2020-2021学年新教材高中数学单元素养评价（二）（含解析）新人教A版必修第一册

单元素养评价（二）

（第三章）

（120分钟150分）

一、单选题（每小题5分，共40分）

1.函数f(x)4-2%的定义域为（)

A.[-1,2]B.(-1,2]

C.[2,+8)D,[1,+8)

rx+1>0>

【解析】选B.由L。、八得T〈xW2.

(4-2%>0,

x<1>］贝匹层:）的值为

2.设函数f(x)=

+x-2>X>

315

A.-1B.一C.—D.4

416

【解析】选C.因为f（2）=2,2-2=4,

所以人)"沙◎*

3.已矢口f(x)=x^+Zx,贝(Jf(a)+f(-a)=()

A.0B.-1C.1D.2

【解析】选A.f(x)=x'+2x是R上的奇函数,故f(-a)=-f(a),所以f(a)+f(-a)=0.

2

4.（2020•南京高一检测）塞函数y=%a~2a-3是偶函数，且在（0,+8）上单调递减，则整数a

的值是（）

A.0或1B.1或2C.1D.2

2

【解析】选C.因为幕函数y=%a-2a-3是偶函数，且在（0,+8）上单调递减,

a2-2a-3<0>

aeZ>

a2-2a-3是偶数.

解得Ia=l.

5.函数f(x)=ax3+bx+4(a,b不为零)，Kf(5)=10,则f(-5)等于()

A.-10B.-2C.-6D.14

【解析】选B.因为f(5)=125a+5b+4=10,

所以125a+5b=6,

所以f(-5)=-125a-5b+4=-(125a+5b)+4=-6+4=-2.

6.已知函数+X)=X>3+3,则£闭=()

\X)X1

A.8B.9C.10D.11

【解析】选C.因为+L'x，二;+3=(1++1,所以f(x)=x?+l(xW-2或x22),

Ixjx2VxJ

所以f(3)=32+l=10.

7.如果函数f(x)=x、bx+c对于任意实数t都有f(2+t)=f(2-t),那么()

A.f(2)<f(1)<f(4)B.f(l)<f(2)<f(4)

C.f(4)<f(2)<f(l)D.f(2)<f(4)<f(1)

【解析】选A.由f(2+t)=f(2-t),可知抛物线的对称轴是直线x=2,再由二次函数的单调性，

可得f(2)〈f(l)<f(4).

:

8.定义在R上的偶函数f(x)满足对任意的xi,x2e[0,+8)(XJWXZ),有^------------\0,且

x2-x1

f(2)=0,则不等式xf(x)〈0的解集是()

A.(-2,2)

B.(-2,0)U(2,+8)

C.(-8,-2)U(0,2)

D.(-8,-2)U(2,+8)

【解析】选B因为'—Jr〈0对任意的xi,x2e［0,+8)(xiWxz)恒成立,

*2~巧

所以f(x)在［0,+8)上单调递减，又f(2)=0,

所以当x〉2时，f(x)<0；当0Wx<2时，f(x)>0,

又f(x)是偶函数，所以当x〈-2时，f(x)<0；

当-2〈x〈0时，f(x)〉0,

所以xf(x)〈。的解集为(-2,0)U(2,+8).

二、多选题(每小题5分，共20分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0

分)

9.定义运算ab=ff'°之?’，设函数f(x)=l2工则下列命题正确的有()

3m<b>

儿门父的值域为［1,+OO)

B.f(x)的值域为(0,1］

C.不等式f(x+l)〈f(2x)成立的范围是(-8,0)

D.不等式f(x+l)<f(2x)成立的范围是(0,+8)

X

>x<

【解析】选AC.根据题意知f(x)=<

11,%>0,

f(x)的图象为

所以f(x)的值域为［1,+8),A对;

因为f(x+l)〈f(2x),

x+1>2x>…2x<0>

所以

x+l<0或x+1>0>

x<1>(X<0>

所以

x<-1叫］>-L

所以xWT或T〈x〈0,

所以x〈0,C对.

