2017-2018学年高中数学人教A版选修1-1全册教学案

2017-2018学年高中数学人教A版

选修1-1全册教学案

目录

1.1.1命题

1.1.2四种命题-1.1.3四种命题间的相互关系

1.2.1充分条件与必要条件

1.2.2充要条件

1.3简单的逻辑联结词

1.4.1全称量词-1.4.2存在量词

1.4.3含有一个量词的命题的否定

2.1.1椭圆及其标准方程

2.1.2椭圆的简单几何性质（一）

2.1.2椭圆的简单几何性质（二）

2.2.1双曲线及其标准方程

2.2.2双曲线的简单几何性质

2.3.1抛物线及其标准方程

2.3.2抛物线的简单几何性质

3.1.1变化率问题-3.1.2导数的概念

3.1.3导数的几何意义

3.2.1几个常用函数的导数-3.2.2基本初等函数的导数公式及导数

的运算法则（一）

3.3.1函数的单调性与导数

3.3.2函数的极值与导数

3.3.3函数的最大（小）值与导数

3.4生活中的优化问题举例

章末复习提升1

章末复习提升2

章末复习提升3

2017-2018学年高中数学人教A版选修1-1教学案

第一道常用逻辑用语

§1.1命题及其关系

1.1.1命题

［学习目标］1.了解命题的概念2会判断命题的真假，能够把命题化为“若p,则q”的形式.

声知识梳理自主学习

知识点一命题的定义

(1)用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫做命题.

(2)判断为真的语句叫做真命题.

(3)判断为限的语句叫做假命题.

思考(1)“x>5”是命题吗？

(2)陈述句一定是命题吗？

答案(1)“x>5”不是命题，因为它不能判断真假.

(2)陈述句不一定是命题，因为不知真假.只有可以判断真假的陈述句才叫做命题.

知识点二命题的结构

从构成来看，所有的命题都由条件和结论两部分构成.在数学中,命题常写成“若D，贝3/'

的形式.通常，我们把这种形式的命题中的。叫做命题的条件,〃叫做命题的结论.

声题型探究重点突破

题型一命题的判断

例1(1)下列语句为命题的是()

A.x—1=0B.2+3=8

C.你会说英语吗？D.这是一棵大树

(2)下列语句为命题的有.

①一个数不是正数就是负数；

②梯形是不是平面图形呢？

1

2017-2018学年高中数学人教A版选修1-1教学案

③2235是一个很大的数；

©4是集合｛2,3,4｝的元素；

⑤作△/BC&B'C.

答案(1)B⑵①④

解析(1)A中x不确定，x—1=0的真假无法判断；B中2+3=8是命题，且是假命题；C

不是陈述句，故不是命题；D中“大”的标准不确定，无法判断真假.

(2)①是陈述句，且能判断真假；②不是陈述句；③不能断定真假；④是陈述句且能判断真

假；⑤不是陈述句.

反思与感悟并不是所有的语句都是命题，只有能判断真假的陈述句才是命题.命题首先是

“陈述句”，其他语句如疑问句、祈使句、感叹句等一般都不是命题；其次是“能判断真假”，

不能判断真假的陈述句不是命题，如“x22”、“小高的个子很高”等都不能判断真假，故

都不是命题.因此，判断一个语句是否为命题，关键有两点：①是否为陈述句；②能否判断

真假.

跟踪训练1判断下列语句是不是命题.

(1)求证小是无理数；

(2)x2+2r+l>0；

(3)你是高二学生吗？

(4)并非所有的人都喜欢苹果；

(5)一个正整数不是质数就是合数；

(6)若xdR,则f+4x+7>0；

(7)x+3>0.

解(1)(3)⑺不是命题,⑵(4)⑸⑹是命题.

题型二命题真假的判断

例2判断下列命题的真假：

(1)已知a,b,c,dCR,若“Wc,b乎d,则a+6Wc+d；

(2)若xGN,则x3>x2成立；

(3)若机>1,则方程f—2x+机=0无实数根；

(4)存在一个三角形没有外接圆.

解(1)假命题.反例：1/4,5¥2,而1+5=4+2.

(2)假命题.反例：当x=0时，欠3R2不成立.

⑶真命题.：”>l=/=4-4"?<0,

方程x2-2x+m=0无实数根.

2

2017-2018学年高中数学人教A版选修1-1教学案

(4)假命题.因为不共线的三点确定一个圆，即任何三角形都有外接圆.

反思与感悟要判断一个命题是真命题，一般需要经过严格的推理论证，在判断时，要有理

有据，有时应综合各种情况作出正确的判断.而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例

即可.

