2020-2021学年天津市南开区九年级上学期期末数学试卷(含答案解析)

2020-2021学年天津市南开区九年级上学期期末数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1.下列美丽的图案中，不是轴对称图形的是（）

C®D

2.近年来，移动支付已成为主要支付方式之一.为了解某校800名学生上个月4B两种移动支付

方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，发现样本中4,B两种支付方式都不使用的

有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：

支付方式使用人数支付

0<x<500500<x<1000%>1000

金额（元）

仅使用4支付18人9人3人

仅使用B支付10人14人1A

下面有四个推断：

①从全校学生中随机抽取1人，该学生上个月仅使用4支付的概率为0.3；

②从全校学生中随机抽取1人，该学生上个月4B两种支付方式都使用的概率为0.45；

③估计全校仅使用B支付的学生人数为200人；

④这100名学生中，上个月仅使用4和仅使用B支付的学生支付金额的中位数为800元.

其中合理推断的序号是（）

A.①②B.①③C.①④D.②③

3.如图，翁是半圆，。为4B中点，C、。两点在⑪上，且AD〃OC,连接BC、80,若比=63。，则

检的度数是（）

D,

A.54°B.57°C.60°D.63°

4.对于二次函数y=k/-（4k+l）x+3k+3.下列说法正确的是（）

①对于任何满足条件的k,该二次函数的图象都经过点（1,2）和（3,0）两点；

②该函数图象与x轴必有交点；

③若k<0,当x22时，y随x的增大而减小；

④若k为整数，且该二次函数的图象与x轴的两个交点都为整数点，那么k=-L

A.①②③B.①②④C.②③④D.①③④

5.若两个相似三角形的相似比是1：4,则它们的周长比是（）

A.1：2B.1：4C.1：16D.1：5

6.如图，是小飞同学的答卷，他的得分应该是（）

姓名小飞得分

判断（每小题20分，共100分）

X

①相等的圆心角所对的弧相等

y

②平分弦的直径垂直于这条弦

V

③邨长相等的邨是等弧

V

④半圆是弧

X

⑤三角形的外心到它各顶点的距离相等

A.40分B.60分C.80分D.100分

7.如图，已知点（m,%）、（m-3,y2）'O-4/3）在反比例函数y=?'的

图象上，贝Uy】、丫2、旷3的大小关系是（）

A.yi>y2>y3

B.y2>yi>73

C.yi>y3>72

D.y3>y2>yi

8.如图，已知直线%=ax+b与双曲线丫2=：相交于4、B两点，且4（1,m）,B（-3,n）,则下列结

论：①a=1,b=2；②若%<y2,则对应的x取值范围是x<一3或0<x<1；@S^A0B=4；

其中正确的结论是（）

A.①②B.①③C.②③D.①②③

9.如图，在平面直角坐标系中，菱形0aBe的边04在x轴上，点4（10,0）,

sinz.COA=g.若反比例函数y=>0,x>0）经过点C,则k的值等

于（）

A.10

B.24

C.48

12.数=ax2+1与y=丁0在同平面直角坐标中的图象可能是）

二、填空题(本大题共6小题，共18.0分)

13.将二次函数y=—(x—I)2—3(x—1)化成y=ax2+bx+c的形式为

14.从1到9这九个自然数中任取一个，是偶数的概率是.

15.已知反比例函数y=是常数，kKO),在其图象所在的每一个象限内，y的值随着x的值的增

大而增大，那么这个反比例函数的解析式是(只需写一个).

16.如图，点。为平面直角坐标系的原点，点4在x轴上，△04B是边长

为2的等边三角形，以。为旋转中心，将△04B按顺时针方向旋转60。,

得到△。小夕，那么点4’的坐标为.

17.直线y=x+4分别与x轴、y轴交于点M、N,边长为2的正方形0ABe一个顶点。在坐标原点，

直线4N与MC相交于点P,若正方形。ABC绕着点。旋转一周，点P的位置也发生变化，则点P到

点(0,2)距离的最小值为.

