专题08 二次函数的图象与性质（讲）-备战2019年中考数学二轮复习讲练测（原卷版）

备战2019年中考二轮讲练测（精选重点典型题）专题08二次函数的图象与性质（讲案）一讲考点——考点梳理（一）二次函数的定义形如(其中，、、是常数)的式子，称是的二次函数.（二）二次函数的性质开口方向对称轴直线直线直线顶点坐标()增减性当时，在对称轴左侧，y随着x的增大而减少；在对称轴右侧，y随着x的增大而增大；当时，在对称轴左侧，y随着x的增大而增大；在对称轴右侧，y随着x的增大而减少；最值当时，当时，当时，=（或用代入法）(1)决定抛物线的开口方向 ①开口向上；②开口向下．(2)决定抛物线与y轴交点的位置①图象与y轴交点在x轴上方；②图象过原点；③图象与y轴交点在x轴下方．(3)决定抛物线对称轴的位置(对称轴：)①同号对称轴在y轴左侧；②对称轴是y轴；③异号对称轴在y轴右侧，简记为：左同右异中为0．(4)顶点坐标．(5)决定抛物线与x轴的交点情况．①△>0抛物线与x轴有两个不同交点；②△=0抛物线与x轴有唯一的公共点(相切)；③△<0抛物线与x轴无公共点．(6)二次函数是否具有最大、最小值由a判断．①当a>0时，抛物线有最低点，函数有最小值；②当a<0时，抛物线有最高点，函数有最大值．（7）的符号的判定：①若对称轴在直线x=1的左侧，则与同号，若对称轴在直线x=1的右侧，则与异号，若对称轴为直线x=1，则=0，简记为：1的两侧判，左同右异中为0；②若对称轴在直线的左侧，则与异号，若对称轴在直线的右侧，则与同号，若对称轴为直线，则=0，简记为：－1的两侧判，左异右同中为0；③当时，，所以的符号由时，对应的函数值的符号决定；当时，，所以的符号由时，对应的函数值的符号决定；当时，，所以的符号由时，对应的函数值的符号决定；当时，，所以的符号由时，对应的函数值的符号决定；简记为：表达式，请代值，对应y值定正负；对称轴，用处多，三种式子相约；轴两侧判，左同右异中为0；1的两侧判，左同右异中为0；-1两侧判，左异右同中为0.（三）二次函数的解析式①一般式：(，用于已知三点，求抛物线的解析式.②顶点式：，用于已知顶点坐标或最值或对称轴，求抛物线的解析式.③交点式：，其中、是二次函数与x轴的两个交点的横坐标.若已知对称轴和在x轴上的截距，也可用此式.（四）二次函数的增减性当时，在对称轴左侧，y随着x的增大而减少；在对称轴右侧，y随着x的增大而增大；当时，在对称轴左侧，y随着x的增大而增大；在对称轴右侧，y随着x的增大而减少.（五）二次函数图象的平移方法一：顶点法二次函数的平移实际上是顶点的平移，故可以把原抛物线化为顶点式，通过顶点的平移来寻找答案。方法二：直接法如果y是x的函数，则可以用直接法。平移规律如下：左右平移变x，左+右－；上下平移变常数项，上+下-；平移结果先知道，反向平移是诀窍；平移方式不知道，通过顶点来寻找.（六）对称：关于x轴对称的解析式为，关于y轴对称的解析式为，关于原点轴对称的解析式为，在顶点处翻折后的解析式为（a相反，定点坐标不变）.（七）二次函数的最值（1）一般二次函数求最值根据最值公式计算即可，或把对称轴代入表达式，对应的函数值就是最值。（2）给定自变量取值范围求二次函数的最值①如果给定的范围在对称轴的一侧，只需要计算两个端点的函数值，两个值中最大的为最大值，最小的为最小值。②如果给定的范围包含对称轴，需要计算两个端点的函数值和顶点的纵坐标，三个值中最大的为最大值，最小的为最小值。（3）分段函数求最值根据（2）中的方法求出每一段的最大（小）值，最后比较得出整个函数的最大（小）值。（八）二次函数与不等式（组）若，则的解集是x轴上方的图象对应的自变量x的取值范围，的解集是x轴下方的图象对应的自变量x的取值范围。二讲题型——题型解析（一）对二次函数的性质的考查例1（2017浙江省嘉兴市）下列关于函数的四个命题：①当x=0时，y有最小值10；②n为任意实数，x=3+n时的函数值大于x=3﹣n时的函数值；③若n＞3，且n是整数，当n≤x≤n+1时，y的整数值有（2n﹣4）个；④若函数图象过点（a，y0）和（b，y0+1），其中a＞0，b＞0，则a＜b．其中真命题的序号是（）A．①B．②C．③D．④（二）对二次函数的图象的考查例2如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=﹣2，与x轴的一个交点在（﹣3，0）和（﹣4，0）之间，其部分图象如图所示，则下列结论：①4a﹣b=0；②c＜0；③﹣3a+c＞0；④4a﹣2b＞at2+bt（t为实数）；⑤点（，），（，），（，）是该抛物线上的点，则，正确的个数有（）A．