江苏省徐州市铁路第一中学高一数学理联考试卷含解析

江苏省徐州市铁路第一中学高一数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知符号[x]表示“不超过x的最大整数”，如[﹣2]=﹣2，[﹣1.5]=﹣2，[2.5]=2，则[log2]+[log2]+[log2]+[log21]+[log22]+[log23]+[log24]的值为(

)A．﹣1 B．﹣2 C．0 D．1参考答案：A【考点】对数的概念；对数的运算性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据新定义当x是整数，[x]就是x，当x不是整数时，[x]是点x左侧的笫一个整数点，这个函数叫做“取整函数，先求出各对数值或所处的范围，再用取整函数求解．【解答】解：由题意可得：[log2]+[log2]+[log2]+[log21]+[log22]+[log23]+[log24]=﹣2+（﹣2）+（﹣1）+0+1+1+2=﹣1故选：A【点评】本题是一道新定义题，这类题目要严格按照定义操作，转化为已知的知识和方法求解，还考查了对数的运算及性质．2.已知平面向量，，，，且，则向量与向量的夹角为（

）A. B. C. D.参考答案：B【分析】根据可得到：，由此求得；利用向量夹角的求解方法可求得结果.【详解】由题意知：

，则设向量与向量的夹角为则

本题正确选项：【点睛】本题考查向量夹角的求解，关键是能够通过平方运算将模长转变为向量的数量积，从而得到向量的位置关系.3.设向量，，若，则x=（

）.A. B. C.4 D.2参考答案：B【分析】根据，得到关于的方程，即可求出结果.【详解】因为向量，，若，则，解得.故选B【点睛】本题主要考查由向量共线求参数的问题，熟记向量共线的坐标表示即可，属于基础题型.4.在中，，．若点满足，则（

）A． B． C． D．参考答案：A略5.设集合A={x|x=2k+1，k∈Z}，a=5，则有(

)A．a∈A B．﹣a?A C．{a}∈A D．{a}?A参考答案：A考点：元素与集合关系的判断．专题：计算题．分析：根据题意，分析可得集合A为奇数的集合，分析选项可得A中有a∈A，A正确，B中应有﹣a∈A，则B错误，C中集合之间的符号有误，D中子集关系有误，即可得答案．解答：解：根据题意，分析可得集合A为奇数的集合，据此分析选项：对于A，a=5是奇数，则a∈A，则A正确；对于B，﹣a=﹣5是奇数，则﹣a∈A，则B错误；对于C，集合之间的符号为?、?，则C错误；对于D，{a}={5}，是集合A的子集，有{a}?A，则D错误；故选A．点评：本题考查集合之间的关系，关键是分析集合A中的元素特征6.的三边分别为，且,则△ABC的外接圆的直径为

（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：B略7.某几何体的三视图如图所示，其俯视图是由一个半圆与其直径组成的图形，则此几何体的体积是（

）A． B.

C． D．参考答案：C8.下列图中，画在同一坐标系中，函数与函数的图象只可能是()参考答案：B略9.已知定义在R上的函数的图象是连续不断的，且有如下部分对应值表：123456136．115．6-3.910．9-52.5-232.1判断函数的零点个数至少有

（

）A．2个

B．3个

C．4个

D．5个参考答案：B略10.从高出海面hm的小岛A处看正东方向有一只船B，俯角为看正南方向的一船C的俯角为，则此时两船间的距离为（

）.A．

B．

C．

D．参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知幂函数y=f(x)的图象过点(2，)，则=

.参考答案：412.设集合A＝{－1,0,3}，B＝{a＋3,2a＋1}，A∩B＝{3}，则实数a的值为________．参考答案：a=0或a=1略13.求值

.参考答案：略14.已知中，设三个内角所对的边长分别为，且，则边长c=__________.参考答案：或

15.已知=﹣1，则tanα=．参考答案：【考点】三角函数的化简求值；同角三角函数间的基本关系．【分析】利用同角三角函数基本关系式，化简表达式为正切函数的形式，然后求解即可．【解答】解：=﹣1，可得：，解得tanα=．故答案为：；16.从集合{1,2,3,4}中任取两个不同的数，则这两个数的和为3的倍数的概率为_______.参考答案：从中任取两个不同的数，共有6种情况，和是3的倍数的有，两种情况，所以根据古典概型公式得，故答案为.

