2020-2021学年南阳地区高一年级上册期末数学试卷(含解析)

2020-2021学年南阳地区高一上学期期末数学试卷

一、单选题(本大题共12小题，共60.0分)

1.已知集合4={x|y=ln(x—2)},B={x\x-4<0},则4介B=()

A.{x\x<2}B.{x|2<%<4}C.{%|0<%<4]D.{x|^<%<2]

2.已知两直线%%+bry+1=0和g%+b2y+1=0的交点为P(2,3),求过两点4(四,瓦)、

8(。2，匕2)(%W&2)的直线方程()

A.3%+2y+1=0B.5x+y+1=0

C.%+5y+1=0D.2%+3y+1=0

3.经过原点并且与直线％+y-2=0相切于点(2,0)的圆的标准方程是()

A.(%—I)2+(y+I)2=2B.(%+I)2+(y—I)2=2

C.(%—I)2+(y+=4D.(%+l)2+(y—1)2=4

4.如图，小华拿一个矩形木框在阳光下玩，矩形木框在地面上形成的投影不可能是()

B.

CIID\\

,,,丫2丫3v4v2017v2v3v4v2017

5-已知函数/'(x)=l+x—万+石一7+…+砺，g^=l-x+---+--------设函

数F(x)=+4)•g(x-5),且函数/(x)的零点均在区间[a,b](a<b,a,beZ)内，则)—a

的最小值为()

A.9B.10C.11D.12

6.给出一下四个命题()

①平面a外的一条直线，上有两个不同点到平面a的距离相等，则直线I平行于平面a

②平面a外有三个不共线的点到面a的距离相等，则经过这三个点的平面平行于平面a

③空间中垂直于同一直线的两直线可以不平行

④空间中垂直于同一平面的两个平面可以平行

其中真命题有()

A.①②③④B.①②④C.②③④D.③④

7.设集合M={x|-lSx<2},N={x|log2x>0},则MUN=()

A.[-l,+oo)B.(l,+oo)C.(-1,2)D.(0,2)

8.已知直线y=-%+1与圆C：/+*一4%+3=o相较于A,B两点，则|4B|的值为()

A.JB.在C.V2D.2

N2

9.函数人>)=1。%(2/-〃+3)在区间[_1,+8)上是减函数，则实数£1的取值范围是()

A.(-00,-5)U[-4,4-00)B.(-5,-4]

C.(—8,-4]D.[-4,0)

10.已知点P(3,2)与点Q(l,4)关于直线/对称，则直线[的方程为()

A.=®B.富一翼=期C.言普涉普工=邮D.零'替第=物

11.已知儿B,C,D是以。为球心的球面上的四点，AB,AC,4。两两互相垂直，且AB=3,AC=4,

AD=V11,则球的半径为()

A.3B.4C.5D.6

12.过点(2,0)引直线，与曲线y=相交于4B两点，。为坐标原点，当AAOB的面积取最大

值时，直线，的斜率等于()

A.更B.-V3C.+在D.一出

3-33

二、单空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.若一个圆锥的母线长为4,高为2,则过这个圆锥的任意两条母线的截面面积的最大值是.

14.函数y=/(x)的定义域为(0,+8),且对于定义域内的任意x,y都有f(xy)=+f(y)，且

/(2)=1,则/(或)的值为.

15.两条平行线2x+3y—5=0和x+|y=1间的距离是.

16.若/'(X)=ex+ae-x为偶函数，贝好(％-1)<的解集为.

三、解答题(本大题共6小题，共70.0分)

17.已知圆C：(x-l)2+y2=9内有一点p(2,2),过点P作直线[交圆C于4、B两点.

(1)当，经过圆心C时，求直线，的方程；(写一般式)

(2)当直线/的倾斜角为45。时，求弦4B的长.

18.设底为等边三角形的直三棱柱的体积为V,那么其表面积最小时底面边长为多少？

19.已知函数/'(x)=log2x

(1)若函数y=g(x)是函数y=f(2x+1)的反函数，解方程g(2x)=3/-1(x)+3；

(2)当％G(3m,3m+3](mEN)时，定义h(x)=f(x-3m),设斯=n九(n),数列｛an｝的前n项和为S”

求(2],0.2»，。4,，a$，及S3”：

(3)对于任意a,b,cG[M,4-00),其中a2b2c,当a,b,c能作为一个三角形的三边长时./(a),

f(b),f(c)也总能作为一个三角形的三边长，试探究M的最小值.

