北京北正中学高三数学文下学期摸底试题含解析

北京北正中学高三数学文下学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设全集I=，M=，N=，那么CI(M∪N)=A．?

B．4

C．

D．参考答案：D2.若实数x，y满足不等式组合则x+y的最大值为（）A．9B．C．1D．参考答案：A考点：简单线性规划．分析：先根据条件画出可行域，设z=x+y，再利用几何意义求最值，将最大值转化为y轴上的截距，只需求出直线z=x+y，过可行域内的点A（4，5）时的最大值，从而得到z最大值即可．解答：解：先根据约束条件画出可行域，设z=x+y，∵直线z=x+y过可行域内点A（4，5）时z最大，最大值为9，故选A．点评：本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．3.已知直线平行，则的值是

A、1或3

B、1或5

C.3或5

D、1或2参考答案：C略4.已知函数，若恒成立，则实数a的取值范围是(

)(A)

(B)(C)

(D)参考答案：B略5.已知是虚数单位，则等于（

） A． B． C． D．参考答案：A6.设函数与函数的图象关于x=3对称，则的表达式为A． B．C． D．参考答案：D略7.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.若a、b、c成等比数列，且

（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：B略8.已知实数满足，则的最大值为(

)

（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：C9.定义域为的函数图像的两个端点为、，是图象上任意一点，其中，，已知向量（为坐标原点）.若不等式恒成立，则称函数在上“k阶线性近似”.已知函数在上“k阶线性近似”，则实数k的取值范围为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：D略10.若，，，则（

）A． B．C． D．参考答案：B试题分析：，，故，又，而，故.考点：基本函数．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若数列{n（n+4）（）n}中的最大值是第k项，则k=_____________．参考答案：4略12.已知全集，集合，则

.参考答案：略13.函数的值域为

。参考答案：略14.设复数z=，则的实部是

．参考答案：0【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的代数形式的乘除运算法则求出z，由共轭复数的定义求出，由此能求出的实部．【解答】解：∵z=====i．∴=﹣i．∴的实部是0．故答案为：0．【点评】本题考复数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意复数的代数形式的乘除运算法则及共轭复数的定义的合理运用．15.已知下列5个命题，其中正确的是命题________.（写出所有正确的命题代号）①函数y=x+，x∈[1，4]的最大值是4；②底面直径和高都是2的圆柱侧面积，等于内切球的表面积；③在抽样过程中，三种抽样方法抽取样本时，每个个体被抽取的可能性不相等；④F1，F2是椭圆+=1（a＞0）的两个焦点，过F1点的弦AB，△ABF2的周长是4a；⑤“?x∈R，|x|＞x”的否定，“?x∈R，|x|≤x”．参考答案：②④⑤略16.已知直线过点和（），则直线斜率的取值范围是

，倾斜角的取值范围是

．参考答案：（3分），（1分＋1分）略17.．有下列命题：①函数y=f(-x+2)与y=f(x-2)的图象关于轴对称；②若函数f（x）＝，则，都有；③若函数f（x）＝loga|x|在（0，＋∞）上单调递增，则f（－2）>f（a＋1）；④若函数(x∈)，则函数f(x)的最小值为.其中真命题的序号是