18.在△ABC中，已知48=15cm,AC=13cm,8c边上的高40=12cm,则SMBC=cm2.

三、计算题(本大题共1小题，共10.0分)

19.在“母亲节”期间，某校部分团员参加社会公益活动，准备购进一批许愿瓶进行销售，并将所

得利润捐给慈善机构.根据市场调查，这种许愿瓶一段时间内的销售量期(个)与销售单价第(元/

个)之间的对应关系如图所示:

（个）

300

240

180

120

我/个)

0

(1)观察图象判断般与9之间的函数关系，并求出函数关系式；

(2)若许愿瓶的进价为6元/个，按照上述市场调查的销售规律，求销售利润薛(元)与销售单价率

(元/个)之间的函数关系式；

(3)若许愿瓶的进货成本不超过900元，要想获得最大的利润，试确定这种许愿瓶的销售单价，

并求出此时的最大利润.

四、解答题(本大题共6小题，共56.0分)

20.某初中为了提高学生综合素质，决定开设以下校本课程：4软笔书法，8.经典诵读，C.钢笔画，

D花样跳绳，为了了解学生最喜欢哪一项校本课程，随机抽取了部分学生进行了调查，并将调

查结果绘制成了两幅不完整的统计图，请回答下列问题：

(1)这次被调查的学生共人；

(2)请将条形统计补充完整；

(3)在平时的花样跳绳的课堂学习中，甲、乙、丙三人表现优秀，现决定从这三名同学中任选两名参

加全区综合素质展示，求恰好同时选中甲、乙两位同学的概率.

21.如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y=：的图象与一次函数y=-x+2的图象的一个

交点为4(-2,小).

(1)求m的值并写出这个反比例函数的表达式;

(2)如果一次函数y=-x+2的图象与x轴交于点请确定当x<n时，对应的反比例函数y=g

的函数值的范围.

22.概念考察.

(1)公理：的两个三角形全等，(简称,字母表示)

(2)公理：的两个三角形全等，(简称,字母表示)

(3)公理：的两个三角形全等，(简称,字母表示)

(4)判定：的两个三角形全等.(字母表示：44S)

(5)简述“三线合一”：.

(6)勾股定理的内容是：.

(7)线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离.

(8)角平分线上的点到角两边的距离.

23.如图，在△ABC中，/-ACB=90°,AC=8,CB=6,点。在线段CB

的延长线上，且BD=2,点P从点。出发沿着DC向终点C以每秒1个

单位的速度运动，同时点Q从点C出发沿着折线C-B-4往终点4以

每秒2个单位的速度运动.以PQ为直径构造。。，设运动的时间为

t(t>0)秒.

(1)当0<t<3时，用含t的代数式表示BQ的长度.

(2)当点Q在线段CB上时，求。。和线段4B相切时t的值.

(3)在整个运动过程中，

①点。是否会出现在△ABC的内角平分线上？若存在，

求t的值；若不存在，说明理由.

②直接写出点。运动路径的长度.

24.如图，四边形4BCD是正方形，E、F分别是48和40延长线上的点，BE=DF,在此图中是否存

在两个全等的三角形，并说明理由；它们能够由其中一个通过旋转而得

到另外一个吗？简述旋转过程.

25.如图1,抛物线y=；/+坂+c与x轴负半轴交于点4,与x轴正半轴交于点B,与y轴的负半轴

交于点C,0C=0B=10.

(1)求抛物线的解析式；

(2)点P、Q在第四象限内抛物线上，点P在点Q下方，连接CP,CQ,N0CP+N0CQ=180。，设点Q的

横坐标为rn,点P的横坐标为n,求m与n的函数关系式；

(3)如图2,在(2)条件下，连接4P交C。于点。，过点Q作QE于E,连接8Q,DE,是否存在点P,

使乙4ED=2/EQB,若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

参考答案及解析

1.答案：c

解析：

根据轴对称图形的概念判断.

本题考查的是轴对称图形的概念.轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合.

