2024届海南省部分学校高三下学期高考全真模拟卷（六）数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE2海南省部分学校2024届高三下学期高考全真模拟卷（六）数学试题一、选择题1.已知复数满足，则的共轭复数在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗D〖解析〗∵，∴，∴，在复平面内对应的点位于第四象限.故选：D．2.已知集合，，若中恰有两个元素，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由中恰有两个元素，可知，故，即．因为，故在上恒成立，故实数的取值范围为.故选：D．3.已知，则“”是“的二项展开式中常数项为60”的（）A.充要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗B〖解析〗的展开式的通项为．令，得，则的常数项为，则，∴“”是“的二项展开式中常数项为60”的充分不必要条件.故选:B．4.如图，点P，A，B均在边长为1的小正方形组成的网格上，则（）A.－8 B.－4 C.0 D.4〖答案〗A〖解析〗如图，以点P为坐标原点，建立平面直角坐标系，则：，，，故选:A．5.等差数列的前项和为，已知，则的前100项中，为整数的各项之和为（）A.1089 B.1099 C.1156 D.1166〖答案〗C〖解析〗设等差数列公差为，由，，，解得：，所以．要使为整数，则是3的倍数，又，所以可令．记的前100项中的整数项构成的数列为，则，所以的前34项的和.故选：C．6.在一次立体几何模型的实践课上，老师要求学生将边长为4的正方形ABCD沿对角线AC进行翻折，使得D到达的位置，此时平面平面，连接，得到四面体，记四面体的外接球球心为O，则点O到平面的距离为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗根据题意作出图形如图所示，连接，，则，显然四面体的外接球球心O为AC的中点．由于平面平面，且交线为,所以,又．设点O到平面的距离为h，则由，可得，解得，故选:A．7.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的焦点为F，过点F且倾斜角为120°的直线与抛物线C交于A，B两点，其中点A在第一象限，若，则的面积为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗根据题意得直线，由得设，则，故，解得，代入（*）式，解得．将代入直线的方程中，解得，故，故选:B．8.若，则的大小关系为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗设，则，∴时，，在上单调递增．∴，即，∴，．设，则，∴当时，，即在上单调递增．∴，，∴，即．综上，.故选：C．二、选择题9.下列说法正确的是（）A.68，60，62，78，70，84，74，46，73，81这组数据的第80百分位数是78B.若一组数据的方差为0.2，则的方差为1C.样本相关系数可以用来判断成对样本数据相关关系的正负性D.若变量，则〖答案〗CD〖解析〗对于A，这组数据从小到大排列为：46，60，62，68，70，73，74，78，81，又，第8位数字是78，第9位数字是81，故这组数据的第80百分位数是，故A错误；对于B，的方差为，故B错误；对于C，样本相关系数r的符号反映了相关关系的正负性，当时，成对样本数据正相关，当时，成对样本数据负相关，故C正确；对于D，∵，∴，故D正确，故选：CD10.已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（）A.B.直线是函数的一条对称轴C.当时，的取值范围为D.若方程在上有两个不相等的实数根，则的取值范围为〖答案〗AD〖解析〗对于A，由图可知，∴，∴．又，即，∴，∴．∵，∴，故A正确；对于B，，故B错误；对于C，，即，∴，解得－，故C错误；对于D，当时,．当时，单调递减；当时，单调递增．∵，，，∴要使方程在上有两个不相等的实数根，则，故D正确.故选：AD．11.数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，如星形线、卵形线、蔓叶线等，心形线也是其中一种，因其形状像心形而得名，其平面直角坐标方程可表示为，图形如图所示．