直线尸名与4的另一个交点为上证明QR平行于y轴.

52.（本小题满分12分）

分别求曲线y=-3x2+2x+4上满足下列条件的点

⑴过这些点的切线与X轴平行；

⑵过这些点的切线与直线y=x平行.

53.(本小题满分12分)

椭圆2x2+y2=98内有一点A(-5,0),在椭圆上求一点B,使|AB|最大.

54.

(22)(本小题满分12分)

面积为6的直角三角形三边的长由小到大成等差数列.公差为d.

(I)求d的值；

(D)在以最短边的长为首项，公差为d的等差数列中,102为第几项?

55.

(本题满分13分)

求以曲线2-+/-4z-10=0和，=2*-2的交点与原点的连线为渐近线,且实

轴在I轴匕实轴长为12的双曲线的方程.

56.

(本小题满分12分)

已知等差数列Ia.|中=9./+＜，,=0,

(1)求数列la.|的通项公式，

(2)当n为何值时,数列的前n项和S.取得最大(ft,并求出该最大值。

57.(本小题满分12分)

已知乙，吊是梅ffll卷+[=I的两个焦点/为椭圆上一点,且/，心%=30。,求

△PFE的面积.

58.

(本小题满分12分)

在(a%+l)7的展开式中,％3的系数是为2的系数与Z4的系数的等差中项，

若实数a>l,求a的值.

59.(本小题满分12分)

设一次函数f(x)满足条件2/(l)+3f(2)=3且2/(-l)-f(0)=-1,求f(x)的

解析式.

60.(本小题满分13分)

三角形两边之和为10,其夹角的余弦是方程2x2-3x-2=0的根，求这个

三角形周长的最小值.

四、解答题(10题)

61.设函数f(x)是一次函数，f(8)=15,且f(2),f(5),f(14)成等比数列.

(I)求f(x)；

(II)求f(l)+f(2)+…+f(50).

62.

2

63.已知等差数列前n项和Sn=2n-n.

(I)求这个数列的通项公式；

(II)求数列第六项到第十项的和.

64.

已知函数/(公匚会冠工+^^上+?的皿8^求：

(I)八外的最小正周期；

(n)，Cr)的最大值和最小值.

i-r2v2

力十.=1和圆Z“y=a2+〃

65.已知椭圆一和圆，M、N为圆与坐标

轴的交点，求证：圆的弦MN是椭圆的切线。

66.函数f(x)=ax3+bx2+ex+d,当x=-l时，取得极大值8,当x=2

时，取得极大值-19.

(I)求y=f(x);

(II)求曲线y=f(x)在点(-1,8)处的切线方程.

已知数列la」中,Qi=2,a.“

(I)求数列Ia.I的通项公式；

(II)若数列的前n项的和S.=3,求n的值.

67.16

如图.设AC_LBC./ABC=45•，/ADC=60，BD=20.求AC的长.

68.R

69.从一批含有13只正品，2只次品的产品中，不放回地抽取3次，每

次抽取1只，用匕表示抽到次品的次数.

(I)求自的分布列；

(II)求己的期望E©

设数列51满足a,=2,a.“=3a.-2(“为正整数).

⑴求3^1；

70(2)求数列s.的通项.

五、单选题(2题)

71.「二，'的值等「()

A.2B.-2C.0D.4

fx=342r

J（r为参数）

72.设直线的参数方程为‘'一',则此直线在轴上的截

距是（）

A.5B.-5C.5/2D.-5/2

六、单选题（1题）

73.

已知正方体A8（Z>A'BW的校长为1,则A（'与BC'所成角的余弦值为

A.A.AB.BC.CD.D

参考答案

1.B

lsrrr

Tr+1=Ci5(jrT)-•(x-T)•(-l)

=—l)r,

15r

,■■-^-=0=>r=6,

33乙

15X14X13X12X11X10

=5005.

C"6;

2.C

该小题主要考查的知识点为对数函数的性质.【考试指导】Igx函数为

单调递增函数.0=logl<lga<lgb<IglOO=2,则1<a<b<100.

