《材料力学》课后习题解答

2-1求图中所示各杆指定截面上的轴力，并绘制轴力图。

解：

L'l'

T7

.........^iiiivnii

4kN

题2-1图

2-2求下图所示各个轴指定截面上的扭矩,并绘制扭矩图

解：

题2-2图

2-3图中传动轴的转速n=400rpm,主动轮2输入功率P2=60kW,从动轮1,3,4和5的输出功率

分别是Pi=18kW,P3=12kW,P4=22kW,Ps=8kW,试绘制该轴的扭矩图.

1Q

T.=9549x——=429.7N•加

400

7；=9549x幽=1432.4Nm

2400

T9549X—=286.57Vm

=400

22

T?=9549x——=525.2N・〃7

400

Q

T=9549x—=

?400

题2-3图

2-4求图中所示各梁指定截面上的剪力和弯矩，设q和F均为已知.

a)b)

a

11,.,Q,2|

f13

AQJHE，C

12113

ygj|用|||Fmin;

ql2/2

II闺IIIFl

C)d)

ql

ql2

M图WrTTr^

题2-4图

2-5试绘制下图所示各梁的剪力图和弯矩图,并求出剪力和弯矩的最大值.设Fql均为已知.

a)b)

e)0

2

|F=qlM=ql/2

411111

/f

ql/2

T/2

rrmql

2

ql/2ql2/8

•图……/rrnm

g)h)

q

q=30kN/mq=30kN/m

At_L

7/2ACDEXB

/w+hn+Im+I"i

FQ图5ql/8

lOkN

3q谒QJ

lOkN

9q心/128

M图..........、lIIIII，IIIII厂

题2-5图

2-6不列方程，绘制下面各梁的剪力图和弯矩图，并求出剪力和弯矩绝对值的最大值.设F、q、

1均为已知。

a)b)

2F=ql

旦|—*M=ql

4

胭施心I星F

“图』国

IlkM图

ql2/2

M图

NqF/2

ql2/2/13F1/2

c)d)

q

3ql/4

F图

°~~~III■III

ql/4

2

M图9ql/3212/<1

e)

2-7绘制下图所示各梁的剪力图和弯矩图，求出|FQ|max和Mix,并且用微分关系对图形进行校

核.

a)

AYyTrTT]B

1

ql/6

I口ITTTA、、一…

M图^rmfrFTTK

C)

%图7山山［出

题2-7图

2-8试判断图中所示各题的FQ,M图是否有错，如有错误清指出错误原因并加以改正。

a)b)

%图llllllk：llllll

*虫山卬一

M图rPTnTrrr^乂图刈I日IX

e)

44.16kN•in35.6kN•m

题2-8图

2-9试根据剪力图，作出结构的支承（支承在A、C截面）和载荷情况图（梁上无集中力偶

作用）

a）b）

2F/3

F/3|||||||r4

ITTIF/3

题2-9图

2-10已知梁的弯矩图如下，试分别在梁上绘出所受之外载荷（包括外载荷的类型、大小、

方向）及剪力图，F,1为已知

a)b)c)

题2-10图

2-11作图中所示各梁的剪力土和弯矩图

a)b)

,,2kN/m

_______1.

y\ADC以E

卜3m卜2”?26u

_4/3k,

IIIIII

TTKm

题2・11图

2-12写出图中所示各曲杆的轴力、剪力和弯矩的方程式,并作弯矩图。设曲杆的轴线均为

圆形。

解a)

7

FN=-7cose

TT

0<6><-<F=一jFsin。

2Q

M=Fr(l-cos^)

7

FN=7cos夕=-FcosO

TT

-<0<7T<FQ=一尸sine=Fsin^

2

M-Fr(l+cos^)=Fr(l-cos^)