跟踪训练2下列命题：

①若孙=1,则X、夕互为倒数：

②四条边相等的四边形是正方形；

③平行四边形是梯形；

④若ac2>6c2>则a>b.

其中真命题的序号是.

答案①④

解析①④是真命题，②四条边相等的四边形是菱形，但不一定是正方形，③平行四边形不

是梯形.

题型三命题的构成形式

例3(1)已知命题：弦的垂直平分线经过圆心并且平分弦所对的弧，若把上述命题改为“若

P，则的形式，则p是,q是.

答案一条直线是弦的垂直平分线这条直线经过圆心且平分弦所对的弧

(2)把下列命题改写成“若p,则夕”的形式，并判断命题的真假.

①已知x,y为正整数，当产x+1时，y=3,x=2；

②当融c=0时，a=0且6=0且c=0.

解①已知x,y为正整数，若y=x+l,则y=3,x=2,假命题.

②若%=0,则0=0且6=0且c=0,假命题.

反思与感悟把一个命题改写成“若p,则的形式，首先要确定命题的条件和结论，若

条件和结论比较隐含，要补充完整，有时一个条件有多个结论，有时一个结论需多个条件，

还要注意有的命题改写形式也不惟一.

跟踪训练3指出下列命题中的条件0和结论q,并判断各命题的真假.

(1)若四边形是平行四边形，则它的对角线互相平分；

(2)若a>0,b>0,贝iJ“+fr>0；

(3)面积相等的三角形是全等三角形.

解(1)条件p：四边形是平行四边形，结论/四边形的对角线互相平分.真命题.

(2)条件p：a>0,b>0,结论q：a+b>件真命题.

(3)条件》两个三角形面积相等，结论q：它们是全等三角形.假命题.

3

2017-2018学年高中数学人教A版选修1-1教学案

菱当堂检测自查自纠

1.下列语句不是命题的个数为（）

①2<1；②x<1；③若x<2,则x<l；④函数_AX）=X2是R上的偶函数.

A.OB.1

C.2D.3

答案C

解析①④可以判断真假，是命题；②③不能判断真假，所以不是命题.

2.下列命题为真命题的是（）

A.互余的两个角不相等

B.相等的两个角是同位角

C.若/=*,则冏=|切

D.三角形的一个外角等于和它不相邻的一个内角

答案C

解析由平面几何知识可知A、B、D三项都是错误的.

3.下列命题是真命题的是（）

A.若/=4,则a=2B.若则m=小

C.若｝贝（1a=bD.若a<b,则/<廿

答案C

解析判断是假命题，只需举反例，用排除法，得到正确选项.

由.2=4得“=±2,排除A；

<a-b——\,排除B；

-2<1,但（-2）2>巴排除D.故选C.

4.给出下列四个命题：

①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；

②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；

③垂直于同一条直线的两条直线相互平行；

④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直.

其中，为真命题的是（）

A.①②B.②③

C.③④D.②④

答案D

解析当两个平面相交时，一个平面内的两条直线可以平行于另一个平面，故①错；由平面

4

2017-2018学年高中数学人教A版选修1-1教学案

与平面垂直的判定定理可知②正确；空间中垂直于同一条直线的两条直线可以平行、相交也

可以异面，故③错；若两个平面垂直，在一个平面内与它们的交线垂直的直线才与另一个平

面垂直，故④正确.

5.下列命题：

①若xy=0,则国+%=0;②若Ab,则/Me?；③矩形的对角线互相垂直.

其中假命题的个数是.

答案3

解析①当x,y中一个为零，另一个不为零时，|x|+[y]W0；②当c=0时不成立；③菱形的

对角线互相垂直.矩形的对角线不一定垂直.

「课堂小结------------------------------------1

1.根据命题的定义，可以判断真假的陈述句是命题.命题的条件与结论之间属于因果关系，真

命题需要给出证明，假命题只需举出一个反例即可.

2.任何命题都是由条件和结论构成的，可以写成“若p,则的形式.含有大前提的命题写

成“若p,则q”的形式时，大前提应保持不变，且不写在条件p中.

1.1.2四种命题

1.1.3四种命题间的相互关系

[学习目标]1.理解四种命题的概念，能写出某命题的逆命题、否命题和逆否命题2知道四

种命题之间的相互关系以及真假性之间的联系.3.会利用逆否命题的等价性解决问题.

育知识梳理自主学习

知识点一四种命题的概念

(1)互逆命题：对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件,

那么这两个命题叫做互逆命题.其中一个命题叫做原命题,另一个叫做原命题的逆命题.

