四川省绵阳市西苑高级中学北校区高三数学理下学期期末试卷含解析

四川省绵阳市西苑高级中学北校区高三数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知变量x，y满足约束条件，则的取值范围是（）A．[，6]B．(﹣∞，]∪[6，+∞)C．（﹣∞，3]∪[6，+∞） D．[3，6]参考答案：A【考点】简单线性规划的应用．【分析】本题考查的知识点是线性规划，处理的思路为：根据已知的约束条件，画出满足约束条件的可行域，分析表示的几何意义，结合图象即可给出的取值范围．【解答】解：约束条件对应的平面区域如下图示：三角形顶点坐标分别为（1，3）、（1，6）和（），表示可行域内的点（x，y）与原点（0，0）连线的斜率，当（x，y）=（1，6）时取最大值6，当（x，y）=（）时取最小值，故的取值范围是故选A．2.已知集合M=，N=，则

A．

B． C．

D．参考答案：C3.已知平面向量a=(1,x),b=(2,y),且a⊥b,则|a+b|的最小值等于()(A)1

(B) (C) (D)3参考答案：D略4.直线a、b是空间一组异面直线，长度确定的线段AB在直线a上滑动，长度确定的线段CD在直线b上滑动，△ACD的面积记为S，四面体ABCD的体积记为V，则（）A．S为常数，V不确定 B．S不确定，V为常数C．S、V均为常数 D．S、V均不确定参考答案：B【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】根据条件作出对应的图形，利用异面直线的性质以及四面体的体积进行判断即可．【解答】解：CD长度固定，但A到CD的距离是变化的，∴S不确定；取四面体的边AC、AD、BC、BD的中点，得到一个中间截面，可知该截面面积是个定值，a、b到该截面的距离也是定值，∴V是常数，故选：B5.

设直线是两条不同的直线，是两个不同的平面，则的一个充分条件是(

)A. B.

C.

D.参考答案：答案：D6.执行如图所示的程序框图，则输出的i的值为（）A．5 B．6 C．7 D．8参考答案：B【考点】EF：程序框图．【分析】模拟执行程序的运行过程，即可得出程序运行后输出的i值．【解答】解：模拟执行程序的运行过程，如下；S=1，i=1，S＜30；S=2，i=2，S＜30；S=4，i=3，S＜30；S=8，i=4，S＜30；S=16，i=5，S＜30；S=32，i=6，S≥30；终止循环，输出i=6．故选：B【点评】本题主要考查了程序框图的应用问题，模拟程序的运行过程是解题的常用方法．7.在等差数列中，，则数列的前11项和等于（

）A.24

B.48

C.132

D.66参考答案：C8.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若(sinB+sinC)2-sin2(B+C)＝3sinBsinC，且a＝2，则△ABC的面积的最大值是A．

B．

C．

D．4参考答案：B9.祖暅是南北朝时代的伟大科学家，5世纪末提出体积计算原理，即祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任何一个平面所截，如果截面面积都相等，那么这两个几何体的体积一定相等，现有以下四个几何体：图①是从圆柱中挖去一个圆锥所得的几何体；图②、图③、图④分别是圆锥、圆台和半球，则满足祖暅原理的两个几何体为（）A．①② B．①③ C．②④ D．①④参考答案：D【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】利用祖暅原理分析题设中的四个图形，能够得到在①和④中的两个几何体满足祖暅原理．【解答】解：在①和④中，夹在两个平行平面之间的这两个几何体，被平行于这两个平面的任何一个平面所截，截面面积都相等，∴①④这两个几何体的体积一定相等．故选：D．【点评】本题考查满足祖暅原理的两个几何体的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．10.如图是函数f（x）=x2+ax+b的部分图象，则函数g（x）=lnx+f′（x）的零点所在的区间是（）A．（） B．（1，2） C．（，1） D．（2，3）参考答案：C【考点】函数零点的判定定理．【分析】由二次函数图象的对称轴确定a的范围，据g（x）的表达式计算g（）和g（1）的值的符号，从而确定零点所在的区间．【解答】解：由函数f（x）=x2+ax+b的部分图象得0＜b＜1，f（1）=0，即有a=﹣1﹣b，从而﹣2＜a＜﹣1，而g（x）=lnx+2x+a在定义域内单调递增，g（）=ln+1+a＜0，由函数f（x）=x2+ax+b的部分图象，结合抛物线的对称轴得到：0＜﹣＜1，解得﹣2＜a＜0，∴g（1）=ln1+2+a=2+a＞0，∴函数g（x）=lnx+f′（x）的零点所在的区间是（，1）；故选C．【点评】本题主要考查了导数的运算，以及函数零点的判断，同时考查了运算求解能力和识图能力，属于基础题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知数列{an}中，，是数列{an}的前n项和，且对任意的，都有，则=_____参考答案：【分析】令，，，可知；假设，，利用可求得，得到和；根据可求得，进而得到.【详解】若，，，则令，则

