八年级数学《全等三角形》单元作业设计

铜陵市中小学作业设计大赛

人教版八年级数学上册

第十二章《全等三角形》作业设计

设计团队:

方陶

王元旦

陈腾飞

刘如梅

郊区教育局和铜陵市郊区花园初中

二0二一年十二月

落实双减，增效作业

铜陵市中小学作业设计大赛落地双减，增效作业

人教版八年级数学上册第十二章

《全等三角形》作业设计

类别设计内容

学科年级学期教材版本单元名称

基本信息

数学八年级第一学期人教版全等三角形

单元作业单元组织回自然单元重组单元

序号课时名称对应教材内容

信息

课时1全等三角形第十二章第一节

信息2三角形全等的判定第十二章第二节

3角的平分线的性质第十二章第三节

12.1全等三角形（1课时）

单元作业12.2三角形全等的判定（4课时）

12.3角的平分线的性质（2课时）

课时安排第12章复习与小结（2课时）

第12章单元作业总体设计（1

公、

ft

时应边相等，对应加相等

单元作业

「性质基本性质和其他重要性质

内容框架寻找现有条件（包

判定方法括图中隐含条件）

判定

基本思路

结构选定判定方法证明

准备条件

是证明两条线段相等和角相等的

作用

常用方法

角的平分线

证明两条线段相等

的性质定理辅助线

角的平分线「添加方法

的判定定理证明角相等

1

铜陵市中小学作业设计大赛落地双减，增效作业

全等三角形时初中数学“空间与图形”领域当中的第四部分,

前面分别为几何初步、相交线和平行线、三角形，全等三角形是

“全等三角形”这一章的开篇，是在学生学习了三角形的一些概

念之后学习的教学内容，它实现了从一个三角形到两个三角形的

过渡.由于三角形是最基本的几何图形之一所以理解和掌握全等

三角形的有关概念是今后学习全等三角形的判定和应用的预备知

识还是证明角相等,线段相等的主要途径.学生学好全等三角形的

内容，将有利用学好相似三角形，四边形和圆等知识，从本课开始,

将向学生重点渗透图形变换的数学思想，使学生掌握推理论证的

方法,有利于培养学生逻辑推理能力.因此,本节内容在教材中处

于非常重要的地位，起着承前启后的作用。

初中阶段重点研究的两个平面图形间的关系是全等和相似，本章

以三角形为例研究全等.对全等三角形研究的问题和研究方法将

为后面相似的学习提供思路，而且全等是一种特殊的相似，全等

三角形的内容是学生学习相似三角形的重要基础.本章还借助全

等三角形进一步培养学生的推理论证能力，主要包括用分析法分

析条件与结论的关系，用综合法书写证明格式，以及掌握证明几

何命题的一般过程.由于利用全等三角形可以证明线段、角等基

本几何元素相等，所以本章的内容也是后面将学习的等腰三角

形、四边形、圆等内容的基础.

1.用研究几何图噌磨杳思想和方法贯穿本章的教学

1.用研究几何图形的基本思想和方法贯穿本章的教学

学生在前面的几何学习中研究了相交线与平行线、三角形等

兀何图形m打研究兀何图形的基本问题「思路和方法^成了二

定的认识，本章在教学中要充分利用学生已有的研究几何图形的

思想方法，用几何思想贯穿全章的教学.

2

铜陵市中小学作业设计大赛落地双减，增效作业

2.让学生充分经历探究过程

本章在编排判定三角形全等的内容时构建了一个完整的探究

活动，包括探究的目标、探究的思路和分阶段的探究活动.教学

中可以让学生充分经历这个探究过程，在明确探究目标、形成探

究思路的前提下，按计划逐步探索两个三角形全等的条件.

本章在编排中将画图与探究三角形的全等条件结合起来，既

有用尺规画一个三角形与已知三角形全等，又有用技术手段根据

已知数据画三角形.教学中要充分利用探索画图方法的过程对形

成结论的价值，让学生自主探索画图的步骤、创设多种画法、解

释作图依据等，在活动中发现结论.

3.重视对学生推理论证能力的培养

本章是初中阶段培养逻辑推理能力的重要内容，主要包括证

明两个三角形全等，通过证明三角形全等从而证明两条线段或两

个角相等.教学中要在学生己有推理论证经验的基础上，利用三

角形全等的证明，进一步培养学生推理论证的能力.按照整套教

科书对推理能力培养的循序渐进的目标，本章的教学重点是引导

学生分析条件与结论的关系，书写严谨的证明格式，对于以文字

形式给出的几何命题，从具体问题的证明中总结出证明的一般步

骤.

