2018全国卷Ⅲ高考理科数学真题(含答案)

2018全国卷m高考理科数学真题及答案

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如

需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的。

1,已知集合4={幻》-120},B={0,1,2)，则Af3=

A.{0}B.{1}C.{1.2}D.{0,1,2}

2.(l+i)(2-i)=

A.-3-iB.-3+iC.3-iD.3+i

3.中国古建筑借助樟卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫樟头，凹进部分叫卯眼，图

中木构件右边的小长方体是樨头.若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长

方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是

4.若sina=11则cos2a=

3

8

AA.-81cD.-

9-49

5.卜+：]的展开式中X”的系数为

A.10B.20C.40D.80

6.直线x+y+2=0分别与x轴，y轴交于A,5两点，点P在圆（x"）?+/=2上，则

面积的取值范围是

A.[2,6]B.[4,8]C.[V2,3V2]D.[2点，3夜]

8.某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p,各成员的支付方式相互独立，设X为

该群体的10位成员中使用移动支付的人数，DX=2A,P（X=4）＜P（X=6），则p=

A.0.7B.0.6C.0.4D.0.3

9.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a",c,若△ABC的面积为，，则c=

4

.兀

A.一B.-C.-D.-

2346

10.设A,8,C,。是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且其面积

为9G,则三棱锥。-他C体积的最大值为

A.126B.18百C.246D.540

22

11.设石，尺是双曲线C：*-1=1(a>0,b>0)的左，右焦点，。是坐标原点.过F,

ab~

作C的一条渐近线的垂线，垂足为P.若|PK|=#|OP|,则C的离心率为

A.6B.2C.y/3D.y/2

12.设。=1*0.3,Z)=log,0.3,则

A,a-vb<ab<QB.ab<a+b<0

C.a+b<Q<abD.ab<O<a+b

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知向量。=(1,2),*=(2,-2),c=(l,2).若，〃(2〃+分),则/=.

14.曲线y=(6+l)e，在点(0,1)处的切线的斜率为-2,贝!|。=.

15.函数/(x)=cos(3x+W在［0,司的零点个数为

16.已知点M(-l,1)和抛物线C：V=4x,过。的焦点且斜率为A的直线与c交于A,B两

点.若NAMB=90。，贝!U=________.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，

每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

(一)必考题：共60分。

17.(12分)

等比数列｛〃"｝中，4=1,%=4%.

(1)求｛〃”｝的通项公式；

(2)记5“为｛q｝的前〃项和.若与=63，求m.

18.（12分）

某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的

生产方式.为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组

20人。第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式.根据工人完成

生产任务的工作时间(单位：min)绘制了如下茎叶图：

(1)根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；

(2)求40名工人完成生产任务所需时间的中位数机,并将完成生产任务所需时间超

过机和不超过机的工人数填入下面的列联表：

超过m不超过m

第一种生产方式

第一种生产方式

(3)根据(2)中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？

n^ad-bcy

(a+Z?)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K2训0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

19.(12分)

如图，边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧8所在平面垂直，M是CD上异

于C,。的点.

(1)证明：平面AWD_L平面BMC；

(2)当三棱锥ABC体积最大时，求面与面MCD所成二面角的正弦值.

20.(12分)

已知斜率为k的直线/与椭圆C：二+t=1交于A,8两点，线段他的中点为

43

M(1>0).

(1)证明：1<一！;

2

(2)设尸为C的右焦点，尸为C上一点，且“+FA+FB=O.证明：网，网，网

成等差数列，并求该数列的公差.

21.(12分)

已知函数/(x)=(2+x+ar2)]n(l+x)-2x.

(1)若a=O，证明：当一l<x<0时，/(x)<0；当》>0时，/(x)>0;

(2)若x=O是/⑴的极大值点,求“.

(二)选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第

一题计分。

22.[选修4-4：坐标系与参数方程](10分)

在平面直角坐标系xOy中，0O的参数方程为F=(。为参数)，过点

[y=sin夕

(0,且倾斜角为a的直线/与。O交于A,B两点.

(1)求a的取值范围；

(2)求回中点P的轨迹的参数方程.

23.［选修4-5:不等式选讲］(10分)

设函数〃x)=|2x+l|+KT.

(1)画出y=/(x)的图像;

(2)当xG[O,+00),f(x)^ax+b,求a+6的最小值.

参考答案：

123456789101112

CDABCADBCBCB

13.-14.-315.316.2

2

17.（12分）

解：（1）设｛。“｝的公比为q,由题设得%=.

由已知得/=4d,解得q=0（舍去），q=-2或q=2.

故％=（-2严或?=2"）

1-(-2)"

(2)若％=(-2尸，贝！|S.=.由5„,=63得(―2)'"=-188,此方程没有正

3

整数解.

若a“=2"T,则S"=2"—l.由S”,=63得2m=64，解得加=6.

综上，m=6.

18.(12分)

解：(1)第二种生产方式的效率更高.

理由如下：

(i)由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时

间至少80分钟，用第二种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至

多79分钟.因此第二种生产方式的效率更高.

(ii)由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为85.5

分钟用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为73.5分钟.因此第二

种生产方式的效率更高.

(iii)由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于80

分钟；用第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间低于80分钟，因此第二种

生产方式的效率更高.