，

经验证，时，满足综上所述：本题正确结果：【点睛】本题考查利用数列前项和求解数列通项的问题，关键是能够通过赋值的方式得到.12.下图甲是某市有关部门根据对当地干部的月收入情况调查后画出的样本频率分布直方图，已知图甲中从左向右第一组的频数为4000．在样本中记月收入在，,的人数依次为、、……、．图乙是统计图甲中月工资收入在一定范围内的人数的算法流程图，图乙输出的

．（用数字作答）参考答案：6000

13.有一底面半径为l，高为2的圆柱，点O为这个圆柱底面圆的圆心．在这个圆柱内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为

.参考答案：14.已知等比数列中，

．参考答案：.试题分析：设等比数列的公比为，则由得，于是可得，所以，故应填.考点：1、等比数列；15.若双曲线C：mx2﹣y2=1（m为常数）的一条渐近线与直线l：y=﹣3x﹣1垂直，则双曲线C的焦距为 ．参考答案：考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：运用两直线垂直的条件，即斜率之积为﹣1，求得渐近线的斜率，求出双曲线的渐近线方程，得到m的方程，解得m，再求c，即可得到焦距．解答： 解：由于双曲线的一条渐近线与直线l：y=﹣3x﹣1垂直，则该条渐近线的斜率为，双曲线C：mx2﹣y2=1的渐近线方程为y=x，则有=，即有m=．即双曲线方程为﹣y2=1．则c=，即有焦距为2．故答案为：2．点评：本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线，考查两直线垂直的条件，考查运算能力，属于基础题．16.某同学的作业不小心被墨水玷污，经仔细辨认，整理出以下两条有效信息：①题目：“在平面直角坐标系中，已知椭圆的左顶点为，过点作两条斜率之积为2的射线与椭圆交于，…”②解：“设的斜率为，…点，，…”据此，请你写出直线的斜率为

.（用表示）参考答案：考点：类比推理与直线椭圆等相关知识的综合运用．【易错点晴】合情推理中的类比推理和归纳推理是高中数学中较为重要的知识点和考点.本题以椭圆为背景精心设置了一道求直线的斜率的综合问题.求解时充分借助题设条件中的有效信息,综合运用直线与椭圆的位置关系,巧妙借助题设过点作两条斜率之积为的射线与椭圆交于两条直线的斜率的数量关系之积为,进行类比推理和巧妙代换,从而算得点.然后运用斜率公式可得.17.若函数f（x）=（a+2）x2+2ax+1有零点，但不能用二分法求其零点，则a的值．

参考答案：2或﹣1

考点:二次函数的性质．专题:函数的性质及应用．分析:利用二次函数的性质以及函数的零点判定定理推出结果即可．解：函数f（x）=（a+2）x2+2ax+1有零点，说明函数是二次函数，函数的图象与x轴有一个交点，即△=4a2﹣4（a+2）=0解得a=2或﹣1故答案为：2或﹣1．点评:本题考查二次函数的性质，函数的零点判定定理的应用，考查计算能力．

