人教版高中数学《圆锥曲线和方程》全部教案

椭圆及其标准方程

一、教学目标

（一）知识教学点

使学生理解椭圆的定义，掌握椭圆的标准方程的推导及标准方程.

（二）能力训练点

通过对椭圆概念的引入与标准方程的推导，培养学生分析探索能力，增强运用坐标法

解决儿何问题的能力.

（三）学科渗透点

通过对椭圆标准方程的推导的教学，可以提高对各种知识的综合运用能力.

二、教材分析

1.重点：椭圆的定义和椭圆的标准方程.

（解决办法：用模型演示椭圆，再给出椭圆的定义，最后加以强调；对椭圆

的标准方程单独列出加以比较.）

2.难点：椭圆的标准方程的推导.

（解决办法：推导分4步完成，每步重点讲解，关键步骤加以补充说明.）

3.疑点：椭圆的定义中常数加以限制的原因.

（解决办法：分三种情况说明动点的轨迹.）

三、活动设计

提问、演示、讲授、详细讲授、演板、分析讲解、学生口答.

四、教学过程

（一）椭圆概念的引入

前面，大家学习了曲线的方程等概念，哪•位同学回答：

问题1：什么叫做曲线的方程？求曲线方程的一般步骤是什么？其中哪儿个

步骤必不可少？

对上述问题学生的回答基本正确，否则，教师给予纠正.这样便于学生温故而知新,

在已有知识基础上去探求新知识.

同哽2：当，>附.扃与戈力=/理司解方程叫？

3a>08tfi[x）=aaOG/E（x）-瞋抱©+0=0==a.

提出这一问题以便说明标准方程推导中一个同解变形.

问题3：圆的儿何特征是什么？你能否可类似地提出一些轨迹命题作广泛的

探索？

一般学生能回答：”平面内到一定点的距离为常数的点的轨迹是圆”.对同学提出的

轨迹命题如：

“到两定点距离之和等于常数的点的轨迹.”

“到两定点距离平方差等于常数的点的轨迹.”

“到两定点距离之差等于常数的点的轨迹."

教师要加以肯定，以鼓励同学们的探索精神.

比如说，若同学们提出了“到两定点距离之和等于常数的点的轨迹”，那么动点轨迹

是什么呢？这时教师示范引导学生绘图：

取一条一定长的细绳，把它的两端固定在画图板上的F1和F2两点（如图2-13）,当

绳长大于F1和F2的距离时，用铅笔尖把绳子拉紧，使笔尖在图板上慢慢移动，

就可以画出一个椭圆.

教师进一步追问：“椭圆，在哪些地方见过？”有的同学说：“立体几何中圆的直观

图.”有的同学说：“人造卫星运行轨道”等……

在此基础上，引导学生概括椭圆的定义：

平面内到两定点Fl、F2的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭

圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做焦距.

学生开始只强调主要几何特征——到两定点Fl、F2的距离之和等于常数、教师在

演示中要从两个方面加以强调：

⑴将穿有铅笔的细线拉到图板平面外，得到的不是椭圆，而是椭球形，使学

生认识到需加限制条件：“在平面内”.

⑵这里的常数有什么限制吗？教师边演示边提示学生注意：若常数=|F1F2|,

则是线段F1F2；若常数V|F1F2],则轨迹不存在；若要轨迹是椭圆，还必须加上

限制条件：“此常数大于|F1F2|”.

（二）椭圆标准方程的推导

1.标准方程的推导

由椭圆的定义，可以知道它的基本几何特征，但对椭圆还具有哪些性质，我们还一无

所知，所以需要用坐标法先建立椭圆的方程.

如何建立椭圆的方程？根据求曲线方程的一般步骤，可分：（1）建系设点；（2）点的

集合；（3）代数方程；（4）化简方程等步骤.

⑴建系设点

建立坐标系应遵循简单和优化的原则，如使关键点的坐标、关键几何量（距离、直线

斜率等）的表达式简单化，注意充分利用图形的对称性，使学生认识到下列选取

方法是恰当的.

以两定点Fl、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐

标系（如图2T4）.设|F1F2|=2C（C>0）,M（x,y）为椭圆上任意一点，则有F1（T,

0）,F2（c,0）.

⑵点的集合

由定义不难得出椭圆集合为:

P={MIIMFl|+|MF2|=2a}.

⑶代数方程

1a

V|MFJ=#.+了+7,|砥|=J(K-c)+y,

特掂1J(x+c)a+yJ+&*-了+阿=2a.