(iv)由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎8上的

最多，关于茎8大致呈对称分布；用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布

在茎7上的最多，关于茎7大致呈对称分布，又用两种生产方式的工人完成生产任务所

需时间分布的区间相同,故可以认为用第二种生产方式完成生产任务所需的时间比用第

一种生产方式完成生产任务所需的时间更少，因此第二种生产方式的效率更高.

以上给出了4种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分.

(2)由茎叶图知加=史曳=80.

2

列联表如下：

超过加不超过加

第一种生产方式155

第二种生产方式515

(3)由于K2=4°(15XH><5厂=皤〉&635,所以有99%的把握认为两种生产方

20x20x20x20

式的效率有差异.

19.(12分)

解：(1)由题设知,平面CMJ"平面ABCD,交线为CD.因为BCA.CD,BCu平面ABCD,所以

6CJL平面CMD,故BCA.DM.

因为,"为CO上异于C,。的点,且如为直径，所以DMA.CM.

又BCC护C；所以DM1.平面BMC.

而DMU平面4㈣故平面4跖1.平面BMC.

(2)以〃为坐标原点，DA的方向为x轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系止

当三棱推护4a体积最大时，汹为CD的中点.

由题设得£>(0,0,0),4(2,0,0),8(2,2,0),C(0,2,0),M(0,l,l),

AM=(-2,1,1),AB=(0,2,0),DA=(2,0,0)

设〃=(x,y,z)是平面的法向量，则

n-AM=0,f-2x+y+z-0,

即《

n-AB=0.12y=0.

可取〃=（1,0,2）.

D4是平面的法向量，因此

/八八nDA石

cos（n,DA）=----------=——

\'\n\\DA\5

sin（〃,ZM）=亭

2/s

所以面始少与面呢）所成二面角的正弦值是=-

20.（12分）

2222

解：（1）设,X）,伏々,为）,则~~+~~=1,+=1-

两式相减，并由上&=%得

Xj-x2

43

由题设知工产=1,胃*'于是

%=一六•①

4m

31

由题设彳导0＜〃2＜一，故攵＜-

22

（2）由题意得尸（1,0）,设P（孙％），则

（玉T,%）+（西T,X）+（々T，%）=（0,0）.

由（1）及题设得x,=3-（内+%2）=1,%=-（y+%）=一2,“＜。・

333

又点。在。上，所以加=1，从而P（L—/），।/口=7

于是

IFA|=7(x,-l)2+y,2=—I-+3(1吟)=2、.

同理|FB|=2-三.

2

所以|以|+|FB|=4—g&+w)=3.

故2Hpi=|E41+1F例，即|FA|,|FPFB|成等差数列.

设该数列的公差为d,则

21d|=||.例—|E4||=；|x—&1=；+%)2-4、匕.②

3

将m=3代入①得上=一1.

4

7,1

所以1的方程为y=-x+-,代入c的方程，并整理得7/-14尤+:=0.

44

故%+%=2,玉％=上，代入②解得1川=事.

2828

所以该数列的公差为或-里.

2828

21.(12分)

Y

解：(1)当。=0时，/(x)=(2+x)ln(l+x)-2x,f(x)=ln(l+x)-------.

1+x

XX

设函数g(x)=/'")=InQ+x)—.,贝Ug<x)=r.

1+x7(17+x)

当—l<x<()时，g'(x)<0；当无>()时，g'(x)>0.故当x>—1时，g(x)2g(0)=0,

且仅当尤=0时，g(x)=0,从而八x)N0,且仅当x=0时，/'(x)=0.

所以/(x)在(T,+oo)单调递增.

又/(0)=0，故当一l<x<()时，/(x)<0；当了>()时，/(%)>0,

(2)3)若。》0，由(1)知，当x>()时，/(x)>(2+x)ln(l+%)-2%>0=/(0),

这与尤=0是/(%)的极大值点矛盾.

(ii)若。<0,设函数力(幻=一八)2=m(l+x)—二--------r-

由于当时，2+%+/>0，故/z(x)与/(x)符号相同.

又〃(0)=/(0)=0,故x=()是/(%)的极大值点当且仅当x=()是h(x)的极大值点.

如果6。+1>0,贝1j当0cx<_6"土1,且|x|<min{l,J'}时,h'(x)>0,故x=0

4a\|a\

不是4(x)的极大值点.

如果6a+l<0,则a、?+4ox+6a+l=0存在根玉<0,故当了€(%,0),且

|x|<min{1,}时，〃'(x)<0,所以x=0不是h(x)的极大值点.

Vl«l

(x—24)

如果6a+l=0,贝M'(x)=；~八：,.则当xe(TO)时,〃'(x)>0；当

0+1)，-6x-12)2

xe(0,1)时，l(x)<0.所以％=0是h(x)的极大值点，从而x=0是/(%)的极大值

点

综上,a=--.

6

22.［选修4—4:坐标系与参数方程］(10分)

【解析】(1)O。的直角坐标方程为x2+y2=l.

71

当a=,时，/与。。交于两点.

当ax］时，记tane=Z，则/的方程为旷=区-百./与，。交于两点当且仅当

J27TJT7T371

l-jjlvl,解得左<一1或左>1,即aw(：，7)或ae(彳，二-).

y/1+e4224

IT3jr

综