本章以三角形为例研究全等.对全等三角形研究的问题和研究方

法将为后面相似的学习提供思路，而且全等是一种特殊的相似，

全等三角形的内容是学生学习相似三角形的重要基础。本章还借

助全等三角形进一步培养学生的推理论证能力，主要包括用分析

法分析条件与结论的关系，三角形全等规范的证明格式书写，以

1.理解全等三角形的概念，能识别全等三角形中的对应边、

对应角，掌握并能运用全等三角形的性质.

2.经历探索三角形全等条件的过程，掌握判定三角形全等的

单元作业基本事实（“边边边”“边角边”和“角边角”）和定理（“角

角边”、“斜边、直角边”），能判定两个三角形全等判定方

设计学习

法，并能灵活应用解决相关的问题，能利用三角形全等证明一

目标'作些结论.

3.探索并证明角平分线的性质定理，能运用角的平分线的性

业目标质.

4.会利用尺规画一个角等于已知角；画一个角的平分线.

5.能利用本章知识测量池塘宽，河宽等实际问题.

6.通过画图，观察图形，让学生感知几何图形.

3

铜陵市中小学作业设计大赛落地双减，增效作业

重点：（1）三角形全等的性质和判定以及角平分线的性质.（2）

单元作业

使学生理解证明的基本过程，掌握三角形全等规范的证明格式

设计教学书写.

难点：（1）掌握三角形全等规范的证明格式书写.

重难点（2）选用合适的判定证明两个三角形全等.

（3）初步理解图形的全等变换，从而恰当添加辅助线.

分层设计作业。每课时均设计①预习性作业：“课前预习、自主

单元作业

练习（5分钟）”（面向全体，体现课标，题量3小题，要求

整体设计学生必做），②基础性作业：“课后复习、知识巩固（20分

钟）”，其中分为必做题5-6题，③发展性作业：题量2-3

思路题（体现个性化，探究性、实践性，要求学生有选择的完成）。

具体设计体系如下：

每学完一个数学知识，学生最爱问的问题之一就是“干什么

用？”大致分为两个方面：一是数学方面的作用，可以用这个知

识点去解决其他的数学问题；二是实际应用方面。这个在本章当

中要处理的好。《12.3角平分线的性质》的安排在本章的最

后，我想意图十分明显，可以让学生先想想为什么会在《全等

三角形》这样一个研究三角形关系的章节中安排一个有关角平分

线性质的研究？研究一条线的性质，我们最终归结为研究什

单元作业么？一一研究线上的点的性质一一距离，“距离”是初中几何

当中研究最为广泛的一个课题，我们探究图形之间的关系时大

设计教学

多要用“距离”来刻画。

反思经典案例：测河宽；用角平分线性质解决集贸市场选址问

题；在数学活动中还安排了利用全等设计图案、“筝形”的研究

等。到目前为止，学生已经有了研究相交线、平行线、三角形

等平面图形的经验，又能利用三角形全等推出线段相等或角相

等的结论，因此设置了操作活动，让学生独立研究一种图形的性

质，教学中要让学生充分利用已有的研究图形的经验，例如，

通过画图、测量、折纸等方法猜想图形可能的性质，通过推理

论证证明图形的性质等。

4

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(-)每学完一个新的知识，我们都会有所归纳和总结对

全等三角形的研究，按照“定义一性质一判定一应用”的路径

展开。从“几何图形要素的相互关系就是性质”的角度看，这里

的性质是定义的具体化，而“判定”则是给出三角形全等的“最

少条件”，是性质的逆定理在“应用”中，用全等角形定理等

证明有关性质是一方面，更需要注意的是有关性质的发现，例

如，如何想到“角平分线上的点到角的两边的距离”是值得研究

的问题。在这一章当中，我们仍然沿用了

解决问题

这样一个思路，并归纳出一些证明角、线段相等的方法，图

单元作业这乾都越会后我他砒究的工具：

\-*-/kll-yj-K+乂,111FTUJ/JIZA

设计教学①证明两条线段所在的两个三角形全等.

思考②利用角平分线的性质证明角平分线上的点到角两边的距

题加赛明角相等的方法

⑵证明角相等的方法

①利用平行线的性质进行证明.

②证明两个角所在的两个三角形全等.

⑶籁啸两蹊蒲段询值翼诙急行晌.垂直)的方法

⑶证明两条线段的位置关系(平行、垂直)的方法.