(4)化简方程

化简方程可请一个反映比较快、书写比较规范的同学板演，其余同学在下面完成，教

师巡视，适当给予提示：

①原方程要移项平方，否则化简相当复杂；注意两次平方的理由详见问题3说明.整

理后，再平方得(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)

②为使方程对称和谐而引入b,同时b还有几何意义，下节课还要

讲.由2a>2c可得a'W>0.令a'•<?=2则得方程f+g=l

(a>b>0).

关于证明所得的方程是椭圆方程，因教材中对此要求不高，可从略.

因此，方程"+g=l(a>b>。即轴锦Uffl的标描方科它表

示的椭圆的焦点在x轴上,焦点是Fl(-c,0)、F2(c,0).这里C2=a2-b2.

2.两种标准方程的比较(引导学生归纳)

《心*营=l(a>b>Q)«^a在*±^»留，3隅(f

0)、F2(c,0),这里c2=a2-b2；

ab

-0、F2(0,c),这里C2=a2+b2,只须将(1)方程的x、y互换即可得到.

教师指出：在两种标准方程中，：a2>b2,.•.可以根据分母的大小来判定焦点在

哪一个坐标轴上.

（三）例题与练习

例题平面内两定点的距离是8,写出到这两定点的距离的和是10的点的

轨迹的方程.

分析：先根据题意判断轨迹，再建立直角坐标系，采用待定系数法得出轨迹方程.

解：这个轨迹是•个椭圆，两个定点是焦点，用Fl、F2表示.取过点F1和F2的

直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系.

•/2a=10,2c=8.

a=5,c=4,b2=a2-c2=52-45=9./.b=3

因此，这个椭圆的标准方程是

请大家再想一想，焦点Fl、F2放在y轴上，线段F1F2的垂直平分

战为奉，轨迹方程是什么形即E?今+（”

练习1写出适合下列条件的椭圆的标准方程：

a=4,C=VB,焦点在盘上.

由学生口等，方程为（+-=1.

练习2下列各组两个椭圆中，其焦点相同的是

[]

xy—x，

c.彳+彳=1与干+尹=

D.7+卜1与n一+六—=1，（m＞叽

由学生口答，答案为D.

（四）小结

1.定义：椭圆是平面内与两定点Fl、F2的距离的和等于常数（大于|F1F2|）

的点的轨迹.

2.林造.厅程।尸+*=ig>b>0)或4+声g>b>0)・

3.图形如图2-15、2-16.

4.焦点:Fl(-c,0),F2(C,0).Fl(0,-c),F2(0,c).

五、布置作业

1.如图2T7,在椭圆上的点中,A1与焦点F1的距离最小,|A1F1|=2,A2

Fl的距离最大，|A2F1|=14,求椭圆的标准方程.

2.*1上一点4）与焦点的距肉.

10

3.求适合下列条件的椭圆的标准方程：

（0群删经过两点P（-2-，0）.Q（0,-J5）j

（2）长轴是短轴的班，懦回经逋素P0,0）＞

（3）意点坐标是（-2/，。雨（2小,0）,并且经过点P（6,

-邪）.

4.Bj«H#a^-+^-=Ua>b>0).F「凡是AB

是过Fl的直线被椭圆截得的线段长，求AABF2的周长.

作业答案：

X：,2

L~~+~,・1

6428

3713

2.IM.FJ=y.|M^|=y

2

Xr

-+-

9

/

2

X

-+T-

20

4.由椭圆定义易得，^ABF2的周长为4a.

六、板书设计

5X8I

milMi

何JI2

何JI3

危文DVJl

2iVJ2

椭圆及其标准方程

一、教学目标

（一）知识教学点

使学生理解椭圆的定义，掌握椭圆的标准方程的推导及标准方程.

（二）能力训练点

通过对椭圆概念的引入与标准方程的推导，培养学生分析探索能力，增强运用坐标法

解决儿何问题的能力.

（三）学科渗透点

通过对椭圆标准方程的推导的教学，可以提高对各种知识的综合运用能力.

二、教材分析

1.重点：椭圆的定义和椭圆的标准方程.

（解决办法：用模型演示椭圆，再给出椭圆的定义，最后加以强调；对椭圆

的标准方程单独列出加以比较.）

2.难点：椭圆的标准方程的推导.

（解决办法：推导分4步完成，每步重点讲解，关键步骤加以补充说明.）

3.疑点：椭圆的定义中常数加以限制的原因.

(解决办法：分三种情况说明动点的轨迹.)

三、活动设计

提问、演示、讲授、详细讲授、演板、分析讲解、学生口答.