4.A

A【解析】南数定义域为(-8.一DUU，

1。&三号所以/(一1)=一/<了),因此

人刀为奇哂效.

本题考查函数的奇偶性及对数函数的性质.验证函数的奇偶性时应注意

函数的定义域.本题利用f(-x)=f(x)也可求出答案.

5.D

本题考查了抛物线的焦点的知识点。

3

抛物线：y2=6x的焦点为F(5,0),则直线AF的斜率为

6.B

7.D

8.A

单调减函数,

根据函数的单调性、八子)>八&)>〃2).(答案为A)

9.B

tan(A+B)=janA^ta见=J

由题已知A+B=7i/41-tanA-tanB即tanA+tanB=l-

tanA*tanB,(1+tanA)(1+tanB)=1+tanA+tanB+tanA*tanB=2

10.D

由余弦定理有3会=A4申二殿=砥C+不-J

出次张定埋力WMA2AB-AC2X73X22,

A—箜■.则sinA^stn套"=).(答案为D)

00L

ll.B

12.D

13.D

14.C

15.A

由a为第二象限角可知cmoCO…/l"而一力1一十=一号.(答案为A)

v4A

16.D

由于二次不等式/+/r+g>0的解集为空集合="-4g<0，则甲是乙的充分必要条

件,(等案为D)

17.A

18.D

该小题主要考查的知识点为函数的奇偶性.【考试指导】f(x)=sinx=-sin(-

x)=-f(-x),所以Y=sinx为奇函数.

19.C

20.A该小题主要考查的知识点为交集.【考试指导】MAN={2,4}.

21.D

由/(4)不卜&4=2,得a：=4,乂a>0,故a=2.

时干两教"外=1侬1.根据时数函数的性质有成立.(卷案为D)

22.B

该小题主要考查的知识点为三角函数式的变换.【考试指导】

因为△回(：为等腰三角形，A为缜

角，cosA=1-2sin2**=_/，所以sin^=g，

cosB=cos(-5--A)=sinA=

23.B

因为a<b<0,l/a>l/b选项A成立。讨论B是否成立时，可用做差比较

法。

..I_1_=aTai)=b

*a—I)(a—b)aa(a^b)

a<0

•••^b)<0'

a-b<ZO

即」_；•<：1-,故选项B不成立.

a-ba

24.C

根据函数的奇偶性的定义可知>=/；为偶函数.(答案为C)

25.B

26.A

甲sirsi>.r2*什券今j：,向乙一甲.甲是乙的必要非充分条件.(答案为A)

27.D|x-2|<1=>-1<x-2<1=>1<x<3,故不等式的解集为{x[l<1<3}.

28.A

/(工)=1。国工在其定义域(0.+8)上是单调减函数，

根据函数的单调性、/•(；)>八[)>”2).(答案为A)

4S

29.A

设圆锥底面圆半径为r,由已知圆锥母版32rM心角-2L”.本题是对圆

锥的基本知识的考查，其侧面展开图所在圆的半径即为圆锥的母线

30.D

A错误,例如：-2>—4,而7|-2[<

错•误.例如：-io>一100,而!g（—10）:<

IgTlOO）2.

C3证.例如：—1>—2,而（-1）'V（-2）'.

（T）'=r'

D对：•-a〈—b.又,:，

（十）'=2T

.\2--<2~*l«F（y）-<（y）.

31.

需【解析】c+2c+3c+4c=10尸1,，c=卷.

32.y=l/3(x+3)2-l由：y=l/3(x-2)2-4图像向上平移3个单位得：：y=l/3(x-

2)2-1的图像再向左平移5个单位，得y=l/3(x-2+5)2-l的图像.

33.答案：0解析：由向量是内积坐标式，坐标向量的性质得:

外=r=42=1/

•j=j・k=i.jt=o

Q=i+j,b=_i+j—k,得;

34.3

35.9

4aL护=1616____8_=j

y~4a—4乂25

4XT6

b

是开口向上的抛物线..顶点坐标（一正•

4a丁尤）.有最小值1.

4a

37.

38.

