高二数学导数及其应用单元测试题

第第页高二数学导数及其应用单元测试题导数习题

鄂州市第二中学高二数学《导数及其应用》单元测试

一、选择题：(本大题共10小题,每题5分,共50分)

1．设函数f(*)在*0处可导，那么lim

*0

f(*0*)f(*0)

等于〔C〕

*

A．

f'(*0)B．f'(*0)C．-f'(*0)D．-f'(*0)

2．假设函数f(*)的导数为f′(*)=-sin*，那么函数图像在点〔4，f〔4〕〕处的切线的倾斜角为〔C〕

A．90B．0C．锐角D．钝角3．函数y=*－3*在[－1，2]上的最小值为〔B〕

3

A、2B、－2C、0D、－4

2

4．设函数f*的导函数为f*，且f**2*f1，那么f0等于(B)

A、0B、4C、2D、2

32

5．已知f(*)＝*＋a*＋(a＋6)*＋1有极大值和微小值，那么a的取值范围为(D)A、－1a2B、－3a6C、a－1或a2D、a－3或a6

6、设函数f(*)＝k*3＋3(k－1)*2k2＋1在区间〔0，4〕上是减函数，那么k的取值范围是〔D〕A、k

13

B、0k

13

C、0k

13

D、k

13

7、设函数f(*)在定义域内可导，y=f(*)的图象如下列图所示，那么导函数y=f(*)可能为〔D〕

ACDB8、对于R上可导的任意函数f〔*〕，且f'(1)0假设满意〔*－1〕f〔*〕0，那么必有〔C〕

A、f〔0〕＋f〔2〕2f〔1〕B、f〔0〕＋f〔2〕2f〔1〕C、f〔0〕＋f〔2〕2f〔1〕D、f〔0〕＋f〔2〕2f〔1〕

9、已知二次函数f(*)a*2b*c的导数为f(*)，f(0)0，对于任意实数*，有

f(*)≥0，那么

Ａ．3

f(1)

的最小值为(C)f(0)

5

2

Ｃ．2

Ｄ．

Ｂ．

32

10、f(*)是定义在区间[－c,c]上的奇函数，其图象如下图：令g〔*〕=af〔*〕+b，那么下列关于函数g〔*〕的表达正确的选项是〔B〕

A．假设a0,那么函数g〔*〕的图象关于原点对称.

B．假设a=－1，－2b0,那么方程g〔*〕=0有大于2的实根.

导数习题

C．假设a≠0,b=2,那么方程g〔*〕=0有两个实根.D．假设a≥1,b2,那么方程g〔*〕=0有三个实根.

二、填空题(共5小题，每题5分,共25分)11.求f*sin3

13121c的导数y2sin***12．曲线S：y=3*-*3的过点A〔2，-2〕的切线的方程是y=-9*+16或y=-2。13.设P为曲线C：y*22*3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围

为0，那么点P横坐标的取值范围为-1.

42

1

14．设函数f(*)是R上以5为周期的可导偶函数，那么曲线yf(*)在*5处的切线的斜率为0

15.已知直线*+2y－4=0与抛物线y2=4*相交于A、B两点，O是坐标原点，P是抛物线的弧

上求一点P，当△PAB面积最大时，P点坐标为P(4,－

三、解答题〔共6小题，，共75分〕

16、〔此题总分值12分〕对于三次函数f(*)a*3b*2c*d(a0)，定义：

设f(*)是函数yf(*)的导函数yf(*)的导数，假设f(*)0有实数解*0，那么

称点(*0,f(*0))为函数yf(*)的“拐点”。现已知f(*)*3*2*2,请解答以下问题:

〔1〕求函数f(*)的“拐点”A的坐标;

〔2〕求证f(*)的图象关于“拐点”A对称;并写出对于任意的三次函数都成立的有关“拐点”的一个结论〔此结论不要求证明〕.

3

2

16、[解析]〔1〕f(*)3*26*2，f(*)6*6.令f(*)6*60得

3

*1，f(1)13222.拐点A(1,2)

32

〔2〕设P(*0,y0)是yf(*)图象上任意一点，那么y0*03*02*02，由于

P(*0,y0)关于A(1,2)的对称点为P(2*0,4y0)，把P代入yf(*)得

32左边4y0*03*02*02,

32右边(2*0)33(2*0)22(2*0)2*03*02*02

右边=右边P(2*0,4y0)在yf(*)图象上yf(*)关于A对称

导数习题

猜想：全部的三次函数图象都关于它的拐点对称。

17.〔此题总分值12分〕已知函数f(*)是(0,)上的可导函数，假设*f(*)f(*)在*0时恒成立.

