江苏省南京市高淳县东坝中学高三数学理联考试卷含解析

江苏省南京市高淳县东坝中学高三数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若双曲线过点，且渐近线方程为，则该双曲线的方程是（

）．A. B. C. D.参考答案：A【分析】先由渐近线方程，设双曲线方程为，再由题意，即可求出结果.【详解】解：因为双曲线的渐近线方程为，所以，可设双曲线标准方程为：，∵双曲线过，代入方程得，∴双曲线方程：．故选．【点睛】本题主要考查求双曲线的方程，熟记双曲线标准方程的求法即可，属于基础题型.2.若定义在R上的函数的导函数为，且满足，，则不等式的解集是(

)A.(3，＋∞)

B.(－∞，3)

C.(－3，＋∞)

D.(－∞，－3)参考答案：A3.已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，则下列给出的条件中，一定能推出m⊥β的是(

) A．α⊥β且m?α B．α⊥β且m∥α C．m∥n且n⊥β D．m⊥n且n∥β；参考答案：C考点：直线与平面垂直的判定．专题：阅读型；空间位置关系与距离．分析：根据A，B，C，D所给的条件，分别进行判断，能够得到正确结果．解答： 解：α⊥β，且m?α?m?β，或m∥β，或m与β相交，故A不成立；α⊥β，且m∥α?m?β，或m∥β，或m与β相交，故B不成立；m∥n，且n⊥β?m⊥β，故C成立；由m⊥n，且n∥β，知m⊥β不成立，故D不正确．故选：C．点评：本题考查直线与平面的位置关系的判断，解题时要认真审题，仔细解答，属于基础题．4.中国古代数学著作《算法统宗》巾有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”其大意为：“有人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”问此人第4天和第5天共走了

A．60里

B48里

C．36里

D.24里参考答案：C5.四个命题：①若x2=1则x=1的否命题是若x2≠1则x≠±1；②x=﹣1是x2﹣5x﹣6=0的必要不充分条件；③存在x∈R，使x2+x+1＜0的否定是对任意x∈R，都有x2+x+1＞0；④若sinα=sinβ，则α=β的否命题为真命题，其中正确命题的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3参考答案：C【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①命题“若p，则q”的否命题是“若￢p，则￢q”，由此判断正误；②判断充分性是否成立，再判定必要性是否成立，即得结论；③特称命题“存在x∈R，p（x）”的否定是“对任意x∈R，￢p（x）”，由此判断正误；④命题与它的逆否命题真假性相同，通过判定原命题的真假即可．【解答】解：①命题“若x2=1，则x=1”的否命题是：“若x2≠1，则x≠±1”，∴①正确；②∵当x=﹣1时，等式x2﹣5x﹣6=0成立，∴充分性成立，当x2﹣5x﹣6=0时，解得x=﹣1，或x=6，必要性不成立；∴“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0的充分不必要条件；∴②错误；③命题“存在x∈R，x2+x+1＜0”的否定是“对任意x∈R，x2+x+1≥0”，∴③错误；④若sinα=sinβ，则α=β的否命题为“若sinα≠sinβ，则α≠β”是真命题；∴④正确．所以，正确的命题有2个；故选：c．【点评】本题考查了命题真假的判断与应用问题，是基础题6.已知椭圆的对称轴为坐标轴，短轴的一个端点和两个焦点的连线构成一个正三角形，且焦点到椭圆上的点的最短距离为，则椭圆的方程为（

）A.

B.或C.

D.或参考答案：D7.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知a=，c=2，cosA=，则b=（）A． B． C．2 D．3参考答案：D【考点】HR：余弦定理．【分析】由余弦定理可得cosA=，利用已知整理可得3b2﹣8b﹣3=0，从而解得b的值．【解答】解：∵a=，c=2，cosA=，∴由余弦定理可得：cosA===，整理可得：3b2﹣8b﹣3=0，∴解得：b=3或﹣（舍去）．故选：D．8.在中，角所对的边为，满足:,且．若的面积为，则a+b值为(

)A．5

B．6

C．7

D．8参考答案：A9.若某程序框图如右图所示，则该程序运行后输出的B等于（

）A.

B.

C.

