广东省阳江市东平中学高一数学理下学期摸底试题含解析

广东省阳江市东平中学高一数学理下学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知一个正三棱锥的三条侧棱两两垂直且相等，底面边长为，则该三棱锥的外接球的表面积是.

.

.

.参考答案：A2.已知集合A={x|x2﹣5x+6≤0}，集合B={x|2x＞4}，则集合A∩B=（）A．{x|2≤x≤3} B．{x|2≤x＜3} C．{x|2＜x≤3} D．{x|2＜x＜3}参考答案：C【考点】交集及其运算．【分析】先分别求出集合A，集合B，由此利用交集定义能求出集合A∩B．【解答】解：∵集合A={x|x2﹣5x+6≤0}={x|2≤x≤3}，集合B={x|2x＞4}={x|x＞2}，∴集合A∩B={x|2＜x≤3}．故选：C．3.一船以每小时15km的速度向东航行,船在A处看到一个灯塔B在北偏东60°，行驶4h后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东15°，这时船与灯塔的距离为（

）A.km B.km C.km D.km参考答案：B【分析】作出示意图，在△ABC中，可由正弦定理求的长.【详解】作出示意图如图所示，，，，则.由正弦定理，可得，则.所以这时船与灯塔的距离为.【点睛】本题考查解三角形在实际问题中的应用，考查正弦定理.解题的关键是根据题意得出相应三角形的边与角.4.

（

）A.

B.

C.

D.

参考答案：D略5.已知角α的终边经过点P（﹣3，4），则sinα的值等于(

)A．﹣ B． C． D．﹣参考答案：C【考点】任意角的三角函数的定义．【专题】三角函数的求值．【分析】由任意角的三角函数的定义可得x=﹣3，y=4，r=5，由此求得sinα=的值．【解答】解：∵已知角α的终边经过点P（﹣3，4），由任意角的三角函数的定义可得x=﹣3，y=4，r=5，∴sinα==，故选C．【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，6.一枚质地均匀的硬币连掷3次，有且仅有2次出现正面向上的概率为（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】利用n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式能求出结果．【解答】解：一枚质地均匀的硬币连掷3次，有且仅有2次出现正面向上的概率为：p==．故选：D．7.在△ABC中，，则△ABC一定是（

）A.等腰三角形 B.直角三角形C.等边三角形 D.等腰直角三角形参考答案：B【分析】利用余弦定理、三角形面积公式、正弦定理，求得和，通过等式消去，求得的两个值，再判断三角形的形状.【详解】，又，，，又，，又，，，，，，解得：或，一定是直角三角形.【点睛】本题在求解过程中对存在两组解，要注意解答的完整性与严谨性，综合两种情况，再对△ABC的形状作出判断.8.已知三棱锥的三条棱,,长分别是3、4、5，三条棱,,两两垂直，且该棱锥4个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是(

)A．25π

B.50π

C.125π

D.都不对参考答案：B9.若集合A={x|x2-x＜0},B={x|0＜x＜3},则A∩B等于（

）A.{x|0＜x＜1}

B.{x|0＜x＜3}C.{x|1＜x＜3}

D.￠参考答案：A略10.函数（，且）恒过定点（

）A．(－1,－1)

B．(－1,1)

C．

D．(0,1)参考答案：B函数当，即时，.所以函数恒过定点(－1,1).

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.图中所示的是一个算法的流程图，已知，输出的,则的值是____________.参考答案：1112.设全集，，则

.参考答案：略13.已知圆的方程为.设该圆过点（3，5）的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为

参考答案：20略14.