四、教学过程

(一)椭圆概念的引入

前面，大家学习了曲线的方程等概念，哪一位同学回答：

问题1:什么叫做曲线的方程？求曲线方程的一般步骤是什么？其中哪几个

步骤必不可少？

对上述问题学生的回答基本正确，否则，教师给予纠正.这样便于学生温故而知新，

在已有知识基础上去探求新知识.

问题2,当4＞四，辰=食与可力=»2是同解方程吗？

当=a'O(^(x)-aX#(x)+a)=0Q5/ECx)=a.

提出这一问题以便说明标准方程推导中一个同解变形.

问题3：圆的儿何特征是什么？你能否可类似地提出一些轨迹命题作广泛的

探索？

一般学生能回答：“平面内到一定点的距离为常数的点的轨迹是圆”.对同学提出的

轨迹命题如：

“到两定点距离之和等于常数的点的轨迹.”

“到两定点距离平方差等于常数的点的轨迹.”

“到两定点距离之差等于常数的点的轨迹."

教师要加以肯定，以鼓励同学们的探索精神.

比如说，若同学们提出了“到两定点距离之和等于常数的点的轨迹”，那么动点轨迹

是什么呢？这时教师示范引导学生绘图：

取一条一定长的细绳，把它的两端固定在画图板上的F1和F2两点（如图2-13）,当

绳长大于F1和F2的距离时，用铅笔尖把绳子拉紧，使笔尖在图板上慢慢移动，

就可以画出一个椭圆.

教师进一步追问：“椭圆，在哪些地方见过？”有的同学说：“立体几何中圆的直观

图.”有的同学说：“人造卫星运行轨道”等……

在此基础上，引导学生概括椭圆的定义：

平面内到两定点Fl、F2的距离之和等于常数（大于|F1F21）的点的轨迹叫做椭

圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做焦距.

学生开始只强调主要几何特征——到两定点Fl、F2的距离之和等于常数、教师在

演示中要从两个方面加以强调：

⑴将穿有铅笔的细线拉到图板平面外，得到的不是椭圆，而是椭球形，使学

生认识到需加限制条件：“在平面内”.

⑵这里的常数有什么限制吗？教师边演示边提示学生注意：若常数=|F1F2|,

则是线段F1F2；若常数V|F1F2|,则轨迹不存在；若要轨迹是椭圆，还必须加上

限制条件：“此常数大于|F1F2|”.

（二）椭圆标准方程的推导

1.标准方程的推导

由椭圆的定义，可以知道它的基本几何特征，但对椭圆还具有哪些性质，我们还一无

所知，所以需要用坐标法先建立椭圆的方程.

如何建立椭圆的方程？根据求曲线方程的一般步骤，可分：（1）建系设点；（2）点的

集合；（3）代数方程；（4）化简方程等步骤.

⑴建系设点

建立坐标系应遵循简单和优化的原则，如使关键点的坐标、关键几何量（距离、直线

斜率等）的表达式简单化，注意充分利用图形的对称性，使学生认识到下列选取

方法是恰当的.

以两定点Fl、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐

标系(如图2T4).设|F1F2|=2C(C>0),M(x,y)为椭圆上任意一点,则有F1(T,

0),F2(c,0).

⑵点的集合

由定义不难得出椭圆集合为：

P={MIIMFl|+|MF2|=2a}.

⑶代数方程

|MFj|=J(x+c)l+y2,|M^|=J(x-c)a+y\

存方程J(x+c)a+ya+=2a.

(4)化简方程

化简方程可请一个反映比较快、书写比较规范的同学板演，其余同学在下面完成，教

师巡视，适当给予提示：

①原方程要移项平方，否则化简相当复杂；注意两次平方的理由详见问题3说明.整

理后，再平方得(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)

②为使方程对称和谐而引入b,同时b还有几何意义，下节课还要

讲.由2a>2c可得a，-/>0»令/-J=bL方程可■+$■=1

(a>b>0).

关于证明所得的方程是椭圆方程，因教材中对此要求不高，可从略.

因此方程”舌=3>b>。即痂南幅的标推方程.它表

示的椭圆的焦点在x轴上，焦点是Fl（-c,0）、F2（C,0）.这里C2=a2-b2.

2.两种标准方程的比较（引导学生归纳）

在域±^»图，献&t（r,

0）、F2（C,0）,这里c2二a2-b2；

⑵5T=i（a>b>0）标蕉点在用焦居⑼

-c）>F2（0,c）,这里C2=a2+b2,只须将（1）方程的x、y互换即可得到.

教师指出：在两种标准方程中，；a2>b2,...可以根据分母的大小来判定焦点在

哪一个坐标轴上.