解：4、是轴对称图形；

B、是轴对称图形；

C、不是轴对称图形；

D、是轴对称图形.

故选：C.

2.答案：B

解析：解：①从全校学生中随机抽取1人，该学生上个月仅使用4支付的概率估计为岬萨=0.3,故

①正确，

②从全校学生中随机抽取1人，该学生上个月4B两种支付方式都使用的概率估计为若沪=04,

故②错误，

③估计全校仅使用B支付的学生人数为=800=200人，故③正确，

④这100名学生中，上个月仅使用A和仅使用B支付的学生支付金额的中位数无法确定，故④错误,

故选：B.

利用样本估计总体的思想一一判断即可解决问题.

本题考查利用频率估计概率，样本估计总体等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解

决问题，属于中考常考题型.

3.答案:A

解析：解：以4B为直径作圆，作直径CE,连接4C,夕<「

■:ADI/"，//J><7\\

^LDAC=Z.ACE,/\\

…-仁________/7s

・・.AE=CD=63。，7Q；

・・・松的度数是180。一63。-63。=54。；\、//

故选：A,、、、//

以AB为直径作圆，作直径CE,连接AC,根据平行线求出NDAC=NACE,得出蓝=/=63。，即

可求出答案.

本题考查了圆周角定理，用到的知识点是平行线的性质、圆周角定理等，关键是根据题意画出图形，

求出弧4E的度数.

4.答案：A

解析：解："y=kx2—(4/c+l)x+3/c+3=[kx—(k+l)](x—3)=[k(x-1)—l](x—3),

・•.对于任何满足条件的k,该二次函数的图象都经过点(1,2)和(3,0)两点，故①正确；

对于任何满足条件的k,该二次函数中当x=3时，y=0,即该函数图象与久轴必有交点，故②正确；

,二次函数y=kx2—(4k+l)x+3k+3的对称轴是直线x=-，'蓼，=2+/，

.诺k<0,则2+以<2,该函数图象开口向下，

・•.若k<0,当x22时，y随x的增大而减小，故③正确；

y=kx2—(4/c+l)x+3k+3=[kx—(k+l)](x—3)=[/c(x-1)—l](x—3),

...当时，

y=0x1=^+1,X2=3,

.•・若%为整数，且该二次函数的图象与x轴的两个交点都为整数点，那么k=±L故④错误；

故选:A.

根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个小题中的结论是否成立，从而可以解答

本题.

本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是

明确题意，利用二次函数的性质解答.

5.答案：B

解析：解：•••两个相似三角形的相似比为1：4,

二它们对应周长的比为1：4.

故选B.

根据相似三角形周长的比等于相似比进行解答即可.

本题考查的是相似三角形的性质，即相似三角形周长的比等于相似比.

6.答案：A

解析：解：①在同圆或等圆中相等圆心角所对的弧相等，所以小飞答对；

②平分弦(不能是直径)的直径垂直于这条弦，才是正确的，所以小飞答错：

③能够完全重合的弧才是等弧，才是正确的，所以小飞答错；

④半圆是弧，但弧不一定是半圆，才是正确的，所以小飞答错；

⑤三角形的外心是各边垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的距离相等，所以小飞答对.

由以上分析可知小飞共答对2道题，所以得分为40分.

故选：A.

根据垂径定理、圆心角、弧、弦的关系、等弧的定义以及三角形外心的性质解答即可.

本题考查了三角形外接圆与外心的性质、垂径定理的运用以及圆心角、弧、弦的关系，熟记和圆有

关的性质定理是解题的关键.

7.答案：C

解析：

本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征.注意：反比例函数的增减性只指在同一象限内.

根据反比例函数图象的性质，比例系数TH-1>0时，函数图象位于第一三象限，在每一个象限内y随

x的增大而减小判断出力、％、%的大小关系，然后即可选取答案.

解：如图，•••反比例函数图象位于第一、三象限，且在每一个象限内y随x的增大而减小，

•••771-1>0,

­••m>1,

:点（m,乃）在第一象限，

yi>0,

;由图可知，当x=l时，0<y<l,

1•10<m—1<1,

•••1<m<2,

0>m—3>m—4.