当时，点在这条心形线C上，且，则下列说法正确的是（）A.若，则B.若，则C.D.C上有4个整点（横、纵坐标均为整数的点）〖答案〗ACD〖解析〗依题意，心形线C的直角坐标方程为，过原点,由，可知三点共线，可设直线，由消去y，得．不妨设，则．∴，故A正确；，当时，，故B错误；设点在心形线C上，，角以x轴非负半轴为起始边，则心形线C方程转化为，即，∴，又，∴，故C正确；由，可知．令，则心形线C的方程可化为：，∴，当，或，进而可得或0，当时，方程无整数解；当时，，故∴C上有4个整点，故D正确，故选:ACD．三、填空题12.已知函数，过原点作曲线的切线，则切线的斜率为______．〖答案〗〖解析〗根据题意得，，设切点坐标为，则，所以切线的方程为，将点代入，可得，整理得，故，解得，故，即切线的斜率为．故〖答案〗为：.13.设分别为椭圆的左、右焦点，O为坐标原点，点P在C上，若，则的内切圆的面积为______．〖答案〗〖解析〗不妨设，，则．在中，由余弦定理得，．由，且，可得，即，所以，所以内切圆半径为，所以的内切圆的面积为．故〖答案〗为：14.已知数列是递减数列，且，则实数t的取值范围为______．〖答案〗〖解析〗∵数列是递减数列，∴，即，化简得．当时，的值有正有负，∴不恒成立；当时，，，∴不成立；当时，，由题意得，.注意到函数在上单调递增，故当时，取得最小值，即有，解得，∴实数t的取值范围为．故〖答案〗为：.四、解答题15.已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且（1）求B；（2）若点D在AC上，且，求．解：（1）∵，∴，，∵，∴，由正弦定理得，，∵，，即，由倍角公式得．∵，∴，∴，则有.故．（2）∵，∴，，∴，即，整理得，又由余弦定理，，∴，即，∴．16.2023年杭州亚运会于2023年9月23日至10月8日举行，亚洲45个国家和地区的奥委会代表参会．某校想趁此机会带动学生的锻炼热情，准备开设羽毛球兴趣班，在全校范围内采用简单随机抽样的方法，分别抽取了男生和女生各100名作为样本，调查学生是否喜欢羽毛球运动，经统计，得到了如图所示的等高堆积条形图．（1）根据等高堆积条形图，填写下列列联表，并依据的独立性检验，推断是否可以认为该校学生的性别与是否喜欢羽毛球运动有关联；性别是否喜欢羽毛球运动合计是否男生女生合计（2）已知该校男生与女生人数相同，将样本的频率视为概率，现从全校学生中随机抽取30名学生，设其中喜欢羽毛球运动的学生人数为X，求取得最大值时的值．附：0.100.050.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828参考公式：，其中．解：（1）由题意，根据等高堆积条形图，完成列联表如下：性别是否喜欢羽毛球运动合计是否男生7525100女生5545100合计13070200零假设为：该校学生的性别与是否喜欢羽毛球运动没有关联．，∴依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即能认为该校学生喜欢羽毛球运动与性别有关联．（2）由列联表可知，该校学生喜欢羽毛球运动的频率为，∴随机变量，∴．要使取得最大值，则需，解得，∵，∴当时，取得最大值．17.如图，在四棱柱中，四边形为菱形，四边形为矩形，，，，二面角的大小为，分别为BC，的中点.（1）求证：；（2）求直线与平面BCN所成角的正弦值.（1）证明：取AD的中点O，连接OM，ON，AN，DN，四边形为菱形,，.由棱柱的性质可得：四边形是菱形，边长为，.又点N为的中点，，且.又四边形ABCD为矩形，，，，，故即为二面角的平面角，则，所以为等边三角形，，又在矩形ABCD中，点M为BC的中点，点O为AD的中点，，又，平面MON，平面MON，平面MON，又平面MON，，又，，故.（2）解：由（1）可知，，，，平面ADN，平面ADN，平面ADN，又平面ABCD，平面平面ABCD，又平面平面，平面ADN，且，平面ABCD，故OA，OM，ON两两相互垂直，以O为原点，以OA，OM，ON所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，故，，设平面BCN的法向量，则，取，则，记直线与平面BCN所成角为，则，故直线与平面BCN所成角的正弦值为.18.已知双曲线的一条渐近线方程为，右焦点为．