圆锥曲线典型高考题总结-文档

1.（2010辽宁）设椭圆：的左焦点为F，过点F的直线与椭圆相交于A，B两点，直线的倾斜角为60o，．（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）如果=，求椭圆的方程．【解析】设，由题意知＜0，＞0.（Ⅰ）直线的方程为，其中.联立得解得因为，所以.即得离心率．（Ⅱ）因为，所以.由得.所以，得a=3，.椭圆C的方程为2.（2013安徽）如图，分别是椭圆：+=1（）的左、右焦点，是椭圆的顶点，是直线与椭圆的另一个交点，=60°．（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）已知△的面积为40，求a,b的值．【解析】（Ⅰ）（Ⅱ）设；则在中，面积3.(2014新课标1)已知点，椭圆：的离心率为，是椭圆的右焦点，直线的斜率为，为坐标原点．（Ⅰ)求的方程；（Ⅱ）设过点的动直线与相交于两点，当的面积最大时，求的方程．【解析】（Ⅱ）．4.（2010安徽文）椭圆E经过点A（2,3），对称轴为坐标轴，焦点F1，F2在x轴上，离心率求椭圆E的方程；求∠F1AF2的角平分线所在直线的方程.解：（1）设椭圆E的方程为由e=EQ\F(1,2)，得EQ\F(c,a)=EQ\F(1,2)，b2=a2-c2=3c2.∴将A（2,3）代入，有，解得：c=2,椭圆E的方程为（Ⅱ）由(Ⅰ)知F1（-2,0），F2（2,0），所以直线AF1的方程为y=EQ\F(3,4)(X+2)，即3x-4y+6=0.直线AF2的方程为x=2.由椭圆E的图形知，∠F1AF2的角平分线所在直线的斜率为正数.设P（x，y）为∠F1AF2的角平分线所在直线上任一点，则有若3x-4y+6=5x-10，得x+2y-8=0，其斜率为负，不合题意，舍去.于是3x-4y+6=-5x+10，即2x-y-1=0.所以∠F1AF2的角平分线所在直线的方程为2x-y-1=0.5.(2015浙江理)已知椭圆上两个不同的点关于直线对称．（1）求实数的取值范围；（2）求面积的最大值（为坐标原点）．解：（1）由题意知，可设直线的方程为.由消去，得.因为直线与椭圆有两个不同的交点，所以。 ①将线段中点代入直线方程解得。 ②由①②得或。（2）令，则，且到直线的距离为。设的面积为，所以，当且仅当时，等号成立.故面积的最大值为.6.（2016全国1）设圆的圆心为A，直线l过点B（1,0）且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.（I）证明为定值，并写出点E的轨迹方程；（=2\*ROMANII）设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M,N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围.解：（Ⅰ）因为，，故，所以，故.又圆的标准方程为，从而，所以.由题设得，，，由椭圆定义可得点的轨迹方程为：（）.（Ⅱ）当与轴不垂直时，设的方程为，，.由得.则，.所以.过点且与垂直的直线：，到的距离为，所以.故四边形的面积.可得当与轴不垂直时，四边形面积的取值范围为.当与轴垂直时，其方程为，，，四边形的面积为12.综上，四边形面积的取值范围为.7.（2014安徽）设,分别是椭圆：的左、右焦点，过点的直线交椭圆于两点，（Ⅰ）若的周长为16，求；（Ⅱ）若，求椭圆的离心率．【解析】：（Ⅰ）由得。因为的周长为16，所以由椭圆定义可得故。（Ⅱ）设，则且，由椭圆定义可得在中，由余弦定理可得即化简可得，而，故于是有，因此，可得故为等腰直角三角形．从而，所以椭圆的离心率．8.（2015安徽）设椭圆的方程为，点为坐标原点，点的坐标为，点的坐标为，点在线段上，满足，直线的斜率为．（Ⅰ）求的离心率；（Ⅱ）设点的坐标为，为线段的中点，点关于直线的对称点的纵坐标为，求的方程．【解析】（1）由题设条件知，点的坐标为，又，从而，进而得，故．（2）由题设条件和（I）的计算结果可得，直线的方程为，点的坐标为，设点关于直线的对称点的坐标为，则线段的中点的坐标为．又点在直线上，且,从而有，解得，所以，故椭圆的方程为．9.(2016全国3)已知抛物线C：的焦点为F，平行于x轴的两条直线分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点.（I）若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ；（II）若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程.解：由题设.设，则，且.记过两点的直线为，则的方程为......3分（Ⅰ）由于在线段上，故.记的斜率为，的斜率为，则.所以.......5分（Ⅱ）设与轴的交点为，则.由题设可得，所以（舍去），.设满足条件的的中点为.当与轴不垂直时，由可得.而，所以.当与轴垂直时，与重合.所以，所求轨迹方程为.10.已知椭圆，试确定的取值范围，使得对于直线，椭圆上总有不同的两点关于该直线对称。解：设，为椭圆上关于直线的对称两点，为弦的中点，则，两式相减得，即，，这就是弦中点轨迹方程。它与直线的交点必须在椭圆内联立，得则必须满足，即，解得11. 已知是椭圆不垂直于轴的任意一条弦，是的中点，为椭圆的中心.求证：直线和直线的斜率之积是定值.证明 设且，则，（1），（2）得：，，.又，，（定值）.12.已知,椭圆C过点A（1,）,两个焦点为（-1,0）,（1,0）.（1）求椭圆C的方程；（2）E,F是椭圆C上的两个动点,如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数,证明直线EF的斜率为定值,并求出这个定值.【答案】（1）；（2）.试题分析：（1）由c=1,利用待定系数法设椭圆方程为,代入A可得椭圆方程为；（2）直线AE方程为,代入消去得,设E（,）,F（,）则由根与系数的关系得,,直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数,在上式中以-k代替k,可得,,故直线EF的斜率.试题解析：（1）由题意,c=1,可设椭圆方程为.因为A在椭圆上,所以,解得=3,=（舍去）.所以椭圆方程为.13.（2007年高考全国卷Ⅰ）如图6，已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，过的直线交椭圆于两点，且。求四边形面积的最小值。解