(2)互否命题：对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定

和结论的否定，这两个命题叫做互否命题.其中一个命题叫做原命题,另一个叫做原命题的

否命题.

(3)互为逆否命题：对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的纸迨的

5

2017-2018学年高中数学人教A版选修1-1教学案

否定和条件的否定,这两个命题叫做互为逆否命题.其中一个命题叫做原命题,另一个叫做

原命题的逆否命题.

知识点二四种命题的真假性的判断

原命题为真，它的逆命题不一定为真;它的否命题也不一定为真.原命题为真,它的逆否命

题一定为真.

1题型探究重点突破

题型一四种命题的概念

例1写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假.

⑴若WH<0,则方程mx2—x+n=0有实数根；

(2)弦的垂直平分线经过圆心，且平分弦所对的弧；

(3)若zwWO或"W0,则，〃+〃W0；

(4)在△/8C中,若a>b,则

解(1)逆命题：若方程用x+"=0有实数根，则机”<0,假命题.

否命题：若小•〃》()，则方程mx?—x+〃=0没有实数根，假命题.

逆否命题：若方程机/一》+"=0没有实数根，则"八"20,真命题.

(2)逆命题：若一条直线经过圆心，且平分弦所对的瓠，则这条直线是弦的垂直平分线，真

命题.

否命题：若一条直线不是弦的垂直平分线，则这条直线不过圆心或不平分弦所对的弧，真命

题.

逆否命题：若一条直线不经过圆心或不平分弦所对的弧，则这条直线不是弦的垂直平分线，

真命题.

(3)逆命题：若加+nWO,则/wWO或“W0,真命题.

否命题：若机>0且〃>0,则加+”>0,真命题.

逆否命题：若加+〃>0,贝U"?>0且〃>0,假命题.

(4)逆命题：在△/BC中，若N4>NB,则真命题.

否命题：在中，若aWb,则真命题.

逆否命题：在△/8C中，若/ZW/8,则aWb,真命题.

反思与感悟(1)写命题的四种形式时，首先要找出命题的条件和结论，然后写出命题的条

6

2017-2018学年高中数学人教A版选修1-1教学案

件的否定和结论的否定，再根据四种命题的结构写出所求命题.

(2)在写命题时，为了使句子更通顺，可以适当地添加一些词语，但不能改变条件和结论.

跟踪训练1判断下列命题的真假，并写出它们的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真

假.

(1)若V+y2=。则x,y全为零;

(2)若在二次函数卜=0?+川+。(°40)中，*2-4ac<0,则该函数图象与x轴有交点.

解(1)该命题为真命题.

逆命题：若X,V全为零，则f+y2=0,真命题.

否命题：若则x,y不全为零，真命题.

逆否命题：若x,y不全为零，则f+FWO,真命题.

(2)该命题为假命题.

逆命题：若二次函数y=or2+6x+c(aW0)的图象与x轴有交点，则/-4改<0,假命题.

否命题：若在二次函数y=ax2+6x+c(aW0)中，b2—4ac^0,则该函数图象与x轴无交点，

假命题.

逆否命题：若二次函数y=ax2+6x+c(aW0)的图象与x轴无交点，则后一4℃20,假命题.

题型二四种命题的关系

例2下列命题：

①“若个=1,则x、y互为倒数”的逆命题；

②“四条边相等的四边形是正方形”的否命题；

③“梯形不是平行四边形”的逆否命题；

④“若改2>历2,则的逆命题.

其中是真命题的是.

答案①②③

解析①“若号=1,则x,y互为倒数”的逆命题是“若x,y互为倒数，则中=1"，是真

命题；②“四条边相等的四边形是正方形”的否命题是“四条边不都相等的四边形不是正方

形"，是真命题；③“梯形不是平行四边形"本身是真命题，所以其逆否命题也是真命题；

④“若>〉历2,则a>b”的逆命题是“若a>b,则ac2>bc2,>,是假命题.所以真命题是①②③.

反思与感悟要判断四种命题的真假：首先，要熟练掌握四种命题的相互关系，注意它们之

间的相互性；其次，利用其他知识判断真假时，一定要对有关知识熟练掌握.

跟踪训练2下列命题为真命题的是()

①“正三角形都相似”的逆命题；

②“若心0,则¥+入一皿=0有实根”的逆否命题；

7

2017-2018学年高中数学人教A版选修1-1教学案

③“若X-也是有理数，则X是无理数”的逆否命题.

