江西省上饶市碧山中学高三数学理模拟试题含解析

江西省上饶市碧山中学高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.函数的定义域是

(

）A．

B．

C．

D．参考答案：A2.复数z=i（1+i）（i是虚数单位）在复平面内所对应点的坐标为（）A．（1，1） B．（﹣1，﹣1） C．（1，﹣1） D．（﹣1，1）参考答案：D【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】先将z=i（1+i）化简，从而判断即可．【解答】解：z=i（1+i）=﹣1+i，∴复数z=i（1+i）（i是虚数单位）在复平面内所对应点的坐标为：（﹣1，1），故选：D．3.过双曲线M:的左顶点A作斜率为1的直线,若与双曲线M的两条渐近线分别相交于B、C,且|AB|=|BC|,则双曲线M的离心率是A．

B． C．

D．参考答案：A略4.已知与是直线y=kx+1（k为常数）上两个不同的点，则关于x和y的方程组的解的情况是（）（A）无论k，如何，总是无解

（B)无论k，如何，总有唯一解（C）存在k，，使之恰有两解

（D）存在k，，使之有无穷多解

参考答案：

B5.已知定义在R上的函数满足，时，，则（

）A.6 B.4 C.2 D.0参考答案：D【分析】根据题意，分析可得，即是周期为的周期函数，结合函数的解析式求出的值，分析可得的值，进而可得，又由，分析可得答案．【详解】根据题意，函数满足，则，即是周期为的周期函数，当时，，则，，又由，则，，所以，所以.故选：D．【点睛】本题考查函数的周期性的应用，关键是分析函数的周期，属于基础题．6.已知f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，若a＝f(log47)，，c＝f(0.2－0.6)，则a、b、c的大小关系是()A．c＜b＜a

B．b＜c＜aC．c＜a＜b

D．a＜b＜c参考答案：A略7.阅读如图所示的程序框图，则输出结果的值为A.

B.

C.

D.参考答案：D8.设x0为函数f（x）=sinπx的零点，且满足|x0|+|f（x0+）|＜33，则这样的零点有（）A．61个 B．63个 C．65个 D．67个参考答案：【考点】函数零点的判定定理．【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】令f（x0）=0得x0=k，由f（x）的周期为2可得f（x0+）=±1，代入条件式得|k|＜32．【解答】解：f（x）的周期T==2，∵设x0为函数f（x）=sinπx的零点，∴x0=k（k∈Z），f（x0）=0，∴|f（x0+）|=1，∴|k|＜32．∴符合条件的k共有63个．故选B．【点评】本题考查了正弦函数的性质，零点的定义，属于基础题．9.给出下列4个命题：

①若sin2A=sin2B，则△ABC是等腰三角形；

②若sinA=cosB，则△ABC是直角三角形；

③若cosAcosBcosC<0，则△ABC是钝角三角形；

④若cos(A－B)cos(B－C)cos(C－A)=1，则△ABC是等边三角形.

其中正确的命题是

（

）

A.

①③

B.③④

C.①④

D.②③参考答案：答案:B10.对任意实数a，b，c给出下列命题:①“a=b”是“ac=bc”充要条件;

②"a+5是无理数”是“a是无理数”的充要条件;③“a＞b”是“a2＞b2”的充分条件;④“a＜5”是“a＜3”的必要条件.其中真命题的个数是(

)A.1

B.2

C.3

D.4参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形，则三棱柱ABC﹣A1B1C1的外接球体积为．参考答案：π【考点】球的体积和表面积．【专题】计算题；方程思想；综合法；立体几何．【分析】先根据题意画出图形，再设三棱柱外接球的球半径为r，利用在直角三角形ADO中的边的关系求出球半径，最后利用球的体积公式即可求出这个三棱柱的外接球的体积．【解答】解：设三棱柱外接球的球心为O，球半径为r，三棱柱的底面三角形ABC的中心为D，如图，∵三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形，∴=，∴AA1=2，∴OD=1又在正三角形ABC中，AB=，则AD=1，∴在直角三角形ADO中，OA2=OD2+AD2有r2=12+12，∴r=，则这个三棱柱的外接球的体积为V=×r3=π．故答案为：π．【点评】本题是基础题，考查几何体的外接球的体积的应用，三棱柱体积的求法，考查计算能力．12.某几何体的三视图如图所示，若该几何体的所有顶点都在一个球面上，则该球的表面积为

．参考答案：由三视图知，几何体是一个三棱柱，三棱柱的底面是边长为2的正三角形，侧棱长是2，三棱柱的两个底面的中心的中点与三棱柱的顶点的连线就是外接球的半径，，球的表面积.

