2024届江西省鹰潭市高三第一次模拟考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE2江西省鹰潭市2024届高三第一次模拟考试数学试题第Ⅰ卷选择题一、单项选择题1.若复数满足，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因为，所以由，得.故选：B.2.已知集合，集合，若，则的取值范围为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因为，或，因为集合，，所以，故选：A.3.南丁格尔玫瑰图是由近代护理学和护士教育创始人南丁格尔（FlorenceNightingale）设计的，图中每个扇形圆心角都是相等的，半径长短表示数量大小．某机构统计了近几年中国知识付费用户数量（单位：亿人次），并绘制成南丁格尔玫瑰图（如图所示），根据此图，以下说法正确的是（）A.2015年至2022年，知识付费用户数量先增加后减少B.2015年至2022年，知识付费用户数量逐年增加量2022年最多C.2015年至2022年，知识付费用户数量的逐年增加量逐年递增D.2022年知识付费用户数量超过2015年知识付费用户数量的10倍〖答案〗D〖解析〗对于A，由图可知，2015年至2022年，知识付费用户数量逐年增加，故A错误；对于BC，知识付费用户数量的逐年增加量分别为：2016年，；2017年，；2018年，；2019年，；2020年，；2021年，；2022年，；则知识付费用户数量逐年增加量2018年最多，知识付费用户数量的逐年增加量不是逐年递增，故BC错误；对于D，由，则2022年知识付费用户数量超过2015年知识付费用户数量的10倍，故D正确.故选：D.4.设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A.若，，则 B.若，，，则C.若，，则 D.若，，则〖答案〗B〖解析〗对于A，若，，则有可能，故A错误；对于B，若，，则直线的方向向量分别为平面法向量，又，即，所以，故B正确；对于C，若，，则有可能，故C错误；对于D，若，，则有可能，故D错误.故选：B.5.某单位为了解职工体重情况，采用分层随机抽样的方法从800名职工中抽取了一个容量为80的样本．其中，男性平均体重为64千克，方差为151；女性平均体重为56千克，方差为159，男女人数之比为，则单位职工体重的方差为（）A.166 B.167 C.168 D.169〖答案〗D〖解析〗依题意，单位职工平均体重为，则单位职工体重的方差为.故选：D.6.已知，，=（）A. B. C.3 D.〖答案〗D〖解析〗因为，所以，又，即，解得，所以.故选：D.7.已知椭圆：的左焦点为，如图，过点作倾斜角为的直线与椭圆交于，两点，为线段的中点，若（为坐标原点），则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗依题意，椭圆的左焦点为，，过作轴，垂足为，由，得，，则，设，则有，，由，两式相减得，则有，所以.故选：B.8.在满足,的实数对中,使得成立的正整数的最大值为（）A.22 B.23 C.30 D.31〖答案〗C〖解析〗因为，，所以，设，则，令，则，令，则，所以在上单调递增，在上单调递减，因为，，，所以，所以，又，，要使得成立，只需，即，所以正整数的最大值为.故选：C.二、多项选择题9.如图所示，已知角的始边为轴的非负半轴，终边与单位圆的交点分别为，为线段的中点，射线与单位圆交于点，则（）A.B.C.点的坐标为D.点的坐标为〖答案〗ABC〖解析〗对于A：因为，，所以，正确；对于B：依题意为线段的中点，则，则，又，所以，正确；对于C：为线段的中点，射线与单位圆交于点，则为的中点，所以，又，所以点的坐标为，正确；对于D：，，所以点的坐标为，错误.故选：ABC.10.中，内角，，的对边分别为，，，为的面积，且，，下列选项正确的是（）A.B.若，则只有一解C.若为锐角三角形，则取值范围是D.