A.①②③B.②③

C.①②D.①③

答案B

解析①原命题的逆命题为“若两个三角形相似，则这两个三角形是正三角形"，故为假命

题.②原命题的逆否命题为“若x?+2x一机=0无实根，则机W0”.•方程无实根，.•.判别式

J—4+4w<0,.,.m<—1,即成立，故为真命题.③原命题的逆否命题为“若x不是无

理数，则X—也不是有理数”.•••x不是无理数，...X是有理数.又也是无理数，...X一啦是无

理数，不是有理数，故为真命题.正确的命题为②③，故选B.

题型三等价命题的应用

例3判断命题“已知a,x为实数，若关于x的不等式¥+(2。+1)^+/+2・0的解集是空

集，则“<2”的逆否命题的真假.

解原命题的逆否命题为“已知a,x为实数，若则关于x的不等式f+(2a+l)x+

J+2W0的解集不是空集”.

判断真假如下：

函数y=*+(2a+l)x+a2+2的图象开口向上，判别式/=(2a+l)2—4(“2+2)=4a—7,

因为a22,所以4〃-7>0,即抛物线与x轴有交点，

所以关于x的不等式x2+(2a+l)x+J+2W()的解集不是空集，故原命题的逆否命题为真.

反思与感悟因为原命题与它的逆否命题的真假性相同，所以我们可以利用这一点，通过证

明原命题的逆否命题的真假性来肯定原命题的真假性.这种证明方法叫做逆否证法，它也是

一种间接的证明方法.

跟踪训练3判断命题“若机>0,则方程f+2x—3m=0有实数根”的逆否命题的真假.

解：加〉。，

/.方程x?+2x—3加=0的判别式zf—12w+4>0.

原命题“若心0,则方程x?+2x—3机=0有实数根”为真.

又因原命题与它的逆否命题等价，所以“若团>0,则方程f+2x-3机=0有实数根”的逆否

命题也为真.

思想方法

化归思想的应用

8

2017-2018学年高中数学人教A版选修1-1教学案

例4判断命题“若f-Jwo,则工一y，x+y中至少有一个不等于0”的真假.

分析原命题的真假性不容易判断，可以找出其逆否命题，若其逆否命题的真假性容易判断，

则根据互为逆否的两个命题的真假性之间的关系，就可以解决原命题的真假性问题了.

解原命题的逆否命题：若x—y,x+y都等于0,

则x2—y2=O.

由x—y=0,x+y=O,得/=（x+y）（x—y）=0.

因此，原命题的逆否命题是真命题.

所以原命题是真命题.

解后反思条件与结论都含有否定词的命题在判断其真假时，会有一定的困难，这时最好转

化为判断其逆否命题的真假，这种化归的思想是解题的重要思想方法.

易错点

根据已知集合求参数范围

例5已知p：M={x|x2—2%—80^0},q：N={x*—2x+1—〃/WO,阳>0}.如果,若p,则

q”为真，且“若g,则P”为假，求实数”的取值范围.

分析先求不等式的解集，再根据条件建立不等式组求解即可.

解p：M={X|X2-2X-80<0}={x|-8<x^10},

q：N={x|x2—2x+1—ZH2^0,W>0}

={x|l一mWxW1+〃？,w>0}.

因为“若p,则夕”为真，且“若q,则p”为假，所以〃N,

加＞0,ni＞0,

所以＜1—/nW—8,或＜］一加V—8,

」+阳＞10」+加210,

〃7＞0,777＞0,

即＜或＜加＞9,解得机＞9,

jn＞9”29,

即实数m的取值范围是{间机>9}.

解后反思由“若p,则g”为真，“若q,则p”为假，得MWN,但限M,故MN,

即u1-m与一8”和“1+机与10”不能同时取等号.事实上，当m=9时，两个集合相等.

歹当堂检测自查自纠

1.命题“若aM,贝iJbCB”的否命题是（）

9

2017-2018学年高中数学人教A版选修1-1教学案

A.若四,则阴8

B.若aG/,贝I」

C.若bWB,贝

D.若阴3,则“由4

答案B

解析命题“若p,则/'的否命题是“若^p,则,“G”与“¥互为否定形式.

2.命题“若则NU8=8”的逆否命题是（）

A.若AUB=B,则408="

B.若NCBW/,则/U8W8

C.若4UBWB,则ZAB#/

D.若/U8W8,则/ClB=Z

答案C

解析注意‘708=/"的否定是.

3.命题“若平面向量a,b共线，则a,b方向相同”的逆否命题是，它是命

题（填“真”或"假”）.

