2023-2024学年河北省保定市高二上学期期末调研数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE3河北省保定市2023-2024学年高二上学期期末调研数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上．将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”．2．作答选择题时，选出每小题〖答案〗后，用铅笔2B把答题卡对应题目选项的〖答案〗信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它标号，〖答案〗不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，〖答案〗必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的〖答案〗，然后再写上新的〖答案〗；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的〖答案〗无效．4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本大题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点坐标为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点坐标为，故选：A2.已知直线与直线夹角为，则的倾斜角为（）A.或 B.或 C.或 D.或〖答案〗C〖解析〗直线斜率则倾斜角为，直线与直线夹角为，则的倾斜角为或.故选：C.3.如图，是抛物线上一点，是抛物线焦点，以为始边、为终边的角，则（）A.1 B.2 C.4 D.8〖答案〗B〖解析〗由题可知，则直线的方程为，与抛物线方程联立，得，解得，或，因为点在第一象限，所以，所以.故选：B.4.已知数列满足，的前项和为，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗，数列是以为公差的等差数列，，数列是以为公差的等差数列，.故选：B.5.任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环图，这就是数学史上著名的“冰霓猜想”（又称“角谷猜想”等）．已知数列满足：，则（）A.1 B.2 C.3 D.4〖答案〗B〖解析〗由题意可得，，，，，，，，，…，按照此规律下去，可得，，，，令，解得，.故选：B.6.已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，顶点在底面ABC上的射影为的中心，则异面直线AB与所成角的余弦值为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗设顶点在底面上的射影为，连接，因为，所以为异面直线AB与所成角，因为为等边三角形，为的中心，所以，因为顶点在底面ABC上的射影为，所以平面，因为平面，所以，,所以，所以，因为，所以，所以为等边三角形，所以，所以，所以异面直线AB与所成角的余弦值为，故选：A7.在公比不为1的等比数列中，，的前项积为，则中不同的数值有（）A.15个 B.14个 C.13个 D.12个〖答案〗B〖解析〗不妨设数列的公比为，则由可得：，则，于是，，对于，由可得：，即，整理得：，故得：，又，故有：，即在中，共有6对值分别相同，即其中不同的数值有14个.故选：B.8.已知为双曲线的左，右焦点，为坐标原点，为双曲线上一点，且，则到轴的距离为（）A.2 B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由双曲线，可得，则，设，由双曲线的定义，可得，根据余弦定理，可得，解得，再设点的坐标为，则，因为，可得，解得，由，可得，即点到轴的距离为.故选：C.二、选择题：本题共4小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．9.已知等比数列的首项为，公比为，则下列能判断为递增数列的有（）A. B.C. D.〖答案〗BD〖解析〗由等比数列首项为，公比为，对于A中，若，可得，所以为递减数列，所以A错误；对于B中，若，可得，所以为递增数列，所以B正确；对于C中，若，可得，所以为递减数列，所以C错误；对于D中，若，可得，所以为递增数列，所以D正确.故选：BD.10.平面直角坐标系中，，则下列说法正确的是（）A.若，则点轨迹椭圆B.若，则点轨迹为双曲线C.