22

390432投篮3次恰有2次投中的概率为C3-0.6.0.4=0.432.

40.

V^>(x)=lgj-.

.,.^>(10)=1810=1,

，

•./[y<10)]=?>(10)-l=l-1=0.

41.

设正方体的校长为1.6/=八±=会因为正方体的大对角线为球体的直径，彳J2F=V3T

J6

=%,即一亨%所以这个球的表面枳是S=4/=4x.序)=fa'.(答案为:冷

42.r>：II

43.

y=x-2

【解析】该小题主要考查的知识点为切线方程.

3,=X1—2x^>y—3xz—2,

=1，故曲段在煮(1，_1)处的切理方程为

，+11，即y=z—2.

【考试指导】

44.

y=­sinx-cosur,(答案为一sinx—coax)

45.

【答案】80

【解析】该小题主要考查的知识点为平均数.

【考试指导】成绩的平均数=(79+81+85+75+80)/5=80

46.

12

47.

48.

60°解析:由双曲线性感，得离心率，：上=2=三"4=冬争":4c=立则所求税角为18。0.

«ao。

2&rutiiDn=60°.

49.

50.

(20)【参考答案】4

n

设三棱锥为P-ABC,0为底面正三角形.48C的中心,则OP1面AHC.^.PCO即为侧梭与底

面所成角.

设48=1,则PC=2,OC=辛，所以

co#LPC。嘿卑

【解题指要】本题考查三棱锥的知识及线面角的求法.

正三棱锥的底面为正三角形，且顶点在底面的射影为底面正三角形的中

心，这是解题中应使

用的条件.

求线面角通常的方法是利用线面角的定义，求斜线和斜线在平面内的射

影所成角的大小.

51.证明：(1)由已知得

又a>l,可得0<（上）’<1,所以

a

（2）设Q但,为）华仇・力）.由题设,

3=工.①

X]♦。父0+Q

=1.②

孑+y：=l.③

将①两边平方.化简得

（先+a）y«（»,+a）‘总

由（2X3）分别得£=知"），乂=*一中,

代人④整理得

同理可得与=f.

所以跖=心/0.所以0/?平行于T轴.

52.

（1）设所求点为（q.）。）.

/=-6父+2.y'=-&+X

由于工轴所在克线的斜率为0,则-6^+2=O.Zo=1.

因此打=-3•6尸+24+4=号.

又点（"号）不在,轴匕故为所求.

（2）设所求为点

由（1）川=-6x0+2.

由于y=x的斜率为1,则-6%+2=1,&=/

因此兀="•古+2•春+4耳

又点（高为不在直线y=x上.故为所求.

53.解

设点8的坐标为（看,力），则

1,

I4BI=y（x,+5）+y1①

因为点B在椅回上.所以24+yj=98

y「=98-2*J②

将②代人①，得

J1

\AB\=y（xt+5）+98-2x,

1

=v/-（x,-lOxl+25）+148

=/-（斫-5）0148

因为-6；-5）‘W0,

所以当巧=5时，-（与-5）'的值锻大，

故M8I也最大

当阳=5时.由②.得y产士4方

所以点8的坐标为（5.4闻或（5.-4月）时1481最大

54.

（22）解：（I）由已知条件可设直线三角形的三边长分别为

a-dta,Q+d,其中a>0,d>0,

则（a+d）2=l+（Q-d）2.

a=4d,

三边长分别为3d,4d,5d.

S=/x3dx4d=6,d=l.

故三角形的三边长分别为3,4,5,

公差J=1.

（11）以3为首项,1为公差的等差数列通项为

am=3+（n-l）,

3+（几-1）=102,

n=100,

故第100项为102.

55.

本题主要考查双曲线方程及综合解题能力

t2x24-y2-4x-10=0

根据题意.先解方程组3绘-2

得两曲线交点为［rxs3,.Irw=3c

ly=2,ly=-2

先分别把这两点和原点连接,得到两条直线了=土多

这两个方程也可以写成号=0

94

所以以这两条直线为渐近线的双曲线方程为旨=。

9«4k

由于已知双曲线的实轴长为12,于是有

所以*=4

所求双曲线方程为

56.