〔1〕求证：函数g(*)

f(*)

在(0,)上是增函数；*

〔2〕求证：当*10,*20时，有f(*1*2)f(*1)f(*2).

f(*)*f(*)f(*)

,由于*f(*)f(*)，得g(*)2

**

f(*)

所以g(*)0在*0时恒成立，所以函数g(*)在(0,)上是增函数.

*

f(*)

〔2〕由〔1〕知函数g(*)在(0,)上是增函数，所以当*10,*20时，

*

17.〔1〕由g(*)有

f(*1*2)f(*1)f(*1*2)f(*2)

成立，,

*1*2*1*1*2*2

*1*2

f(*1*2),f(*2)f(*1*2)

*1*2*1*2

从而f(*1)

两式相加得f(*1*2)f(*1)f(*2)18.〔此题总分值12分〕已知函数f(*)*ln*.〔Ⅰ〕求f(*)的最小值；

〔Ⅱ〕假设对全部*1都有f(*)a*1，求实数a的取值范围.

18.解析：f(*)的定义域为(0，+)，1分f(*)的导数f(*)1ln*.3分

11；令f(*)0，解得0*.ee

11

从而f(*)在0单调递减，在，+单调递增.5分

ee11

所以，当*时，f(*)取得最小值.6分

ee

〔Ⅱ〕解法一：令g(*)f(*)(a*1)，那么

g(*)f(*)a1aln*，8分①假设a1，当*1时，g(*)1aln*1a0，

，+)上为增函数，故g(*)在(1

所以，*1时，g(*)g(1)1a0，即f(*)a*1.10分②假设a1，方程g(*)0的根为*0ea1，

令f(*)0，解得*

导数习题

此时，假设*(1，*0)，那么g(*)0，故g(*)在该区间为减函数.所以*(1，*0)时，g(*)g(1)1a0，

即f(*)a*1，与题设f(*)a*1相冲突.13分综上，满意条件的a的取值范围是(，1].14分解法二：依题意，得f(*)a*1在[1，)上恒成立，

1

对于*[1，)恒成立.8分*11111

令g(*)ln*，那么g(*)21.10分

*****

11

当*1时，由于g(*)10，

**

)上的增函数，所以g(*)的最小值是g(1)1，13故g(*)是(1，

即不等式aln*

分

1].14分所以a的取值范围是(，

19、〔此题总分值12分〕请您设计一个帐篷。它下部的外形是高为1m的正六棱柱，上部的外形是侧棱长为3m的正六棱锥〔如右图所示〕。试问当帐篷的顶点O究竟面中心o1的距离为多少时，帐篷的体积最大？

【注：V柱体S底h,V锥体S底h】

13

19、解：设正六棱锥的高为*m,

m〕。

2分于是底面正六边形的面积为〔单位：m2〕

：S6帐篷的体积为〔单位：m3〕：

2*2)。42

4分

V(*)

1

*2)*1*2)(3*)*33*29*27)(1*3)38分

求导数，得V(*)

2

*2*3)；2

令V(*)0解得*=-3(不合题意，舍去),*=1。10分当0*1时，V(*)0,V(*)为增函数；当1*3时，V(*)0,V(*)为减函数。所以当*=1时,V(*)最大。即当OO1为2m时，帐篷的体积最大。12分

导数习题

20.〔此题总分值13分〕已知函数f(*)=a*+b*－3*在*=1处取得极值.

3

2

〔Ⅰ〕求函数f(*)的解析式；

〔Ⅱ〕求证：对于区间[－1，1]上任意两个自变量的值*1，*2，都有|f(*1)－f(*2)|≤4；〔Ⅲ〕假设过点A〔1，m〕〔m≠－2〕可作曲线y=f(*)的三条切线，求实数m的取值范围.20.解：〔I〕f′(*)=3a*+2b*－3，依题意，f′(1)=f′(－1)=0，

2

即

3a2b30

,解得a=1，b=0.∴f(*)=*3－3*.

