中点四边形专题训练(苏华强供稿)

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中点四边形专题训练(苏华强供稿)

例1.在四边形ABCD中，E,F,G,H分别是AB，BC，CD，DA的中点，顺次连结EF，FG，GH，HE。〔1〕请判断四边形EFGH的外形，并予以证明；

〔2〕试添加一个条件，使四边形EFGH是菱形，并说明理由。

例2、如图,在四边形ABC中,AB=AD,CB=CD,点M,N,P,Q分别是AB,BC,CD,DA的中点，求证:四边形MNPQ是矩形.

小结：中点四边形：

对角线的四边形的中点四边形是菱形对角线的四边形的中点四边形是矩形对角线的四边形的中点四边形是正方形对角线的四边形的中点四边形是平行四边形

(1)顺次连接四边形各边中点所得的四边形是.(2)顺次连接平行四边形各边中点所得的四边形是.(3)顺次连接矩形各边中点所得的四边形是.(4)顺次连接菱形各边中点所得的四边形是.(5)顺次连接正方形各边中点所得的四边形是.

中点四边形肯定是平行四边形，但它是否非常的平行四边形取决于原四边形的两条对角线是否垂直或者是否相等，与是否相互平分无关.

例3.如图，四边形ABCD取其四边中点E、F、G、H，得四边形EFGH。假设四边形ABCD的面积为a，求S四边形EFGH

思路一：〔整体思想与转化思想〕

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要说明，四边形EFGH的面积是

1

，S

2ABCD

1

S四边形ABCD。2

转化为说明SAEHSBEFSFCGSHGD连接BD，说明：①SAEHSFCG

方法二：〔整体思想与转化思想〕延长EH于M，使HM=EH

延长FG至N，使GN=FG，连接MN要说明，S平行四边形EFGH=

11

SABCD，②SBEFSDGHS四边形ABCD即可。44

1

，转化为说明S

2ABCD

1

S平行四边形EFGH=S平行四边形EFNM；S平行四边形EFNM=S四边形ABCD

2

只要说明：ΔAEH≌ΔDHM

ΔFCG≌ΔNDGΔMDN≌ΔEBF即可。

结论：

中点四边形的周长为原四边形对角线的和。中点四边形的面积为原四边形面积的一半。练习题：

1、〔2022年滨州〕顺次连接对角线相互垂直的四边形的各边中点，所得图形肯定是〔〕

A．矩形B．直角梯形C．菱形D．正方形

2、〔2022山东省烟台市〕7、如图，小区的一角有一块外形为对角线相等四边形的空地，为了美化小区，社区居委会计划在空地上建一个四边形的水池，使水池的四个顶点恰好在梯形各边的中点上，那么水池的外形肯定是C

A、等腰梯形B、矩形C、菱形D、正方形

3、顺次连接一个四边形的各边中点，得到了一个矩形，那么以下四边形满意条件的是〔〕

①平行四边形②菱形③等腰梯形④对角线相互垂直的四边形A.①③B.②③C.③④D.②④

4、〔2022湖北襄阳〕顺次连接四边形ABCD各边的中点所得四边形是菱形，那么四边形ABCD肯定是

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A.菱形B.对角线相互垂直的四边形C.矩形D.对角线相等的四边形

5．〔2022湖北宜昌，12，3分〕如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC，点E,F,G,H分别是AB,BC，CD，DA的中点，那么以下结论肯定正确的选项是().

A.∠HGF=∠GHEB.∠GHE=∠HEFC.∠HEF=∠EFGD.∠HGF=∠HEF

6、〔2022甘肃兰州〕如图，依次连结第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依次连结菱形各边的中点得到第二个矩形，根据此方法继续下去。已知第一个矩形的面积为1，那么第n个矩形的面积为。

D

……

7、〔2022年天津市〕我们把依次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形．假设一个四边形ABCD的中点四边形是一个矩形，那么四边形ABCD可以是．

8、〔2022四川内江〕如图，点E、F、G、H分别是任意四边形ABCD中AD、BD、BC、CA的中点，当四边形ABCD的边至少满意条件时，四边形EFGH是菱形．

9．如图，在四边形ABCD中，E为AB上一点，△ADE和△BCE都是等边三角形，AB、BC、CD、DA的中点分别为P、Q、M、N，试判断四边形PQMN为怎样的四边形，并证明你的结论．

G

C

10、如图，四边形ABCD中，各边中点分别为E、F、G、H.ACBD〔1〕四边形EFGH的外形是；〔2〕假设AC=8，BD=6，

①那么四边形EFGH的周长=；②求四边形EFGH的面积.