•••y2<丫3<°，

综上得到：<乃<九.

故选：c.

8.答案：D

解析：解：（1）•••4（1,巾），8（—3,n）在双曲线丫2=：上，

・•・rn=-3n=3,

・•・m=3,n=—1,

・・・A(1,3),8(—3,—1),

把4(1,3),8(-3,-1)代入、1=以+人得｛:H'L

解得1:；，故①正确；

由图象可知，当丫1<丫2时，则对应的X取值范围是X<—3或0<x<1,故②正确；

,••直线y1=x+2,

・•・直线与y轴的交点为(0,2),

SXAOB=[x2x3+qx2xl=4,故③正确；

故选：D.

求得力、B的坐标，然后根据待定系数法即可求得a、b即可判断①；根据图象即可判断②；利用三

角形面积公式即可判断③.

此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、待定系数法求函数的解析式，求三角形面积.注意

掌握数形结合思想的应用.

9.答案：C

解析：解：如图，过点C作CEJ.。4于点E,

•.•菱形OABC的边。4在x轴上，点4(10,0),

AOC=OA=10,

vsin4C04=-=—.

5OC

・•・CE=8,

OE=y]CO2-CE2=6

.••点C坐标(6,8)

若反比例函数y=>0,x>0)经过点C,

Afc=6x8=48

故选：C.

由菱形的性质和锐角三角函数可求点C(6,8),将点C坐标代入解析式可求k的值.

本题考查了反比例函数性质，反比例函数图象上点的坐标特征，菱形的性质，锐角三角函数，关键

是求出点C坐标.

10.答案：D

解析：

本题考查位似变换，利用位似图形的性质求位似中心.根据位似图形的性质，对应点的坐标相交于

一点，连接A%,BB]1,CG,交点即是P点，根据图形写出点P坐标即可.

解：•••△4BC的三边分别扩大一倍得到△顶点均在格点上），它们是以P点为位似中心的位似

图形，

根据位似图形的性质，对应点的坐标相交于一点，连接44,BB1，CG，交点即是P点坐标，

二如图所不，P点的坐标为：（—4,-3）.

故选£>.

11.答案：B

解析：解：设DE与。。相切于点N,连接。0、0E、0N,作DM10E于

M,如图所示：

贝IJ0N10E,DE=2,0D=0E,Z.D0E=—=45°,

8

•・,DM10E,

••.△ODM是等腰直角三角形，

DM=0M,0E=0D=近DM,

设OM=DM=x,贝I。。=OE=V2x，EM=OE-OM=g-l)x，

在RMDEM中，由勾股定理得：X2+(V2-1)2X2=22,

解得：x2=2+

•••△00E的面积=^DExON=^OExDM,

...0N=2^3=^±^=&+I,

DE22

即O。的半径为：1+企；

故选：B.

DE与。。相切于点N,连接。。、OE、ON,作DM10E于M,则。N1DE,DE=2,0D=OE,ADOE=

45。，证出△ODM是等腰直角三角形，得出DM=OM,OE=OD=近DM,设OM=DM=x,则OD=

OE=V2x，EM=OE-OM=(V2-l)x，在Rt△DEM中，由勾股定理得出方程，求出产=2+VL

再由三角形面积关系求出ON即可.

此题主要考查了正多边形和圆的有关计算、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理以及三角形面

积等知识；熟练掌握正八边形的性质和勾股定理是解题的关键.

12.答案：B

解析：解：。>0时3/=£1%2+1开口向，顶点坐为01),

a<0时，y=ax2开向下，顶点标为(0,),

y=?第一三象限，没有选项图象符合，

故选：

分a>0和<0两种况二次函数和反例函数图象所在的象限，然择答案即.

本题考二函数图象与反比例数图象，熟练掌数与函数图象的关系是题关键.

13.答案：y=-x2-x+2

解析：解：y=-(%-I)2-3(x-1)

=—(x2—2x+1)-3x+3

=一久2+2x—1—3%+3

=—x2—x+2.

