几何综合题2021年二模（解析版）

几何综合题2021年二模1．如图1，在中，，，点是的中点，连接，点是上一点，连接并延长交于点．（1）若点是中点，求证：；（2）如图2，若．①求证：；②猜想的值并写出计算过程．【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②【分析】（1）证明△BCF≌△ACD（SAS），由全等三角形的性质得出∠CBF=∠CAD，则可得出答案；（2）①连接CE，证明△EAF∽△CAE，由相似三角形的性质得出，设AC=BC=2x，则BD=CD=x，AD=x，得出AE=CF=（-1）x，则可得出结论；②由①可得出AF和CF的值，化简的比值则可得出答案．【详解】解：（1）证明：，，点是的中点，点是中点，，，，，；（2）①证明：连接，，，，，，，，即，，；设，则，，，，；②猜想：，理由如下：，，．【点睛】本题是三角形综合题，考查了直角三角形的性质、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．2．如图，在正方形中，E，F分别是，上的点，且，连接、、，点G是的中点，连接并延长交于点K．（1）求证：；（2）当点E是的中点时，求的值；（3）连接，当线段取最小值时，求的值．【答案】（1）见解析；（2）；（3）．【分析】（1）由正方形的性质证明，得到，继而根据三角形内角和180°解得即可解题；（2）当是中点时，，设，由勾股定理得到，过点作于点，利用勾股定理解得BM、EM的长，即可解题；（3）根据90°所对的弦是直径，得到在以为直径的半圆上，连接交半圆于点，计算，根据全等三角形的性质解题即可．【详解】解：在正方形中，AB=BC=CD=AD,，在与中是中点，；（2）当是中点时，设过点作于点，设；（3）在以为直径的半圆上，如图，连接交半圆于点，．【点睛】本题考查四边形综合题，涉及90°所对的弦是直径、全等三角形的判定与性质、勾股定理、正切等知识，是重要考点，有难度，掌握相关知识是解题关键．3．如图1，在正方形ABCD中，E、F分别为边AB、BC的中点，连接AF、DE交于点G．（1）求证：AF⊥DE；（2）如图2，连接BG，求证：BG平分∠EGF；（3）如图3，连接BD交AF于点H，设ADG的面积为S，求证：BG2=2S．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【分析】（1）利用正方形的性质证明ΔDAE≌ΔABF，得到∠ADE=∠BAF，推出∠DAG+∠ADG=90°，即可得到结论；（2）如图2，过点B作BM⊥AF，垂足为M，设BF=a，则AB=2a，AF=a，利用平行线的性质及勾股定理求出BM=a，AM=a，得到GM=BM=a，推出ΔBMG为等腰直角三角形，求出∠BGM=∠BGE，由此得到结论；（3）根据ΔADG的面积为S，则AG·DG=2S，过点B作BM⊥AF，垂足为M，由（2）推出BG2=2BM2，证明ΔDAG≌ΔABM，得到BM=AG，AM=DG，由AG·DG=2AG2=2S，得到AG2=S，即可得到结论．【详解】（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AD=AB=BC，∠DAE=∠ABF=90°，∵E、F分别为边AB、BC的中点，∴AE=BF，∴ΔDAE≌ΔABF，∴∠ADE=∠BAF，∵∠DAG+∠EAG=90°，∴∠DAG+∠ADG=90°，∴∠AGD=90°，∴AF⊥DE；（2）如图2，过点B作BM⊥AF，垂足为M，则BM//GE，∵AE=BE，∴AG=GM，设BF=a，则AB=2a，AF=a，∵,∴，∴BM=a，∴AM==a，∴GM=BM=a，∴ΔBMG为等腰直角三角形，∴∠BGM=45°，∠BGE=90°-45°=45°，∴∠BGM=∠BGE，∴BG平分∠EGF；（3）ΔADG的面积为S，则AG·DG=2S，过点B作BM⊥AF，垂足为M，由（2）知：GM=AG，BM=AM，BG2=2BM2，∵∠AGD=∠AMB=90°，∠ADG=∠BAM，AB=AD，∴ΔDAG≌ΔABM，∴BM=AG，AM=DG，∴AG=DG，AG·DG=2AG2=2S，即AG2=S，∴BM2=S，∴BG2=2BM2=2S．．【点睛】此题考查正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定及性质，等腰直角三角形的判定及性质，正确引出辅助线解决问题是解题的关键．4．在中，，垂足为点D，点E为延长线上一点，且，延长交于点F．（1）若，请判断的形状，并给出证明；（2）若，求证：；（3）若，求的长．【答案】（1）等边三角形，证明见解析；（2）见解析；（3）．