20.如图，在三棱锥4-BC0中，顶点4在底面BCD上的投影。在棱80上,

AB=AD=V2.BC=BD=2,^CBD=90°,E为C。的中点.

(1)求证：AD1平面ABC；

(2)求二面角B-AE-C的余弦值；

(3)已知点Q为4E的中点，在棱BD上是否存在点P,使得PQ_L平面力BE,

若存在，求瞿的值；若不存在，说明理由.

21.现有一块长方形钢板4BCD(如图)，其中AB=4米，AD=6米，运输途中不慎将四边形4EP尸部

分损坏，经测量4E=1.5米，4F=3米，tan4AEP=4,乙4FP=45。.现过点P沿直线MN将破损

部分切去(M,N分别在AB,4。上)，设DN=t米.

(1)请将切去的△4MN的面积表示为t的函数f(t)；

(2)当DN的长度为多少时，切去的△力MN面积最小？并求出最小面积.

22.(本题满分12分)已知曲线C：x2+y2-2x-4y+m=()

(1)尚为何值时，曲线。表示圆

(2)若曲线C与直线x+2＞一4=0交于两点，且求搐的值

参考答案及解析

1.答案：B

解析：解：4={%|%>2},B={x\x<4},

・•・/nB={x|2<%<4].

故选：B.

可求出集合48,然后进行交集的运算即可.

本题考查了对数函数的定义域，描述法的定义，交集及其运算，考查了计算能力，属于基础题.

2.答案：D

解析：解：•・•两直线+瓦y+1=0和⑥汇+52丫+1=0的交点为P(2,3),

:.2al+3瓦4-1=0,2a2+3b24-1=0,

•1•2(ai-a2)+3(瓦一尻)=0,即/潦=一|.

•••所求直线方程为y-瓦=—|(x-aT).

:.2%+3y-(2%+3瓦)=0,

即2x+3y+1=0.

故选：D.

把P点坐标代入两直线Qi%+bry4-1=0和a2%+b2y+1=0,求出过两点/(%,瓦)、8(02，匕2)的斜

率，再求过两点4(%,瓦)、8(g,82)(。1。。2)的直线方程.

本题考查了两直线的交点坐标，考查了直线方程的求法，是中档题.

3.答案：A

解析：解：设圆心的坐标为(a,b),

则/+炉=/①,

(a-2)2+&2=r2@,

2=1③；

由①②③组成方程组，解得

a=1,b=—1,r2=2；

故所求圆的标准方程是

(%—I)2+(y+=2.

故选：A.

设出圆心坐标与半径，根据题意列出方程组，解方程组求出圆心与半径即可.

本题考查了圆的标准方程以及直线与圆相切的位置关系，是基础题目.

4.答案：A

解析：

直接利用矩形和底面的放置情况判断4、B、C、。的结果.

本题考查的知识要点：几何图形和投影的关系，主要考查学生的实际问题的应用能力，属于基础题.

解：对于从无论怎样放置矩形，不可能出现两个腰，由于太阳光是平行的，故A错误；

对于B：当矩形与底面垂直时，可能出现投影是一条直线，故B正确；

对于C：当矩形与底面平行时，出现的还是一个矩形，故C正确；

对于0：当矩形的一个角接触底面是投影可能是一个平行四边形，故力正确.

故选：A.

5.答案：D

解析：解・・,f(0)=1>0,/(-I)=-----<0,

；・函数/'(久)在区间(一1,0)内有零点；

-I.V-2017

当x6(-1,0)时，//(%)=——>0,

1+X

.•.函数/(x)在区间(―1,0)上单调递增,

故函数/(X)有唯一零点XG(-1,0);

111

•“⑴=1-1+「>…-赤>0,

20162017

g(2)=1-2+)237?

—FH------------------------<0・

320162017

2017T

当x6(1,2)时，f(x)=-i+x-x2+x3--+%2016-x2017=------>0,

X+1

・•・函数g(x)在区间(1,2)上单调递增，故函数g(x)有唯一零点Xe(1,2)；

•・,尸。)=+4)•g(x—5),且函数F(%)的零点均在区间[a,b](aVb,a,b/Z)内,

/(X+4)的零点在(—5,-4)内，g(x-5)的零点在(6,7)内,

因此尸(%)=/(x+4)-g(x-5)的零点均在区间［—5,7］内,

.­•b-a的最小值为7-(-5)=12.