（三）例题与练习

例题平面内两定点的距离是8,写出到这两定点的距离的和是10的点的

轨迹的方程.

分析：先根据题意判断轨迹，再建立直角坐标系，采用待定系数法得出轨迹方程.

解：这个轨迹是一个椭圆，两个定点是焦点，用Fl、F2表示.取过点F1和F2的

直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系.

*/2a=10,2c=8.

Aa=5,c=4,b2=a2-c2=52-45=9./.b=3

因此，这个椭圆的标准方程是

请大家再想一想，焦点Fl、F2放在y轴上，线段F1F2的垂直平分

线为“兼遂方程是什么影即E?^+^-=1.

练习1写出适合下列条件的椭圆的标准方程：

a=4,C=VB,侬在盘上.

由学生口答，方程为《+/=】.

练习2下列各组两个椭圆中，其焦点相同的是

[]

A.1^-+3=1与^'+^_=卜

4£4i

B-1+£=i与父+7=L

由学生口答，答案为D.

（四）小结

1.定义：椭圆是平面内与两定点Fl、F2的距离的和等于常数（大于|F1F2|）

的点的轨迹.

2.际^方程।5+J=l(a>b>0)或9+3(&>1>>0).

3.图形如图2-15、2-16.

4.焦点:Fl(-c,0),F2(C,0).Fl(0,-c),F2(0,c).

五、布置作业

1.如图2T7,在椭圆上的点中，A1与焦点F1的距离最小，|A1F1|=2,A2

Fl的距离最大，|A2F1|=14,求椭圆的标准方程.

2.求精品3+^=1上一点4)与焦点的距离.

10

3.求适合下列条件的椭圆的标准方程：

(0辆网经过网点P(-2倔，0).Q(0,V5)J

(2)长轴是短轴的班，带傅经过点P(3.0);

(3)熊点坐标是(之五，。用(26.0),并且经过点P(逐,

4.已知摘困5+3=1(11>1>>0),4、F*是它的短点，AB

是过Fl的直线被椭圆截得的线段长，求AABF2的周长.

作业答案:

4.由椭圆定义易得，AABF2的周长为4a.

六、板书设计

§181

(-M09IKA

定文txa\

292

(^btt

椭圆的几何性质

一、教学目标

（一）知识教学点

通过椭圆标准方程的讨论，使学生掌握椭圆的几何性质，能正确地画出椭圆的图形，

并了解椭圆的一些实际应用.

（二）能力训练点

通过对椭圆的几何性质的教学，培养学生分析问题和解决实际问题的能力.

（三）学科渗透点

使学生掌握利用方程研究曲线性质的基本方法，加深对直角坐标系中曲线与方程的关

系概念的理解，这样才能解决随之而来的•些问题，如弦、最值问题等.

二、教材分析

1.重点：椭圆的儿何性质及初步运用.

（解决办法：引导学生利用方程研究曲线的性质，最后进行归纳小结.）

2.难点：椭圆离心率的概念的理解.

（解决办法：先介绍椭圆离心率的定义，再分析离心率的大小对椭圆形状的

影响，最后通过椭圆的第二定义讲清离心率e的几何意义.）

3.疑点：椭圆的儿何性质是椭圆自身所具有的性质，与坐标系选择无关，

即不随坐标系的改变而改变.

（解决办法：利用方程分析椭圆性质之前就先给学生说明.）

三、活动设计

提问、讲解、阅读后重点讲解、再讲解、演板、讲解后归纳、小结.

四、教学过程

（一）复习提问

1.椭圆的定义是什么？

2.椭圆的标准方程是什么？

学生口述，教师板书.

（二）几何性质

根据曲线的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形，是

瞬训幅杆吟一.林国瞄gfifl崛t通。舌=3>

b>0)来研究椭圆的几何性质.说明：椭圆自身固有几何量所具有的性质是

与坐标系选择无关，即不随坐标系的改变而改变.

1.范围

引导学生从标港方程$+9=1得出不等武$<1,&<1.

即|x|Wa,|y|Wb,这说明椭圆在直线x=±a和直线y=±b所围成的矩形里

(图2T8).注意结合图形讲解，并指出描点画图时，就不能取范围以外的点.

2.对称性

先请大家阅读课本椭圆的几何性质2.

设问：为什么"把x换成-x,或把y换成-y?,或把x、y同时换成-x、-y时,

方程都不变，所以图形关于y轴、x轴或原点对称的”呢？

事实匕在曲线的方程里，如果把x换成-x而方程不变，那么当点P(x,y)在曲

线上时，点P关于y轴的对称点Q(-x,y)也在曲线上，所以曲线关于y轴对称.类

似可以证明其他两个命题.