答案若平面向量a,5的方向不相同，则a,8不共线假

4,给出以下命题：

①“若a,6都是偶数，则a+b是偶数”的否命题；

②“正多边形都相似”的逆命题；

③''若">0,则f+x一机=0有实根”的逆否命题.

其中为真命题的是.

答案③

解析①否命题是“若“，6不都是偶数，则a+6不是偶数”.假命题.

②逆命题是“若两个多边形相似，则这两个多边形为正多边形”.假命题.

③•.2=1+4"?,加>0时,/>0,

.♦.f+x—"7=0有实根，即原命题为真.

.•.逆否命题为真.

5.“若sina=4,则a=”的逆否命题是“"，逆否命题是命

题（填“真”或"假”）.

答案若反京则sina#；假

解析逆否命题是''若a制，

10

2017-2018学年高中数学人教A版选修1-1教学案

则sina#；”是假命题.

「课堂小结------------------------------------1

1.写四种命题时，可以按下列步骤进行：

(1)找出命题的条件p和结论q;

(2)写出条件p的否定和结论q的否定

(3)按照四种命题的结构写出所求命题.

2.每一个命题都由条件和结论组成，要分清条件和结论.

3.判断命题的真假可以根据互为逆否的命题真假性相同来判断，这也是反证法的理论基础.

常用逻辑用讲

充分条件与必要条件

1.2.1充分条件与必要条件

［学习目标］1.理解充分条件、必要条件的意义.2.会求(判定)某些简单命题的条件关系.3.通

过对充分条件、必要条件的概念的理解和运用，培养分析、判断和归纳的逻辑思维能力.

声知识梳理自主学习

知识点充分条件与必要条件

一般地，“若p,则/'为真命题，是指由0通过推理可以得出g.这时，我们就说，由夕可

推出4,记作并且说〃是〃的充分条件,。是D的必要条件.

(l)p是q的充分条件与q是p的必要条件表述的是同一个逻辑关系，只是说法不同火是q的

充分条件只反映了p=4,与4能否推出p没有任何关系.

(2)注意以下等价的表述形式：①pnq；②0是g的充分条件；③q的充分条件是p；④q是p

的必要条件；⑤p的必要条件是外

(3)“若p,则为假命题时，记作“p#q”，则p不是q的充分条件，夕不是p的必要条

11

2017-2018学年高中数学人教A版选修1-1教学案

件.

思考(1)数学中的判定定理给出了结论成立的什么条件？

(2)性质定理给出了结论成立的什么条件？

答案(1)充分条件(2)必要条件

产题型探究重点突破

题型一充分条件、必要条件

例1给出下列四组命题：

(l)p：两个三角形相似，q：两个三角形全等；

(2)门一个四边形是矩形，/四边形的对角线相等；

(3)p：A^B,q：AClB=A；

(4)p：a>b,q-ac>bc.

试分别指出p是夕的什么条件.

解(1)；两个三角形相似分两个三角形全等，但两个三角形全等=两个三角形相似，

•'•P是q的必要不充分条件.

(2)：矩形的对角线相等，...p=q,

而对角线相等的四边形不一定是矩形，

:.p是q的充分不必要条件.

(3)；p=g,且q=p,

•••p既是q的充分条件，又是q的必要条件.

(4)；p》q,且

:.p是q的既不充分也不必要条件.

反思与感悟本例分别体现了定义法、集合法、等价法.一般地，定义法主要用于较简单的

命题判断，集合法一般需对命题进行化简，等价法主要用于否定性命题.要判断p是不是q

的充分条件，就要看p能否推出夕，要判断p是不是g的必要条件，就要看夕能否推出p.

跟踪训练1指出下列哪些命题中p是4的充分条件？

(1)在△/8C中，p-.q：BOAC.

(2)对于实数x,y,p：x+y#8,q：x#2或k6.

(3)在△/BC中，p：siivl>sinS,q：XanA>tanB.

(4)已知x,yGR,p-x=l,q：(x—l>(x—2)=0.

解(1)在△NBC中，由大角对大边知，ZA>ZB=^BOAC,

所以p是4的充分条件.

(2)对于实数x,y,因为x=2且y=6=x+y=8,

所以由x+yW8=xW2或xW6,

12

2017-2018学年高中数学人教A版选修1-1教学案

故p是4的充分条件.

(3)在△/BC中，取/4=120°,Z5=30°,

则sirL4>sinS,但tan?l<tan5,

故p#q,故p不是q的充分条件.

(4)由x=1=>(x-l)(x-2)=0,

故p是g的充分条件.

故命题⑴⑵(4)中p是q的充分条件.