故选：D.

根据函数的单调性求出函数零点的范围，作差即可求出b-a的最小值.

本题考查了函数零点问题，考查函数的单调性，是一道中档题.

6.答案：D

解析：解：①平面a外的一条直线I上有两个不同点到平面a的距离相等，则如果两点在平面a同侧,

则〃/a；如果两点在平面a异侧，则[与a相交，故错误；

②当平面a与平面口相交时，a内在平面口的两侧存在三点到平面口的距离相等，故错误；

③正方体从同一顶点出发的三条直线，即可判断空间中垂直于同一直线的两直线可以不平行，正确;

④空间中垂直于同一平面的两个平面可以平行、相交，故正确，

故选：D.

对四个命题分别进行判断，即可得出结论.

本题考查命题的真假判断与应用，综合考查空间直线与直线、平面与平面之间的位置关系，属于中

档题.

7.答案：4

解析：

本题主要考查指数不等式的解法，两个集合的并集的定义和求法，属于基础题.解指数不等式求出

N=(x\x>1],再利用两个集合的并集的定义求出MUN.

解：；N={x|log2x>0=log2l]={x\x>1},

•••MUA/={x|—1<x<2}U[x\x>1}={x|x>—1},

故选人

8.答案：C

解析：解：由圆C：x2+y2-4x+3=0,可得圆心为C(2,0),半径r=l,

求得弦心距d=邑紧=故弦长|倜=2=V2.

故选：C.

由条件可得圆心坐标和半径，利用点到直线的距离公式求出弦心距，再利用弦长公式求得弦长吊8|的

值.

本题主要考查直线和圆相交的性质，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，属于基础题.

9.答案:B

解析：解：设t=g(x)=2x2—以+3,贝*=log/为减函数，

若函数/⑺=1。%(2/一数+3)在区间[_i,+8)上是减函数，

则等价为士=9。)在区间1-L+8)上是增函数，

且满足9(-1)>0,

即卜/=三-1,即｛葭一之

即一5<a<4,

故选：B.

利用换元法，结合复合函数单调性之间的关系进行求解即可.

本题主要考查复合函数单调性的应用，利用换元法结合一元二次函数的单调性的性质是解决本题的

关键.

10.答案：A

解析：试题分析：屈就关于直线曰对称，有线段根的中点在直线充上，且直线鹿与直线事垂直,

本题中线段谈的中点为赧您境，代入各选择支，发现点豳?的坐标只适合4中的直线方程，利用

排除法,选A.

考点：点关于直线对称问题.

11.答案：4

解析：解：由已知，球心在以4B,AC,力。为长宽高的长方体的对角线上，球的直径为

yjAB2+AC2+AD2=V32+42+11=V36=6-

所以球的半径为3；

故选A.

由题意，球的球心在以ZB,AC,4D为长宽高的长方体的对角线上，球心是对角线的中点，由此求

出球的半径.

本题考查了球的内接几何体；关键是由题意，得到球心的位置；考查了学生的空间想象能力和计算

能力.

12.答案：D

解析：解：当△AOB面积取最大值时，04108,

•••曲线y=VI=相交于4B两点，。为坐标原点，

圆心0(0,0),半径r=VL

0A=OB=V2,AB=2,

二圆心。(0,0)到直线直线，的距离为1,

当直线I的斜率不存在时，直线，的方程为x=2,不合题意；

当直线，的斜率存在时，直线［的方程为y=k(x-2),

圆心(0,0)到直线，的距离d=舄=1,

解得k=土圣

■

,:k<Q,k=——3

故选：D.

当AAOB面积取最大值时，0410B,圆心0(0,0)到直线直线/的距离为1,由此能求出直线/的斜率.

本题考查了直线与圆的位置关系以及点到直线的距离公式的运用问题，解题的关键是根据AAOB的

面积取到最大值时。41。8,是中档题.

13.答案：8

解析：解：由题意：圆锥的母线长为4,高为2,

•••圆锥的底面半径r=2V3.

任意两条母线作截面(如图

)ACS,s

则CS=S4=4,AHCS是等腰三角形.

SD是AACS的高，且是4C的中点./fuA

设SD=/i,AC=m,BC=n.

r*n

可得：h2+-m2=16

4

即4尼+m2=64,

那么：64=4h2+m2>4m/i,(当且仅当2/i=?n时取等号)

mh<16.

则又心=1x16=8

故答案为8.