同时向学生指出：如果曲线具有关于y轴对称、关于x轴对称和关于原点对称中

的任意两种，那么它一定具有另一种对称.如：如果曲线关于x轴和原点对称，

那么它一定关于y轴对称.

事实上，设P(x,y)在曲线上，因为曲线关于x轴对称，所以点Pl(x,-y)必

在曲线上.又因为曲线关于原点对称，所以P1关于原点对称点P2(-x,y)必在曲

线上.因P(x,y)、P2(-x,y)都在曲线上，所以曲线关于y轴对称.

最后指出：x轴、y轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心即椭圆中心.

3.顶点

弓恃学生从1M的标通方程挤+昌=份<佗与陋交点.

只须令x=0,得y=±b,点B1(O,-b)、B2(0,b)是椭圆和y轴的两个交点;

令y=0,得x=±a,点Al(-a,0)、A2(a,0)是椭圆和x轴的两个交点.强调指出：

椭圆有四个顶点Al(-a,0)、A2(a,0)、Bl(0,-b)、B2(0,b).

教师还需指出：

⑴线段A1A2、线段B1B2分别叫椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于2a和

2b；

⑵a、b的儿何意义：a是长半轴的长，b是短半轴的长；

这时，教师可以小结以下：由椭圆的范围、对称性和顶点，再进行描点画图，只须描

出较少的点，就可以得到较正确的图形.

4.离心率

教师直接给出椭圆的离心率的定义：

侬的疑与长轴的匕=E.

a

等到介绍椭圆的第二定义时，再讲清离心率e的几何意义.

先分析椭圆的离心率e的取值范围：

Va>c>0,I.0<e<l.

再结合图形分析离心率的大小对椭圆形状的影响：

当接近1时.曲斑a,从超小,因此附豳如，

⑵当e接近0时，c越接近0,从而b越接近a,因此椭圆接近圆；

(3)当e=0时，c=0,a=b两焦点重合，椭圆的标准方程成为x2+y2=a2,图形

就是圆了.

(三)应用

为了加深对椭圆的几何性质的认识，掌握用描点法画图的基本方法，给出如下例1.

例1求椭圆16x2+25y2=400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐

标，并用描点法画出它的图形.

本例前一部分请一个同学板演，教师予以订正，估计不难完成.后一部分由教师讲解,

以引起学生重视，步骤是：

0）列慈将"总为,=*^V25-xa»根&=+^725--

在第TRK蝴围内算出几个点的坐标&y）.

⑵描点作图.先描点画出椭圆在第一象限内的图形，再利用椭圆的对称性就

可以画出整个椭圆（图2-19）.要强调：利用对称性可以使计算量大大减少.

例2点y）与定点F（C,Q）的距离和它般直卑.的

距离的比是常数率点M的轨迹.

a

本例实质上是椭圆的第二定义，是为以后讲解抛物线和圆锥曲线的统一定义做准备的,

同时再一次使学生熟悉求曲线方程的一般步骤，因此，要详细讲解：

设d是点M到直线1的距离，根据题意，所求轨迹就是集合P={M

p-1

3-2V2cose'

1岬=°|+「'=3-/皿8%+2£E8

一6一2

一9-8"8-,

将上式化简，得：（a2~c2）x2+a2y2=a2（a2-c2）.

设aJc2=bL或可化成，号+5=八

这是椭圆的标准方程，所以点M的轨迹是椭圆.

由此例不难归纳出椭圆的第二定义.

（四）椭圆的第二定义

1.定义

平面内点M与一个定点的距离和它到一定直线的距离的比是常数

e=-（0<e<l）8t,这个点MW轨迹是肺.定点是腼的第孔定直

a

线叫做椭圆的准线，常数e是椭圆的离心率.

2.说明

（1阳于制/营+营=1,侬于期F30）的港线方程是x=

崛iia的对藤性，相应于氟行，（.6的凝线方程是c=•二.

C

相应于焦点p的淀线方程是y=£.

c

这时还要讲清e的儿何意义是：椭圆上一点到焦点的距离和它到准线的距离

的比.

（五）小结

解法研究图形的性质是通过对方程的讨论进行的，同一曲线由于坐标系选取不同，方

程的形式也不同，但是最后得出的性质是一样的，即与坐标系的选取无关.前面我们着重分

析了第一个标准方程的椭圆的性质，类似可以理解第二个标准方程的椭圆的性质.布置学生

最后小结下列表格：

特七r程9w

Htt

5

五、布置作业

1.求下列椭圆的长轴和短轴的长、焦距、离心率、各个顶点和焦点坐标、

准线方程：

(I)25x2+4y2-100=0,

(2)x2+4y2-l=0.

