湖南省岳阳市平江县第五中学高三数学文期末试题含解析

湖南省岳阳市平江县第五中学高三数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的5.函数的图像与函数的图像的交点个数为A．3

B．2

C．1

D．0参考答案：B2.函数的值域为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：B略3.经过双曲线﹣y2=1右焦点的直线与双曲线交于A，B两点，若|AB|=4，则这样的直线的条数为（）A．4条 B．3条 C．2条 D．1条参考答案：B【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据题意，求得a、b的值，根据直线与双曲线相交的情形，分两种情况讨论：①AB只与双曲线右支相交，②AB与双曲线的两支都相交，分析其弦长的最小值，可得符合条件的直线的数目，综合可得答案．【解答】解：由双曲线﹣y2=1，可得a=2，b=1．若AB只与双曲线右支相交时，AB的最小距离是通径，长度为=1，∵AB=4＞1，∴此时有两条直线符合条件；若AB与双曲线的两支都相交时，此时AB的最小距离是实轴两顶点的距离，长度为2a=4，距离无最大值，∵AB=4，∴此时有1条直线符合条件；综合可得，有3条直线符合条件．故选：B．4.函数f（x）=log（x2﹣4）的单调递增区间为(

) A．（0，+∞） B．（﹣∞，0） C．（2，+∞） D．（﹣∞，﹣2）参考答案：D考点：复合函数的单调性．专题：函数的性质及应用．分析：令t=x2﹣4＞0，求得函数f（x）的定义域为（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞），且函数f（x）=g（t）=logt．根据复合函数的单调性，本题即求函数t在（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）上的减区间．再利用二次函数的性质可得，函数t在（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）上的减区间．解答： 解：令t=x2﹣4＞0，可得x＞2，或x＜﹣2，故函数f（x）的定义域为（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞），当x∈（﹣∞，﹣2）时，t随x的增大而减小，y=logt随t的减小而增大，所以y=log（x2﹣4）随x的增大而增大，即f（x）在（﹣∞，﹣2）上单调递增．故选：D．点评：本题主要考查复合函数的单调性，二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于中档题．5.在△ABC中，cos2=，（a，b，c分别为角A，B，C的对边），则△ABC的形状为（）A．正三角形 B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形参考答案：B【考点】解三角形．【分析】利用二倍角公式代入cos2=求得cosB=，进而利用余弦定理化简整理求得a2+b2=c2，根据勾股定理判断出三角形为直角三角形．【解答】解：∵cos2=，∴=，∴cosB=，∴=，∴a2+c2﹣b2=2a2，即a2+b2=c2，∴△ABC为直角三角形．故选B6.已知等比数列{an}的公比q=2，且2a4，a6，48成等差数列，则{an}的前8项和为（）A．127 B．255 C．511 D．1023参考答案：B【考点】等差数列与等比数列的综合．【专题】计算题；等差数列与等比数列．【分析】根据且a1，a3，a2成等差数列，列出方程2a6=2a4+48，求出首项a1，再根据等比数列的求和公式，即可得答案．【解答】解：∵2a4、a6、48成等差数列，∴2a6=2a4+48，∴2a1q5=2a1q3+48，又等比数列{an}的公比q=2，∴解得，a1=1，∴{an}的前8项和为故选B．【点评】本题主要考查等差数列的定义和性质、等比数列的定义和性质，等比数列的通项公式，以及等比数列的前n项和公式．属于基础题．7.已知数列{an}是以为公差的等差数列，数列{bn}的前n项和为Sn，满足bn=2sin（πan+φ），φ∈（0，），则Sn不可能是（）A．﹣1 B．0 C．2 D．3参考答案：D【考点】等差数列的前n项和．【分析】数列{an}是以为公差的等差数列，可得an=a1+（n﹣1），Sn=b1+b2+…+bn=2sin（πa1+φ）++…+2sin，φ∈（0，），S4=0．利用其周期性即可得出．【解答】解：数列{an}是以为公差的等差数列，∴an=a1+（n﹣1），∵bn=2sin（πan+φ）=2sin，φ∈（0，），∴Sn=b1+b2+…+bn=2sin（πa1+φ）++…+2sin，φ∈（0，），∴S4=0．∴S4n+1=S1∈[﹣2，2]，S4n+2=S2=2sin（πa1+φ）∈[﹣2，2]，S4n+3=S3=2cos（πa1+φ）∈[﹣2，2]，S4n+4=S4=0．则Sn不可能是3．故选：D．8.（10）已知三棱柱A．

B．

C．

D．参考答案：C9.满足的复数的共轭复数是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D10.已知小蜜蜂在一个棱长为4饿正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为A．

B．

C．

D．

参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若平面向量满足：；则的最小值是参考答案：的最小值是【答案】【解析】12.（5分）（2015?庆阳模拟）设f（x）=，则f（f（5））=．参考答案：1【考点】：函数的值．【专题】：计算题．【分析】：根据函数解析式应先代入下面的式子求出f（5）的值，再代入对应的解析式求出f（f（5））的值．解：由题意知，f（x）=，则f（5）=log24=2，∴f（f（5））=f（2）=22﹣2=1．故答案为：1．【点评】：本题是分段函数求值问题，对应多层求值按“由里到外”的顺序逐层求值，一定要注意自变量的值所在的范围，然后代入相应的解析式求解．13.函数的定义域是