11、〔2022重庆江津〕如图,四边形ABCD中,AC=a,BD=b,

且

AC⊥BD,顺次连接四边形ABCD各边中点,得到四边形A1B1C1D1,

再顺次连接四边形

A12B2D2

3

D1C3

1

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A1B1C1D1各边中点,得到四边形A2B2C2D2……,如此进行下去,得到四边形AnBnCnDn.〔1〕证明：四边形A1B1C1D1是矩形；

〔2〕写出四边形A1B1C1D1和四边形A2B2C2D2的面积；〔3〕写出四边形AnBnCnDn的面积；〔4〕求四边形A5B5C5D5的周长.

12、如图，四边形ABCD中，各边中点分别为E、F、G、H，连接AC与BD，ACBD74,四边形EFGH是矩形，且四边形EFGH的周长是12.〔1〕AC与BD的位置关系；〔2〕求四边形ABCD的面积

2

2

13、如下列图，ABCD是学校内一块四边形空地，学校在征集对这块空地种植花草的设计

中选定了如下方案：把这个四边形分成九块，种植三种不同品种的花草，其中四边形EFGH是四边形ABCD的中点四边形，四边形MNPQ是四边形EFGH的中点四边形，现要在四边形MNPQ中种上红色的花，在△EPQ、△QFM、△MNG、△PHN中种上黄色的花，在△AEH、△BEF、△CGF、△DHG中种上紫色的花，已知红、黄、紫三种花的单价分别为每平方米8元、10元、12元，而种红花已用去120元．请用学过的知识计算出种满四边形ABCD这块空地的花需要多少元？

15.如下图，在矩形ABCD中，AB=12，AC=20，两条对角线相交于点

O.以OB、OC为邻边作第1个平行四边形OBB1C，对角线相交于点A1；B

再以A1B1、A1C为邻边作第2个平行四边形A1B1C1C，对角线相交于点

O1；再以O1B1、O1C1为邻边作第3个平行四边形O1B1B2C1……依次类推.

〔1〕求矩形ABCD的面积；

〔2〕求第1个平行四边形OBB1C、第2个平行四边形A1B1C1C和第6个平行四边形的面积.

A

D

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例1.在四边形ABCD中，E,F,G,H分别是AB，BC，CD，DA的中点，顺次连结EF，FG，GH，HE。〔1〕请判断四边形EFGH的外形，并予以证明；

〔2〕试添加一个条件，使四边形EFGH是菱形，并说明理由。

例2、如图,在四边形ABC中,AB=AD,CB=CD,点M,N,P,Q分别是AB,BC,CD,DA的中点，求证:四边形MNPQ是矩形.

小结：中点四边形：

对角线的四边形的中点四边形是菱形对角线的四边形的中点四边形是矩形对角线的四边形的中点四边形是正方形对角线的四边形的中点四边形是平行四边形

(1)顺次连接四边形各边中点所得的四边形是.(2)顺次连接平行四边形各边中点所得的四边形是.(3)顺次连接矩形各边中点所得的四边形是.(4)顺次连接菱形各边中点所得的四边形是.(5)顺次连接正方形各边中点所得的四边形是.

中点四边形肯定是平行四边形，但它是否非常的平行四边形取决于原四边形的两条对角线是否垂直或者是否相等，与是否相互平分无关.

例3.如图，四边形ABCD取其四边中点E、F、G、H，得四边形EFGH。假设四边形ABCD的面积为a，求S四边形EFGH

思路一：〔整体思想与转化思想〕

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要说明，四边形EFGH的面积是

1

，S

2ABCD

1

S四边形ABCD。2

转化为说明SAEHSBEFSFCGSHGD连接BD，说明：①SAEHSFCG

方法二：〔整体思想与转化思想〕延长EH于M，使HM=EH

延长FG至N，使GN=FG，连接MN要说明，S平行四边形EFGH=

11

SABCD，②SBEFSDGHS四边形ABCD即可。44

1

，转化为说明S

2ABCD

1

S平行四边形EFGH=S平行四边形EFNM；S平行四边形EFNM=S四边形ABCD

2

只要说明：ΔAEH≌ΔDHM

ΔFCG≌ΔNDGΔMDN≌ΔEBF即可。

结论：

中点四边形的周长为原四边形对角线的和。中点四边形的面积为原四边形面积的一半。练习题：

1、〔2022年滨州〕顺次连接对角线相互垂直的四边形的各边中点，所得图形肯定是〔〕

A．矩形B．直角梯形C．菱形D．正方形

2、〔2022山东省烟台市〕7、如图，小区的一角有一块外形为对角线相等四边形的空地，为了美化小区，社区居委会计划在空地上建一