由方程可知，，则。设直线与轴的夹角为，因为，所以直线与轴

QPNMFO的夹角为。代入弦长公式得，QPNMFO所以四边形面积的最小值为。14.(全国卷II)、、、四点都在椭圆上，为椭圆在轴正半轴上的焦点．已知与共线，与共线，且．求四边形的面积的最小值和最大值．解：如图，由条件知MN和PQ是椭圆的两条弦，相交于焦点F(0,1)，且PQ⊥MN，直线PQ、NM中至少有一条存在斜率，不妨设PQ的斜率为K，又PQ过点F(0,1)，故PQ的方程为=+1将此式代入椭圆方程得(2+)+2－1=0设P、Q两点的坐标分别为(，)，(，)，则从而亦即(1)当≠0时，MN的斜率为－，同上可推得故四边形面积令=得∵=≥2当=±1时=2，S=且S是以为自变量的增函数∴②当=0时，MN为椭圆长轴，|MN|=2，|PQ|=。∴S=|PQ||MN|=2综合①②知四边形PMQN的最大值为2，最小值为。15.（2013全国2）平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：eq\O(\s\UP7(x2),—,\s\DO6(a2))+\O(\s\UP8(y2),—,\s\DO7(b2))=1(a>b>0)的右焦点的直线x+yeq\R(,3)=0交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为eq\F(1,2).（Ι）求M的方程（Ⅱ）C，D为M上的两点，若四边形ACBD的对角线CD⊥AB，求四边形ACBD的面积最大值.【解】（Ⅰ）设A(x1,y1)，B(x2,y2)，P(x0,y0)⇒eq\b\lc\{(\a\al\co1(b2x\O(2,1)+a2y\O(2,1)=a2b2,b2x\O(2,2)+a2y\O(2,2)=a2b2))⇒eq\F(y1-y2,x1-x2)=eq\F(b2(x1+x2),a2(y1+y2))⇒kAB=eq\F(b2x0,a2y0)OP的斜率为eq\F(1,2)⇒eq\F(x0,y0)=2，直线x+yeq\R(,3)=0的斜率为1⇒kAB=1⇒1=eq\F(2b2,a2)⇒a2=2b2……=1\*GB3①由题意知直线x+yeq\R(,3)=0与x轴的交点F(eq\R(,3)，0)是椭圆的右焦点，则才c=eq\R(,3)⇒a2b2=3……=2\*gb3②联立解得=1\*GB3①、=2\*gb3②解得a2=6，b2=3所以M的方程为：eq\O(\s\UP7(x2),—,\s\DO6(6))+eq\O(\s\UP8(y2),—,\s\DO7(3))=1（Ⅱ）联立方程组eq\b\lc\{(\a\al\co1(x+y\R(,3)=0,\O(\s\UP7(x2),—,\s\DO6(6))+\O(\s\UP8(y2),—,\s\DO7(3))=1))，解得A(eq\F(4\R(,3),3),eq\F(\R(,3),3))、B(0,eq\R(,3))，求得|AB|=eq\F(4\R(,6),3)依题意可设直线CD的方程为：y=x+mCD与线段AB相交⇒eq\F(5\R(,3),3)<m<eq\R(,3)联立方程组eq\b\lc\{(\a\al\co1(y=x+m,\O(\s\UP7(x2),—,\s\DO6(6))+\O(\s\UP8(y2),—,\s\DO7(3))=1))消去x得：3x2+4mx+2m26=0……(*)设C(x3,y3)，D(