2.我国发射的科学实验人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心为一个焦

点的椭圆，近地点距地面266Km,远地点距地面1826Km,求这颗卫星的轨道方程.

3.点P与一定点F(2,0)的距离和它到一定直线x=8的距离的比是1：2,

求点P的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形.

吏_

4.的中心1点，一个JR点是(P，离心率e=

的方程.

作业答案:

1.(l)2a=10.2b=4,2c=2向.e=1—,期(0,*^2l),H

25

点(0,士5)、(42,3,准线y=土而

⑵2a=2,2b=b2C=7Xe=g,侬(士乎，叽侬(±L(9.

GM

(p.土茨土

2.选取坐标航品7+血7=1

%=哦连是长华轴等于4,短半轴等于2d涮B.

3.

1OIZ

4.顶点(0,2)可能是长轴的端点，也可能是短轴的一个端点，故分两种情

况求方程：

六、板书设计

SU■目的几何性，

(~»w(ZJfiWSMS的9口文

1.HI1.XX.：

2.2.Ml：

M2

I.CfiM4S

2・

3.

4.

椭圆的几何性质

一、教学目标

（一）知识教学点

通过椭圆标准方程的讨论，使学生掌握椭圆的几何性质，能正确地画出椭圆的图形，

并了解椭圆的一些实际应用.

（二）能力训练点

通过对椭圆的几何性质的教学，培养学生分析问题和解决实际问题的能力.

（三）学科渗透点

使学生掌握利用方程研究曲线性质的基本方法，加深对直角坐标系中曲线与方程的关

系概念的理解，这样才能解决随之而来的一些问题，如弦、最值问题等.

二、教材分析

1.重点：椭圆的儿何性质及初步运用.

（解决办法：引导学生利用方程研究曲线的性质，最后进行归纳小结.）

2.难点：椭圆离心率的概念的理解.

（解决办法：先介绍椭圆离心率的定义，再分析离心率的大小对椭圆形状的

影响，最后通过椭圆的第二定义讲清离心率e的几何意义.）

3.疑点：椭圆的儿何性质是椭圆自身所具有的性质，与坐标系选择无关，

即不随坐标系的改变而改变.

（解决办法：利用方程分析椭圆性质之前就先给学生说明.）

三、活动设计

提问、讲解、阅读后重点讲解、再讲解、演板、讲解后归纳、小结.

四、教学过程

（一）复习提问

1.椭圆的定义是什么？

2.椭圆的标准方程是什么？

学生口述，教师板书.

(二)几何性质

根据曲线的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形，是

解析几何的基本磔S之一.本节蝴根据制I峋标1防程营+9=1(£>

b>0)来研究椭圆的几何性质.说明：椭圆自身固有几何量所具有的性质是

与坐标系选择无关，即不随坐标系的改变而改变.

i.范围

引导学生从标港方程捺+.=［得出不等式:<1,营<1,

即|x|Wa,|y|Wb,这说明椭圆在直线x=±a和直线y=±b所围成的矩形里

(图2-18).注意结合图形讲解，并指出描点画图时，就不能取范围以外的点.

2.对称性

先请大家阅读课本椭圆的几何性质2.

设问：为什么“把x换成-x,或把y换成-y?,或把x、y同时换成-x、-y时,

方程都不变，所以图形关于y轴、x轴或原点对称的”呢？

事实上，在曲线的方程里，如果把x换成-x而方程不变，那么当点P(x,y)在曲

线上时，点P关于y轴的对称点Q(-x,y)也在曲线上，所以曲线关于y轴对称.类

似可以证明其他两个命题.

同时向学生指出：如果曲线具有关于y轴对称、关于x轴对称和关于原点对称中

的任意两种，那么它一定具有另一种对称.如：如果曲线关于x轴和原点对称，

那么它一定关于y轴对称.

事实上，设P(x,y)在曲线上，因为曲线关于x轴对称，所以点Pl(x,-y)必

在曲线上.又因为曲线关于原点对称，所以P1关于原点对称点P2(-x,y)必在曲

线上.因P(x,y)、P2(-x,y)都在曲线上，所以曲线关于y轴对称.

最后指出：x轴、y轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心即椭圆中心.

3.顶点

弓管学生从IBffl黜而昉程>昌=1分析它与南,雅的交点.

只须令x=0,得y=±b,点B1(O,-b)、B2(0,b)是椭圆和y轴的两个交点；

令y=0,得x=±a,点Al(-a,0)A2(a,0)是椭圆和x轴的两个交点.强调指出：

椭圆有四个顶点Al(-a,0)、A2(a,0)、Bl(0,-b)、B2(0,b).