【分析】（1）由题意解得，继而由直角三角形中，30°的对边等于斜边的一半，解得，结合三角形外角性质可求得都等于，据此解题；（2）过点作，交延长线于点，根据同旁内角互补两直线平行得到，继而证明，根据全等三角形对应边相等的性质得到，再由平行线的性质解得，由此证明，最后根据相似三角形对应边成比例的性质解题；（3）过点作交延长线于点，由勾股定理解得AB的长，根据三角形内角和180°证明，，继而证明，根据相似三角形对应边成比例的性质解得，再由平行线性质证明，最后根据相似三角形对应边成比例结合勾股定理解题即可．【详解】解：（1）为等边三角形，理由如下，，为直角三角形为等边三角形；（2）如图，过点作，交延长线于点，；（3）过点作交延长线于点，．【点睛】本题考查三角形综合题，涉及含30°的直角三角形性质、等边三角形的判定与性质、三角形内角和与外角的性质、平行线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．5．等腰直角△AOB和等腰直角△COD按如图方式放置，∠AOB＝∠COD＝90°，连接AC、BD，二者交于点P．（1）求证：BD＝AC；（2）连接OP，若OP平分∠AOD，且角∠AOD＝40°，求∠BDO的度数；（3）点M、N分别是AB、CD的中点，连接MN，求的值．【答案】（1）见解析；（2）25°；（3）【分析】（1）由题意，先证明△BOD≌△AOC，即可得到结论成立；（2）易证得∠APB=90°，由圆周角定理的推论可知点P、O，在以AB为直径的圆上，则，再根据外角的性质及角平分线的性质求解即可；（3）先证明∽，再根据对应边成比例，即可求得的值．【详解】解：（1）∵∠AOB＝∠COD＝90°，∴∠AOB+∠AOD＝∠COD+∠AOD，即，∵BO=AO，DO=CO，∴△BOD≌△AOC，∴BD＝AC；（2）如图，设AO、BD相交于点E，∵△BOD≌△AOC，∴∠DBO=∠CAO，∵∠AEP=∠ABE+∠BAE，∴∠AEP+∠PAO=∠ABE+∠BAE+∠DBO=∠BAO+∠ABO=90°，∴∠APE=90°，∴点P在以AB为直径的圆上，∵∠AOB=90°，∴点O在以AB为直径的圆上，∴∠BPO=∠BAO=45°；又∵∠POD=∠AOD=20°，∴∠PDO=∠BPO∠POD=25°；（3）连接OM、ON，如图：∵点M、N分别是AB、CD的中点，∴，，∴，又∵，∴，∴∽，∴．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，圆周角定理，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的作出辅助线进行分析．6．已知：在正方形ABCD中，点E、F、G分别在BC、AB和CD上，FG⊥ED，垂足为点H．（1）如图1，点G与点C重合，求证：FG=ED；（2）如图2，点G与点C不重合，延长FG交BC的延长线于点M，若H为FM的中点，求证：AF=CM；（3）如图3，在（2）的条件下，取AD的中点N，连接HN，若BF=2AF，HN=，求EM的长．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）EM＝5【分析】（1）根据正方形的性质得到∠B=∠BCD=90°，BC=CD，根据DE⊥FC，证明∠HDC=∠HCE，即可证明△BCF≌△CDE（ASA），运用全等三角形性质即可证得结论；（2）连接DF，DM，根据线段垂直平分线的性质得到DF=DM，根据全等三角形的性质即可得到结论；（3）过H作PQ∥AB交AD于P交BC于Q，则四边形PQBA是矩形，于是得到PQ=AB，AP=BQ，∠APQ=∠PQB=90°，设AF=x，BF=2x，求得AB=PQ=BC=3x，根据三角形中位线的性质得到HQ=BF=x，BQ=QM=2x，求得2PH=2x，AP=2x，根据勾股定理和相似三角形的性质即可得到结论．【详解】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝∠BCD＝90°，BG＝CD．∵DE⊥FG，∴∠DHG＝90°．∴∠HDC+∠DGH＝∠HGE+∠DGH，∴∠HDC＝∠HGE．∴△BGF≌△CDE，∴FG＝ED；（2）连接DF，DM，如图∵DE⊥FG，H为FM的中点，∴DF＝DM．∵∠A＝∠DCM＝90°，AD＝DC，∴Rt△ADF≌Rt△CDM，∴AF＝CM；（3）过H作PQ∥AB交AD于点P，交BC于点Q，如图，则∠APQ＝∠PQB＝90°，四边形PQBA是矩形，∴PQ＝AB，AP＝BQ．设AF＝x，则CM＝AF＝x．∵BF＝2AF，∴BF＝2x，∴AB＝PQ＝BC＝3x．∵H为FM的中点，HQ∥BF，∴HQ＝BF＝x，BQ＝QM＝2x，∴PH＝2x，AP＝2x．∵点N是AD的中点，∴A