题型二充分条件、必要条件与集合的关系

例2是否存在实数p,使4x+p<0是x—2>0的充分条件？如果存在，求出p的取值范

围；否则，说明理由.

解由x—2>0解得x>2或1,

令/={x\x>2或1},

由4x+p<0,得B—[x\x<—^],

当8az时，即一台一1,即p》4,

此时x<一号W—1=》2—X—2>0,

当pN4时，4x+p<0是x?—x—2>0的充分条件.

反思与感悟(1)设集合A={x\x满足p},B={x\x满足q},则p=q可得4£B;q=>p可得

BQA;若p是夕的充分不必要条件，则NB.

(2)利用充分条件、必要条件求参数的取值范围的关键就是找出集合间的包含关系，要注意

范围的临界值.

跟踪训练2已知〃={x|(x—a)2vl},N={XM-5X-24<0},若"是N的充分条件，求a

的取值范围.

解由(x—a尸<1得f—2ax+(a—l)(a+1)<0,

；・Q—l<x<a+1.

又由X2-5X~24<0得一3Vx<8.

是N的充分条件，

a-1^-3,

解得一2<aW7.

a+lW8,

故a的取值范围是一2WaW7.

易错点

2017-2018学年高中数学人教A版选修1-1教学案

根据必要条件（充分条件）求参数的范围

例3已知尸={x|a—4<t<«+4},0={x[l<x<3},ux^Pn是“xG°”的必要条件，则实数

a的取值范围是.

错解因为“xep”是“xe。”的必要条件，所以0UP.

a—4<1,a<5,

所以即

a+4>3,a>—1,

所以一l<a<5.

错解分析错误的根本原因是忽视了集合中的不等式的等号，实际上本题中的不等式中的等

|Q-4W1,

号能取到即

a+423.

正解因为“XWP”是“xw。”的必要条件，所以0GP,

。一4W1,QW5

所以

。+423,—1

所以一lWaW5.

答案

声当堂检测自查自纠

1.i>-2<x<\"是ux>\或x-1”的（）

A.充分条件但不是必要条件

B.必要条件但不是充分条件

C.既不是充分条件，也不是必要条件

D.既是充分条件，也是必要条件

答案C

解析V—2<x<l^x>l或x<—1,且x>l或1分—2<x〈l,a—2<x<l"是"x>l或x<

一1”的既不充分也不必要条件.

2.ud>bn是ud>\b\n的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.既是充分条件，也是必要条件

D.既不充分也不必要条件

答案B

解析由a>\b\=>a>b,而a>b推不出a>\b\.

14

2017-2018学年高中数学人教A版选修1-1教学案

3.若“CR,则“a=l”是“同=1”的()

A.充分条件

B.必要条件

C.既不是充分条件也不是必要条件

D.无法判断

答案A

解析当。=1时，⑷=1成立，

但同=1时，a-±\,所以。=1不一定成立.

“。=1"是“同=1”的充分条件.

4.是“函数/(x)=|3—1用在区间(0,+8)内单调递增”的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.既充分也必要条件

D.既不充分也不必要条件

答案C

解析外)=|(亦一l)x|在区间(0,+8)内单调递增等价于外)=0在区间(0,+8)内无实根,

即。=0或卜0,也就是aWO,“aWO”是“函数兀0=|("-1闪在区间(0,+8)内单调递

增”的既是充分也是必要条件.故选C.

5.若'&<加”是“(x—l)(x—2)>0”的充分不必要条件，求机的取值范围.

解由Q—1)。-2)>0可得x>2或x<1,

由已知条件，知{x|x〈/n}{x|x>2或x<l}.

.,.机Wl.

「课堂小结------------------------------------1

1.充分条件、必要条件的判断方法：

(1)定义法：直接利用定义进行判断.

(2)等价法：利用逆否命题的等价性判断，即要证只需证它的逆否命题4=^p即

可；同理要证q=p,只需证4即可.

(3)利用集合间的包含关系进行判断.

2.根据充分条件、必要条件求参数的取值范围时，主要根据充分条件、必要条件与集合间的

关系，将问题转化为相应的两个集合之间的包含关系，然后建立关于参数的不等式(组)进行

求解.

15

2017-2018学年高中数学人教A版选修1-1教学案

1.2.2充要条件

［学习目标］1.理解充要条件的意义2会判断、证明充要条件3通过学习，明白对充要条件

的判定应该归结为判断命题的真假.

科知识梳理自主学习

知识点一充要条件

一般地，如果既有p=g,又有g=p就记作pCq.