若为边上中点，则的最大值为〖答案〗ABD〖解析〗对于A，因为，所以，则，因为，所以，故A正确；对于B，因为，则，，故只有一解，故B正确；对于C，若为锐角三角形，则，，则，则，即，由正弦定理可知：，故C错误；对于D，若D为边上的中点，则，所以由余弦定理知，得，又，所以，当且仅当时取得等号，所以，即，故D正确.故选：ABD.11.直四棱柱的所有棱长都为4，，点在四边形及其内部运动，且满足，则下列选项正确的是（）A.点轨迹的长度为.B.直线与平面所成的角为定值．C.点到平面的距离的最小值为.D.的最小值为-2．〖答案〗BC〖解析〗直四棱柱的所有棱长都为4，则底面为菱形，又，则和都是等边三角形，设与相交于点，由，以为原点，为轴，为轴，过垂直于底面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则有，，点在四边形及其内部运动，设，，由，有，即，所以点的轨迹为平面内，以为圆心，2为半径的半圆弧，所以点的轨迹的长度为，A选项错误；平面的法向量为，，直线与平面所成的角为，则，又由，则，所以直线与平面所成的角为定值，B选项正确；，设平面的一个法向量为，则有，令，得，，所以点到平面的距离，，所以时，，所以点到平面的距离的最小值为，C选项正确；，，其几何意义为点到点距离的平方减12，由，点到点距离最小值为，的最小值为，D选项错误.故选：BC.第Ⅱ卷非选择题三、填空题12.的展开式中的系数为______．〖答案〗〖解析〗的展开式通项为，由题意令，解得，所以的展开式中的系数为.故〖答案〗为：.13.已知抛物线的焦点为，是上的动点，过点作直线的垂线，垂足为，则的最小值为______．〖答案〗〖解析〗如图所示，易知，直线过定点，因为，所以Q在以为直径的圆上，不妨设其圆心为，显然半径，分别过作准线的垂线，垂足为，结合抛物线定义有，当且仅当均在线段上时取得等号.故〖答案〗为：.14.已知函数，的定义域为，为的导函数，且，，若为偶函数，求=______．〖答案〗〖解析〗因为是偶函数，则，两边求导得，所以是奇函数，故，由，代入，得，则，所以，又是奇函数，所以，所以是周期函数，且周期为4，又，可知也是以4为周期的周期函数，令，得，故，而所以，令，得，则，而，，又，则，，故〖答案〗为：.四、解答题15.设为数列的前项和，已知是首项为、公差为的等差数列．（1）求的通项公式;（2）令，为数列的前项积，证明：．（1）解：因为是首项为、公差为的等差数列，故，即，当时，，故，当时，，符合上式，故；（2）证明：由，，故，则，因为，故.16.如图1，已知正三角形边长为6，其中，，现沿着翻折，将点翻折到点处，使得平面平面，为中点，如图2．（1）求异面直线与所成角的余弦值；（2）求平面与平面夹角的余弦值．解：（1）取的中点为的中点为，连接，，，因为正三角形中，，，所以，则四边形为等腰梯形，故；由翻折性质可得，,则，是的中点，，平面平面，平面平面平面，平面，又平面，以点为坐标原点以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，因为正的边长为，则为正三角形，边长为，则，，，在中，由勾股定理得，，则，，异面直线所成角取值范围为，异面直线与所成角的余弦值为.（2）由（1）得，，，易得平面一个法向量为，设平面的法向量为，则，即，令，则，，平面与平面夹角的余弦值为.17.2024年春晚为观众带来了一场精彩纷呈的视觉盛宴，同时，也是传统文化与现代科技完美融合的展现.魔术师刘谦为大家呈现了一个精妙绝伦的魔术《守岁共此时》，小明深受启发，在家尝试对这个魔术进行改良，小明准备了甲、乙两个一模一样的袋子，甲、乙两袋中各装有大小相同的小球9个，其中甲袋中红色、黑色、白色小球的个数分别为2，3，4．乙袋中红色、黑色、白色小球的个数均为3，小明用左右手分别从甲、乙两袋中取球．（1）若左右手各取一球，求两只手中所取的球颜色不同的概率；（2）若左手取完两球后，右手再取两球，称同一手中两球颜色相同的取法为成功取法，记两次取球（左右手完成各取两球为两次取球）的成功取法次数的随机变量，求的分布列．