（1）求C的标准方程；（2）过点F且相互垂直的两条直线和分别与C交于点A，B和点P，Q，记的中点分别为M，N，求证：直线过定点．解：（1）设双曲线C的半焦距为c，根据题意得，解得，所以C的标准方程为；（2）当直线和斜率均存在时，设直线的方程为，，，中点，由，消去，得，则，，，故；设直线的方程为且，，中点，同理可得，因为，所以，，当时，，此时，直线的方程为；当时，，此时直线MN的斜率，直线的方程为，即，此时直线过定点；当直线和其中一条直线的斜率不存在时，所在直线为x轴，也过点，综上所述，直线过定点.19.已知函数，且的图象在处的切线斜率为2．（1）求m；（2）求的单调区间；（3）若有两个不等的实根，求证：．（1）解：因为，所以，根据题意得，解得；（2）解：由（1）可知，，又，所以，故的单调递增区间为R，无单调递减区间（3）证明：由有两个不等的根，不妨设，可得，整理得，令，则，故在上单调递增，因为，所以，即，那么，结合（*）式，则，而，可得；下面证明，等价于证明，令，设，，则在上单调递减，所以，即，故，即得证，由不等式的传递性知，即.海南省部分学校2024届高三下学期高考全真模拟卷（六）数学试题一、选择题1.已知复数满足，则的共轭复数在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗D〖解析〗∵，∴，∴，在复平面内对应的点位于第四象限.故选：D．2.已知集合，，若中恰有两个元素，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由中恰有两个元素，可知，故，即．因为，故在上恒成立，故实数的取值范围为.故选：D．3.已知，则“”是“的二项展开式中常数项为60”的（）A.充要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗B〖解析〗的展开式的通项为．令，得，则的常数项为，则，∴“”是“的二项展开式中常数项为60”的充分不必要条件.故选:B．4.如图，点P，A，B均在边长为1的小正方形组成的网格上，则（）A.－8 B.－4 C.0 D.4〖答案〗A〖解析〗如图，以点P为坐标原点，建立平面直角坐标系，则：，，，故选:A．5.等差数列的前项和为，已知，则的前100项中，为整数的各项之和为（）A.1089 B.1099 C.1156 D.1166〖答案〗C〖解析〗设等差数列公差为，由，，，解得：，所以．要使为整数，则是3的倍数，又，所以可令．记的前100项中的整数项构成的数列为，则，所以的前34项的和.故选：C．6.在一次立体几何模型的实践课上，老师要求学生将边长为4的正方形ABCD沿对角线AC进行翻折，使得D到达的位置，此时平面平面，连接，得到四面体，记四面体的外接球球心为O，则点O到平面的距离为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗根据题意作出图形如图所示，连接，，则，显然四面体的外接球球心O为AC的中点．由于平面平面，且交线为,所以,又．设点O到平面的距离为h，则由，可得，解得，故选:A．7.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的焦点为F，过点F且倾斜角为120°的直线与抛物线C交于A，B两点，其中点A在第一象限，若，则的面积为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗根据题意得直线，由得设，则，故，解得，代入（*）式，解得．将代入直线的方程中，解得，故，故选:B．8.若，则的大小关系为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗设，则，∴时，，在上单调递增．∴，即，∴，．设，则，∴当时，，即在上单调递增．∴，，∴，即．综上，.故选：C．二、选择题9.下列说法正确的是（）A.68，60，62，78，70，84，74，46，73，81这组数据的第80百分位数是78B.若一组数据的方差为0.2，则的方差为1C.样本相关系数可以用来判断成对样本数据相关关系的正负性D.若变量，则〖答案〗CD〖解析〗对于A，这组数据从小到大排列为：46，60，62，68，70，73，74，78，81，又，第8位数字是78，第9位数字是81，故这组数据的第80百分位数是，故A错误；对于B，的方差为，故B错误；对于C，样本相关系数r的符号反映了相关关系的正负性，当时，成对样本数据正相关，当时，成对样本数据负相关，故C正确；对于D，∵，∴，故D正确，故选：CD10.