17.等比数列｛a}中，a+a=5，a+a=4，则a+a=________．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.为了加强环保建设，提高社会效益和经济效益，某市计划用若干年时间更换一万辆燃油型公交车。每更换一辆新车，则淘汰一辆旧车，更换的新车为电力型车和混合动力型车。今年初投入了电力型公交车128辆，混合动力型公交车400辆，计划以后电力型车每年的投入量比上一年增加50%，混合动力型车每年比上一年多投入a辆．设an、bn分别为第n年投入的电力型公交车、混合动力型公交车的数量，设Sn、Tn分别为n年里投入的电力型公交车、混合动力型公交车的总数量。（1）求Sn、Tn，并求n年里投入的所有新公交车的总数Fn；（2）该市计划用7年的时间完成全部更换，求a的最小值．参考答案：（1），，；（2）147．试题分析：（1）设、分别为第年投入的电力型公交车、混合动力型公交车的数量，通过分析可知数列是首项为、公比为的等比数列,数列是首项为、公差为的等差数列，由等比数列的前项和公式，等差数列的前项和公式即可求出;（2）通过分析、是关于的单调递增函数，故是关于的单调递增函数，要求满足的最小值应该是，此时应注意实际问题中取整的问题．试题解析：（1）设、分别为第年投入的电力型公交车、混合动力型公交车的数量，依题意知，数列是首项为、公比为的等比数列；1分数列是首项为、公差为的等差数列，2分所以数列的前项和，4分数列的前项和，6分所以经过年，该市更换的公交车总数；7分（2）因为、是关于的单调递增函数，9分因此是关于的单调递增函数，10分所以满足的最小值应该是，11分即，解得，12分又，所以的最小值为147．考点：1、等差数列、等比数列的定义的灵活应用；2、等差数列、等比数列的前项和公式；3、函数的单调性；4、求最值问题．19.如图，已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π），点A，B分别是f（x）的图象与y轴、x轴的交点，C，D分别是f（x）的图象上横坐标为、的两点，CD∥x轴，A，B，D共线．（Ⅰ）求ω，φ的值；（Ⅱ）若关于x的方程f（x）=k+sin2x在区间[，]上恰有唯一实根，求实数k的取值范围．参考答案：【分析】（Ⅰ）根据题意，求出B点的横坐标，线段CD中点坐标，再求出f（x）的最小正周期T，从而求出ω的值，再根据f（0）与f（）互为相反数求出φ的值；（Ⅱ）由（Ⅰ）写出函数f（x）的解析式，把f（x）=k+sin2x化为k=sin（2x+）﹣sin2x=cos（2x+），设g（x）=cos（2x+），x∈[，]，画出函数g（x）在x∈[，]上的图象，结合图形求出y=k与g（x）恰有唯一交点时实数k的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，点A与点D关于点B对称，∴B点的横坐标为=；又点C与点D关于直线x==对称，∴f（x）的最小正周期T满足=﹣=，解得T=π，即ω==2；又f（0）=sinφ，f（）=sin（2×+φ）=sin（+φ）=﹣sin（+φ）=﹣sinφ，且0＜φ＜π，∴φ=；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，函数f（x）=sin（2x+），∴f（x）=k+sin2x为sin（2x+）=k+sin2x，∴k=sin（2x+）﹣sin2x=﹣sin2x+cos2x=cos（2x+），设g（x）=cos（2x+），x∈[，]，则2x∈[，π]，2x+∈[，]，画出函数g（x）在x∈[，]上的图象，如图所示；根据题意，y=k与g（x）恰有唯一交点，∴实数k应满足﹣＜k≤或k=﹣1．20.（12分）已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=25，直线l：（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4=0，（1）求证：直线l恒过定点；（2）判断直线l被圆C截得的弦长何时最长，何时最短？并求截得的弦长最短时，求m的值以及最短长度．参考答案：考点： 直线和圆的方程的应用；恒过定点的直线．专题： 计算题；证明题．分析： （1）直线l的方程可化为（2x+y﹣7）m+（x+y﹣4）=0，要使直线l恒过定点，则与参数的变化无关，从而可得，易得定点；（2）当直线l过圆心C时，直线被圆截得的弦长最长；当直线l⊥CP时，直线被圆截得的弦长最短解答： （1）证明：直线l的方程可化为（2x+y﹣7）m+（x+y﹣4）=0（3分）（5分）所以直线恒过定点（3，1）（6分）（2）当直线l过圆心C时，直线被圆截得的弦长最长．（8分）当直线l⊥CP时，直线被圆截得的弦长最短直线l的斜率为由解得此时直线l的方程是2x﹣y﹣5=0圆心C（1，2）到直线2x﹣y﹣5=0的距离为）所以最短弦长是（12分）点评： 本题考查直线恒过定点问题，采用分离参数法，借助于解方程组求解；圆中的弦长，应充分利用其图象的特殊性，属于基础题21.(本小题满分12分)在等差数列中，，．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设数列是首项为，公比为的等比数列，求的前项和．

参考答案：解：（Ⅰ）设等差数列的公差是．

．

………………10分22.（14分）已知函数f（x）=的图象经过点（2，﹣）（1）求实数p的值，并写出函数f（x）的解析式（2）若x≠0，判断f（x）的奇偶性，并证明（3）求函数f（x）在上的最大值．参考答案：考点： 函数奇偶性的判断；函数解析式的求解及常用方法；函数的最值及其几何意义．专题： 计算题；分类讨论；函数的性质及应用．分析： （1）运用代入法，解方程即可得到p和f（x）的解析式；（2）运用定义法判断奇偶性，首先判断定义域是否关于原点对称，再计算f（﹣x）和f（x）比较，即可得到奇偶性；（3）运用导数，对t讨论，当＜t≤1时，当t＞1时，结合函数的单调性，即可判断函数的最大值．解答： （1）函数f（x）=的图象经过点（2，﹣），则f（2）=﹣，即=﹣，解得p=2，则f（x）=；（2）若x≠0，f（x）为奇函数．理由如下：定义域{x|x≠0}关于原点对称，f（﹣x）