4个B．3个C．2个D．1个（三）对二次函数与方程、不等式相结合的考查例3已知关于x的一元二次方程有实数根．（1）求m的值；（2）先作的图象关于x轴的对称图形，然后将所作图形向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，写出变化后图象的解析式；（3）在（2）的条件下，当直线y=2x+n（n≥m）与变化后的图象有公共点时，求的最大值和最小值．（四）对二次函数的增减性的考查例4如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示，下列结论：①4ac＜b2；②方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=﹣1，x2=3；③3a+c＞0④当y＞0时，x的取值范围是﹣1≤x＜3⑤当x＜0时，y随x增大而增大其中结论正确的个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个（五）对二次函数图象的平移的考查例5把抛物线先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，平移后抛物线的表达式是_____（六）对二次函数图象对称的考查：例6如图，二次函数（a＞0）图象的顶点为D，其图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为﹣1和3，则下列结论正确的是（）A．2a﹣b=0B．a+b+c＞0C．3a﹣c=0D．当a=时，△ABD是等腰直角三角形例7如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C，点B坐标为（6，0），点C坐标为（0，6），点D是抛物线的顶点，过点D作x轴的垂线，垂足为E，连接BD．（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；（2）点F是抛物线上的动点，当∠FBA=∠BDE时，求点F的坐标；（3）若点M是抛物线上的动点，过点M作MN∥x轴与抛物线交于点N，点P在x轴上，点Q在平面内，以线段MN为对角线作正方形MPNQ，请直接写出点Q的坐标．（七）对二次函数的最值的考查例8如菱形OABC的顶点A在x轴正半轴△BCD的最大值．三讲方法——方法点睛（一）数形结合思想由于二次函数（数）的图像是抛物线（形），故有二次函数抛物线的内在联系，二次函数的性质由图像反映出来，反之抛物线刻画二次函数的性质，能直观、形象地反应问题，因此数形结合思想有着广泛的应用。（二）分类讨论思想分类是按照数学对象的相同点和差异点，将数学对象区分为不同种类的思想方法，掌握分类的方法，领会其实质，对于加深基础知识的理解，提高分析问题、解决问题的能力是十分重要的。正确的分类，必须是周全的，既不重复，也不遗漏。（三）转化（或化归）思想转化思想：就是化未知为已知、化繁为简、化难为易。如将分式方程化为整式方程，将代数问题化为几何问题。将四边形问题化为三角形问题等。（四）函数及方程思想在实际中，根据已知条件、公式和定理，建立函数或方程等数学模型，再根据它们的性质或图像解决问题，就是函数和方程思想。（五）二次函数的增减性在对称轴两边发生变化，如果所给点在对称轴同侧，则可由增减性直接判断，若所给点在对称轴两侧，则可用对称轴来进行转化，从而是所有点都在对称轴同侧.四练实题——随堂小练1．如图，抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为(1,n)，与x轴交于点A(-1,0)，与y轴的交点在(0,2)，(0,3)之间（包含端点），则下列结论：①3a+b<0；②-1鈮鈮?23；③对于任意实数m，a+b>am2+bm总成立；④关于A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．已知抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=2，且经过点3,0，则a+b+cA．等于0 B．等于1 C．等于-1 D．不能确定3．