等，得到对应角相等，利用平行线的判定或垂

(4)辅助线的添加.

(二)值得反思的地方

(1)在探究三角形全等时，对于“SSS”“SAS”“ASA”这三个

定理都是先作图探究，然后以基本事实的方式呈现出来的.

(2)三角形全等判定条件中经常用来做文章的“SSA”，其实也

不是完全没有成立的可能。我们在探究过程中利用作图的方式

是可以找到其反例的，那么它成立的条件又是什么呢？如果能

确定这个三角形的形状，那么“SSA”是成立的，这也就解决了

在实际做题过程中，为什么我们看到的“SSA”总成立，而它又

不能作为一个定理使用的原因。

(3)三角形全等的条件是越多越好吗？我们二般研究完三个条

5

铜陵市中小学作业设计大赛落地双减，增效作业

（4）我们研究完了三角形全等，能否利用这种方法研究四边

形、五边形全等的条件呢？由于每增加一边，相应的元素就会多

出两组，所以其实研究起来是非常繁琐的，但是我们可以将四

边形的问题转化为三角形的问题来解决，这也体现了转化的思

想。（5）既然可以用全等来证明线段相等、角度相等，所以如

何根据图形的特征构造全等就成为了我们下一个需要解决的问

题，这也为后面继续学习埋下了伏笔。

（6）在本章当中有许多地方可以围绕“数学核心素养”来进行

展开。

6

铜陵市中小学作业设计大赛落地双减，增效作业12.1

全等三角形作业设计

12.1全等三角形

类别作业设计内容

1.通过实例理解全等形的概念和特征，并能识别图形的全等；知道

全等三角形的有关概念，能正确地找出对应顶点、对应边、对应

角，掌握全等三角形对应边相等，对应角相等的性质；能运用性质

进行简单的推理和计算，解决一些实际问题.

作业目标

2.通过两个重合的三角形变换其中一个的位置，使它们呈现各种不

同位置的活动，让学生了解并体会图形变换的思想，逐步培养学生

动态的研究几何图形的意识.

3.培养学生的观察能力、动手操作能力和自主学习能力，发展学生

萤总理翁全等三角形的概念；能识别全等三角形中的对应边、对

作业重难

应角；初步掌握并能运用全等三角形的性质.

点

难点：在全等三角形中正确地找出对应边、对应角.

作业时间1.课前预习、自主练习（5分钟）

设计2.课后复习、知识巩固（20分钟）

作业模块作业内容设计意图

通过观察和动

手操作发现知识，

获取知识，感受全

等形形成过程，让

学生树立认真实践

的学习态度，激发

1.观察：同一张底片洗出的同尺寸的照片，学生的学习热情和

课前预两张纸重合后的剪纸和同一版邮票，每组的两个学习兴趣.改变了

习、自主图形有什么特点？传统的“传递一接

受”式教学，尝试

练习（5操作：把一块三角尺按在纸板上，画下图形，

用“问题一探究”

分钟）照图形裁下来的纸板和三角尺形状、大小完全

的教学方法，注重

一样吗？把三角尺和裁得的纸板放在一起能够学习方法、思维方

完全重合吗？法、探索方法，让

答案：大小完全一样；能够完全重合.学生尽可能的经历

观察与操作，体验

认识数学和数学思

想，培养认识意识

和动手操作的态

度。产生学习数学

7

铜陵市中小学作业设计大赛落地双减，增效作业

的兴趣和自信心，

让学生在观察与操

作中学到数学的知

识和经验、思想和

方法.

在初步了解大

小完全一样，能够

完全重合的图形以

后，提出相应的问

题，以填空方式，

容易接收新知识。

通过平移、翻折、

旋转三种变换，请

学生感知全等形，

2.一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置

并思考平移、翻

变化了，但形状和大小都没有改变，即平折、旋转这三种变

移、翻折、旋转前后的两个图形叫做全等形.换，通过这样的操

“全等”用符号“g”表示，读作“全作，学生能够得到

位置变化、形状大

等于”.

小不变的结论：一

个图形经过平移、

翻折、旋转后，位

置变化了，但形

状、大小都没有改

变，即平移、翻

折、旋转前后的图

形全等。

3.指出全等三角形的对应边与对应角.一个三角形经

平移，翻折，旋转

(1)如图1,AABC平移后得到ADEF,则

后构成的两个三角

△ABC丝.

