浙江省温州市鲤溪乡中学高三数学理期末试卷含解析

浙江省温州市鲤溪乡中学高三数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.是定义在上的非负可导函数，且满足，对任意的正数，若，则必有

（

）A．

B．

C．

D．

参考答案：C2.若复数z满足，则z的虚部为

A．

B．

C．

D．参考答案：D3.已知a>0且a≠1，则两函数f(x)＝ax和g(x)＝loga的图象只可能是

()参考答案：C4.已知是定义在上的函数，且则的解集是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C试题分析：设g（x）=f（x）-x，因为f（1）=1，f'（x）＞1，所以g（1）=f（1）-1=0，所以g（x）在R上是增函数，且g（1）=0．所以f（x）＞x的解集即是g（x）＞0的解集（1，+∞）．故选C．考点：1．函数的单调性与导数的关系；2．其他不等式的解法．5.已知函数有两个极值点,若,则关于的方程的不同实根个数为 （）A．3 B．4 C．5 D．6参考答案：A略6.已知实系数二次函数和的图像均是开口向上的抛物线，且和均有两个不同的零点．则“和恰有一个共同的零点”是“有两个不同的零点”的（A）充分不必要条件

（B）必要不充分条件（C）充分必要条件

（D）既不充分也不必要条件参考答案：D略7.已知i是虚数单位，则＝（

）A．1－2i

B．2－i

C．2＋i

D．1＋2i参考答案：D略8.若集合，，则“”是“”的

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件C.充要条件

D.既不充分也不必要条件参考答案：A试题分析：考点：集合的运算、充分条件、必要条件.9.已知是等差数列，且，则（

）A．14

B.21

C.

28

D.35参考答案：C略10.执行如图所示的程序框图．若输出，则框图中①处可以填入（

）

（A）（B）（C）（D）参考答案：C第一次循环，满足条件，;第二次循环，满足条件，;第三次循环，满足条件，;第四次循环，不满足条件，输出，此时，所以条件应为，选C.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的表面积是

cm．参考答案：6+（+2）略12.将某选手的7个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，剩余5个分数的平均数为91，现场作的7个分数的茎叶图有一个数据模糊，无法辨认，在图中以表示，则5个剩余分数的方差为

．参考答案：613.已知A（3，2）、B（1，0），P（x，y）满足=x1+x2（O是坐标原点），若x1+x2=1，则P点坐标满足的方程是

．参考答案：x﹣y﹣1=0【考点】直线的两点式方程；向量在几何中的应用．【专题】计算题．【分析】根据=x1+x2得出（x，y）=（3x1+x2，2x1），得到x﹣y=x1+x2=1．【解答】解：∵=x1+x2∴（x，y）=（3x1，2x1）+（x2，0）=（3x1+x2，2x1），∴x=3x1+x2，y=2x1，∴x﹣y=x1+x2=1，故P点坐标满足的方程是x﹣y﹣1=0，故答案为：x﹣y﹣1=0．【点评】本题考查两个向量数量积公式的应用，两个向量坐标形式的运算．14.已知函数，若存在实数，满足，其中，则的取值范围是

.参考答案：【知识点】对数函数图象与性质的综合应用B7【答案解析】解析：解解：由题意可得﹣log3a=log3b=c2﹣c+8=d2﹣d+8，可得log3（ab）=0，故ab=1．结合函数f（x）的图象，在区间[3，+∞）上，令f（x）=1可得c=3、d=7、cd=21．令f（x）=0可得c=4、d=6、cd=24．故有21＜abcd＜24，故答案为（21，24）．【思路点拨】由题意可得﹣log3a=log3b=c2﹣c+8=d2﹣d+8，可得log3（ab）=0，ab=1．结合函数f（x）的图象，在区间[3，+∞）时，令f（x）=1可得c=3、d=7、cd=21．令f（x）=0可得c=4d=6、cd=24．由此求得abcd的范围．15.．空间直角坐标系中，已知点，点关于平面的对称点为，则=

；参考答案：6易知点关于平面的对称点为（1,2，-3），所以。【答案】【解析】略16.哈三中3名同学经过层层闯关，最终获得了中国谜语大会银奖，赛后主办方为同行的一位老师、两位家长及这三名同学合影留念，六人站成一排，则这三名同学相邻且老师不站两端的排法有