故答案为：y=-x2-x+2.

直接利用乘法公式化简，再去括号合并同类项，进而得出二次函数一般式.

此题主要考查了二次函数的三种形式，正确运用乘法公式化简是解题关键.

14.答案：；

解析：解：••・从1到9这九个自然数中任取一个，是偶数的有4种情况，

.•.从1到9这九个自然数中任取一个，是偶数的概率是：I

故答案为：，

由从1到9这九个自然数中任取一个，是偶数的有4种情况，直接利用概率公式求解即可求得答案.

此题考查了概率公式的应用.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.

15.答案：y=一|（答案不唯一）

解析：

此题主要考查了反比例函数的性质，关键是掌握对于反比例函数y=£,当％>0时，在每一个象限

内，函数值y随自变量x的增大而减小；当k<0时，在每一个象限内，函数值y随自变量x增大而增

大.首先根据反比例函数的性质可得k<0,再写一个符合条件的数即可.

解：•••反比例函数y=是常数，krO）,在其图象所在的每一个象限内，y的值随着x的值的增大

而增大，

k<0,

故答案为y=-|（答案不唯一）.

16.答案：

解析：解：作BC_Lx轴于C,如图，

CMB是边长为2的等边三角形

0A=0B=2,AC=OC=1,Z.BOA=60°,

•••力点坐标为（—2,0）,。点坐标为（0,0）,

在Rt△BOC中，BC=V22-I2=V3.

B点坐标为（-1,遍）；

•••△。力B按顺时针方向旋转60。，得到△OA'B',

A^AOA'=乙BOB'=60°,OA=OB=OA'=OB',

二点A'与点B重合，即点A的坐标为（-1,遮）,

故答案为（一1,75）.

作BC1x轴于C,如图，根据等边三角形的性质得04=0B=2,AC=0C=1,Z.B0A=60°,则

易得4点坐标和。点坐标，再利用勾股定理计算出BC=g,然后根据第二象限点的坐标特征可写出

B点坐标；由旋转的性质得=乙BOB'=60°,OA=OB=OA'=OB',则点A'与点B重合，于

是可得点4的坐标.

本题考查了坐标与图形变化-旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出

旋转后的点的坐标.常见的是旋转特殊角度如：30。，45°,60°,90。，180°.

17.答案：2a-2

OA=OC

解析：解：在AMOC和△NOA中，乙MOC=KAON,

OM=ON

MOC三2NOA,

・•・Z.CMO=乙ANO,

•・・乙CMO+乙MCO=90°,乙MCO=乙NCP,

・•・乙NCP+MNP=90°,

・・・乙MPN=90°

・•・MP1NP,

在正方形旋转的过程中，同理可证，・•・4CM。=乙包7。，可得乙MPN=90。，MPLNP,

・・・P在以MN为直径的圆上，

•・・M(—4,0),N(0,4),

・•・圆心G为(-2,2),半径为2vL

•・•PG-GCWPC,

・・・当圆心G,点PC(0,2)三点共线时,PC最小,

vGN=GM,CN=CO=2,

・•・GC=-OM=2,

2

这个最小值为GP-GC=2V2-2.

故答案为：2四—2.

首先证明AMOC三△NO4推出NMPN=90。，推出P在以MN为直径的圆上，所以当圆心G,点P,

C(0,2)三点共线时，P到C(0,2)的最小值.求出此时的PC即可.

本题考查一次函数与几何变换、正方形的性质、圆的有关知识，解题的关键是发现点P在以MN为直

径的圆上，确定点P的位置是解题的关键，属于中考常考题型.