根据母线长为4,高为2,求出圆锥的底面半径.任意两条母线作截面，根据圆锥截图性质构造的三

角形建立关系.利用基本不等式的性质求解.

本题考查了圆锥截面图的面积的求法，构造等式关系.基本不等式的性质的思想.属于基础题.

14.答案：i

解析：解：：/(孙)=f(x)+/(y),且f(2)=1,

:,令x=y=V2>得/(2)=/(V2)+/(V2)=1,

•••/(V2)=p

故答案为：j.

利用f(町)=/(X)+f(y),且f(2)=1,可得/(2)=/(V2)+/(V2)=1,即可求出/(鱼)的值.

本题考查抽象函数的应用，利用赋值法是解题的关键.

15.答案：源

13

解析：解：x+|y=1可化为2x+3y-2=0,

故所求距离为高=鸳

故答案为：空亘.

13

直接利用两条平行线间的距离公式求法即可.

本题考查平行线间的距离，让X、y的系数对应相等是解决问题的关键，属基础题.

16.答案：(0,2)

解析：解：•.・/。)=靖+616-为偶函数，

•••/(-X)=/(x),BPe-x+aex=ex+ae~x,则a=l,

即/(x)=ex+e~x,

由/(x-1)<宁得靖-i+e-(x-i)<_=e+e-i,即f(x-1)</(l),

Wlx-nx/d),

又当x>0时，f(x)=ex-e-x=宅二>0,

即函数f(x)在［0,+8)上为增函数，

则即一1<乂一1<1,解得0cx<2,

所以不等式的解集为(0,2),

故答案为：(0,2)

根据函数奇偶性的性质求出a的值，判断函数的单调性，利用函数奇偶性和单调性的关系进行转化求

解即可.

本题主要考查不等式的求解，根据条件求出a的值，判断函数的单调性，利用奇偶性和单调性的关系

进行转化是解决本题的关键.

17.答案：解：(1)圆C：(x—l)2+y2=9的圆心为C(l,0),

因直线过点P、C,所以直线1的斜率为2,

直线I的方程为y=2(%—1),BP2%-y-2=0.

(2)当直线I的倾斜角为45。时，斜率为1,

直线，的方程为y—2=%—2,即％—y=0

圆心C到直线/的距离为+，圆的半径为3,

V2

所以弦48的长为2小2_(静=底.

解析：本题主要考查宜线与圆的位置关系，属于基础题.

(1)先求出圆的圆心坐标，从而可求得直线I的斜率，再由点斜式方程可得到直线I的方程，最后化简

为一般式即可.

(2)先根据点斜式方程求出方程，再由点到线的距离公式求出圆心到直线1的距离，进而根据勾股定

理可求出弦长.

18.答案：解：设底边边长为a,高为h,

则/=5/1=匹。2*/1,

4

,4V4闻

二仁砺=*'

则表面积为S=3a/i+2•立a2=3a2+史史，

42a

则S'=Wa-警，令S'=0,可得遍。=警，

a2a2

即a=V4V.

・・・直三棱柱的表面积最小时底面边长为师.

解析：设底边边长为a,高为h,利用体积公式V=Sh得出九，再根据表面积公式得S=3a/i+2-^-a2=

4

在a2+乜变，再利用导数求解.

2a

本题主要考查棱柱、棱锥、棱台、的侧面积和表面积，训练了利用导数求最值，考查运算求解能力，

是中档题.

19.答案：解：(1)：函数丫=9(町是函数丫=/(2刀+1)的反函数，

g(X)=?，厂1(%)=2X,

Vg(2x)=3/T(x)+3,当i=3x2x+3,

解得2%=7,­•x=log27.

(2)若1€(3m,3m+3],・•・m=0,・•・<p(l)=f(1)=0,・,・%=1x0=0

=

若2E(3m,3m+3],Am=0,・•・p(2)=/(2)=1,Aa22x1=2

若3£(3m,3m+3],・•・zn=0,・,・"(3)=f(3)=log??,・•・Q3=3】。出3

若4E(3m,3m+3],・•・m=1,・,・,(4)=/(l)=0,・•.=4x0=0(2分)

当n=3m+l(mGN)时，(p(n)=/(n—3m)=/(I)=0,Aan=nx0=0

当71=3m+2(m6N)时，(p(n)=f(n-3m)=f(2)=1,an=nx1=n

当九=3m+3(m6N)时，(p(n)=f(n-3m)=/(3)=log23,

・•・an=九]0。23(2分)S3rl=Qi+&+。3+。4+…+。3n

=lx0+2xl+3xlog23+4x0+5xld------F3nlog23

=(2+5+8+…+3n—1)x1+(3+6+9+…+3n)log23

2+3n—13+3TI

=-------------x九+---xnxlog23

=^[3n+l+(3n+3)log23].