D.参考答案：A10.若关于的不等式在区间上有解,则实数的取值范围为（）A． B． C．(1,+∞) D．参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数f（x）=2x2+m的图象与函数g（x）=ln|x|的图象有四个交点，则实数m的取值范围为

．参考答案：【考点】根的存在性及根的个数判断．【专题】函数的性质及应用．【分析】利用导数求出求出这两个函数的图象在（0，+∞）上相切时切点的横坐标为x=，再由题意可得f（）＜g（），由此求得实数m的取值范围．【解答】解：由于函数f（x）和函数g（x）都是偶函数，图象关于y轴对称，故这两个函数在（0，+∞）上有2个交点．当x＞0时，令h（x）=f（x）﹣g（x）=2x2+m﹣lnx，则h′（x）=4x﹣．令h′（x）=0可得x=，故这两个函数的图象在（0，+∞）上相切时切点的横坐标为x=．当x=时，f（x）=+m，g（x）=ln=﹣ln2，函数f（x）=2x2+m的图象与函数g（x）=ln|x|的图象有四个交点，应有+m＜﹣ln2，由此可得m＜﹣﹣ln2，故实数m的取值范围为，故答案为．【点评】本题考查了根的存在性及根的个数判断，以及函数与方程的思想，求出这两个函数的图象在（0，+∞）上相切时切点的横坐标为x=，是解题的关键，属于中档题．12.已知O是△ABC内心，若=+，则cos∠BAC=．参考答案：【考点】数量积表示两个向量的夹角．【专题】平面向量及应用．【分析】过O作OD∥AC，OE∥AB，因为O是内心，得到四边形ADOE是菱形，所以AD=AE=DO，由平行四边形法则得到，设AB=5k，过O作OF∥BC交AB于F，通过数据线相似得到BF，OF的长度，在三角形ODF中，利用余弦定理求cos∠DFO．【解答】解：如图，过O作OD∥AC，OE∥AB，因为O是内心，所以四边形ADOE是菱形，并且=λ=+，所以，又AD=AE，所以，设AB=5k，则AC=10k，OD=2k，过O作OF∥BC交AB于F，则∠4=∠5，又∠3=∠4，所以∠3=∠5，所以BF=OF，又△ABC∽△DFO，所以BF：AB=DO：AC，则DF=k，所以BF=AB﹣AD﹣DF=5k﹣2k﹣k=2k，所以OF=2k，所以cos∠BAC=cos∠FDO==；故答案为：．【点评】本题考查了向量的平行四边形法则以及利用余弦定理求角；关键是适当作出辅助线，将问题转化为解三角形．属于难题．13.已知函数f（x）=．若存在x1，x2，当1≤x1＜x2＜3时，f（x1）=f（x2），则的取值范围是．参考答案：（，]【考点】分段函数的应用．【专题】计算题；作图题；函数的性质及应用．【分析】作函数f（x）的图象，结合图象可得+≤x1＜；化简==1+；从而求取值范围．【解答】解：作函数f（x）=的图象如下，f（）=+1=1+；故令x+=1+得，x=+；故+≤x1＜；又∵==1+；＜≤=﹣1；＜1+≤；故答案为：（，]．【点评】本题考查了分段函数的应用及数形结合的思想应用，属于中档题．14.已知正方形的边长为，点为的中点．以为圆心，为半径，作弧交于点，若为劣弧上的动点，则的最小值为___________.参考答案：15.设的二项展开式中含项的系数为，则_________.参考答案：16.设等比数列{an}的前n项和为Sn，若a3=2a4=2，则S6=．参考答案：【考点】等比数列的前n项和．【分析】利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出．【解答】解：设等比数列{an}的公比为q，∵a3=2a4=2，∴q=，=2，解得a1=8．则S6==．故答案为：．17.已知函数，则f（1）的值是

．参考答案：【考点】函数的值；分段函数的应用．【专题】计算题；函数思想；函数的性质及应用．【分析】直接利用分段函数化简求解即可．【解答】解：函数，则f（1）=f（2）=f（3）==．故答案为：．【点评】本题考查分段函数的应用，函数值的求法，考查计算能力．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（10分）（2014?黑龙江）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程ρ=2cosθ，θ∈[0，]．（Ⅰ）求C的参数方程；（Ⅱ）设点D在C上，C在D处的切线与直线l：y=x+2垂直，根据（Ⅰ）中你得到的参数方程，确定D的坐标．参考答案：【考点】参数方程化成普通方程；利用导数研究曲线上某点切线方程；圆的参数方程．