.参考答案：②④三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f（x）=ln（x﹣1）﹣k（x﹣1）+1（k∈R）．（I）求函数f（x）的单调区间；（II）若f（x）≤0恒成立，试确定实数k的取值范围；（III）证明：．参考答案：【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）由函数f（x）的定义域为（0，+∞），而f′（x）=﹣k．能求出函数f（x）的单调区间．（Ⅱ）由（Ⅰ）知k≤0时，f（x）在（0，+∞）上是增函数，而f（1）=1﹣k＞0，f（x）≤0不成立，故k＞0，又由（Ⅰ）知f（x）的最大值为f（+1），由此能确定实数k的取值范围；（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当k=1时，有f（x）≤0在（0，+∞）恒成立，且f（x）在（1，+∞）上是减函数，f（1）=0，即lnx＜x﹣1在x∈[2，+∞）上恒成立，由此能够证明（n∈N*且n＞1）．【解答】解：（Ⅰ）函数f（t）的定义域为（1，+∞），f′（t）=﹣k．当k≤0时，f′（t）=﹣k＞0，f（x）在（1，+∞）上是增函数；当k＞0时，若x∈（0，+1）时，有f′（x）＞0，若x∈（+1，+∞）时，有f′（x）＜0，则f（x）在（0，+1）上是增函数，在（+1，+∞）上是减函数．（Ⅱ）由（Ⅰ）知k≤0时，f（x）在（1，+∞）上是增函数，而f（2）=1﹣k＞0，f（x）≤0不成立，故k＞0，又由（Ⅰ）知f（x）的最大值为f（+1），要使f（x）≤0恒成立，则f（+1）≤0即可，即﹣lnk≤0，得k≥1；（Ⅲ）当k=1时，有f（x）≤0在（0，+∞）恒成立，且f（x）在（2，+∞）上是减函数，f（2）=0，即ln（x﹣1）＜x﹣1﹣1在x∈（2，+∞）上恒成立，令x﹣1=n2，则lnn2＜n2﹣1，即2lnn＜（n﹣1）（n+1），∴＜（n∈N*且n＞1）∴+++…+＜+++…+=，即：+++…+＜（n∈N*且n＞1）成立．【点评】本题考查函数单调区间的求法，确定实数的取值范围，不等式的证明．考查化归与转化、分类与整合的数学思想，培养学生的抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识．19.某高校在2014年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分成5组：第1组[75，80），第2组[80，85），第3组[85，90），第4组[90，95），第5组[95，100]，得到的频率分布直方图如图所示．（1）求a的值；（2）若该校决定从第3，4组中用分层抽样的方法抽取5名学生进入第二轮面试，并从这5名学生中随机抽取2名学生接受综合素质测试．求第4组中恰有一名学生接受综合素质测试的概率．参考答案：【考点】频率分布直方图．【专题】概率与统计．【分析】（1）根据样本的频率和等于1，求出a的值；（2）求出第3、4组分别抽取的人数，利用列举法求出从中抽两名学生的基本事件数，以及第4组恰有一名学生入选的事件数，求出概率即可．【解答】解：（1）根据样本的频率和等于1，得；（0.01+0.02+a+0.06+0.07）×10=1，解得a=0.04；（2）∵第3、4组的频率比为，∴第3，4组分别抽取的人数为3人与2人，设第3组的3名学生为A1，A2，A3，第4组的2名学生为B1，B2，则从5名学生中抽两名学生有：（A1，A2），（A1，A3），（A1，B1），（A1，B2），（A2，A3），（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2），（B1，B2），共10种可能；

其中第4组恰有一名学生入选的结果有：（A1，B1），（A1，B2），（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2）共6种可能，∴第4组恰有一名学生接受综合素质测试的概率为；答：第4组中恰有一名学生接受综合素质测试的概率为．【点评】本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了用列举法求古典概型的概率问题，是综合性题目．20.如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点.（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；（Ⅱ）设二面角D-AE-C为60°，AP=1，AD=，求三棱锥E-ACD的体积.

参考答案：21.已知函数，求时函数的最值。参考答案：解：令，则，

22.设函数f（x）=alnx﹣bx2（x＞0）；（1）若函数f（x）在x=1处与直线相切①求实数a，b的值；②求函数上的最大值．（2）当b=0时，若不等式f（x）≥m+x对所有的都成立，求实数m的取值范围．参考答案：【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用．【专题】计算题；压轴题．【分析】（1）①先求出原函数的导数：，欲求出切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．列出关于a，b的方程求得a，b的值．②研究闭区间上的最值问题，先求出函数的极值，比较极值和端点处的函数值的大小，最后确定出最大值．（2）考虑到当b=0时，f（x）=alnx若不等式f（x）≥m+x对所有的都成立，转化为alnx≥m+x对所有的恒成立问题，再令h（a）=alnx﹣x，则h（a）为一次函数，问题又转化为m≤h（a）min最后利用研究函数h（x）的单调性即得．【解答】解：（1）①∵函数f（x）在x=1处与直线相切∴，解得②当时，令f'（x）＞0得；令f'（x）＜0，得1＜x≤e∴上单调递增，在[1，e]上单调递减，∴（2）当b=0时，f（x）=alnx，若不等式f（x）≥m+x对所有的都成立，则alnx≥m+x，即m≤alnx﹣x对所有的都成立．令h（