椭圆及其标准方程高二上学期数学人教A版（2019）+选择性必修第一册

椭圆及其标准方程双曲线一、追根溯源抛物线圆椭圆圆锥曲线的形成二、新知探究探究一：概念探究动手实验：准备两个图钉、一个硬纸板、一根绳子、一支铅笔.将绳子两端用图钉按在硬纸板上，用铅笔将绳子拉紧绕圈画出图形.画出的图形是动点轨迹:

线段！不存在！两定点之间的距离与绳长相等：绳长小于两定点之间的距离：二、新知探究试着改变两图钉间的距离，使其与绳长相等，其图形是什么？绳长小于两图钉距离呢？问题2：是否满足到两个定点距离之和等于常数的点的轨迹就是椭圆？问题1：如果将两图钉固定在同一点，是什么图形？把你的实验用数学语言来表达，并思考动点满足什么几何条件其轨迹是椭圆？固定在一点显然得到的图形为圆，类比圆的轨迹定义，椭圆可描述为到两定点距离之和等于常数的点的轨迹.显然不一定，由问题1的答案就知道.二、新知探究问题3：可否尝试给椭圆下一个准确的定义？根据实验，我们知道距离之和要大于两定点距离才可以画出椭圆，所以我们把平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆.二、新知探究

平面内到两个定点的距离的和等于常数（大于|F1F2

|）的点的轨迹叫椭圆.定点F1、F2叫做椭圆的焦点.两焦点之间的距离叫做焦距.F1F2M椭圆的定义常记作2a常记作2c二、新知探究问题1：回顾一下，圆的方程是如何推导出来的？探究二：方程探究建系设点列式化简证明坐标法

问题2：求曲线方程的一般步骤是？二、新知探究

设椭圆的焦距|F1F2|=2c，

椭圆上任意一点与F1，F2的距离的和等于常数2a，其中(a>c>0).F1F2如何适当建立平面直角坐标系？二、新知探究设点化简列式建系结合椭圆对称性，类比研究圆的方程时的建系方式建立坐标系二、新知探究xyOF1F2

以F1，F2所在直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系xOy，

则F1，F2的坐标分别为(－c，0)，(c，0).设点化简列式建系二、新知探究xyOF1F2设点化简列式建系椭圆方程的建立

设椭圆上任意一点M的坐标为(x，y)M(x，y)二、新知探究xyOF1F2设点化简列式建系椭圆方程的建立根据椭圆定义知：二、新知探究xyOF1F2设点化简列式建系如何化简该等式？化简椭圆标准方程常见方法:两次平方法等差中项法（和差术）分子有理化法平方差法二、新知探究二、新知探究设点化简列式建系移项得：，整理得：，两边平方得：

a4－2a2cx＋c2x2＝a2x2－2a2cx＋a2c2＋a2y2，整理得：(a2－c2)x2＋a2y2＝a2(a2－c2)．两边平方得：，两次平方法因为a2(a2－c2)

≠0，所以两边同除以a2(a2－c2)得：.

二、新知探究设点化简列式建系分子有理化得：整理得：（1）＋（2）整理得：（3）式平方：因为a2(a2－c2)

≠0，所以两边同除以a2(a2－c2)得：.

分子有理化法（俄罗斯教材选用）二、新知探究设点化简列式建系等差中项法（洛必达和差术）因为a2(a2－c2)

≠0，所以两边同除以a2(a2－c2)得：.

二、新知探究设点化简列式建系平方差法代入(1)整理得：(3)式平方：.因为a2(a2－c2)

≠0，所以两边同除以a2(a2－c2)得：.

椭圆标准方程的建立

设a2－c2＝b2，则原式可化为：M(x，y)OxyF1F2(－c，0)(c，0)二、新知探究设点化简列式建系M(x，y)OxyF1F2(－c，0)(c，0)焦点在x

轴上的椭圆标准方程：二、新知探究OxyMF1F2acb问题3：你能从图中找出表示的线段么？a2－c2＝b2C二、新知探究焦点在x轴上焦点在y轴上|PF1|＋|PF2|=2aF1(

c,0)、F2(c,0)|PF1|＋|PF2|=2aF1(0,

c)、F2(0,c)问题4：焦点在y轴上椭圆的标准方程是什么？椭圆的标准方程思路：将x、y置换即可二、新知探究哪个分母大，焦点就在哪个轴上图形焦点坐标定义a、b、c关系焦点位置判断xyF1F2POxyF1F2PO标准方程平面内到两个定点F1，F2的距离的和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹问题5：两种椭圆标准方程有哪些异同点？二、新知探究三、学以致用

由椭圆定义知c=2，

定义法

由椭圆定义知c=2，

待定系数法三、学以致用

规律方法

1.求椭圆的标准方程时，要“先定型，再定量”.2.定义法：求出a和c，进一步求出b.待定系数法：先设出标准方程，根据两个条件联立方程组，直接求出a，b.三、学以致用三、学以致用思考：从例2中你能发现椭圆与圆之间的关系吗？圆按某一个方向作伸缩变换可以得到椭圆．三、学以致用三、学以致用三、学以致用四、归纳小结请谈一谈：通过本节课的学习，你有哪些收获？知识方面：椭圆的定义、椭圆的标准方程推导及其求法思想方法方面：类比思想其他感悟：

提高