10.关于函数f(x)=J-12+2%+3的结论正确的是()

A.定义域、值域分别是11,3],[0,+8)

B.单调增区间是(-8,1]

C.定义域、值域分别是11,3],[0,2]

D.单调增区间是[-1,1]

【解析】选CD.由-x2+2x+320可得，X2-2X-3<0,解可得，TWxW3,即函数的定义域为归1,

3],

由二次函数的性质可知，y=-x2+2x+3=-(x-l)2+4G[0,4],所以函数的值域为[0,2],结合二

次函数的性质可知，函数在[T,1]上单调递增，在[1,3]上单调递减.

11.函数f(x)是定义在R上的奇函数，下列命题中是正确命题的是()

A.f(0)=0

B.若f(x)在[0,+8)上有最小值-1,则f(x)在(-8,0]上有最大值1

C.若f(x)在[1,+8)上为增函数，则f(x)在(-8,-1]上为减函数

D.若x>0时，f(x)=X2-2X,则x<0时，f(x)=-X2-2X

【解析】选ABD.f(x)为R上的奇函数，则f(0)=0,A正确；其图象关于原点对称，且在对称

区间上具有相同的单调性，最值相反且互为相反数，所以B正确，C不正确；对于D,x<0时,

-x>0,f(-x)=(-x)2-2(-x)=X2+2X,又f(-x)=-f(x),所以f(x)=-x"2x,即D正确.

%.关于函数f(x)=|vTXT-i|,有下列结论，正确的结论是()

A.函数是偶函数

B.函数在(-8,-1)上递减

C.函数在(0,1)上递增

D.函数在(-3,3)上的最大值为1

【解析】选ABD.函数满足f(-x)=f(x),是偶函数；

作出函数图象，可知在(-8,-1),(0,1)上递减，

(-1,0),(1,+8)上递增，

当xG(-3,3)时,f(x)1M„=f(0)=1.

三、填空题(每小题5分，共20分)

13.已知函数f(x),g(x)分别由表给出，则g(f(2))=.

故g(f(2))=l.

答案：1

14.已知f(x)为R上的减函数，则满足f(})>f(l)的实数x的取值范围为.

【解析】因为f(x)在R上是减函数，

1

所以一<1,解得X>1或x<0.

X

答案：(-8,0)U(1,+8)

15.已知函数f(x)是奇函数,当Xe(-8,0)时,f(x)=x2+mx,若f(2)=-3,则m的值为.

【解析】因为f(x)是奇函数，

所以f(-2)=-f(2)=3,

„1

所以(-2)--2m=3,解得m=-.

2

答案：L

2

16.符号[x]表示不超过x的最大整数，如[3.14]=3,「1.6]=-2,定义函数：f(x)=x-[x],则

下列说法正确的是.

①f(-0.8)=0.2；

②当lWx<2时，f(x)=x-l；

③函数f(x)的定义域为R,值域为[0,1)；

④函数f(x)是增函数，奇函数.

【解析】f(x)=x-[x],则f(-0.8)=-0.8-(T)=0.2,①正确,

当TWx<2时,f(x)=x-[x]=xT,②正确，

函数f(x)的定义域为R,值域为[0,1),③正确，

当OWxCl时，f(x)=x-[x]=x；

当lWx<2时，f(x)=x-l,

当x=0.5时，f(0.5)=0.5；

当x=L5时，f(l.5)=0.5,

则f(0.5)=f(1.5),即有f(x)不为增函数，

由f(-1.5)=0.5,f(1.5)=0.5,可得f(-L5)=f(1.5),即有f(x)不为奇函数，④错误.

答案：①②③

四、解答题(共70分)

17.(10分)已知一次函数f(x)是R上的增函数，g(x)=f(x)(x+m),且f(f(x))=16x+5.

(1)求f(x)的解析式.

(2)若g(x)在(1,+8)上单调递增，求实数m的取值范围.