3a2b30

3

2

〔II〕∵f(*)=*－3*,∴f′(*)=3*－3=3(*+1)(*－1)，

当－1*1时，f′(*)0，故f(*)在区间[－1，1]上为减函数，fma*(*)=f(－1)=2，fmin(*)=f(1)=－26分∵对于区间[－1，1]上任意两个自变量的值*1，*2，都有|f(*1)－f(*2)|≤|fma*(*)－fmin(*)|

|f(*1)－f(*2)|≤|fma*(*)－fmin(*)|=2－(－2)=48分

〔III〕f′(*)=3*－3=3(*+1)(*－1)，

∵曲线方程为y=*－3*，∴点A〔1，m〕不在曲线上.

3

设切点为M〔*0，y0〕，那么点M的坐标满意y0*03*0.

3

2

3

*03*0m

因f(*0)3(*1)，故切线的斜率为3(*1)，

*01

20

20

32

整理得2*03*0m30.∵过点A〔1，m〕可作曲线的三条切线，32∴关于*0方程2*03*0m3=0有三个实根.10分322设g(*0)=2*03*0m3，那么g′(*0)=6*06*0，

由g′(*0)=0，得*0=0或*0=1.

∴g(*0)在〔－∞，0〕，〔1，+∞〕上单调递增，在〔0，1〕上单调递减.

导数习题

32

∴函数g(*0)=2*03*0m3的极值点为*0=0，*0=112分32∴关于*0方程2*03*0m3=0有三个实根的充要条件是

g(0)0

，解得－3m－2.故所求的实数a的取值范围是－3m－2.

g(1)0

21.〔此题总分值14分〕已知f(*)a*ln*,*(0,e],g(*)

ln*

，其中e是自然常数，*

aR.

〔Ⅰ〕争论a1时,f(*)的单调性、极值；〔Ⅱ〕求证：在〔Ⅰ〕的条件下，f(*)g(*)

1;2

〔Ⅲ〕是否存在实数a，使f(*)的最小值是3，假设存在，求出a的值；假设不存在，说明理由.

21.解：〔Ⅰ〕f(*)*ln*，f(*)1

1*1

1分**

∴当0*1时，f/(*)0，此时f(*)单调递减

/

当1*e时，f(*)0，此时f(*)单调递增3分

∴f(*)的微小值为f(1)14分〔Ⅱ〕f(*)的微小值为1，即f(*)在(0,e]上的最小值为1，∴f(*)0，f(*)min15分令h(*)g(*)

1ln*11ln*，h(*)，6分2*2*

当0*e时，h(*)0，h(*)在(0,e]上单调递增7分∴h(*)ma*h(e)

1111

1|f(*)|mine222

∴在〔1〕的条件下，f(*)g(*)

1

9分2

〔Ⅲ〕假设存在实数a，使f(*)a*ln*〔*(0,e]〕有最小值3，

f/(*)a

1a*19分

**

4

〔舍去〕，e

①当a0时，f(*)在(0,e]上单调递减，f(*)minf(e)ae13，a所以，此时f(*)无最小值.10分

导数习题

②当0

111

e时，f(*)在(0,)上单调递减，在(,e]上单调递增

aaa

1

f(*)minf()1lna3，ae2，满意条件.11分

a

③当

14

e时，f(*)在(0,e]上单调递减，f(*)minf(e)ae13，a〔舍去〕，ae

2

所以，此时f(*)无最小值.综上，存在实数ae，使得当*(0,e]时f(*)有最小值3.

导数习题

鄂州市第二中学高二数学《导数及其应用》单元测试

一、选择题：(本大题共10小题,每题5分,共50分)

1．设函数f(*)在*0处可导，那么lim

*0

f(*0*)f(*0)

等于〔C〕

*

A．

f'(*0)B．f'(*0)C．-f'(*0)D．-f'(*0)

2．假设函数f(*)的导数为f′(*)=-sin*，那么函数图像在点〔4，f〔4〕〕处的切线的倾斜角为〔C〕

A．90B．0C．锐角D．钝角3．函数y=*－3*在[－1，2]上的最小值为〔B〕

3

A、2B、－2C、0D、－4

2

4．设函数f*的导函数为f*，且f**2*f1，那么f0等于(B)

A、0B、4C、2D、2

32

5．已知f(*)＝*＋a*＋(a＋6)*＋1有极大值和微小值，那么a的取值范围为(D)A、－1a2B、－3a6C、a－1或a