(3)a、byc能作为一个三角形的三边长，由题意知，c+b>a

•."(a),/(b),/(c)能作为某个三角形的三边长，

...log2c+log2b>log2a.

be>a,

当b?2,c?2时，有(b-l)(c-1)21成立，则―•定有be>a成立.

rlog2c>0,

c>1,即0<MSl不合题意.

又当1<M<2时，取匕=时，c=M,a=M2,有M+M>M2,即b+c>a,

此时a,b,c可作为一个三角形的三边长，但logzM+log2M=2/og2M=log2M2,

即/(b)+/(c)=/(a),所以f(a)、/(b)、f(c)不能作为三角形的三边长.

综上所述，M的最小值为2.

解析：(1)由题设知g(x)=?，fT(x)=2L由g(2x)=3/T(X)+3,得%二=3、2丫+3,由

此能求出原方程的解.

(2)若1€(3m,3m+3],m=0,能导出的=0：若26(3/n,3m+3],m=0,能导出g=2；若3W

(3m,3m+3],m=0,能导出由=3log23；若4G(3m,3m+3],m=1,能导出％=0；当n=3m+

l(?n€N)时，能导出an=0；当九=3m+2(mEN)时，能导出an=?t；当九=3m+3(?n€N)时，

能导出册=Mog??.由此能求出S3九.

(3)由题意知，c+b>a,若f(a),f(b),f(c)能作为某个三角形的三边长=log2c+log2b>log2ao

be>a,be2b+c=(b-l)(c-1)21.当b22,c22时，有(b-l)(c-1)21成立，则一定有

be>a成立.由此能够导出M的最小值为2.

本题考查对数方程的解法，考查考查数列的前6项的求法，考查数列的前3n项和的求法，考查三角形

三边的最小值的求法，考查对数函数的性质等基础知识，考查运算求解能力、数据处理能力，考查

函数与方程思想、数形结合思想，是中档题.

20.答案：解：⑴因为顶点4在底面BCD上的投影。在棱B。上，

所以401平面BCD,

因为4。u平面4B0,

所以平面ABO1平面BCD,

因为ZTBD=90°,

所以BCJLBD,

因为平面ABDn平面BCD=BD,BCu平面BCD,

所以BC1平面A8D,

又u平面

所以8CJ.AD,

由48=力。=&,BD=2,WFD2=AB2+AD2,

所以4DJ.4B,

因为48nBC=BSLADC平面ABC,ABu平面48C,BCu平面ABC,

所以力D_1_平面ABC.

(2)连接OE,因为。为B。的中点，E为CO的中点，0E”BC,所以。E1BD,

如图，以。为坐标原点，分别以OE,0D,。4为x轴，y轴，z轴为正方向，建立空间直角坐标系，

x

则。(0,0,0),4(0,0,1),B(0,-l,0),C(2,-l,0),D(0,1,0),F(l,0,0),AC=(2,-1,-1),AB=

(0,-1,-1),荏=(1,0,-1)，

设平面4BE的一个法向量沅=(x,y,z),

则巴•亚取％=得沆

=0,^(-y-z=0fi,

设平面ACE的一个法向量记=(a,b,c),

则E.巫=0,即g-c：0取c=l,则五=(1,1,1),

设二面角B-AE-C的平面角为。，则cos。=需=高忘

|m||n|V3XV33

所以二面角B-AE-C的余弦值为

⑶设P(O,yo,O),Q&oJ),PQ=或一%》

因为PQ1平面ABE,

所以而〃记，则yog)=4(1,—Li)，

所以

a-|,y0-p

所端/

解析：(1)只需证明BC1A。及4。14B,即可得证；

(2)建立空间直角坐标系，求出两平面的法向量，利用向量公式求解；

(3)设出点P的坐标，依题意而〃记，进而求解.

本题考查线面垂直的判定及利用空间向量解决立体几何问题，考查逻辑推理能力及运算求解能力,

属于中档题.

21.答案：解：(1)过P分别向4。，4B作垂线，垂足分别为G,H,则

四边形4GPH为矩形，AP