下面是轴力、剪力、弯矩图

F

题2・12a图

解b)：由于结构对称，仅考虑上半部分。

19

AB段：FN=0,FQ=qx,M=—qx

段：2

8cFN=qrcosO,FQ=qrsinff,M=^rQ+sin^)o

jr3o

当6=UC时nidA，M与■»=-qr

解c):如图所示约束反力,％=孚/，=冬乱%=乎尸。

FBX

当时：FN=一*FcusB,FQ=^-Fsin^,MFr(l-cos0)

当5«。《九时：FN—尸sin(。一£),FQ=^Fsin^-Fcos(i9-f),

M=Fr(l-cos0-Frsin(^-f)

按下表描图画出M图：

0(°)022.545506067.590112.5135157.5

M(XFr)00.02690.1040.039-0.082-0.164-0.354-0.435-0.397-0.245

题2-12c图

2-13作图2-44所示刚架的弯矩图

解a):FAx=3ql,五为=2.25〃FB、=2.25ql,

a)

题2-13a图

解2

b):FAX=0,FAy=1.25qlfM=0.25ql,

b)

题2-13b图

解c):FM=3kN,FAy=3kN,FCy=5kN

A

M图（单位:kNm）

题2-13c图

24

解d):FA.X=F,FAT=—F,FBV=—F

3-3

题2-13d图

3-1求图中所示杆各个横截面上的应力，已知横截面面积A=400mm2。

解a):

-20xl03c

c,=------------=-50MPa

1400

%=0

40xl03sc

6=---------=1OOMPa

400

题3-la）图

解b）:

323

-20xl0”“小i30kN”40kNi

①=------------=-50MPa20kNr-

400

=-50MPa2Tr>

m50kN

电四=25MPa10kN-JII

%右400

20kN

_50x。

%左=125MPa题3-lb）图

25MPa%右一400

3-2图中为变截面杆，如果横截面面积A|=200mm2,A2=300mm2,AjMOOmm2,求杆内各横

截面上的应力。

解a):

10xl03八

---------=50Mpa

200

-20xl03…

------------=MPa

300

40x10'

---------=100Mpa

400

题3-2a）图

解b）:

30kN

CT,=0

10xl03

----------=333MPa

300

-3OX1O3

------------=-15MPa

400

题3-2b）图

3-3图示杆系结构中，各杆横截面面积相等，即A=30cm2,载荷F=200kN。试求各杆横截

面上的应力。

解：（1）约束反力：

3

FDy=^F=\50kN

3

F.y=-F=\50kN

AY4

FAX=F=200ZN

（2）各杆轴力

心顾=%丫=1504根拉）

&c=/=200AM拉）

题3-3图

“CD="=150AM压）

F.=MC+^CD=A/2002+1502=250攵N（压）

(3)各杆的正应力

3

150x1050MPa（拉），4c=X=66.7MR/（拉）

<y=-----------=2001°

ABR300

-150xl03_-250xlO3k

=-50MPa（压），=-83（压）

300

3-4钢杆8直径为20mm,用来拉住刚性梁A3。已知F=10kN,求钢杆横截面上的正应力。

解：

=35.4kN

lxcos45°

FNCD_35.4x1（）3

aCD~]]27Mp6拉）

?2?202

3-5图示结构中，1、2两杆的横截面直径分别为10mm和20mm,试求两杆内的应力。设结

构的横梁为刚体。

£MB=0,%=0,FQ,=0,FBY=10kN

取AB段分析:=0，F]=-WkN,F2=20kN

3

F}-lOxlOoa/DB_20x103

<j,=———=------------=-121AMPa,%=63.7MPa

2

兀d；^xlO

4'4

3-6直径0=50桢的圆轴，受到扭矩/，=2.15ZN•加的作用。试求在距离轴心10mM

处的切应力，并求轴横截面上的最大切应力。

解:见例3-3

3-7阶梯圆轴上装有三只齿轮。齿轮1输入功率P|=30kW,齿轮2和齿轮3分别输出功率

P2=17kW,P3=13kWo如轴作匀速转动，转速〃=200中相，求该轴的最大切应力。

题3-7图

解:

p30

T.=9549,=9549—=1432.35N-m

1%200

p|7

T,=9549」=9549——=811.67N・

2%200

p13

7；=9549以=9549-^-=620.68N•m

%200

…乃x4CP3”，4X7()33

Wn,=----=---------=12560〃〃77，WP7=----------=67313.75/?????