教师还需指出：

⑴线段A1A2、线段B1B2分别叫椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于2a和

2b；

⑵a、b的儿何意义：a是长半轴的长，b是短半轴的长；

这时，教师可以小结以下：由椭圆的范围、对称性和顶点，再进行描点画图，只须描

出较少的点，就可以得到较正确的图形.

4.离心率

教师直接给出椭圆的离心率的定义：

的簸与长轴的比《

等到介绍椭圆的第二定义时，再讲清离心率e的几何意义.

先分析椭圆的离心率e的取值范围：

Va>c>0,，0<e<l.

再结合图形分析离心率的大小对椭圆形状的影响：

(D当最近时.国晚近a,从而因此循晶

⑵当e接近0时，c越接近0,从而b越接近a,因此椭圆接近圆;

⑶当e=0时，c=0,a=b两焦点重合，椭圆的标准方程成为x2+y2=a2,图形

就是圆了.

（三）应用

为了加深对椭圆的几何性质的认识，掌握用描点法画图的基本方法，给出如下例1.

例1求椭圆16x2+25y2=400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐

标，并用描点法画出它的图形.

本例前一部分请••个同学板演，教师予以订正，估计不难完成.后一部分由教师讲解,

以引起学生重视，步骤是：

（D列表.将袅《=恻为7=上［后露根据y=《标苫

在第TRK蝴困内算出几个点的坐标gy）.

（2）描点作图.先描点画出椭圆在第-象限内的图形，再利用椭圆的对称性就

可以画出整个椭圆（图2-19）.要强调：利用对称性可以使计算量大大减少.

图2-19

例2点幽小y）与定点F（c,0）的距离和它到定直缜.；

距言的比是常致£（＞。＞0）,率点M的轨迹.

a

本例实质上是椭圆的第二定义，是为以后讲解抛物线和圆锥曲线的统一定义做准备的,

同时再一次使学生熟悉求曲线方程的一般步骤，因此，要详细讲解：

设d是点M到直线1的距离，根据题意，所求轨迹就是集合P={M

P=------7=......-

3.2acos0

1Mbi”广五药寸赤目

6

将上式化简，得：(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2).

iftaa-ca=b\就可［+g=L

这是椭圆的标准方程，所以点M的轨迹是椭圆.

由此例不难归纳出椭圆的第二定义.

(四)椭圆的第二定义

1.定义

平面内点M与一个定点的距离和它到一定直线的距离的比是常数

e=^(0<e<l)Bt.这个点M的轨电OHB.定点是M的焦点，定直

线叫做椭圆的准线，常数e是椭圆的离心率.

2.说明

树勘晔凤称ft,相叼时F，20)•迪访=£

C

St于慌811+3=1,相应于焦点R0,3的液线方程是y==,

at>c

相应于毓F-p的触昉程是y=二.

这时还要讲清e的儿何意义是：椭圆上一点到焦点的距离和它到准线的距离

的比.

(五)小结

解法研究图形的性质是通过对方程的讨论进行的，同一曲线由于坐标系选取不同，方

程的形式也不同，但是最后得出的性质是一样的，即与坐标系的选取无关.前面我们着重分

析了第一个标准方程的椭圆的性质，类似可以理解第二个标准方程的椭圆的性质.布置学生

最后小结下列表格：

国防催

■*

Mas

・点

五、布置作业

1.求下列椭圆的长轴和短轴的长、焦距、离心率、各个顶点和焦点坐标、

准线方程：

(l)25x2+4y2To0=0,

(2)x2+4y2-l=0.

2.我国发射的科学实验人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心为一个焦

点的椭圆，近地点距地面266Km,远地点距地面1826Km,求这颗卫星的轨道方程.

3.点P与一定点F(2,0)的距离和它到一定直线x=8的距离的比是1：2,

求点P的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形.

4.■图的中心在原点，一个侬是8,2).离心率堂《=,加a

的方程.

作业答案:

1.(l)2a^W.2b=4,2c=2际，e=2^-,侬(0,士廊,IS

25

A(P,±5)、(*2,6.g7=上而

⑵2a=2,2b=l,2C=73.。=当，超(上叽侬(士L3，

6A

(p.土茨1^^=土余

2."坐#M'p4njT+(7^0T=，

3.1+A=1睚是长丰轴等于％也知得于2耳聊WD.

JQ"

4.顶点(0,2)可能是长轴的端点，也可能是短轴的一个端点，故分两种情

况求方程：

六、板书设计

S1-J■用的几何性上

LMW

1.9111.JEft：

2.2.H«：

(znRflttAR2

1・(£>M8

2.