形全等。通过三种

则AB的对应边为,AC的对应边变换演示让学生体

为，BC的对应边为，ZA的会对应顶点、对应

对应角是，/B的对应角边、对应角的概

是.ZACB的对应角是念，尝试书写三角

(2)如图2,AABC翻折后得到aAED,则形全等，学会用全

S等符号“会”表示

全等三角形练习，

对应边有，并以找朋友的形式

对应角有练习指出对应顶

(3)如图3,ACAB绕点C旋转后得到点、对应边、对应

△CDE,则^角，加强对对应元

素的初步了解。通

对应边有，

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铜陵市中小学作业设计大赛落地双减，增效作业

过对三种变换图形

及文字语言的综合

表述，由此去理解

教材上“对应顶点

写在对应的位置

上”的含义。

图2图3

答案：

3.(1)ADEF;DE,DF,EF;ZD,ZDEF,

ZF.

(2)AADE^AACB;对应边有：AD与AC,AB

与AE,BC与ED;对应角有：ZA与NA,

ZADE与NACB,ZB与NE.

(3)AABC^ADEC;对应边有：AB与DE,AC

与DC,BC与EC;对应角有：ZA与NCDE,

1.小明去照相馆照相，用1寸的底片洗了一些1寸和2寸的照

片，下列说法：①1寸底片和1寸的相片是全等形；②1寸的底片

和2寸相片是全等形；③1寸的相片之间是全等形；④2寸相片

之间是全等形，其中正确结论的个数是（C）.

(A)1(B)2(C)3(D)4

2.如图2,AABC^ADEF,AB=DE,AC=DF,则下列结论:

后

复

课①BC=EF；②NA=ND；③NACB=NDEF；④BE=CF.

识

后

兼其中正确结论的个数是(C).

固

势

钢

、

就

栽

钟

分20

)

BE图3FB。DF

图2图3

3.如图3,AABD^AfiFC,AB=EF,ZA=ZE,AD=EC,若BD=5,

DF=2.2,则CD=2.8.

4.一曲图-5-AABC装点—C_旋转后质JaggilMSBC^ADEC

若AB=13cm,CE=5cm,CD=12cm,则BC=5cm，AE=7cm

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5.如图6,AABC沿着BC方向平移4cm得到△ABC,若AB=6cm,

DF=4cm,BC=5cm,

求则EF、EC、CF的长度.

分析：由题意得：ZSABC且Z\ABC,BE=CF=4cm

附、1口口一ROYce"-门口-「口—人加

6.将一个无盖正方体纸盒展开（如图①），沿虚学会观察图形

线剪开，用得到的5张纸片（其中4张是全等的的剪拼变换，通过

直角三角形纸片）拼成一个正方形（如图②）。则观察，操作，想象，

所剪得的直角三角形较短的与较长的直角边的比经历了一个简单图

是_1:2—.形经过剪拼，旋转

或制作复杂图形的

过程，能有条理地

分析图形的变换过

程，发展空间观念

和发散思维能力.

7.如图，把4ABC纸片沿DE折叠，当点A落

在四边形BCDE内部时.

（1）写出图中一对全等的三角形，并写出它们

的所有对应角；学会观察图形

（2）设/AEQ的度数为％,ZADE的度数为y,的翻折变换，解题

那么Nl,Z2的度数分别是多少？（用含过程中应注意折叠

有九或y的代数式表示）是一种对称变换，

（3）ZA与N1+N2之间有一种数量关系始终它属于轴对称，后

保持不变，请找出这个规律.续会学习轴对称的

性质，学会折叠前

后图形的形状和大

小不变，是全等变

换.如本题中折叠

前后角相等.

AAAAfnr?

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铜陵市中小学作业设计大赛落地双减，增效作业

ZAED=ZAzED,ZADE=ZAzDE,ZA=ZAz.

(2)Zl=180°-2x;

Z2=180°-2y.

(3)Z1+Z2=2ZA.

因为Nl=180°-2x;Z2=180°~2y.

所以Nl+N2=180。-2x4-180°-2y

=360°—2(x+y)

=360°-2(180°-ZA)

=2ZA

课后活动：动手操作

考查学生利用

利用平移，翻折，旋转等变换所得到的三角形

所学全等变换（平

与原三角形组成各种各样新的图形，你还能拼

移、翻折和旋转）

出什么不同的造型吗？（至少画出三种）知识，构造不同

答案：答案合情合理就可以.的图形，平移、

济臭无后变换中的

三种基本变换。所

谓几何变换就是根

据确定的法则，对

/此卜皿M皿给定的图形（或其

一部分）施行某种

位置变化，然后在

/I旋转57构图、/T7fzM、新的图形中分析有

关图形之间的

*

系.