．参考答案：略15.函数的定义域是

.参考答案：略16.在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，∠B=45°，AB=2CD=2，M为腰BC的中点，则=

．参考答案：2【考点】向量在几何中的应用．【分析】以直角梯形的两个直角边为坐标轴，写出点的坐标，求出向量的坐标，利用向量数量积的坐标形式的公式求．【解答】解：以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，建立直角坐标系．则：A（0，0），B（2，0），D（0，1），C（1，1），M（．因为AB=2CD=2，∠B=45，所以AD=DC=1，M为腰BC的中点，则M点到AD的距离=（DC+AB）=，M点到AB的距离=DA=所以，，所以=﹣=2．故答案为2．17.五位同学围成一圈依次循环报数，规定：第一位同学首次报出的数为2，第二位同学首次报出的数为3，之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出数的乘积的个位数字，则第2013个被报出的数为

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．参考答案：6略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.是否存在实数，使得函数在闭区间上的最大值是1？若存在，求对应的值？若不存在，试说明理由.参考答案：解：原函数整理为

，

令t=cosx，则

（1），

，

（舍）；（3）

，

，

（舍），

综上所述可得

.

19.已知向量，，，其中．（Ⅰ）当时，求值的集合；（Ⅱ）求的最大值．参考答案：20.若函数对一切恒有意义，求实数的取值范围。参考答案：解：要使函数有意义，必须有

①

又由题意可知，函数的定义域为，所以不等式①的解集为

（2分）

所以有（1）当时，不等式①可化为，其解集为

（3分）

（2）当时，有，

（5分）

解得

（7分）

综合（1）（2）得所求的取值范围是

（8分）21.定义在[﹣1，1]上的函数f（x）满足：①对任意a，b∈[﹣1，1]，且a+b≠0，都有＞0成立；②f（x）在[﹣1，1]上是奇函数，且f（1）=1．（1）求证：f（x）在[﹣1，1]上是单调递增函数；（2）解关于x不等式f（x）＜f（x+1）；（3）若f（x）≤m2﹣2am﹣2对所有的x∈[﹣1，1]及a∈[﹣1，1]恒成立，求实数m的取值范围．参考答案：【考点】函数单调性的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】（1）利用函数单调性的定义进行证明：在区间[﹣1，1]任取x1、x2，且x1＜x2，利用函数为奇函数的性质结合已知条件中的分式，可以证得f（x1）﹣f（x2）＜0，所以函数f（x）是[﹣1，1]上的增函数．（2）根据（1）中单调性，可得﹣1≤x＜x+1≤1，解得答案；（3）根据函数f（x）≤m2﹣2am﹣2对所有的x∈[﹣1，1]，a∈[﹣1，1]恒成立，说明f（x）的最大值1小于或等于右边，因此先将右边看作a的函数，m为参数系数，解不等式组，即可得出m的取值范围．【解答】解：（1）任取x1、x2∈[﹣1，1]，且x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=f（x1）+f（﹣x2）∵＞0，x1﹣x2＜0，∴f（x1）﹣f（x2）＜0．则f（x）是[﹣1，1]上的增函数．（2）若f（x）＜f（x+1），则﹣1≤x＜x+1≤1，解得：x∈[﹣1，0]，故不等式f（x）＜f（x+1）的解集为[﹣1，0]；（3）要使f（x）≤m2﹣2am﹣2对所有的x∈[﹣1，1]，a∈[﹣1，1]恒成立，只须f（x）max≤m2﹣2am﹣2，即1≤m2﹣2am﹣2对任意的a∈[﹣1，1]恒成立，亦即m2﹣2am﹣3≥0对任意的a∈[﹣1，1]恒成立．令g（a）=m2﹣2am﹣3，只须，解得m≤﹣3或m≥3．【点评】本题考查了抽象函数的单调性与函数的值域、不等式恒成立等知识点，属于中档题，解题时应该注意题中的主元与次元的处理．22.已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f（x）=x2+2x．（1）写出函数f（x），x∈R的解析式；（2）若函数g（x）=f（x）﹣2ax+2，x∈[1，2]，求函数g（x）的最小值h（a）．参考答案：【考点】二次函数在闭区间上的最值；函数解析式的求解及常用方法．【专题】函数的性质及应用．【分析】（1）利用函数的奇偶性，求出分段函数的解析式．（2）利用分类讨论思想，进一步求出函数的最值【解答】解：（1）函数