此时，我们说，p是4的充分必要条件,简称充要条件.显然,如果p是q的充要条件，那么

q也是p的充要条件.

概括地说，如果那么。与。互为充要条件.

思考(1)若p是q的充要条件，则命题p和g是两个相互等价的命题.这种说法对吗？

(2)“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别在哪里？

答案(1)正确.若p是夕的充要条件，则即p等价于故此说法正确.

(2)①p是q的充要条件说明p是条件，q是结论.

@p的充要条件是q说明q是条件，p是结论.

知识点二常见的四种条件与命题真假的关系

如果原命题为“若p,则,逆命题为“若夕，贝Up”，那么p与4的关系有以下四种情形:

原命题逆命题p与q的关系

p是q的充要条件

真真

q是p的充要条件

p是q的充分不必要条件

真假

q是p的必要不充分条件

p是q的必要不充分条件

假真

q是p的充分不必要条件

p是4的既不充分也不必要条件

假假

夕是夕的既不充分也不必要条件

知识点三从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件

若4UB,则p是4的充分条件，若48,则p是q的充分不必要条件

16

2017-2018学年高中数学人教A版选修1-1教学案

若BUA,则夕是夕的必要条件，若BA,则p是夕的必要不充分条件C3

若4=B,则p,q互为充要条件

若4寸B且B，,则p既不是g的充分条件，也不是q的必要条件0CD

其中p：4=｛功?(乃成立｝,q：3=｛%"(%)成立｝.

营题型探究重点突破

题型一充要条件的判断

例1(1)设x>0,则是的()

A.充要条件B.充分而不必要条件

C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件

答案C

解析分别判断x>y=x>[y]与x>»|=x>y是否成立，从而得到答案.

当x=l,歹=—2时，x>y9但x>Ly|不成立；

若x>[y],因为所以

所以x>y是的必要而不充分条件.

(2)判断下列各题中，p是否为g的充要条件？

①在△48。中，p：NA>NB,q：sinJ>sinB；

②若a,b£R,p：a2+b2=0,q：a=b=0；

@p：|x|>3,q：X2>9.

解①在△ZBC中，显然有N4>NBQsin4>sin&

所以夕是夕的充要条件.

②若/+/=0,则a=b=0,即p=q、,

若a=6=0,则/+/=0,即g=p,故p0q,

所以p是4的充要条件.

③由于p：冲>3=夕：X2>9,所以p是q的充要条件.

反思与感悟判断p是q的充分必要条件的两种思路

(1)命题角度：判断p是g的充分必要条件，主要是判断夕=[及q=P这两个命题是否成立.

若夕=夕成立，则〃是g的充分条件，同时q是p的必要条件；若夕=,成立，则,是夕的必

要条件，同时q是p的充分条件；若二者都成立，则夕与g互为充要条件.

(2)集合角度：关于充分条件、必要条件、充要条件，当不容易判断p=q及q=p的真假时，

17

2017-2018学年高中数学人教A版选修1-1教学案

也可以从集合角度去判断，结合集合中“小集合=大集合”的关系来理解，这对解决与逻辑

有关的问题是大有益处的.

跟踪训练1(1>,h中至少有一个不为零的充要条件是()

A.ab=QB.aZ>>0

C.a2+/>2=0D.a2+62>0

(2)“函数2x—。没有零点”的充要条件是.

答案(1)D(2)a<-1

解析(1)。2+/>0,则a、6不同时为零；a,6中至少有一个不为零，则/+人2>0.

(2)函数没有零点，即方程x2—2x—。=0无实根，所以有/=4+4”0,解得a<—1.反之，若

a<—1,则/v0,方程x2-2x~~a=0无实根，即函数没有零点.

故“函数2x—a没有零点”的充要条件是。<一1.

题型二充要条件的证明

例2求证：方程》2+(2%—1我+炉=0的两个根均大于1的充要条件是k<-2.

证明①必要性：

若方程X?+(2左一1,+好=。有两个大于1的根，不妨设两个根为X”X2,则

]/=(24一1)2—4”20,

Ux—1)+(%2-1)>0,

t(%!+%2)—2>0,

[(Xi—1)(X2—1)>0,

^X\X2—(X|+工2)+1>°

回，

即j-(2A-l)-2>0,

、川+(2-1)+1>0,

解得k<一2.

②充分性：当左<一2时，4=(2攵一1尸一4后=1-4上>0.

设方程f+(2左一l)x+〃=0的两个根为X],X2.

—

则(X]—l)(x2-l)=xix2(^i+M)+1

=斤+2左一1+1=k(k+2)>0.