作业评价标准

评价维度

☆☆☆☆☆☆

答案不正确，有过

答案正确、过程

答案正确、过程程不完整：答案

答题准确性完整，书写认

有问题不准确，过程错

真。

谋成于时程.

犍瑜

过程不够规过程不规范或

过程规范，答

答题规范性范、完整，答无过程，答案

案正确。

案正确。错误。

常规解法，思

解法有新意和解法思路有创

路不清楚，过

解法创新性独到之处，答新，答案不完

程复杂或无过

案正确。整或错误。

程c

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12.2三角形全等的判定作业设计

12.2三角形全等的判定（第一课时SSS）

类别作业设计内容

1.构建三角形全等条件的探索思路，体会三个元素（至少有一条

边）确定三角形的形状与大小.

探索并理解“边边边”判定方法，并能熟练运用它证明两个三角形

全等.

会用尺规作一个角等于已知角，引导学生思考作图的道理.2.经历

作魏目标探索三角形全等条件的过程，在问题中归纳判定三角形全等的条

件，掌握“边边边”的应用，体会利用操作、归纳获得数学结论

的过程，培养分析、推理能力.

3.遵循启发式教学原则，用设问形式创设问题情景和一系列实践

活动，引导学生操作、观察、探索、交流、发现，发展学生的逻

辑思维，体会分析问题、解决问题的方法，积累数学活动经验，

重点：构建三角形全等条件的探索思路，用“边边边”证明两个三

作业重难角形全等。

点难点：三角形全等条件的探索中的分类思想的渗透和全等证明格式

的土同新型巨

作业时间2.

设计课迎喇翩词0（期盼钟）

作业模块作业内容设计意图

1.探究活动：确定一个三角形至少需要几个元

素，只给出了三角形三角三边六个元素中的一个

或两个元素，两个三角形能否全等.

（1）只给定一个元素：一条边或一个角.先提出“确定

三角形的形状

和大小”的元

课前预

习、自主素至少需要几

个，构建出三

练习《5分A

角形全等条件

钟）钟）

得出结论:只给定一条边或一个角不能确定三角的探索路径，

形的形状和大小.以问题串的方

式呈现探究过

（2）只给定两个元素：两条边、一边一角或两个

程，引导学生

角，想一想，动手画一画.

层层思考.

得出结论：只给定一条边或一个角不能确定三角

形的形状和大小.

（3）想一想：满足一个或两个元素不能确定三角

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铜陵市中小学作业设计大赛落地双减，增效作业

定吗？

得出结论:三条边可以确定三角形的形状与大

小..

2.符号表不：

如图，如果

=1感悟基本事

实，获得三角

形全等的“边

边边”判定方

答案：书写格式：五行法，规范书

如图：在4ABC和4DEF中，°写，锻炼学生

r乂用数学语言概

"JBC=EF,BcEF括结论的能力.

]AC=DF,AABC^ADEF(SSS)

3.如图，C是BF的中点，AB=DC,AC=DF.

尝试运用“边

求证：zXABCgaDCF.

边边”判定方

答案：VC是BF的中点,.\BC=CF法证明简单的

如图，在4ABC和4DCF中，几何问题，感

「AB=DC（已知），----

悟判定方法的

,/JBC=EF（已证）\

简洁性，体会

[AC=DF（已知），FD

证明过程的规

AABC^ADCF（SSS）范性.

1.如图1,D、F是线段BC上的两点，AB=CE,AF=DE,要使

△ABF之△ECD（SSS）,还需要条件BF=CD或BD=CF

D

课后复

习、知识2.如图3,AB=AC,BD=CE,AD=AE.若Nl=30°,贝U/2=30°

巩固《20

分钟）

3.已知：如图，AC=FE,AD=FB,BC=论.图3C

求证：(l)Z\ABCgZ\FDE;(2)ZC=NE因

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（1）证明:VAD=FB（已知）

AAD+BD=CE+BD（等式的性质）

即AB=FD

在△ABC和4FDE中，

「AD=FB（已知）

AB=FD（已证）

[BC=DE（已知）

/.△ABC^AFDE（SSS）

（2）VAABC^AFDE

...ZC=NE（全等三角形的对应角相等）.

4.如图，AB=AC,BD=CD,求证：AD±BC.