“1616「216

M.620.68xlO3),、八“cM,1432.35xl03~5

r.=—L=---------------=49.42MPqr=—=-----------------=21.28MPa

72

Wp,12560WP267313.75

；•「max不在的截面上

3-8设圆轴横截面上的扭矩为M、.，试求四分之一截面上内力系的合力的大小、方向和作用

点。

i

解：题3・8图

取dA=pdpdO

^^^cQsepciedp

Fgy=j/COS如A=

点4Msin8"4M,

=2----v----d0=

J。3nd371d

用r-32M

FVx=Qsin^A=「I；兀dH

7

二j4%cos%eJ4M,

J。3九d3冗d

/_:----r-/

4=＜小埸=3"

厂My37rd

"•々=丁"，F

3-9图中所示一个矩形截面的悬臂梁，受到集中力和集中力偶的作用，试求1-1截面和固定

端截面上A、B、C、D四点的正应力,,已知F=15kN,M=20kN•m

解：1-1截面上

小世逆=4.05x10%毋勿F.Mf—,-j-

_______L]雀B]J”

12'_Lcjj；.

My20X106X150/

a,=--=--------------7—=-7.4\MPa

A8

“1Z.4..0一5x,一IO也D

k3m逼

cyB=-3J\MPa,々=4.94加尸。

aD=7.4\MPaIII包产

固定端截面上：15kN•m

WII

25X106X150……U^KkN•m题3-9图

(yA=----------------=9.26MPa

A4.05x108

(TB=4.63MPu,crc=-6.17MPacrD=-926MPa

3-10图中所示铸铁梁，若h=100mm,b=25mm,欲使最大拉应力与最大压应力之比为1/3,

试确定b的尺寸。

解：

75x25x(7^5+25)+225x25x—25

h,----------------------------------------------25mm

'75x25+225x25

milMx25Mx75

则b拉一。■压=­；—

又,.•空=]/3b=225mm

。压

题3-10图

3-11某托架如图所示，m-m截面形状及尺寸见图b,已知F=10kN,试求:

(1)m-m截面上面的最大弯曲正应力；

(2)若托架中间部分未挖空，再次计算该截面上的最大弯曲正应力

题3-11图

解：m-m截面上弯矩为：M=10xIO3x760=7.6xlO67V-mm

/、，_160x203“八”20X160'

(1)A.=2x[---------F160x20x90-lH---------=58.9x106ivin4

J1212

bmax=丝=17MPa

maxi

lffl2022U)3264

(2)/z2=2x{[^-+160x20x90]4-°^+40x20x60}=58xl0mm

crmax=r-Y13MPa

lz2

3-12试计算在图中所示均布载荷作用下，圆截面简支梁内最大正应力和最大切应力，并指

出它们发生于何处？

解:

M乂32x12.5x1()6=]0].2M也

°max

一%一欣2工x5()2

324

4FQ45xl()3

%ax——x———=—X,=3AMPa

3/371厂八->

x50-

44

最大正应力发生在梁中点截面的A、B两点,

最大剪应力发生在梁中点截面的CD直径上。题3-12图

3-13试计算图中所示工字型截面梁内的最大正应力和最大切应力。

20>80>1()6

max=142MPa

1130xio4

FQS；FQ15x1()3

TMAX=18.IMP。

13.8x10x6

题3-13图

3-14由三根木条胶合而成的悬臂梁截面尺寸如图所示，F=800N,试求胶合面上的切应力和

横截面上的最大切应力。

FQ=800N题3-14图

*553a

Sm=10x5x(-+-)=250mm

55,

Sz=10x(5+1)x[(5+1)/21=281.25/W

=10型5=281”如/

z12

FS

FQS,„250X800Q7281.25X800

=---------------=1AMPa、r,=r,nax=上上=-------------

I7b2812.5x10Izb2812.5x10

3-15一钢制圆轴，在两端受平衡力偶的作用，其力偶矩为T=2.5kN-m,已知轴的直径为

d=600mm,试求该横截面上的最大切应力。如果将实心圆轴改为外直径D与内直径d之比

为1.5的空心圆轴，仍然受到同样大小的力偶矩的作用，试求使空心圆周和实心圆轴的丁max

相等时，空心圆轴比实心圆轴节省多少材料。

解：实心:

2,5-10(-=59Mpa

Mx_Mx

°max

心叫;

16

空心:

71

（小中吟『看2.375

16

1

3

W，，2=嘤，所以(6013

d==45mm

1。[2.375

71

-1]

=4竺**=0.7

/602

3-16图中所示为两根悬臂梁，a梁为两层等厚度的梁自由叠合，b梁为两层等厚度的梁用螺

栓紧固成为一体，两梁的载荷，跨度，截面尺寸都一样，试求两梁的最大正应力。max之比。

IlI,F

b

解：a梁：每层梁所受M°max=2W,;=—

Zo

b梁：只有一层Mb”；里等•

Zo

..=M“maxFlb4bh2

x——X

’5,%~2bh2Flxb

3-17有一矩形截面的钢杆其截面尺寸为100x50m加，在杆的两端作用着一对大小为

T=3ZN•加的力偶矩作用，G=80GP”。试求作用杆横截面上的最大切应力。

解：矩形截面扭转

M3xl061。。*5

T——\-=------5------=48.8A/Pa

max2b2h0.246x502x100

其中b=50mm,h/b=100/50=2,a=0.246

3-18圆柱形密圈螺旋弹簧，簧丝横截面直径为。=18,方〃，弹簧平均直径为。=125加。

如弹簧所受拉力F=500N,试求簧丝的最大切应力。

4FSFD4x5008x500x125

⑴「max29.27MP。

成2Tid1^xl827rxi8,

r\i21-123

(2)c=—=6.94M=L23+-----—(6.94-6.5)=1.215

d7-6.5

%里=1.215x8x500x125

「33.2MPa

max成3万X18,

⑶2=125/18=6.94<10用修正公式计算

d

3-19试求图3-60中AB杆横截面上的最大正应力。已知K=20AN,鸟=3OAN，4=200利?

12=300mm，b-\00mm。

扭弯组合

N=f；+K=30+20=50KN

M=30x300-20x200=5000KNx〃〃九

^V5000xl()i50xl0：+3.5

++j=++±30+5MPa=

卬A1003100-25

6

3I"

bA"2=]2

w=—=0G

6-6-

3-20矩形截面折杆ABC,受图3-61所示的力F作用。已知a=arctan(%),a=I/4,l=12h,

b=h/2.试求竖杆内横截面上的最大正应力，并作危险截面上的正应力分布图。

题3-20图

解：匕x=Fcosa-0.6F,yF,=Esina=0.8F

h,

wU，dA=6/z=-/i=—

661222

竖杆A截面上的弯矩和轴力为:

MA=-Fyxa+FxxI=0.8Fx3〃+0.6Fxl2/z=4.8F/z

FNA=Fy=O.SF

0.8尸,rF4.8F/?=57.6二

h1/h2h3/h2

/2/12

57.6/1.6'=-5》2今

tax=576*T.6*=5*

3-21柱截面为正方形，受压力F作用。若柱右侧有一个槽，槽深为。/4,试求：(1)、开槽

前后柱内最大压应力值及其所在位置；(2)、如在柱左侧(与右侧相对)再开一个相同的槽,

此时柱内压应力有多大？

[尸

解：(1)开槽前轴向压应力

Ig]