【解析】(1)由题意设f(x)=ax+b(a>0).从而f(f(x))(ax+b)+b-a2x+ab+jb=16x+5,

a2—16>“aa=4>a=-4>

所以37,L解得或，5(不合题意，舍去).

i.ab+o=5>b=1b=--

3

所以f(x)的解析式为f(x)=4x+l.

4m+l

(2)g(x)=f(x)(x+m)=(4x+l)(x+m)=4x2+(4m+l)x+m,g(x)图象的对称轴为直线x=------.

8

4m+l91

若g(x)在(1,+8)上单调递增，则-------W1,解得mN一,所以实数m的取值范围为

84

+L>-2<%<0>

18.(12分)已知f(x)=(2x+1,0<X<2,

1%2-Lx>2.

(1)若f(a)=4,且a〉0,求实数a的值.

⑵求f(-m的值.

【解析】(1)若0〈a〈2,则f(a)=2a+l=4,

3

解得a=一，满足0<a<2；

2

若a22,贝!]fS)=/—1=4,

解得a=J5或a=-V5(舍去)，

所以a=-或a=V5.

2

(2)由题意，(一

M3+l>f()2X12.

a517

19.(12分)已知奇函数f(x)=px+-+r(p,q,r为常数),且满足f(l)=一,f(2)=一.

X24

⑴求函数f(x)的解析式.

⑵试判断函数f(x)在区间(0,：上的单调性，并用函数单调性的定义进行证明.

(3)当xG(0>:时，f(x)N2-m恒成立，求实数m的取值范围.

【解析】(1)因为f(x)为奇函数，所以f(-x)=-f(x),

55

—>p+q=二

所以r=0.又<2即《

17.Q17

f⑵2Qp4--=—

4「24

(P=2>]

解得〈1所以f(x)=2x+—.

q=_)2x

I"2

1/1'

(2)f(x)=2x+一在区间(O-上单调递减.

2x\21

111

证明如下：设任意的两个实数xi,X2,且满足OCxKxzW-,则f(xi)-f(X2)=2(xi-X2)+--------

22xx2X2

x(>

X2"l1^4x1x2

=2(xi-x2)+,

2XX

2%IX2X2

,1

因为O<X1<X2W-,

2

1

所以X2-xi〉O,0<xiX2〈一，1-4XIX>0,

42

所以f(xi)-f(x2)>0,

所以f⑺3十1元在区间(/6鼻1"］上单调递减.

⑶由⑵知f(x)=2x+』■在区间(0>W上的最小值是f0)=2.

2xk2]\27

要使当xG(O>|时，f(x)22-m恒成立，

只需当xe(0>-时，f(x)

即222-m,解得m\0即实数m的取值范围为［0,+°°).

20.(12分)大气中的温度随着高度的上升而降低，根据实测的结果，上升到12km为止，温度

的降低大体上与升高的距离成正比，在12km以上温度一定，保持在-55°C.

(1)当地球表面大气的温度是a℃时，在xkm的上空为y℃,求a、x、y间的函数关系式.

⑵问当地表的温度是29°C时，3km上空的温度是多少？

【解析】(1)由题意知，可设y-a=kx(0WxW12,k<0),即y=a+kx.依题意，当x=12时，y=-55,

口,55+a

所以-55=a+12k,解得k=------.

12

所以当0WxW12时，y=a---(55+a)(0WxW12).

12

又当x>12时，y=-55.

所以所求的函数关系式为

ZY

a——(55+a)<x<12,

12

-55>x>12.

3

(2)当a=29,x=3时，y=29-(55+29)=8,

12

即3km上空的温度为8℃.

21.(12分)已知函数f(x)是定义在［-1,1］上的奇函数，且f(1)=1,对任意a,be［-l,1］,

a+bWO时有------——>0成立.

a+b

1

⑴解不等式f(x+-)〈f(『2x).

2

(2)若f(x)Wn］2-2ani+l对任意［T,1］恒成立，求实数m的取值范围.

【解析】(1)任取X】，x2e［-l,1］,Xi<X2,

+r"小)

f(X1)-f(X2)=f(X1)+f(-X2)=-f----------------•(X1-X2)

)