【专题】坐标系和参数方程．【分析】（Ⅰ）半圆C的极坐标方程化为直角坐标方程为（x﹣1）2+y2=1，令x﹣1=cosα∈[﹣1，1]，y=sinα，可得半圆C的参数方程．（Ⅱ）由题意可得直线CD和直线l平行．设点D的坐标为（1+cosα，sinα），根据直线CD和直线l的斜率相等求得cotα的值，可得α的值，从而得到点D的坐标．【解答】解：（Ⅰ）半圆C的极坐标方程ρ=2cosθ，θ∈[0，]，即ρ2=2ρcosθ，化为直角坐标方程为（x﹣1）2+y2=1，x∈[0，2]、y∈[0，1]．令x﹣1=cosα∈[﹣1，1]，y=sinα，α∈[0，π]．故半圆C的参数方程为，α∈[0，π]．（Ⅱ）由于点D在C上，半圆C在D处的切线与直线l：y=x+2垂直，∴直线CD和直线l平行，故直线CD和直线l斜率相等．设点D的坐标为（1+cosα，sinα），∵C（1，0），∴=，解得tanα=，即α=，故点D的坐标为（，）．【点评】本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程，把直角坐标方程化为参数方程，注意参数的范围，属于基础题．19.设函数f（x）=ln（x+1）+a（x2﹣x），其中a∈R，（Ⅰ）讨论函数f（x）极值点的个数，并说明理由；（Ⅱ）若?x＞0，f（x）≥0成立，求a的取值范围．参考答案：【考点】利用导数研究函数的极值；函数恒成立问题．【专题】创新题型；导数的综合应用．【分析】（I）函数f（x）=ln（x+1）+a（x2﹣x），其中a∈R，x∈（﹣1，+∞）．=．令g（x）=2ax2+ax﹣a+1．对a与△分类讨论可得：（1）当a=0时，此时f′（x）＞0，即可得出函数的单调性与极值的情况．（2）当a＞0时，△=a（9a﹣8）．①当时，△≤0，②当a时，△＞0，即可得出函数的单调性与极值的情况．（3）当a＜0时，△＞0．即可得出函数的单调性与极值的情况．（II）由（I）可知：（1）当0≤a时，可得函数f（x）在（0，+∞）上单调性，即可判断出．（2）当＜a≤1时，由g（0）≥0，可得x2≤0，函数f（x）在（0，+∞）上单调性，即可判断出．（3）当1＜a时，由g（0）＜0，可得x2＞0，利用x∈（0，x2）时函数f（x）单调性，即可判断出；（4）当a＜0时，设h（x）=x﹣ln（x+1），x∈（0，+∞），研究其单调性，即可判断出【解答】解：（I）函数f（x）=ln（x+1）+a（x2﹣x），其中a∈R，x∈（﹣1，+∞）．=．令g（x）=2ax2+ax﹣a+1．（1）当a=0时，g（x）=1，此时f′（x）＞0，函数f（x）在（﹣1，+∞）上单调递增，无极值点．（2）当a＞0时，△=a2﹣8a（1﹣a）=a（9a﹣8）．①当时，△≤0，g（x）≥0，f′（x）≥0，函数f（x）在（﹣1，+∞）上单调递增，无极值点．②当a时，△＞0，设方程2ax2+ax﹣a+1=0的两个实数根分别为x1，x2，x1＜x2．∵x1+x2=，∴，．由g（﹣1）＞0，可得﹣1＜x1．∴当x∈（﹣1，x1）时，g（x）＞0，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；当x∈（x1，x2）时，g（x）＜0，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；当x∈（x2，+∞）时，g（x）＞0，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增．因此函数f（x）有两个极值点．（3）当a＜0时，△＞0．由g（﹣1）=1＞0，可得x1＜﹣1＜x2．∴当x∈（﹣1，x2）时，g（x）＞0，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；当x∈（x2，+∞）时，g（x）＜0，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减．因此函数f（x）有一个极值点．综上所述：当a＜0时，函数f（x）有一个极值点；当0≤a时，函数f（x）无极值点；当a时，函数f（x）有两个极值点．（II）由（I）可知：（1）当0≤a时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增．∵f（0）=0，∴x∈（0，+∞）时，f（x）＞0，符合题意．（2）当＜a≤1时，由g（0）≥0，可得x2≤0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增．又f（0）=0，∴x∈（0，+∞）时，f（x）＞0，符合题意．（3）当1＜a时，由g（0）＜0，可得x2＞0，∴x∈（0，x2）时，函数f（x）单调递减．又f（0）=0，∴x∈（0，x2）时，f（x