解：（1）记事件为“两手所取的球不同色”，事件是两手所取球颜色相同，则，所以.（2）依题意，的可能取值为，左手所取的两球颜色相同的概率为，右手所取的两球颜色相同的概率为，，，，所以的分布列为：01218.已知在平面直角坐标系中，：，：，平面内有一动点，过作交于，交于，平行四边形面积恒为1.（1）求点的轨迹方程并说明它是什么图形；（2）记的轨迹为曲线，，当在轴右侧且不在轴上时，在轴右侧的上一点满足轴平分，且不与轴垂直或是的一条切线，求与，围成的三角形的面积最小值.解：（1）设点，则直线的方程为，联立，解得，即点，直线的方程为，点到直线的距离为且，因此，，则或，因此：或，图形为两组双曲线.（2）由题，轴平分，若在上，则由于在渐近线下方，无法与双曲线相切且在轴右侧最多一个交点，故由对称性，与轴垂直，故舍去，在：上，设，则与斜率和为0，，若斜率不存在时，由题，则与相切，设：，与：联立得，由相切，令判别式为0，即，解得，此时，所以：，斜率存在时，由，得，则，整理得，故恒过定点，且其斜率的绝对值大于渐近线的斜率，设：，与交于，与交于，则，，联立解得，，则，当且仅当，即斜率不存在时取等，故面积的最小值为.19.设A是由个实数组成的m行n列的数表，如果某一行（或某一列）各数之和为负数，则改变该行（或该列）中所有数的符号，称为一次“操作”．（1）数表A如表1所示，若经过两次“操作”，使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负实数，请写出每次“操作”后所得的数表（写出一种方法即可）：123101表1（2）数表A如表2所示，若必须经过两次“操作”，才可使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数，求整数a的所有可能值：a表2（3）对由个实数组成的m行n列的任意一个数表A，能否经过有限次“操作”以后，使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负实数？请说明理由．解：（1）法1：123改变第四列123改变第二行123101100法2：123改变第二行123改变第四列12310100法3：123改变第一列23改变第四列2310100（写出一种即可）（2）数表A每一列所有数之和分别为2，0，，0，每一行所有数之和分别为，1;①如果先操作第三列，则则第一行之和为，第二行之和为，若，则，即，再操作第二行，则此时第四列为负数，不满足要求；若，则，即，再操作第一行，则由已知，，又a为整数，解得或，若，则若，则所以或满足要求，②如果先操作第一行，则则第一列的所有数的和为，第二列的所有数的和为，第三列的所有数的和为，第四列的所有数的和为，若，则，与已知矛盾，若，则，与已知矛盾，若，则，又a为整数，由已知，所以或，若，则再操作第三列即可，若，则再操作第三列即可.综上，或，（3）按要求对某行（或某列）操作一次时，则该行的行和（或该列的列和）由负整数变为正整数，都会引起该行的行和（或该列的列和）增大，从而也就使得数阵中个数之和增加，且增加的幅度大于等于，但是每次操作都只是改变数表中某行（或某列）各数的符号，而不改变其绝对值，显然，数表中个数之和必然小于等于，可见其增加的趋势必在有限次之后终止,终止之时必然所有的行和与所有的列和均为非负整数，故结论成立.江西省鹰潭市2024届高三第一次模拟考试数学试题第Ⅰ卷选择题一、单项选择题1.若复数满足，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因为，所以由，得.故选：B.2.已知集合，集合，若，则的取值范围为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因为，或，因为集合，，所以，故选：A.3.南丁格尔玫瑰图是由近代护理学和护士教育创始人南丁格尔（FlorenceNightingale）设计的，图中每个扇形圆心角都是相等的，半径长短表示数量大小．