若，则点轨迹关于轴、轴都是对称的D.若，则点轨迹为圆〖答案〗ACD〖解析〗对于A中，因为，由椭圆的定义可知，点的轨迹为椭圆，所以A正确；对于B中，由双曲线的定义可得时，点的轨迹为双曲线，所以B不正确；对于C中，设，由，可得，整理得，可得曲线关于轴对称，所以C正确；对于D中，因为，可得，整理得，即，所以点的轨迹为以为圆心，半径为的圆，所以D正确.故选：ACD.11.正方体中，P，Q，R分别是棱的中点，则下列结论正确的是（）AP，Q，R，C四点共面 B.平面PQRC.平面 D.和平面PQR所成角的正弦值为〖答案〗BC〖解析〗以D为坐标原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则，则，则两向量没有倍数关系，即不共线，即不平行，又平面，平面,且平面平面，故不相交，则异面，即P，Q，R，C四点不共面，A错误；，设平面的一个法向量为，则，令，则，又，则，又平面，故平面，B正确；由于，则，则，故平面，即平面，C正确；由于，平面的一个法向量为，设和平面所成角为，则，故D错误；故选：BC12.已知点，直线上有且仅有一点满足，则可能是（）A.0 B.－1 C. D.〖答案〗AB〖解析〗由点，且点满足，根据双曲线的定义，可得点是以为焦点的双曲线的右支，且，所以双曲线的方程为，又由直线，可得，联立方程组，解得，所以直线过定点，由双曲线的渐近线方程为，当时，直线的方程为，此时直线与双曲线的右支相切，只有一个公共点，符合题意，所以A正确；当时，直线的方程为，此时直线与双曲线的右支只有一个公共点，符合题意，所以B正确；当时，直线的方程为，此时直线与双曲线的右支没有公共点，不符合题意，所以C不正确；当时，直线的方程为，联立方程组，其中，可得，此时，且易知方程有两个正根，所以直线与双曲线有两个公共点，不符合题意，所以D不正确.故选：AB.三、填空题：本题共4小题．13.等差数列中，，则______．〖答案〗0〖解析〗因为数列为等差数列，所以若，则，又，所以，又，所以，故〖答案〗为：.14.若数列为等比数列，则以为焦点的抛物线标准方程为______．〖答案〗〖解析〗因为数列为等比数列，所以，，则，，所以以为焦点的抛物线标准方程为：，故〖答案〗为：15.在空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程可写为．已知直线的方向向量为，平面的方程为，则直线与平面所成角的正弦值为______．〖答案〗〖解析〗平面的方程为，所以可得平面法向量可以为，又直线的方向向量为所以直线与平面所成角的正弦值为,故〖答案〗为：16.过直线上任意一点作椭圆的两条切线，切点分别是A，B，过点向直线引垂线，垂足为，则线段为坐标原点）的最大值为______．〖答案〗〖解析〗设，设切线的方程为，联立得；∵与椭圆相切，∴，整理得：，所以代入，得，所以，从而切线的方程为，再将代入整理可得，直线的方程为：，同理直线的方程为：，直线，的方程过点，所以，，即，，则为方程的解，故直线的方程为，令，则，这直线恒过定点，①当直线的斜率不存在时，则直线为，过点向直线引垂线，垂足为，则，②当直线的斜率存在时，则直线为，过点向直线引垂线，垂足为，过点作向直线引垂线，垂足为，连接，点到直线距离为，过点作交于点，可知四边形时矩形，所以，而在中，，又，所以，所以，在中，，而在中，，则，故可知.故〖答案〗为：.四、解答题：本题共6小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.如图，在空间四边形ABCD中，为BC的中点，在CD上，且．（1）以为基底，表示；（2），，求．解：（1），（2）由（1）得18.已知数列的首项是3，且满足．（1）求证：是等比数列；（2）求数列的前项和．解：（1）由，得，又．所以数列是以1为首项，3为公比的等比数列．（2）由（1）得数列是以1为首项，3为公比的等比数列，，，19.已知点在圆上运动，，点为线段MN中点．（1）求点的轨迹方程；（2）已知，求的最大值．解：（1）设点，因为为中点，，于是有，因为点在圆上运动，所以，代入得，化简得，所以点的轨迹方程为；（2）因为，所以所以的最大值为89．20.如图，正四棱锥中，，正四棱锥的高为分别为PB，PD的中点．（1）求证：（2）连结BF，DE相交于点，求平面与平面夹角的正弦值．解：（1）在正四棱锥中，连接交于点，连接．因为四棱锥为正四棱锥，所以平面，四边形为正方形，所以，，因为平面，所以，所以两两垂直，所以以为原点，以分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系．因为，，所以在中，由，得，得，所以，则，因为为分别为PB，PD的中点，所以，所以，所以．