(I)设等比数列M.I的公差为人由已知。，+%=0,得2,+9d=0.

又已知％=9,所以d=-2.

得数列Ia」的通项公式为a.=9-2(n-l),HPa.=ll-2n.

⑵数列la」的前n项和5.=3(9+ll-2/0=-J+10n=-S-5)’+25.

则当n=5时.S.取得最大值为25.

57.

由已知.楠圈的长轴长2a=20

设1阳1=m.lPF/=“，由椭圆的定义知,m+n=20①

又/=100-64=36.©=6,所以〃1(-6,0),乙(6,0)且IKFJ=12

231

在MF、片中,由余弦定理得m+n-2TOlcos3O°=12

m；+--力皿(=144②

m:+2mn+nJ=400,③

③-②，得(2+vT)mn=256,nvi=256(2-J3)

因此的面积为卜＞/1由030。=64(2-6)

由于(ax+l)'=(l+«*)7.

可见,搬开式中J./.f的系数分别为C。'.c/二CJ

由巳知.2C；＜?=C；1+C；a'.

Me7x6x57x67x6x5j,_

Xa＞1,则2x--•a=,+——"---a,5a3-10a+3=0.

nx/1J)xx

58解之，傅由。＞1,福

59.

设人X)的解析式为人口=3+6,

小依函题.意如褥1[2((。…+6)6+…3(2…a+6)・=3解.方程组,得。告A6=4..

.•.〃工)等-春.

60.

设三角形三边分别为a/.c且。+6=10,则6=10-a.

方程2?-3工-2=0可化为(2*+1)(一2)=0.所以、.=-y.xj=2.

因为a、b的夹角为。，且Icos创WI,所以cos^=

由余弦定理，猾

f二『+(10-a)，-2a(10-a)x(—­—•)

=2a’+100—20a+10。—o2=a"-10a+100

=(a-5)J+75.

因为(a-5)\0.

所以当a-5=0,即a=5时|.c的值最小,其值为网=5瓜

又因为a+〃=10,所以c取得皴小值,a+b+e也取得最小值・

因此所求为10+54.

61.

(I)设八幻="+瓦由八8)=15,得以+%=15.①

由八2).八5).八14)成等比数列.得r5a+〃)‘X2a+8)(14a+6).

即"+勿6=。因为a#0,则有a+26=0.⑵

由①,②解得a=2.8=—1,所以/(T)=2L1.

(fl)/(D4-/(2)+-+/(50)=l4-34…+99=为=2500.

62.

(r)证明：连结AC,因为四边形AECP为正方形，所以

UDLAC.

又由巳知外1■反而ADCD卷8。J.PA,所以DDJ.平面

PAC,DDS.PC.

因为华丽AAf0V〃BO,MW与BD共而，所以HD//MN.

MNLFC……5分

(U)内为MN，',又巳知AQJ,PC,MN与4Q和交，

所以尸C人平面AMQN.因此SQM/PMQ为所求的用.

因为P,1_L平而ABCD.A1U2C,

所以PB1RC.

因为AB=BC=a,AC-PA=0i,

所以PC=2",'

历以乙PCB=60».

因为HtAPECsRtAPQM.

所以LP"Q=/FG?=6。'.

所以PB与平面可叫刑所成的施为6。。.

2222

63.(I)当n>2时,an=Sn-Sn-i=(2n-n)-[2(n-l)-(n-l)]=2n-n-2n+4n-2+n-

l=4n-3(nN2),当n=l时，ai=Si=4xl-3=l,an=4n-3.

22

(II)SIO-S5=(2X1O-1O)-(2X5-5)=145.

64.

(I)/(力=2sir?x+cos'x4"bsinxco^u

='-(1—cos2z)+《(l4*cos2x)4^^in2x

4d4

=3+Jcos2z+g§in2x0g\sin(Zz十/.

4444do

因此〃力的最小正周期为T=昌="=x.

Iw|L

(【I)/Cr)的最大值为=他小值为年一

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