NF

cr=—=r

Aa~

(2)右侧开槽后为偏心受压，作用于点c距形心z轴的

距离叱区，将力向点。简化

8

////://///

FN=F，-MZ=Fxyc=-y

3、3

,勺z")9a43/

/.=--——=——A]=——题3-21图

122564

所以：

-F4F..M.yFa256

43，/I.89a4-

3

«32F—a

_—4-FQ8F

取大压应力在槽底上各点：。max——

3。9~9a3

-F2F

(3)如果在左侧也开槽，则为轴心受压：A=ax-・a

2•=-a=-----a--

T

3-22图示短柱受载荷F1和F2作用，试求固定端角点A、B、C及D的正应力，并确定其中性

轴的位置。

Fi=25kN

题3-22图

解：在ABCD平面上的内力：

FQY=F2=5kN,Mz=%x600=5x1()6x600=3X1()6N-〃2M

65

x25=25x10x25=6.25x10N-mm,FN=£=25KN

横截面的几何特性：

A=150x100=1.5x10,加2,吐空=2.81x0〃切，

12

1002X150=1.25x10^^/

12

应力计算:

25x1()3

外-1.61MPa

1.5xl04

MxY3xl06xy

+z-------=±0.107MPa

MZ2.81X107

MyXZ6.25X105XZ……

(T=±-------------------—=±0.05MPa

wvWy1.25xl07

o-=-1.67+0.107^+0.05z

中性轴方程为：—1.67+0.107)+0.05z=0

当y=0.az=33Amm

z=0.a..=15.6mm

=-1.67+0.107x75+0.05x50=8.86MP。

(jR=-1.67+0.107x75-0.05x50=3.S6MPa

ac=-1.67-0.107x75-0.05x50=-\2.2MPa

crD=-1.67-0.107x75+0.05x50=-7.2MPa

3-23图3-64所示为一简易悬臂式吊车架。横梁AB由两根10号槽钢组成。电葫芦可在梁上

来回移动。设电动葫芦连同起吊重物的重量共重W=9.5EV。材料的E=200GPa。试求

在下列两种情况下，横梁的最大正应力值：（1）、只考虑由重量W所引起的弯矩影响；（2）、

考虑弯矩和轴力的共同影响。

题3-23图

解：当电动葫芦运行到AB中点时，梁AB中弯矩最大。

（1）只考虑由重量W所引起的弯矩影响

J=9.5X10-x4xl0^95xi067Vmffl

max44

Wz=39.7C，"3

%ax9.5x10，

T=119.7MPa

“max2x39.7x103

(2)考虑轴力与弯矩共同影响

AB所受轴力：FN=%a=gw=gx9.5xl()3=I27X1()4N

A=12.74cm2

/.crimnaqx=bmmadxx+/v=119.7+4.98=124.7MPa

3-24图3-65所示为一矩形截面柱，受压力Fi和F2作用，F^lOOkN,F2=45kN«F2与轴线有

一个偏心距%=200〃叫》==300Am?。试求4ax与5“m。欲使柱截面内不出

现拉应力，问截面高度〃应为多少？此时的最大剪应力为多大？

Fl

题3-24图

解：A-A截面上内力为：+f；=100+45=1.45x1O57V

6

M.-F2yp=45x200=9OOOA7V-mm=9x10•mm

截面的几何性：

8030063

A=〃〃=180x300=5.4x104mm2w==I^S.=2.7x10/ra«

66

5

FN1.45X10

CT=2.685MPa

A-5.4xlO4

„My9xl06……c

a"=---=--------=3.333MPa

%2.7xlO6

<ax=a''-a'=3.333-2.685=0.648M4

<r；ax=a"+a'=3.333+2.685=6.02MPa

欲使柱截面内不出现拉应力，则有:

bmax5”+外=0(a)

比4=3。/9xlQ6

WJ5"—30/z2

66

A=防=180〃/=145X10

180/?