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（14分）已知函数。（1）实数为何值时，使得在内单调递增；（2）证明：参考答案：（1）因，则由题知，要使得在内单调递增，只需当时，恒成立即当时恒成立，则，又因所以的取值范围为。┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄6分（2）要证明，只需证明，两边取自然对数得：由（1）知在内单调递增，而，则令得，则，即┄┄┄┄┄┄14分19.（本小题满分12分）

设向量，其中，，已知函数的最小正周期为。（1）求的值；（2）若是关于的方程的根，且，求的值。参考答案：20.（本小题满分12分）如图6，已知正三棱柱ABC—A1B1C1中，D是BC的中点，AA1=AB=1。

（1）求证：平面AB1D⊥平面B1BCC1；

（2）求证：A1C//平面AB1D；

（3）求二面角B—AB1—D的正切值。参考答案：

解法一：

证明：（1）因为B1B⊥平面ABC，AD平面ABC，所以AD⊥B1B

（1分）因为D为正△ABC中BC的中点，所以AD⊥BD

（2分）又B1B∩BC=B，所以AD⊥平面B1BCC1

（3分）又AD平面AB1D，故平面AB1D⊥平面B1BCC1

（4分）

（2）连接A1B，交AB1于E，连DE

（5分）因为点E为矩形A1ABB1对角线的交点，所以E为AB1的中点

（6分）又D为BC的中点，所以DE为△A1BC的中位线，所以DE//A1C

（7分）又DE平面AB1D，所以A1C//平面AB1D

（8分）

（3）解：过D作DF⊥AB于F，过F作FG⊥AB1于G，连接DG。因为平面A1ABB1⊥平面ABC，DF⊥AB，所以DF⊥平面A1ABB1。又AB1平面A1ABB1，所以AB1⊥DF。又FG⊥AB1，所以AB1⊥平面DFG，所以AB1⊥DG。

（9分）又AB1⊥FG，所以∠DGF为二面角B—AB1—D的平面角。

（10分）因为AA1=AB=1，所以在正△ABC中，在

（11分）

所以在

（12分）解法二：解：建立如图所示的直角坐标系，依题意有：

（1）证明：由，得又BC∩⊥BB1=B，所以AD⊥平面B1BCC1。

（4分）又AD平面AB1D，所以平面AB1D⊥B1BCC1

（5分）

（2）证明：连接A1B，交AB1于E，连DE，因为点E为正方形A1ABB1对角线的交点，所以E为AB1的中点，即

（6分）又DE平面AB1D，所以A1C//平面AB1D

（8分）

（3）解：设平面ABB1的一个法向量为由

（9分）设平面AB1D的一个法向量为由

（10分）所以

（11分）所以，依图可得二面角B—AB1—D的正切值为

（12分）略21.

某位同学进行寒假社会实践活动，为了对白天平均气温与某奶茶店的某种饮料销量之间的关系进行分析研究，他分别记录了1月11日至1月15日的白天平均气温（°C）与该小卖部的这种饮料销量（杯），得到如下数据：日

期1月11日

1月12日

1月13日

1月14日

1月15日

平均气温（°C）91012118销量（杯）2325302621（Ⅰ）若先从这五组数据中抽出2组，求抽出的2组数据恰好是相邻2天数据的概率；（Ⅱ）请根据所给五组数据，求出y关于x的线性回归方程；（Ⅲ）根据（Ⅱ）中所得的线性回归方程，若天气预报1月16日的白天平均气温7（°C），请预测该奶茶店这种饮料的销量．（参考公式：．）参考答案：：（Ⅰ）设“选取的2组数据恰好是相邻2天数据”为事件A，所有基本事件（m，n）（其中m，n为1月份的日期数）有：（11,12），（11,13），（11,14），（11,15），（12,13），（12,14），（12,15），（13,14），（13,15），（14,15），共有10种．

事件A包括的基本事件有（11,12），（12,13），（13,14），（14,15）共4种．所以为所求．

………6分（Ⅱ）由数据，求得，．

由公式，求得，，

所以y关于x的线性回归方程为．

……10分（Ⅲ）当