二次函数的极值问题

关于二次函数的极值问题1、求下列二次函数的最大值或最小值：⑴y=－x2＋2x－3;⑵y=x2＋4x解：（1）y=—（x—1）2—2

当x=1时，y有最大值为—2。（2）y=（x+2）2—4

当x=—2时，y有最小值为—4。归纳：一般地，因为抛物线y=ax2+bx+c的顶点是最低（高）点，所以当x=—时，二次函数y=ax2+bx+c有最小（大）值。第2页,共29页，2024年2月25日，星期天-202462-4xy⑴若－3≤x≤3，该函数的最大值、最小值分别为（）、（）。

⑵又若0≤x≤3，该函数的最大值、最小值分别为（）、（）。求函数的最值问题，应注意什么?55555132、图中所示的二次函数图像的解析式为：

第3页,共29页，2024年2月25日，星期天一、自主探究

问题1.已知某商品的进价为每件40元，售价是每件60元，每星期可卖出300件。据市场调查反映：如果调整价格

，每涨价1元，每星期要少卖出10件。要想获得6090元的利润，该商品应定价为多少元？第4页,共29页，2024年2月25日，星期天

已知某商品的进价为每件40元，售价是每件60元，每星期可卖出300件。市场调查反映：如果调整价格

，每涨价1元，每星期要少卖出10件。要想获得6090元的利润，该商品应定价为多少元？分析：没调价之前商场一周的利润为

元；设销售单价上调了x元，那么每件商品的利润可表示为

元，每周的销售量可表示为

件，一周的利润可表示为

元，要想获得6090元利润可列方程

。

6000

20+x300-10x

(20+x)(300-10x)

(20+x)(300-10x)=6090

第5页,共29页，2024年2月25日，星期天

已知某商品的进价为每件40元，售价是每件60元，每星期可卖出300件。市场调查反映：如果调整价格

，每涨价1元，每星期要少卖出10件。要想获得6090元的利润，该商品应定价为多少元？若设销售单价x元，那么每件商品的利润可表示为

元，每周的销售量可表示为

件，一周的利润可表示为

元，要想获得6090元利润可列方程

.

x-40300-10(x-60)(x-40)[300-10(x-60)]

(x-40)[300-10(x-60)]=6090第6页,共29页，2024年2月25日，星期天二、自主合作问题2.已知某商品的进价为每件40元。现在的售价是每件60元，每星期可卖出300件。市场调查反映：如调整价格

，每涨价一元，每星期要少卖出10件；每降价一元，每星期可多卖出20件。如何定价才能使利润最大？第7页,共29页，2024年2月25日，星期天解：设每件涨价为x元时获得的总利润为y元.y=(60-40+x)(300-10x)=(20+x)(300-10x)=-10x2+100x+6000=-10(x2-10x-600)=-10［(x-5)2-25-600］

=-10(x-5)2+6250当x=5时，y的最大值是6250.定价:60+5=65（元）(0≤x≤30)怎样确定x的取值范围第8页,共29页，2024年2月25日，星期天可以看出，这个函数的图像是一条抛物线的一部分，这条抛物线的顶点是函数图像的最高点，也就是说当x取顶点坐标的横坐标时，这个函数有最大值。由公式可以求出顶点的横坐标.所以，当定价为65元时，利润最大，最大利润为6250元也可以这样求极值第9页,共29页，2024年2月25日，星期天解:设每件降价x元时的总利润为y元.y=(60-40-x)(300+20x)=(20-x)(300+20x)=-20x2+100x+6000=-20（x2-5x-300）

=-20（x-2.5）2+6125所以定价为60-2.5=57.5时利润最大,最大值为6125元.答:综合以上两种情况，定价为65元时可获得最大利润为6250元.由(1)(2)的讨论及现在的销售情况,你知道应该如何定价能使利润最大了吗?怎样确定x的取值范围（0≤x≤20）第10页,共29页，2024年2月25日，星期天

2.某公司试销一种成本单价为500元的新产品，规定试销时的销售单价不低于成本单价,又不高于800元/件,经市场调查,发现销售量y(件)与销售单价x(元/件)可以近似看作一次函数的关系(如图).

(1)根据图象,求y与x的函数关系式;(2)设公司获得的毛利润为s元,试求s与x的函数关系式;

(3)试问:销售单价定为多少时,该公司可获得最大利润?最大毛利润是多少?此时的销售量是多少?600700400300Oxy(3)当x=750时,s最大为62500元,销售量为250件.第11页,共29页，2024年2月25日，星期天归纳小结：运用二次函数的性质求实际问题的最大值和最小值的一般步骤:求出函数解析式和自变量的取值范围配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值。检查求得的最大值或最小值对应的自变量的值必须在自变量的取值范围内。解这类题目的一般步骤第12页,共29页，2024年2月25日，星期天