二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c为常数）中的x与y的部分对应值如表所示：x-1013y-3293下列结论：（1）abc＜0（2）当x＞1时，y的值随x值的增大而减小；（3）16a+4b+c＜0（4）x=3是方程ax²+（b-1）x+c=0的一个根；其中正确的个数为（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个4．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴是直线x=1，则下列四个结论错误的是（）A．c＞0B．2a+b=0C．b2﹣4ac＞0D．a﹣b+c＞05．当或（）时，代数式的值相等，则时，代数式的值为．6．设抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）过A（0，2），B（4，3），C三点，其中点C在直线x=2上，且点C到抛物线的对称轴的距离等于1，则抛物线的函数解析式为．7．受国内外复杂多变的经济环境影响，去年1至7月，原材料价格一路攀升，义乌市某服装厂每件衣服原材料的成本y1（元）与月份x（1≤x≤7，且x为整数）之间的函数关系如下表：8至12月，随着经济环境的好转，原材料价格的涨势趋缓，每件原材料成本y2（元）与月份x的函数关系式为y2=x+62（8≤x≤12，且x为整数）．（1）请观察表格中的数据，用学过的函数相关知识求y1与x的函数关系式．（2）若去年该衣服每件的出厂价为100元，生产每件衣服的其他成本为8元，该衣服在1至7月的销售量p1（万件）与月份x满足关系式p1=0.1x+1.1（1≤x≤7，且x为整数）；8至12月的销售量p2（万件）与月份x满足关系式p2=﹣0.1x+3（8≤x≤12，且x为整数），该厂去年哪个月利润最大？并求出最大利润．8.已知直线l1：y=x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，且与双曲线交于点C（1，a）．（1）试确定双曲线的函数表达式；（2）将l1沿y轴翻折后，得到l2，画出l2的图象，并求出l2的函数表达式；（3）在（2）的条件下，点P是线段AC上点（不包括端点），过点P作x轴的平行线，分别交l2于点M，交双曲线于点N，求S△AMN的取值范围．五练原创——预测提升1．在下列二次函数中，其图象对称轴为x=2的是（）A．y=2x2﹣4 B．y=2(x-2)2 C．y=2x2+2 D．y=2(x+2)22．已知点（－2，y1），（1，0），（3，y2）都在二次函数y=x2+bx-3的图象上，则yA．0<y1<y2 B．3.抛物线与坐标轴的交点个数是（）A．0B．1C．2D．34.如图，观察二次函数的图象，下列结论：①，②，③，④．其中正确的是（）A．①②B．①④C．②③D．③④5.某同学在用描点法画二次函数的图象时，列出了下面的表格：由于粗心，他算错了其中一个y值，则这个错误的数值是（）A．﹣11B．﹣2C．1D．﹣56.在平面直角坐标系中，把一条抛物线先向上平移3个单位长度，然后绕原点旋转180°得到抛物线，则原抛物线的解析式是（）A．B．C．D．7.二次函数（a≠0）和正比例函数的图象如图所示，则方程（a≠0）的两根之和（）A．大于0B．等于0C．小于0D．不能确定8．将抛物线y＝﹣3x2先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式是（）A．y＝﹣3（x﹣1）2﹣2 B．y＝﹣3（x﹣1）2+2C．y＝﹣3（x+1）2﹣2 D．y＝﹣3（x+1）2+29．已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于（x1，0）、（x2，0）两点，且0<x1<1，1<x2<2与y轴交于（0，-2），下列结论：①2a+b>1；②a+b<2；③3a+b>0；④a<-1，其中正确结论的个数为()A．1个B．2个C．3个D．4个10.对于函数，我们定义（为常数）．例如，则．已知：．（1）若方程有两个相等实数根，则m的值为；（2）若方程有两个正数根，则m的取值范围为．11.已知关于x的二次函数的图象经过点（﹣2，），（﹣1，），（1，0），且，对于以下结论：①abc＞0；②a+3b+2c≤0；③对于自变量x的任意一个取值，都有；④在﹣2＜x＜﹣1中存在一个实数，使得，其中结论错误的是（只填写序号）．12.已知二次函数（b，c为常数）．（Ⅰ）当