13.底面边长为2，高为1的正四棱锥的外接球的表面积为

参考答案：答案:

14.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a，b，c，cosC=，且acosB+bcosA=2，则△ABC面积的最大值为．参考答案：【考点】HR：余弦定理；HP：正弦定理．【分析】利用余弦定理分别表示出cosB和cosA，代入到已知的等式中，化简后即可求出c的值，然后利用余弦定理表示出c2=a2+b2﹣2abcosC，把c及cosC的值代入后，利用基本不等式即可求出ab的最大值，然后由cosC的值，及C的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出sinC的值，利用三角形的面积公式表示出三角形ABC的面积，把ab的最大值及sinC的值代入即可求出面积的最大值．【解答】（本题满分为12分）解：∵acosB+bcosA=2，∴a×+b×=2，∴c=2，…（6分）∴4=a2+b2﹣2ab×≥2ab﹣2ab×=ab，∴ab≤（当且仅当a=b=时等号成立）…（8分）由cosC=，得sinC=，…（10分）∴S△ABC=absinC≤××=，故△ABC的面积最大值为．故答案为：．…（12分）【点评】此题考查了基本不等式，余弦定理及三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．15.给出下列四个命题：①过平面外一点，作与该平面成角的直线一定有无穷多条。②一条直线与两个相交平面都平行，则它必与这两个平面的交线平行；③对确定的两条异面直线，过空间任意一点有且只有一个平面与这两条异面直线都平行；④对两条异面的直线，都存在无穷多个平面与这两条直线所成的角相等；其中正确的命题序号为:

参考答案：②④略16.的展开式中，常数项为 .(用数字填写答案)参考答案：1417.的计算可采用如图所示的算法，则图中①处应填的条件是

。参考答案：n≤6？

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本题满分12分）在平面直角坐标系中，动点到两点，的距离之和等于，设点的轨迹为曲线，直线过点且与曲线交于，两点．（1）求曲线的轨迹方程；（2）是否存在△面积的最大值，若存在，求出△的面积；若不存在，说明理由.参考答案：（Ⅰ）由椭圆定义可知，点的轨迹C是以，为焦点，长半轴长为的椭圆．故曲线的方程为．（Ⅱ）因为直线过点，可设直线的方程为或（舍）．则19.（本小题满分12分）如图，正三棱柱的所有棱长都为，为中点．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求二面角的大小；（Ⅲ）求点到平面的距离．参考答案：本小题主要考查直线与平面的位置关系，二面角的大小，点到平面的距离等知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力．解析：解法一：（Ⅰ）取中点，连结．为正三角形，．正三棱柱中，平面平面，平面．连结，在正方形中，分别为的中点，，．在正方形中，，平面．（Ⅱ）设与交于点，在平面中，作于，连结，由（Ⅰ）得平面．，为二面角的平面角．在中，由等面积法可求得，又，．所以二面角的大小为．（Ⅲ）中，，．在正三棱柱中，到平面的距离为．设点到平面的距离为．由得，．点到平面的距离为．解法二：（Ⅰ）取中点，连结．为正三角形，．在正三棱柱中，平面平面，平面．取中点，以为原点，，，的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系，则，，，，，，，．，，，．平面．（Ⅱ）设平面的法向量为．，．，，令得为平面的一个法向量．由（Ⅰ）知平面，为平面的法向量．，．二面角的大小为．（Ⅲ）由（Ⅱ），为平面法向量，

．

点到平面的距离．20.（本小题满分12分）已知等比数列中，，，等差数列中，，且．⑴求数列的通项公式；⑵求数列的前项和．参考答案：(1)∵当时，，当时，，不满足题意，所以，=.(2)由已知，，∴,∴.

21.（12分）某工厂生产甲、乙两种产品，每种产品都是经过第一和第二工序加工而成，两道工序的加工结果相互独立，每道工序的加工结果均有Ａ、Ｂ两个等级，对每种产品，两道工序的加工结果都为Ａ级时，产品为一等品，其余均为二等品．（Ⅰ）已知甲、乙两种产品每一道工序的加工结果为Ａ级的概率如表一所示，分别求生产出的甲、乙产品为一等品的概率Ｐ甲、Ｐ乙；

（Ⅱ）已知一件产品的利润如表二所示，用、分别表示一件甲、乙产品的利润，在（Ⅰ）的条件下，求、的分布列及、；（Ⅲ）已知生产一件产品需用的工人数和资金如表三所示，该工厂有工人40名，可用资金60万，设、分别表示生产甲、乙产品的数量，在（Ⅱ）的条件下，、为何值时最大？最大值是多少？（解答时须给出图示）参考答案：解析：（Ⅰ）

……2分（Ⅱ）随机变量、的分别列是52.5P0.680.32

2.51.5P0.60.4

……6分

（Ⅲ）解：由题设知目标函数为

……8分作出可行域（如图）：作直线

将l向右上方平移至l1位置时，直线经过可行域上的点M点与原点距离最大，此时

……10分取最大值.解方程组

得即时，z取最大值，z的最大值为25.2.

……12分22.（本小题满分14分）已知函数令.（Ⅰ）当时，求函数的单调递增区间；（Ⅱ）若关于的不等式恒成立，求整数的最小值；（Ⅲ）若，正实数满足，证明：参考答案：(Ⅰ)；(Ⅱ)2；（Ⅲ）见解析【知识点】利用导数求函数的单调区间；利用导数解决不等式恒成立的问题；利用导数证明不等式B11B12解析：⑴

……2分由得又所以．所以的单增区间为.………4分（2）方法一：令所以．当时，因为，所以所以在上是递增函数，又因为所以关于的不等式不能恒成立．

………6分当时，．令得，所以当时，当时，．因此函数在是增函数，在是减函数．故函数的最大值为

…………8分令因为又因为在上是减函数，所以当时，．所以整数的最小值为2．

……………10分方法二：⑵由恒成立，得在上恒成立．问题等价于在上恒成立．令，只要．

……6分因为令得．设，因为，所以在上单调递减，不妨设的根为