已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（）A.B.直线是函数的一条对称轴C.当时，的取值范围为D.若方程在上有两个不相等的实数根，则的取值范围为〖答案〗AD〖解析〗对于A，由图可知，∴，∴．又，即，∴，∴．∵，∴，故A正确；对于B，，故B错误；对于C，，即，∴，解得－，故C错误；对于D，当时,．当时，单调递减；当时，单调递增．∵，，，∴要使方程在上有两个不相等的实数根，则，故D正确.故选：AD．11.数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，如星形线、卵形线、蔓叶线等，心形线也是其中一种，因其形状像心形而得名，其平面直角坐标方程可表示为，图形如图所示．当时，点在这条心形线C上，且，则下列说法正确的是（）A.若，则B.若，则C.D.C上有4个整点（横、纵坐标均为整数的点）〖答案〗ACD〖解析〗依题意，心形线C的直角坐标方程为，过原点,由，可知三点共线，可设直线，由消去y，得．不妨设，则．∴，故A正确；，当时，，故B错误；设点在心形线C上，，角以x轴非负半轴为起始边，则心形线C方程转化为，即，∴，又，∴，故C正确；由，可知．令，则心形线C的方程可化为：，∴，当，或，进而可得或0，当时，方程无整数解；当时，，故∴C上有4个整点，故D正确，故选:ACD．三、填空题12.已知函数，过原点作曲线的切线，则切线的斜率为______．〖答案〗〖解析〗根据题意得，，设切点坐标为，则，所以切线的方程为，将点代入，可得，整理得，故，解得，故，即切线的斜率为．故〖答案〗为：.13.设分别为椭圆的左、右焦点，O为坐标原点，点P在C上，若，则的内切圆的面积为______．〖答案〗〖解析〗不妨设，，则．在中，由余弦定理得，．由，且，可得，即，所以，所以内切圆半径为，所以的内切圆的面积为．故〖答案〗为：14.已知数列是递减数列，且，则实数t的取值范围为______．〖答案〗〖解析〗∵数列是递减数列，∴，即，化简得．当时，的值有正有负，∴不恒成立；当时，，，∴不成立；当时，，由题意得，.注意到函数在上单调递增，故当时，取得最小值，即有，解得，∴实数t的取值范围为．故〖答案〗为：.四、解答题15.已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且（1）求B；（2）若点D在AC上，且，求．解：（1）∵，∴，，∵，∴，由正弦定理得，，∵，，即，由倍角公式得．∵，∴，∴，则有.故．（2）∵，∴，，∴，即，整理得，又由余弦定理，，∴，即，∴．16.2023年杭州亚运会于2023年9月23日至10月8日举行，亚洲45个国家和地区的奥委会代表参会．某校想趁此机会带动学生的锻炼热情，准备开设羽毛球兴趣班，在全校范围内采用简单随机抽样的方法，分别抽取了男生和女生各100名作为样本，调查学生是否喜欢羽毛球运动，经统计，得到了如图所示的等高堆积条形图．（1）根据等高堆积条形图，填写下列列联表，并依据的独立性检验，推断是否可以认为该校学生的性别与是否喜欢羽毛球运动有关联；性别是否喜欢羽毛球运动合计是否男生女生合计（2）已知该校男生与女生人数相同，将样本的频率视为概率，现从全校学生中随机抽取30名学生，设其中喜欢羽毛球运动的学生人数为X，求取得最大值时的值．附：0.100.050.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828参考公式：，其中．解：（1）由题意，根据等高堆积条形图，完成列联表如下：性别是否喜欢羽毛球运动合计是否男生7525100女生5545100合计13070200零假设为：该校学生的性别与是否喜欢羽毛球运动没有关联．，∴依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即能认为该校学生喜欢羽毛球运动与性别有关联．（2）由列联表可知，该校学生喜欢羽毛球运动的频率为，∴随机变量，∴．要使取得最大值，则需，解得，∵，∴当时，取得最大值．17.如图，在四棱柱中，四边形为菱形，四边形为矩形，，，，二面角的大小为，分别为BC，的中点.（1）求证：；（2）求直线与平面BCN所成角的正弦值.（1）证明：取AD的中点O，连接OM，ON，AN，DN，四边形为菱形,，.由棱柱的性质可得：四边形是菱形，边长为，.又