18.答案：84或24

解析：解：如图(1)，AB=15,AD=12,AD1BC,

BD=yjAB2-AD2=9，入

同理DC=5cm,/I

・•・BC=14cm,/J\

,BD(■

S“ABC=84(cm2)；(1)

如图(2),由(1)得8。=9cm,CD=5cm,

A

・・.BC=4cm./

•••S4ABe=24cm2//

故答案为：84或24.//匚

BcI

分高在内部和高在外部两种情况，根据勾股定理、三角形的面积公式计算即可.(2)

本题考查的是勾股定理,如果直角三角形的两条直角边长分别是a,b,斜边长为c,那么a?+炉=。2.

19.答案：(1)般=璃赛嘘㈣;2)露;=-黛姆宁竭瞬-糜颐(3)15元时，最大利润是1350元

解析：解析：

试题分析：(1)由图象知：y是x的一次函数

设朋=，瓢一屈1分

图象过点(10,300),(12,240)

2分

3分

“驴=一颔也小题憎

当舄'=期8时，朋=必豳；当翳=嘛时，朋=*颤

即点(14,180),(16,120)均在函数即=一题叫，融篇的图象上

般与睇之间的函数关系式为：砂=一式加纯•鲍虞4分

(不把另两对点代入验证不扣分)

(2)虢，=瓢一卷卜舞糅、胸腼6分

激"，=一!8救斓+淹鼬、一整翻颐

即W与x之间的函数关系式为：档=一题斓+施触、-f猴理

8分

(3)由题意得6(—30x+600)<900

解之得：x>159分

而需'h-都;斓陶瞬-投融颐

:F，=-激期iTI的资用II福班10分

-30<0

〃随x的增大而减小

又•：x>15

:当x=15时，勿最大=1350

即以15元/个的价格销售这批许愿瓶可获得最大利润，最大利润是1350元

考点：二次函数的应用，一次函数解析式

点评：二次函数的解析式有三种，（1）一般式：y=ax2+bx+c（a*0,a、b、c为常数）；（2）顶点式：

y=a（x-h.）2+fc；（3）交点式（与x轴）：y=a（x--冷）・根据不同的题目类型选择不同的解析

式

20.答案:60

解析：解：（1）这次被调查的学生共24+40%=60（人），

故答案为：60；

（2）补全条形统计图如下：

开始

甲乙丙

/\/\Z\

乙丙甲丙甲乙

•.,共有6种等可能的结果，甲、乙被选中的有2种情况,

•••恰好同时选中甲、乙两位同学的概率为:=

oJ

（1）由。课程的人数及其所占百分比即可求得这次被调查的学生总人数;

(2)由(1),可求得8的人数，即可将条形统计图(2)补充完整；

(3)首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好同时选中甲、乙两位同学

的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案.

本题考查的是用列表法或画树状图法求概率以及扇形统计图与条形统计图的知识.列表法或画树状

图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步

或两步以上完成的事件.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.

21.答案：解：(1)把4(—2,m)代入一次函数y=—x+2,得m\

一(-2)+2=4,

,・♦点4(一2,血)也在反比例函数y=§的图象上，------------------------>

・•.k=-2m=—2x4=-8,Xx.

・•・这个反比例函数的表达式是：y=II

(2)令一x+2=0,则无=2,即8(2,0).

O

当％=0时，y=--=—4

由图象知，当％<n即x<2时，对应的反比例函数y=§的函数值的范围是：丫<一4或丫>0.

解析：(1)将4坐标代入一次函数解析式中求出m的值，确定出4的坐标，代入反比例解析式中即可求

出k的值；

(2)由一次函数解析式求得点B的坐标，结合函数图象可以直接得到答案.

本题考查了反比例函数与一次函数的交点，解题时，利用了待定系数法求得反比例函数解析式，由

“数形结合”的数学思想求得(2)题.

22.答案：(1)两边和它们的夹角对应相等；边角边；SAS；

(2)三边对应相等；边边边；SSS；

(3)两角和它们的夹边对应相等；角边角；4s4

(4)两角和其中一角的对边对应相等；

(5)等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合；

(6)直角三角形的两条直角边长的平方和等于斜边的平方；

(7)相等;

(8)相等.