3.

4・

双曲线及其标准方程

一、教学目标

（一）知识教学点

使学生掌握双曲线的定义和标准方程，以及标准方程的推导.

（二）能力训练点

在与椭圆的类比中获得双曲线的知识，从而培养学生分析、归纳、推理等能力.

（三）学科渗透点

本次课注意发挥类比和设想的作用，与椭圆进行类比、设想，使学生得到关于双曲线

的定义、标准方程一个比较深刻的认识.

二、教材分析

1.重点：双曲线的定义和双曲线的标准方程.

（解决办法：通过一个简单实验得出双曲线，再通过设问给出双曲线的定义;

对于双曲线的标准方程通过比较加深认识.）

2.难点：双曲线的标准方程的推导.

（解决办法：引导学生完成，提醒学生与椭圆标准方程的推导类比.）

3.疑点：双曲线的方程是二次函数关系吗？

（解决办法：教师可以从引导学生回忆函数定义和观察双曲线图形来解决，

同时让学生在课外去研究在什么附加条件下，双曲线方程可以转化为函数式.）

三、活动设计

提问、实验、设问、归纳定义、讲解、演板、口答、重点讲解、小结.

四、教学过程

（一）复习提问

1.椭圆的定义是什么？（学生回答，教师板书）

平面内与两定点Fl、F2的距离的和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭

圆.教师要强调条件：（1）平面内；（2）到两定点Fl、F2的距离的和等于常数；

⑶常数2a>|F1F2|.

2.椭圆的标准方程是什么？（学生口答，教师板书）

焦点在布的班■标漉方程为§+g=l（a>b〉明意点在州

诩情国标注方程力9=Ka>b>0）.

ab

（二）双曲线的概念

把椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”，那么点的轨迹会怎样？它的方程是

怎样的呢？

1.简单实验（边演示、边说明）

如图2-23,定点Fl、F2是两个按钉，MN是一个细套管，两条细绳分别拴在

按钉上且穿过套管，点M移动时，|MFl|-|MF2|是常数，这样就画出曲线的一支;

由IMF2HMFl|是同一常数，可以画出另一支.

注意：常数要小于|F1F2],否则作不出图形.这样作出的曲线就叫做双曲线.

2.设问

问题1：定点Fl、F2与动点M不在平面上，能否得到双曲线？

请学生回答，不能.强调“在平面内”.

问题2：|MF1|与|MF2|哪个大?

请学生回答，不定：当M在双曲线右支上时，|MF1|>|MF2|；当点M在双曲线

左支上时,|MF1|<|MF2|.

问题3：点M与定点Fl、F2距离的差是否就是|MF1HMF2|?

请学生回答，不一定,也可以是正确表示为I|MF2|-|MFI||.

问题4：这个常数是否会大于等于|F1F21?

请学生回答，应小于|F1F2|且大于零.当常数=|F1F2|时，轨迹是以Fl、F2为

端点的两条射线；当常数>|F1F2|时，无轨迹.

3.定义

在上述基础上，引导学生概括双曲线的定义：

平面内与两定点Fl、F2的距离的差的绝对值是常数(小于IF1F21)的点的轨迹

叫做双曲线.这两个定点Fl、F2叫做双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫做

焦距.

教师指出：双曲线的定义可以与椭圆相对照来记忆，不要死记.

(三)双曲线的标准方程

现在来研究双曲线的方程.我们可以类似求椭圆的方程的方法来求双曲线的方程.这

时设问：求椭圆的方程的一般步骤方法是什么？不要求学生回答，主要引起学生思考，随即

引导学生给出双曲线的方程的推导.

标准方程的推导：

⑴建系设点

取过焦点Fl、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴(如图2-24)

图2-24

建立直角坐标系.

设M(x,y)为双曲线上任意一点，双曲线的焦距是2c(c>0),那么Fl、F2

的坐标分别是(-c,0)、(c,0).又设点M与Fl、F2的距离的差的绝对值等于常

数.

⑵点的集合

由定义可知，双曲线就是集合:

P={MIIMF11-1MF21|=2a}={M|MFI|-1MF2=±2a).

⑶代数方程

|呼|=加了十9,

♦c)a*ya-J①-c)2+.=±2a.

(4)化简方程(由学生演板)

将这个方程移项，两边平方得：

(x+c)J+尸=4ali+尸+(x-c)J+ya.

化简得：

2cosa

x-I*------------------

公、sina-cosa

g

ana

y-+----------

f>c=l-HMP]co$a

g{