所以．（2）在分别为的中点，点为的交点，所以为的重心，则，所以，设平面的法向量为，则，令，则，设平面的法向量为，则，令，则，设平面与平面夹角为，则，所以，所以平面与平面夹角的正弦值为．21.已知等差数列的前项和为，，且．（1）求数列的通项公式；（2）设，数列的前项和为，定义为不超过的最大整数，例如，，求数列的前项和．（说明：）解：（1）设等差数列的公差为，由得：，解得：，.（2）由（1）得：，，；则当时，；当时，；当时，；综上所述：.22.椭圆的离心率为分别为椭圆的右顶点和上顶点，为坐标原点，已知面积为3．（1）求椭圆的标准方程；（2）过点作直线交椭圆于P，Q两点，过点向轴引垂线交MN于点B，点C为点P关于点B的对称点，求证：C，Q，M三点共线．解：（1）由题意得，即解得，所以椭圆.（2）由题意可得直线的斜率存在，设斜率为则直线，联立，消去得，化简得，，则，因为分别为椭圆的右顶点和上顶点，所以则直线为，又因为过点向轴引垂线交于点，所以点满足解得，点为点关于点的对称点，所以，所以，所以三点共线．河北省保定市2023-2024学年高二上学期期末调研数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上．将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”．2．作答选择题时，选出每小题〖答案〗后，用铅笔2B把答题卡对应题目选项的〖答案〗信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它标号，〖答案〗不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，〖答案〗必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的〖答案〗，然后再写上新的〖答案〗；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的〖答案〗无效．4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本大题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点坐标为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点坐标为，故选：A2.已知直线与直线夹角为，则的倾斜角为（）A.或 B.或 C.或 D.或〖答案〗C〖解析〗直线斜率则倾斜角为，直线与直线夹角为，则的倾斜角为或.故选：C.3.如图，是抛物线上一点，是抛物线焦点，以为始边、为终边的角，则（）A.1 B.2 C.4 D.8〖答案〗B〖解析〗由题可知，则直线的方程为，与抛物线方程联立，得，解得，或，因为点在第一象限，所以，所以.故选：B.4.已知数列满足，的前项和为，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗，数列是以为公差的等差数列，，数列是以为公差的等差数列，.故选：B.5.任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环图，这就是数学史上著名的“冰霓猜想”（又称“角谷猜想”等）．已知数列满足：，则（）A.1 B.2 C.3 D.4〖答案〗B〖解析〗由题意可得，，，，，，，，，…，按照此规律下去，可得，，，，令，解得，.故选：B.6.已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，顶点在底面ABC上的射影为的中心，则异面直线AB与所成角的余弦值为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗设顶点在底面上的射影为，连接，因为，所以为异面直线AB与所成角，因为为等边三角形，为的中心，所以，因为顶点在底面ABC上的射影为，所以平面，因为平面，所以，,所以，所以，因为，所以，所以为等边三角形，所以，所以，所以异面直线AB与所成角的余弦值为，故选：A7.在公比不为1的等比数列中，，的前项积为，则中不同的数值有（）A.15个 B.14个 C.13个 D.12个〖答案〗B〖解析〗不妨设数列的公比为，则由可得：，则，于是，，对于，由可得：，即，整理得：，故得：，又，故有：，即在中，共有6对值分别相同，即其中不同的数值有14个.故选：B.8.