又(X1-1)+(X2_1)=(X1+X2)-2

=一(2左一1)一2=—21>0,

/•X[—1>0,X2—1>0.

工2>1・

综上可知，方程f+(2%—l)x+〃=0有两个大于1的根的充要条件为％v—2.

18

2017-2018学年高中数学人教A版选修1-1教学案

反思与感悟一般地，证明“p成立的充要条件为夕”时，在证充分性时应以q为“已知条

件”，p是该步中要证明的“结论"，即q=p:证明必要性时则是以p为“已知条件”，q

为该步中要证明的''结论"，即p=g.

跟踪训练2求证：一次函数_Ax)=丘+以后#0)是奇函数的充要条件是6=0.

证明①充分性：如果6=0,那么/(x)=Ax,

因为/(—x)=A(—x)=—Ax,

所以火一x)=—

所以/(x)为奇函数.

②必要性：因为/(x)=H+b%H0)是奇函数，

所以/(一X)=—/(x)对任意X均成立，

即k(—x)-\-b——(Ax+Z)),

所以b=0.

综上，一次函数人》)=自+6侬户0)是奇函数的充要条件是6=0.

守当堂检渊自查自纠

1.对于非零向量访b,“a+b=0”是“a〃b”的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

答案A

解析当。+》=0时，得a=—b,所以a〃6,

但若a〃b,不一定有a+》=0.

2.已知集合/={1,a},8={1,2,3},则“a=3”是“AJB”的()

A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

答案A

解析a=3时，A={\,3},4UB；当4U8时，0=2或3.

3.已知a：，=士2"：夕：“直线x—y=0与圆x2+&-。)2=2相切"，则a是夕的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

19

2017-2018学年高中数学人教A版选修1-1教学案

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

答案C

解析。=±2时，直线x—y=0与圆x2+(y±2)2^2相切；当直线x-y^0与圆x2+(y-a)2

=2相切时，得$=啦，.,.a=±2；.a是夕的充要条件.

4.已知直线小x+ay+6=0和直线小(a—2)x+3y+2a=0,则l\//l2的充要条件是a=

答案T

解析由1X3—aX(a—2)=0得。=3或一1,

而。=3时，两条直线重合，所以a=-1.

5.命题p：x>0,产0,命题q：x>y,:则p是q的条件.

答案充要

解析当x>0,产0时，x>y且成立，

x-y>0,,

11-fx>0,

当x>y且/工时，得〈X—y=j

xy—^<o,ko.

Ixy

所以p是4的充要条件.

「课堂小结-----------------------------------1

1.充要条件的判断有三种方法：定义法、等价命题法、集合法.

2.充要条件的证明与探求

(1)充要条件的证明分充分性的证明和必要性的证明.在证明时要注意两种叙述方式的区别：

①p是4的充要条件，则由p=g证的是充分性，由4=0证的是必要性；

②p的充要条件是4,则由p=q证的是必要性，由4=》/?证的是充分性.

(2)探求充要条件，可先求出必要条件，再证充分性；如果能保证每一步的变形转化过程都

可逆，也可以直接求出充要条件.

20

2017-2018学年高中数学人教A版选修1-1教学案

笫-比常用逻辑用词

V“§1.3简单的逻辑联结词

［学习目标］1.了解联结词“且”“或”“非”的含义.2.会用联结词“且”“或”“非”联

结或改写某些数学命题，并判断新命题的真假.3.通过学习，明白对条件的判定应该归结为判

断命题的真假.

声知识梳理自主学习

知识点一且

“P且q”就是用联结词"且”把命题p和命题q联结起来，得到的新命题，记作皿.

知识点二或

"0或就是用联结词“或”把命题p和命题夕联结起来，得到的新命题，记作似4.

知识点三非

一般地，对一个命题〃全盘否定,就得到一个新命题，记作读作“非。”或"0的否

定”.

知识点四含有逻辑联结词的命题的真假判断

Pqp7qp'qP

真真其*假

真假假暇

假真假真

假假假假

思考（1）逻辑联结词“或”与生活用语中的“或”的含义是否相同？

（2）命题的否定与否命题有什么区别？

答案（1）生活用语中的“或”表示不兼有，而在数学中所研究的“或”则表示可兼有但不

一定必须兼有.

21

2017-2018学年高中数学人教A版选修1-1教学案

(2)命题的否定只否定命题的结论，而否命题既否定命题的条件，又否定命题的结论.

菱题型探究重点突破

题型一p八q命题及pVq命题

例1分别写出下列命题构成的“pAq”“pVq”的形式，并判断它们的真假.

(1)/