种（结果用数字作答）．参考答案：72考点：计数原理的应用．专题：应用题；排列组合．分析：由题意，三名同学相邻用捆绑法，老师不站两端，有2种选择，再考虑三名同学之间的排法，利用乘法原理，即可得出结论．解答： 解：由题意，三名同学相邻用捆绑法，则可理解为四个人排队，老师不站两端，有2种选择，其余=6种方法，三名同学之间有=6种方法，故共有2×6×6=72种方法．故答案为：72．点评：本题考查排列组合的实际应用，考查分步计数原理，是一个典型的排列组合问题，对于相邻的问题，一般采用捆绑法来解．17.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=2，D是BC的中点，那么（﹣）?=；若E是AB的中点，P是△ABC（包括边界）内任一点．则的取值范围是．参考答案：2，[﹣9，9].【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由条件可得=，故==，由此求得的值．以CA所在的直线为x轴，以CB所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，利用简单的线性规划求得t=的取值范围．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=2，D是BC的中点，那么=，=+=16+4=20．∴====2．以CA所在的直线为x轴，以CB所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，则A的坐标为（4，0），B的坐标为（0，2），由线段的中点公式可得点D的坐标为（0，1），点E的坐标为（2，1），设点P的坐标为（x，y），则由题意可得可行域为△ABC及其内部区域，故有．令t==（﹣4，1）?（x﹣2，y﹣1）=7﹣4x+y，即y=4x+t﹣7．故当直线y=4x+t﹣7过点A（4，0）时，t取得最小值为7﹣16+0=﹣9，当直线y=4x+t﹣7过点B（0，2）时，t取得最大值为7﹣0+2=9，故t=的取值范围是[﹣9，9]，故答案为2，[﹣9，9]．【点评】本题主要考查两个向量的数量积运算，线段的中点公式，简单的线性规划问题，属于中档题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.为了引导居民合理用水，某市决定全面实施阶梯水价，阶梯水价原则上以住宅（一套住宅为一户）的月用水量为基准定价，具体划分标准如表：阶梯级别第一阶梯水量第二阶梯水量第三阶梯水量月用水量范围（单位：立方米）（0，10]（10，15]（15，+∞）从本市随机抽取了10户家庭，统计了同一个月的用水量，得到如图所示的茎叶图．（1）现要在这10户家庭中任意选取3户，求取到第二阶梯水量的户数的分布列和均值；（2）用抽到的10户家庭作为样本估计全市的居民用水情况，从全市依次随机抽取10户，若抽到n户月用水量为第二阶梯水量的可能性最大，求出n的值．参考答案：【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；BA：茎叶图；CG：离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）由茎叶图可知：抽取的10户中用水量为一阶的有2户，二阶的有6户，三阶的有2户．取到第二阶梯水量的户数X的取值可能为0，1，2，3．利用P（X=k）=，可得X的概率分布列及其数学期望．（2）设从全市依次随机抽取10户，抽到Y户月用水量为第二阶梯水量，则Y～B．P（Y=k）=（k=0，1，2，…，10）．设t==．由t＞1，可得k＜6.6，P（Y=k﹣1）＜P（Y=k﹣1）．由t＜1，则k＞6.6，P（Y=k﹣1）＞P（Y=k﹣1），即可得出．【解答】解：（1）由茎叶图可知：抽取的10户中用水量为一阶的有2户，二阶的有6户，三阶的有2户．取到第二阶梯水量的户数X的取值可能为0，1，2，3．则P（X=k）=，可得：P（X=0）=，P（X=1）=，P（X=2）=，P（X=3）=．可得X分布列为：X0123PEX=0×+1×+2×+3×=．（2）设从全市依次随机抽取10户，抽到Y户月用水量为第二阶梯水量，则Y～B．P（Y=k）=（k=0，1，2，…，10）．设t==．若t＞1，则k＜6.6，P（Y=k﹣1）＜P（Y=k﹣1）．若t＜1，则k＞6.6，P（Y=k﹣1）＞P（Y=k﹣1），k取6，或7的可能性比较大．经过验证k=6时，=＞1．∴n=6．19.已知向量=（1，2sinθ），=（sin（θ+），1），θ∈R．（1）若⊥，求tanθ的值；（2）若∥，且θ∈（0，），求θ的值．参考答案：解；（1）若⊥，则=sin（θ+）+2sinθ=0，所以5sinθ+cosθ=0，所以tanθ=﹣；（2）若∥，且θ∈（0，），则2sinθsin（θ+）=1，整理得sin2θ+sinθcosθ=1，所以，所以，即sin（2θ﹣）=，θ∈（0，），2θ﹣∈（﹣，），所以2θ﹣=，所以θ=考点：平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：由向量的垂直和平行的性质得到θ的三角函数式，然后化简解答．解答：解；（1）若⊥，则=sin（θ+）+2sinθ=0，所以5sinθ+cosθ=0，所以tanθ=﹣；（2）若∥，且θ∈（0，），则2sinθsin（θ+）=1，整理得sin2θ+sinθcosθ=1，所以，所以，即sin（2θ﹣）=，θ∈（0，），2θ﹣∈（﹣，），所以2θ﹣=，所以θ=．点评：本题考查了向量的垂直和平行的性质以及运用三角函数公式化简三角函数并求值20.如图，在四面体ABCD中，平面ABC⊥平面BCD，DC⊥BC，AB=，BC=2，AC=1．（1）求证：AB⊥AD；（2）设E是BD的中点，若直线CE与平面ACD的夹角为30°，求四面体ABCD外接球的表面积．参考答案：【分析】（1）证明DC⊥BC，AB⊥CD，推出AB⊥AC，然后证明AB⊥平面ADC，得到AB⊥AD．（2）取AD的中点F，连接EF，则EF∥BA，证明EF⊥平面ADC，连接FC，说明∠ECF=30°，求出以四面体ABCD的外接球的半径然后求解即可．【解答】解：（1）证明：由平面ABC⊥平面BCD，DC⊥BC，得DC⊥平面ABC，∴AB⊥CD…（2分）又由，BC=2，AC=1，得BC2=AB2+AC2，所以AB⊥AC…（4分）故AB⊥平面ADC，所以AB⊥AD…（6分）（2）取AD的中点F，连接EF，则EF∥BA，因为AB⊥平面ADC∴EF⊥平面ADC…（8分）连接FC，则∠ECF=30°，∴…（9分）又∠BAD=∠BCD=90°，所以四面体ABCD的外接球的半径…（11分）故四面体ABCD的外接球的表面积=…（12分）（向量解法酌情给分）【点评】本题考查直线与平面垂直的判定定理的应用，几何体的外接球的表面积