已知为双曲线的左，右焦点，为坐标原点，为双曲线上一点，且，则到轴的距离为（）A.2 B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由双曲线，可得，则，设，由双曲线的定义，可得，根据余弦定理，可得，解得，再设点的坐标为，则，因为，可得，解得，由，可得，即点到轴的距离为.故选：C.二、选择题：本题共4小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．9.已知等比数列的首项为，公比为，则下列能判断为递增数列的有（）A. B.C. D.〖答案〗BD〖解析〗由等比数列首项为，公比为，对于A中，若，可得，所以为递减数列，所以A错误；对于B中，若，可得，所以为递增数列，所以B正确；对于C中，若，可得，所以为递减数列，所以C错误；对于D中，若，可得，所以为递增数列，所以D正确.故选：BD.10.平面直角坐标系中，，则下列说法正确的是（）A.若，则点轨迹椭圆B.若，则点轨迹为双曲线C.若，则点轨迹关于轴、轴都是对称的D.若，则点轨迹为圆〖答案〗ACD〖解析〗对于A中，因为，由椭圆的定义可知，点的轨迹为椭圆，所以A正确；对于B中，由双曲线的定义可得时，点的轨迹为双曲线，所以B不正确；对于C中，设，由，可得，整理得，可得曲线关于轴对称，所以C正确；对于D中，因为，可得，整理得，即，所以点的轨迹为以为圆心，半径为的圆，所以D正确.故选：ACD.11.正方体中，P，Q，R分别是棱的中点，则下列结论正确的是（）AP，Q，R，C四点共面 B.平面PQRC.平面 D.和平面PQR所成角的正弦值为〖答案〗BC〖解析〗以D为坐标原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则，则，则两向量没有倍数关系，即不共线，即不平行，又平面，平面,且平面平面，故不相交，则异面，即P，Q，R，C四点不共面，A错误；，设平面的一个法向量为，则，令，则，又，则，又平面，故平面，B正确；由于，则，则，故平面，即平面，C正确；由于，平面的一个法向量为，设和平面所成角为，则，故D错误；故选：BC12.已知点，直线上有且仅有一点满足，则可能是（）A.0 B.－1 C. D.〖答案〗AB〖解析〗由点，且点满足，根据双曲线的定义，可得点是以为焦点的双曲线的右支，且，所以双曲线的方程为，又由直线，可得，联立方程组，解得，所以直线过定点，由双曲线的渐近线方程为，当时，直线的方程为，此时直线与双曲线的右支相切，只有一个公共点，符合题意，所以A正确；当时，直线的方程为，此时直线与双曲线的右支只有一个公共点，符合题意，所以B正确；当时，直线的方程为，此时直线与双曲线的右支没有公共点，不符合题意，所以C不正确；当时，直线的方程为，联立方程组，其中，可得，此时，且易知方程有两个正根，所以直线与双曲线有两个公共点，不符合题意，所以D不正确.故选：AB.三、填空题：本题共4小题．13.等差数列中，，则______．〖答案〗0〖解析〗因为数列为等差数列，所以若，则，又，所以，又，所以，故〖答案〗为：.14.若数列为等比数列，则以为焦点的抛物线标准方程为______．〖答案〗〖解析〗因为数列为等比数列，所以，，则，，所以以为焦点的抛物线标准方程为：，故〖答案〗为：15.在空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程可写为．已知直线的方向向量为，平面的方程为，则直线与平面所成角的正弦值为______．〖答案〗〖解析〗平面的方程为，所以可得平面法向量可以为，又直线的方向向量为所以直线与平面所成角的正弦值为,故〖答案〗为：16.过直线上任意一点作椭圆的两条切线，切点分别是A，B，过点向直线引垂线，垂足为，则线段为坐标原点）的最大值为______．〖答案〗〖解析〗设，设切线的方程为，联立得；∵与椭圆相切，∴，整理得：，所以代入，得，所以，从而切线的方程为，再将代入整理可得，直线的方程为：，同理直线的方程为：，直线，的方程过点，所以，，即，，则为方程的解，故直线的方程为，令，则，这直线恒过定点，①当直线的斜率不存在时，则直线为，过点向直线引垂线，垂足为，则，②当直线的斜率存在时，则直线为，过点向直线引垂线，垂足为，过点作向直线引垂线，垂足为，连接，点到直线距离为，过点作交于点，可知四边形时矩形，所以，而在中，，又，所以，所以，在中，，而在中，，则，故可知.故〖答案〗为：.四、解答题：本题共6小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.如图，在空间四边形ABCD中，为BC的中点，在CD上，且．（1）以为基底，表示；（2），，求．解：（1），（2）由（1）得18.已知数列的首项是3，且满足．（1）求证：是等比数列；（2）求数列的前项和．解：（1）由，得，又．所以