解析：解：(1)两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简称：边角边或S4S；

故答案为：两边和它们的夹角对应相等，边角边，S4S；

(2)三边对应相等的两个三角形全等，边边边，SSS；

故答案为：三边对应相等，简称：边边边或SSS

(3)两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简称：角边角或4SA；

故答案为：两角和它们的夹边对应相等，角边角，AS4

(4)两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简称：角角边或4AS；

故答案为：两角和其中一角的对边对应相等，角角边，AAS；

(5)三线合一：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合；

故答案为：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合；

(6)勾股定理：直角三角形的两条直角边长的平方和等于斜边的平方；

故答案为：直角三角形的两条直角边长的平方和等于斜边的平方；

(7)线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；

故答案为：相等；

(8)角平分线上的点到角两边的距离相等；

故答案为：相等.

根据三角形全等的判定方法、等腰三角形的性质、勾股定理、线段垂直平分线的性质以及角平分线

的性质即可得出结果.

此题考查了全等三角形的判定方法、勾股定理、等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质、角平

分线的性质；熟记各个判定定理和性质定理是解决问题的关键.

23.答案：解：(1)由题意BQ=BC-CQ=6-2t,

故答案为6—2t.

(2)分两种情况讨论：

①当P,Q还未相遇时，如图1,

图1

CQ=2t,DP=t,QP=8-3t,OE=初=等,

OB=BP+OP=~+,

222

・•・O。与4B相切，

OELAB,

.OEAC

•・•sin乙ABC=—=—,

OBAB

8-3t

2l,解得t=m

4-t

~2~

②当P,Q相遇后，如图2,

图2

BQ=6-2t,PQ=BP-BQ=(t-2)-(6-2t)=3t-8,

iq「一a4—t

OE=^QP=三，OB=OQ+BQ=^

•••。。与“吕相切，，。^!?^,

0E__AC_

v

sinZ.ABCOB-AB

3C-8

工，解得

T-5t=

综上所述，满足条件的t的值有1=去或净.

⑶①i)当点。在NB的角平分线上时，如图3,

图3

可得BQ=BP,即2t—6=t-2,解得t=4.

ii)当点。在乙C的角平分线上时，如图4,作QG1AC于G,OF_LAC于尸，QHLBC于H.

图4

则GQ=AQ-sin/LBAC=|4Q=也,

同理可得GC=QH=gBQ=色心，

在梯形CPQG中，OF是中位线，则OF=*GQ+CP)

■中+(81)]=*

•••点0在4c的角平分线上，••.CF=OF.

88-llt_2(256)解得=誉.

10-5c

m)当点。在乙4的角平分线上时，如图5,作乙4的角平分线交BC于点H,过点H做H/_L48于/,

•，人口「HIAC.|Hl4

vsin乙48c=—=—,贝m—=

HBABHB5

.-.CH=HI=l，.-.tanzC/lH=i,

由”)中得。9=(GQ+CP)=巴？

CF=^^,AF=AC-CF=^,

5S

88-llt

・・・tanZ-CAH=笫=544t=解得t=y.

~~5~~

综上所述，当t=4s或臂s或竽s时，点。会出现在△ABC的内角平分线上.

②由题意点。的运动路径为(6-4一}+［号)2+42=三譬.

解析：本题考查圆综合题、解直角三角形、锐角三角函数、角平分线的性质、切线的判定和性质等

知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题.

(1)由题意BQ=BC-CQ=6-2t；

(2)分两种情况讨论：①当P,Q还未相遇时，如图1,②当P,Q相遇后，如图2,分别构建方程即可；

(3)①分三种情形讨论i)当点。在NB的角平分线上时，如图34)当点。在乙C的角平分线上时，如图4,

作QG14C于G,。尸_L4C于凡QH_LBC于从位)当点。在乙4的角平分线上时，如图5,作乙4的角平

分线交BC于点H,过点H做小LAB于/.分别构建方程即可.

②由题意点。的运动路径为(6—4—}+J(£)2+42=9磐.

24.答案：解：在此图中存在两个全等的三角形，即4CDF=LCBE.理由如下:

•••点F在正方形4