公制介入叶徂卯°61.45X105

分剂代入(a)式得：----------------=cr=0

30/z2180/2

解之得：h=372.4mm

此时：cr-ax=(JM+<y3=2.163+2.163=4.33MPa

3-25传动轴上装有甲、乙两个皮带轮，它们的直径均为。=600加加，重量均为尸=2ZN,

其受力情况如图示。若轴的直径为30〃〃〃。试分析该轴的危险截面和危险点，计算危险点

的应力大小，并用图形标明该点所受应力的方向。

f)

解：计算简图如图a）所示,

=(6-2)X—=12KN-mF=W=2KN,F=6+2=8^

MBX=MDA.ByBz

Fl)y=6+2+2=10KNFay=lkN,FCy-13kN,Faz-Fcz-4kN

轴的扭矩图、水平面内和垂直平面内的弯矩图分别如图b)、c)和d)所示。

轴截面的几何特性计算：

.加公万X3()2

A=---=-------=706.5mm~2

44

据§出3

=w=一=2.650X103加加3=——=5.30x103〃2m3

z32「16

危险点在B截面上的E/和E2点上，

“max=Mmax+Mgx=VT?TKF=124kN•m

"x=嗅=467.8MP”7”=*=226.4MP&

%%

3-26一圆截面悬臂梁，同时受到轴向力、横向力和扭转力矩的作用。（1）、试指出危险截

面和危险点的位置。（2）、画出危险截面上危险点的应力方向示意图。

解：危险点在B截面的最上和最下面的两点上。

3-27图3-68为某精密磨床砂轮轴的示意图。已知电动机功率P=3ZW,转子转速

n=1400r/min,转子重量W]=IOIN。砂轮直径。=250mm,砂轮重量W2=275N。磨削

力/，：工=3:1,砂轮轴直径4=50桢，材料为轴承钢。试表示危险点的应力方向，并

求出危险点的应力大小。

除IIIIleiIInMx=20.5Nm

圾

（水平面内）*—3；-----?----------

llfln..

〃21.3Nm

勺Iff/77.

（垂直平面内）卜京------工一*—,

--Di--(J

28.2Nm_____IT

肌

0.18Nm

题3-27图

解：计算简图如图所示，

P3

电机传递的扭矩T=9.549—=9549x——=20.5N•加

N1400

根据力矩平衡：尸工之W=T

F_=27=2x20^xl0i=]M^

D250

Fy3F.=3x163.7=4922V

4%=492-275=217N

内力图如图所示。截面的几何特性计算:

W=-^-=2.453X104/nm3W.=%—=12.27x103/«m3

“16y32

危险点面在A面的。/和£>2点，则合成弯矩为:

W，nax=jM,，max+M二max=71.22+0.32=35.35kN-m

MM

b=—Jsax=2.88M&丁=」=

maxrmaxQ.SAMPa

WyWp

3-28圆截面短柱，承受一与轴线平行但不与轴线重合的压载荷F作用，圆截面半径为r,现

要求整个截面只承受压应力，试确定F作用的范围。

解：压力引起的压应力：0=-工

71T

.…7idy7iry

而WY=——=——

）324

MyFZC4尸・Z「

Wyrcr'7tr

4

p4FZc

0max=-aN±0max=---------3±----=0

7ir7ir

解之得Zc=-

4

材料力学（周建方版本）习题解答

第四章变形计算

4-1解：（一）绘制轴力图

（二）计算：

Al=£＞：=h21+213)=

IV产

£L/IJLz/i

2()x103

--------------(2x1000+1000+2x1000)

200X103X100

=申长)

4-2解

3

=15X15X15。15X10X250

-A------------------=

150xl03x20x20150x103x20x10

=3.75x10-2+i25xl()T=1.625x10-1m/n=0.1625m机

4-3解

(-)求反力

FAB=F/

FABx、「CD

Fg=F：V

1_____________________1