.参考答案：14.如图，正六边形ABCDEF中，（A）0

（B）（C）

（D）参考答案：D，选D．

15.若不等式组所确定的平面区域的面积为0，则实数a的取值范围为

．参考答案：a≤3考点：二元一次不等式（组）与平面区域．专题：不等式的解法及应用．分析：画出约束条件表示的可行域，如图求出交点A的坐标，然后结合题意，列出关于a的不等关系即可．解答： 解：画出约束条件表示的可行域，如图中大阴影部分，由题意A（1，2），当直线x+y=a过点A时，a=3，当a＞3时，不等式组所确定的平面区域是图中的小三角形，它的面积不为0；当a≤3时，不等式组所确定的平面区域是空集，它的面积为0；故答案为：a≤3．点评：本题考查二元一次不等式（组）与平面区域，考查学生作图能力，计算能力，是基础题．16.若函数在点处的切线为，则直线与轴的交点坐标为_________.参考答案：；

17.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知C＝，，若△ABC的面积为

，则=

．参考答案：

略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本题满分14分）已知函数(m≥1)（1）若曲线C:在点P处的切线与C有且只有一个公共点，求m的值。（2）求证：存在单调递减区间，并求出单调递减区间的长度的取值范围。参考答案：解：（1）的定义域为

在点P处的切线的方程为：

由题意有且只有一个实根

即：有且只有一个实数根

…..2分

显然是方程的一个根

令

高考资源网w。w-w*k&s%5￥u

①

当时，（仅时取“=”）在单调递增是方程的唯一一个实数根

（4分）②

当时，令，得，当x变化时，的变化情况如下表：0+0-0+0又当时，高考资源网w。w-w*k&s%5￥u在及处均有一个根，不合题意………6分综上，m=1.

…………7分

(2)=

令

9分

又的对称轴且

在内有两个不同实根高考资源网w。w-w*k&s%5￥u

即的解集为

有单调递减区间

………11分

………….13分

的递减区间的长度范围为

………14分.略19.（本小题满分14分）已知，其中是自然常数，（1）讨论时,的单调性、极值；（2）求证：在（1）的条件下，；（3）是否存在实数，使的最小值是3，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.参考答案：解析：（1），

……1分∴当时，，此时单调递减当时，，此时单调递增

…………3分

∴的极小值为

……4分（2）的极小值为1，即在上的最小值为1，∴，……5分令，，

…………6分当时，，在上单调递增

………7分∴

∴在（1）的条件下，……………9分（3）假设存在实数，使（）有最小值3，

①当时，，所以

，所以在上单调递减，，（舍去），所以，此时无最小值.

……10分

②当时，在上单调递减，在上单调递增，，满足条件.

……11分③当时，，所以，所以在上单调递减，，（舍去），所以，此时无最小值.综上，存在实数，使得当时有最小值3.……14分20.某建筑公司用8000万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少12层、每层4000平方米的楼房．经初步估计得知，如果将楼房建为x（x≥12）层，则每平方米的平均建筑费用为Q（x）=3000+50x（单位：元）．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？每平方米的平均综合费最小值是多少？（注：平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用=）参考答案：【考点】5D：函数模型的选择与应用．【分析】【方法一】：设楼房每平方米的平均综合费为f（x）元，则平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用，由平均建筑费用Q（x）=3000+50x，平均购地费用==；代入即得f（x），（其中x≥12，x∈N）；因为f（x）=50x++3000，可以应用基本不等式法，即a+b≥（a＞0，b＞0）求得f（x）的最小值及对应的x的值；【方法二】：同方法一可得因为f（x）=50x++3000，用求导法，对f（x）求导，令f′（x）=0，从而得x及f（x）的最小值．【解答】解：设楼房每平方米的平均综合费为f（x）元，依题意得（x≥12，x∈N）【方法一】因为；当且仅当上式取”=”；因此，当x=20时，f（x）取得最小值5000（元）．所以，为了使楼房每平方米的平均综合费最少，该楼房应建为20层，每平方米的平均综合费最小值为5000元【方法二】因为；令f′（x）=0（其中x＞0），得x=20；当0＜x＜20时，f′（x）＜0，f（x）是减函数；当x＞20时，f′（x）＞0，f（x）是增函数；所以，当且仅当x=20时，f（x）有最小值，为f（20）=5000；即为了使楼房每平方米的平均综合费最少，该楼房应建为20层，每平方米的平均综合费最小值为5000元．21.（04年全国卷IV文）（12分）已知直线为曲线在点（1，0）处的切线，为该曲线的另一条切线，且（Ⅰ）求直线的方程；（Ⅱ）求由直线、和轴所围成的三角形的面积.参考答案：解析：（1）y′=2x+1.直线l1的方程为y=3x－3.设直线l2过曲线y=x2+x－2上的点B（b,b2+b－2）,则l2的方程为y=(2b+1)x－b2－2因为l1⊥l2，则有2b+1=所以直线l2的方程为（II）解方程组

得所以直线l1和l2的交点的坐标为l1、l2与x轴交点的坐标分别为（1，0）、.所以所求三角形的面积22.设函数f（x）=1+（1+a）x﹣x2﹣x3，其中a＞0．（Ⅰ）讨论f（x）在其定义域上的单调性；（Ⅱ）当x∈[0，1]时，求f（x）取得最大值和最小值时的x的值．参考答案：考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）利用导数判断函数的单调性即可；（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论，讨论两根与1的大小关系，判断函数在[0，1]时的单调性，得出取最值时的x的取值．解答： 解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（﹣∞，+∞），f′（x）=1+a﹣2x﹣3x2，由f′（x）=0，得x1=，x2=，x1＜x2，∴由f′（x）＜0得x＜，x＞；由f′（x）＞0得＜x＜；故f（x）在（﹣∞，）和（，+∞）单调递减，在（，）