1.某产品每件的成本价是120元,试销阶段,每件产品的销售价格x(元)与产品的日销售量y(件)之间的关系如下表：x（元）130150165y（件）705035

(1)则y与x的函数关系式为

_________________________；y=-x+200(120＜x＜200)若销售量y是销售价格x的一次函数.第13页,共29页，2024年2月25日，星期天

1.某产品每件的成本价是120元,试销阶段,每件产品的销售价格x(元)与产品的日销售量y(件)之间的关系如下表：x（元）130150165y（件）705035(2)若要获得最大的销售利润,每件产品的销售价格定为多少元？此时每日的销售利润是多少？设销售利润为W,则W=(x-120)·y=(x-120)·(-x+200)=-x2+320x-2400W=1600则:……若销售量y是销售价格x的一次函数.第14页,共29页，2024年2月25日，星期天2.某种粮大户去年种植优质水稻360亩,今年计划增加承租x(100≤x≤150)亩,预计,原种植的360亩水稻今年每亩可收益440元,新增加地今年每亩的收益为(440-2x)元,试问:该种植大户要增加承租多少亩水稻,才能使总收益最大?最大收益是多少?y=440×360+(440-2x)●x=-2x2+440x+158400……=-2(x-110)2+182600所以,当x=110时,y有最大值182600……设该种粮大户的今年总收益为y元.第15页,共29页，2024年2月25日，星期天3.某旅社有客房120间,每间房间的日租金为50元,每天都客满,旅社装修后要提高租金,经市场调查,如果一间客房的日租金每增加5元,则客房每天出租会减少6间,不考虑其它因素,旅社将每间客房的日租金提高到多少元时,客房日租金总收入最高？比装修前的日租金的总收入增加多少元？设日租金提高x元，客房日租金总收入为y元∴50+x=75第16页,共29页，2024年2月25日，星期天

某商场销售某种品牌的纯牛奶，已知进价为每箱40元，市场调查发现：若每箱以50元销售,平均每天可销售100箱.价格每箱降低1元，平均每天多销售25箱;价格每箱升高1元，平均每天少销售4箱。如何定价才能使得利润最大？

练一练若生产厂家要求每箱售价在45—55元之间。如何定价才能使得利润最大？（为了便于计算，要求每箱的价格为整数）第17页,共29页，2024年2月25日，星期天解：设利润为y，每箱涨价x元，则每天可售出（100—4x）箱，根据题意，得

y=（10+x）（100—4x）

=—4（x—）2+1225（0≤x≤5）当x=时，y最大值=1225。设每箱降价z元，则每天可售出（100+25z）箱，根据题意，得y=（10—z）（100+25z）

=—25（z—2）2+1100（0≤z≤5）当z=2时，y最大值=1100。因为厂家要求售价在45~55之间，所以应每箱涨价5元，即每箱定价为55元时，利润最大。第18页,共29页，2024年2月25日，星期天有一经销商，按市场价收购了一种活蟹1000千克，放养在塘内，此时市场价为每千克30元。据测算，此后每千克活蟹的市场价，每天可上升1元，但是，放养一天需各种费用支出400元，且平均每天还有10千克蟹死去，假定死蟹均于当天全部售出，售价都是每千克20元（放养期间蟹的重量不变）.⑴设x天后每千克活蟹市场价为P元，写出P关于x的函数关系式.⑵如果放养x天将活蟹一次性出售，并记1000千克蟹的销售总额为Q元，写出Q关于x的函数关系式。⑶该经销商将这批蟹放养多少天后出售，可获最大利润，（利润=销售总额-收购成本-费用）？最大利润是多少？思考第19页,共29页，2024年2月25日，星期天解：①由题意知:P=30+x.②由题意知：死蟹的销售额为200x元，活蟹的销售额为（30+x）（1000-10x)元。

驶向胜利的彼岸∴Q=(30+x)(1000-10x)+200x=-10x2+900x+30000③设总利润为W=Q-30000-400x=-10x2+500x=-10(x-25)2+6250∴当x=25时，总利润最大，最大利润为6250元。第20页,共29页，2024年2月25日，星期天第21页,共29页，2024年2月25日，星期天

例题:学校要建一个生物花圃园，其中一边靠墙，另三边用长为30米的篱笆围成，已知墙长为18米，设这个花圃垂直的一边为x米.（1）平行于墙的一边为y米，直接写出y与x之间的函数关系及自变量x的取值范围；（2）垂直于墙的一边的长为多少米时，这个花圃的面积最大，并求这个最大值；（3）当这个花圃园的面积不小于88平米时，（结合图像）直接写出x的取值范围。(1)分析：y=30-2x第22页,共29页，2024年2月25日，星期天解：

当垂直于墙的边长为7.5米是，花圃的面积最大为112.5平方米。第23页,共29页，2024年2月25日，星期天

-2x2+30x=88解得：x1=4,x2=11∵6≤X<15当6≤X≤11时，

∴花圃园的面积不小于88平方米由图像得:（3）分析：15第24页,共29页，2024年2月25日，星期天解：

（3）由图象知：当6≤X≤11时，面积不小于88平方米.当垂直于墙的边长为7.5米是，花圃的面积最大为112.5平方米。第25页,共29页，2024年2月25日，星期天如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米。(1)求S与x的函数关系式及自变量的取值范围；(2)当x取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？(3)若墙的最大可用长度为8米，则求围成花圃的最大面积。

ABCD解：(1)∵AB为x米、篱笆长为24米∴花圃宽为（24－4x）米

(3)∵墙的可用长度为8米

(2)当x＝时，S最大值＝＝36（平方米）∴S＝x（24－4x）＝－4x2＋24x（0<x<6）∴0<24－4x≤84≤x<6∴