串讲06 复数（考点串讲）（解析版）

串讲06复数知识网络二、常考题型三、知识梳理1.复数的定义形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中实部是a，虚部是b．2.复数的分类复数z＝a＋bi(a，b∈R)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(实数（b＝0），,虚数（b≠0）\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(纯虚数（a＝0，b≠0），,非纯虚数（a≠0，b≠0）.))))3.复数相等a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．4.共轭复数a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c且b＝－d(a，b，c，d∈R)．5.复数的模向量eq\o(OZ,\s\up6(→))的模叫做复数z＝a＋bi的模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝r＝eq\r(a2＋b2)(r≥0，a，b∈R)．6.复数的几何意义（1）复数z＝a＋b与复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R)一一对应．（2）复数z＝a＋bi(a，b∈R)复平面内向量eq\o(OZ,\s\up6(→))一一对应．7.复数的运算（1）复数的加、减、乘、除运算法则设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；④除法：eq\f(z1,z2)＝eq\f(a＋bi,c＋di)＝eq\f(（a＋bi）（c－di）,（c＋di）（c－di）)＝eq\f(ac＋bd,c2＋d2)＋eq\f(bc－ad,c2＋d2)i(c＋di≠0)．（2）复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．8.复数的常用结论（1）(1±i)2＝±2i；eq\f(1＋i,1－i)＝i；eq\f(1－i,1＋i)＝－i.（2）－b＋ai＝i(a＋bi)．（3）.四、常考题型探究考点一复数的概念例1.已知复数，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用复数相等的条件得到方程组，求出答案.【详解】，故，所以，解得.故选：B例2.已知复数z满足，则的虚部是（

）A． B．1 C． D．i【答案】B【分析】先由等式，反解出，再利用复数的除法运算法则，求出复数z即可.【详解】由已知，得，所以z的虚部为1.故选：B.【变式探究】1若，则z的虚部为（

）A． B． C． D．1【答案】C【分析】先将等式变形为，利用复数的除法运算求解即可.【详解】依题意，得，，则复数z的虚部为：，故选：C．【变式探究】2以的虚部为实部，以的实部为虚部的复数是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】化简复数，再利用复数的概念求解即得.【详解】的虚部为2，的实部为，所以所求复数的实部为2，虚部为，复数为．故选：A考点二复数的几何意义例3.复数在复平面上对应的点在第二象限，则实数a的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由复数确定点的坐标，再根据第二象限坐标的特点，解关于的一元一次不等式组即可求出的范围.【详解】复数在复平面上对应的点的坐标为，根据第二象限坐标的特点可得，从而可得.故选：D.例4.已知复数满足，复数的共轭复数为，则在复平面内对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【分析】根据复数的运算、共轭复数的定义以及复数的几何意义判定选项即可.【详解】因为，所以，所以，所以，所以在复平面内对应的点的坐标为，位于第三象限.故选:C.【变式探究】1复数，在复平面上对应的点分别为，，则；【答案】【分析】结合复数的几何意义和四则运算，即可求解.【详解】因为复数，在复平面上对应的点分别为，，则，则故答案为：【变式探究】2已知复数满足，则在复平面的对应点的坐标为．【答案】【分析】根据复数的除法运算求得复数，再由复数的几何意义即可求得结果.【详解】将整理成，所以，由复数的几何意义可得在复平面的对应点的坐标为.故答案为：考点三复数的模例5.为虚数单位，若，则（

）A．5 B．7 C．9 D．25【答案】A【分析】化简复数，再进行求模计算即可.【详解】因为，所以，故选：A.例6.若，则（

）A．i B．1 C． D．2【答案】B【分析】根据复数的运算法则进行运算，继而直接求模即可.【详解】因为，所以，所以，故选：B．【变式探究】1已知复数满足，则（

）A． B． C． D．1【答案】D【分析】利用复数的乘法和除法法则计算出，进而得到，求出.【详解】，故，故，故.故选：D【变式探究】2若复数满足，则（

）A．1 B． C． D．2【答案】A【分析】利用复数的模的性质求复数的模.【详解】因为，所以：.故选：A考点四复数的加减例7.复数，其中为实数，若为实数，为纯虚数，则（

）A．6 B． C． D．7【答案】C【分析】利用复数代数形式的加减法，结合实数、纯虚数的定义求解即得.【详解】复数，为实数，则，由为实数，得，解得，又，显然，由为纯虚数，得，解得，所以.故选：C例8.已知复数，，则的实部与虚部分别为（

）A．， B．， C．， D．，【答案】A【分析】应用复数加法求，根据实部、虚部定义得答案.【详解】因为，，所以，其实部与虚部分别为，.故选：A【变式探究】1，则；.【答案】/【分析】利用复数的运算化简复数，利用复数的模长公式可求得的值，再利用共轭复数的定义结合复数的加法可得出复数.【详解】因为，所以，，则，.故答案为：；.【变式探究】2已知复数，，则．【答案】【分析】利用复数的减法可求得复数.【详解】因为复数，，则.故答案为：.考点五复数的乘除例9.已知是虚数单位，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用复数的四则运算法则即可得出结论.【详解】.故选：B.例10.已知复数，是z的共轭复数，则（

）A． B．1 C．2 D．4【答案】B【分析】首先分析题意，对给定复数化简，再利用共轭复数知识求解即可.【详解】，而，可得.故选：B.【变式探究】1（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由复数的乘法运算即可得解.【详解】．故选：C.【变式探究】2已知复数，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】将代入利用复数的乘法运算可得，再结合模长公式计算可得.【详解】由可得，则.故选：B考点六共轭复数例11.复数的共轭复数是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据复数的运算法计算后，结合共轭复数的概念，即可求解.【详解】根据复数的运算法则，可得，所以其共轭复数是.故选：A.例12.复数，则的共轭复数（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用复数的除法运算化简为标准形式，进而根据共轭复数的定义得解.【详解】,,故选：B.【