某机构统计了近几年中国知识付费用户数量（单位：亿人次），并绘制成南丁格尔玫瑰图（如图所示），根据此图，以下说法正确的是（）A.2015年至2022年，知识付费用户数量先增加后减少B.2015年至2022年，知识付费用户数量逐年增加量2022年最多C.2015年至2022年，知识付费用户数量的逐年增加量逐年递增D.2022年知识付费用户数量超过2015年知识付费用户数量的10倍〖答案〗D〖解析〗对于A，由图可知，2015年至2022年，知识付费用户数量逐年增加，故A错误；对于BC，知识付费用户数量的逐年增加量分别为：2016年，；2017年，；2018年，；2019年，；2020年，；2021年，；2022年，；则知识付费用户数量逐年增加量2018年最多，知识付费用户数量的逐年增加量不是逐年递增，故BC错误；对于D，由，则2022年知识付费用户数量超过2015年知识付费用户数量的10倍，故D正确.故选：D.4.设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A.若，，则 B.若，，，则C.若，，则 D.若，，则〖答案〗B〖解析〗对于A，若，，则有可能，故A错误；对于B，若，，则直线的方向向量分别为平面法向量，又，即，所以，故B正确；对于C，若，，则有可能，故C错误；对于D，若，，则有可能，故D错误.故选：B.5.某单位为了解职工体重情况，采用分层随机抽样的方法从800名职工中抽取了一个容量为80的样本．其中，男性平均体重为64千克，方差为151；女性平均体重为56千克，方差为159，男女人数之比为，则单位职工体重的方差为（）A.166 B.167 C.168 D.169〖答案〗D〖解析〗依题意，单位职工平均体重为，则单位职工体重的方差为.故选：D.6.已知，，=（）A. B. C.3 D.〖答案〗D〖解析〗因为，所以，又，即，解得，所以.故选：D.7.已知椭圆：的左焦点为，如图，过点作倾斜角为的直线与椭圆交于，两点，为线段的中点，若（为坐标原点），则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗依题意，椭圆的左焦点为，，过作轴，垂足为，由，得，，则，设，则有，，由，两式相减得，则有，所以.故选：B.8.在满足,的实数对中,使得成立的正整数的最大值为（）A.22 B.23 C.30 D.31〖答案〗C〖解析〗因为，，所以，设，则，令，则，令，则，所以在上单调递增，在上单调递减，因为，，，所以，所以，又，，要使得成立，只需，即，所以正整数的最大值为.故选：C.二、多项选择题9.如图所示，已知角的始边为轴的非负半轴，终边与单位圆的交点分别为，为线段的中点，射线与单位圆交于点，则（）A.B.C.点的坐标为D.点的坐标为〖答案〗ABC〖解析〗对于A：因为，，所以，正确；对于B：依题意为线段的中点，则，则，又，所以，正确；对于C：为线段的中点，射线与单位圆交于点，则为的中点，所以，又，所以点的坐标为，正确；对于D：，，所以点的坐标为，错误.故选：ABC.10.中，内角，，的对边分别为，，，为的面积，且，，下列选项正确的是（）A.B.若，则只有一解C.若为锐角三角形，则取值范围是D.若为边上中点，则的最大值为〖答案〗ABD〖解析〗对于A，因为，所以，则，因为，所以，故A正确；对于B，因为，则，，故只有一解，故B正确；对于C，若为锐角三角形，则，，则，则，即，由正弦定理可知：，故C错误；对于D，若D为边上的中点，则，所以由余弦定理知，得，又，所以，当且仅当时取得等号，所以，即，故D正确.故选：ABD.11.直四棱柱的所有棱长都为4，，点在四边形及其内部运动，且满足，则下列选项正确的是（）A.点轨迹的长度为.B.直线与平面所成的角为定值．C.点到平面的距离的最小值为.D.的最小值为-2．〖答案〗BC〖解析〗直四棱柱的所有棱长都为4，则底面为菱形，又，则和都是等边三角形，设与相交于点，由，以为原点，为轴，为轴，过垂直于底面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则有，，点在四边形及其内部运动，设，，由，有，即，所以点的轨迹为平面内，以为圆心，2为半径的半圆弧，所以点的轨迹的长度为，A选项错误；平面的法向量为，，直线与平面所成的角为，则，又由，则，所以直线与平面所成的角为定值，B选项正确；，设平面的一个法向量为，则有，令，得，，所以点到平面的距离，，所以时，，所以点到平面的距离的最小值为，C选项正确；，，其几何意义为点到点距离的平方减12，由，点到点距离最小值为，的最小值为，D选项错误.故选：BC.第Ⅱ卷非选择题三、填空题12.的展开式中的系数为______．〖答案〗〖解析〗的展开式通项为，由题意令，解得，所以的展开式中的系数为.故〖答案〗为：.13.已知抛物线的焦点为，是上的动点，过点作直线的垂线，垂足为，则的最小值为______．〖答案〗〖解析〗如图所示，易知，直线过定点，因为，所以Q在以为直径的圆上，不妨设其圆心为，显然半径，分别过作准线的垂线，垂足为，结合抛物线定义有，当且仅当均在线段上时取得等号.故〖答案〗为：.14.已知函数，的定义域为，为的导函数，且，，若为偶函数，求=______．〖答案〗〖解析〗因为是偶函数，则，两边求导得，所以是奇函数，故，由，代入，得，则，所以，又是奇函数，所以，所以是周期函数，且周期为4，又，可知也是以4为周期的周期函数，令，得，故，而所以，令，得，则，而，，又，则，，故〖答案〗为：.四、解答题15.设为数列的前项和，已知是首项为、公差为的等差数列．（1）求的通项公式;（2）令，为数列的前项积，证明：．（1）解：因为是首项为、公差为的等差数列，故，即，当时，，故，当时，，符合上式，故；（2）证明：由，，故，则，因为，故.16.如图1，已知正三角形边长为6，其中，，现沿着翻折，将点翻折到点处，使得平面平面，为中点，如图2．（1）求异面直线与所成角的余弦值；（2）求平面与平面夹角的余弦值．解：（1）取的中点为的中点为，连接，，，因为正三角形中，，，所以，则四边形为等腰梯形，故；由翻折性质可得，,则，是的中点，，平面平面，平面平面平面，平面，又平面，以点为坐标原点以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，因为正的边长为，则为正三角形，边长为，则，，，在中，由勾股定理得，，则，，异面直线所成角取值范围为，异面直线与所成角的余弦值为.（2）由（1）得，，，易得平面一个法向量为，设平面的法向量为，则，即，令，则，，平面与平面夹角的余弦值为.17.2024年春晚为观众带来了一场精彩纷呈的视觉盛宴，同时，也是传统文化与现代科技完美融合的展现.魔术师刘谦为大家呈现了一个精妙绝伦的魔术《守岁共此时》，小明深受启发，在家尝试对这个魔术进行改良，小明准备了甲、乙两个一模一样的袋子，甲、乙两袋中各装有大小相同的小球9个，其中甲袋中红色、黑色、白色小球的个数分别为2，3，4．乙袋中红色、黑色、白色小球的个数均为3，小明用左右手分别从甲、乙两袋中取球．（1）若左右手各取一球，求两只手中所取的球颜色不同的概率；（2）若左手取完两球后，右手再取两球，称同一手中两球颜色相同的取法为成功取法，记两次取球（左右手完成各取两球为两次取球）的成功取法次数的随机变量，求的分布列．解：（1）记事件为“两手所取的球不同色”，事件是两手所取球颜色相同，则，所以.（2）依题意，的可能取值为，左手所取的两球颜色相同的概率为，右手所取的两球颜色相同的概率为，，，，所以的分布列为：01218.已知在平面直角坐标系中，：，：，平面内有一动点，过作交于，交于，平行四边形面积恒为1.（1）求点的轨迹方程并说明它是什么图形；（2）记的轨迹为曲线，，当在轴右侧且不在轴上时，在轴右侧的上一点满足轴平分，且不与轴垂直或是的一条切线，求与，围成的三角形的面积最小值.解：（1）设点，则直线的方程为，联立，解得，即点，直线的方程为，点到直线的距离为且，因此，，则或，因此：或，图形为两组双曲线.（2）由题，轴平分，若在上，则由于在渐近线下方，无法与双曲线相切且在轴右侧最多一个交点，故由对称性，与轴垂直，故舍去，在：上，设，则与斜率和为0，，若斜率不存在时，由题，则与相切，设：，与：联立得，由相