河南省郑州市第二十中学高三数学理下学期期末试卷含解析

河南省郑州市第二十中学高三数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知M是抛物线上一点，F是抛物线C的焦点，若，k是抛物线C的准线与x轴的交点，则（

）A．45°

B．30° C．15° D．60° 参考答案：A因为，所以，所以,选A.

2.将函数的图像向右平移个单位长度，再把横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）得到函数f(x)的图像，则下列说法正确的是（

）A.函数f(x)的最小正周期为B.函数f(x)在区间上单调递增C.函数f(x)在区间上的最小值为D.是函数f(x)的一条对称轴参考答案：C【分析】由三角函数图象的伸缩变换及平移变换得f（x）函数解析式，再由三角函数图象及性质依次判断选项即可．【详解】=2cos（x+），将其向右平移个单位长度得函数解析式为h（x）＝2cos（x），再把得到的图象再把横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数y＝f（x）的图象，得f（x）＝2cos（2x），则函数y＝f（x）的最小正周期为π，对称轴方程为x（k∈z），故A，D选项不正确，又当时，2x，函数不单调，故B错误，当时，2x，函数在x=时取得最小值为C正确，故选：C．【点睛】本题考查了三角函数图象的伸缩变换及平移变换，三角函数图象的性质，属于中档题.3.袋中装有4个红球、3个白球，甲、乙按先后次序无放回地各摸取一球，在甲摸到了白球的条件下，乙摸到白球的概率是（

）A．

B．

C.

D．参考答案：B4.已知函数有两个零点，则（

）A.

B.

C.

D.

参考答案：C5.已知函数，则不等式组表示的平面区域为（

）参考答案：C略6.正方体的棱上到异面直线，的距离相等的点的个数为（

）2

3

4

5

参考答案：C7.平面直角坐标系中，已知O为坐标原点，点A、B的坐标分别为（1，1）、（﹣3，3）．若动点P满足，其中λ、μ∈R，且λ+μ=1，则点P的轨迹方程为（）A．x﹣y=0 B．x+y=0 C．x+2y﹣3=0 D．（x+1）2+（y﹣2）2=5参考答案：C【考点】J3：轨迹方程；9H：平面向量的基本定理及其意义．【分析】由已知向量等式可知P在AB所在的直线上，由直线方程的两点式得答案．【解答】解：由，且λ+μ=1，得=，∴，即，则P、A、B三点共线．设P（x，y），则P在AB所在的直线上，∵A（1，1）、B（﹣3，3），∴AB所在直线方程为，整理得：x+2y﹣3=0．故P的轨迹方程为：x+2y﹣3=0．故选：C．8.设常数，集合，若，则的取值范围为（

）(A) (B) (C) (D)参考答案：B9.已知命题p：若非零实数a，b满足a>b，则；命题q：对任意实数x∈（0，+），（x+1）<0．则下列命题为真命题的是

A．p且q

B．p或q

C．p且q

D．p且q参考答案：C略10.数列{an}是等差数列，若＜﹣1，且它的前n项和Sn有最大值，那么当Sn取的最小正值时，n=（）A．11 B．17 C．19 D．21参考答案：C【考点】等差数列的性质．【分析】根据题意判断出d＜0、a10＞0＞a11、a10+a11＜0，利用前n项和公式和性质判断出S20＜0、S19＞0，再利用数列的单调性判断出当Sn取的最小正值时n的值．【解答】解：由题意知，Sn有最大值，所以d＜0，因为＜﹣1，所以a10＞0＞a11，且a10+a11＜0，所以S20=10（a1+a20）=10（a10+a11）＜0，则S19=19a10＞0，又a1＞a2＞…＞a10＞0＞a11＞a12所以S10＞S9＞…＞S2＞S1＞0，S10＞S11＞…＞S19＞0＞S20＞S21又S19﹣S1=a2+a3+…+a19=9（a10+a11）＜0，所以S19为最小正值，故选：C．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数有零点，则的取值范围是

．参考答案：；12.等比数列中，公比q=4，且前3项之和是21，则数列的通项公式

参考答案：13.在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，，，设四棱柱的外接球的球心为O，动点P在正方形ABCD的边上，射线OP交球O的表面于点M．现点P从点A出发，沿着运动一次，则点M经过的路径长为

.参考答案：由题意，点P从点A出发，沿着运动一次，则点M经过的路径是四段大圆上的相等的弧．正四棱柱中，，，四棱柱的外接球的直径为其对角线，长度为，四棱柱的外接球的半径为，，所在大圆，所对的弧长为，点M经过的路径长为．故答案为：．

14.三棱锥O﹣ABC中，OA=OB=OC=2，且∠BOC=45°，则三棱锥O﹣ABC体积的最大值是．参考答案：【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】将△BOC作为三棱锥的底面，当OA⊥平面BOC时，该棱锥的高最大，体积就最大，由此能求出三棱锥O﹣ABC体积的最大值．【解答】解：将△BOC作为三棱锥的底面，∵OA=OB=OC=2，且∠BOC=45°，∴△BOS的面积为定值S==，∴当OA⊥平面BOC时，该棱锥的高最大，体积就最大，此时三棱锥O﹣ABC体积的最大值V=×S×h==．故答案为：．15.双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则实数的值是

．

参考答案：答案:

16.已知二项式的展开式中各项系数和为256，则展开式中的常数项为

.（用数字作答）参考答案：28

17.设sin，则

.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(本小题满分12分)如图ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO底面 ABCD，E是PC的中点．求证：（1）．PA//平面BDE；（2）．平面PAC平面BDE．参考答案：证：(1)连接AC、OE，ACBD=O，

…………(1分)在△PAC中，∵E为PC中点，O为AC中点．∴PA//EO，……(3分)又∵EO平面EBD，PA平面EBD，∴PA//BDE．…………(6分)（2）∵PO底面ABCD，∴POBD．

…………(8分)又∵BDAC，∴BD平面PAC．

…………(10分)又BD平面BDE，∴平面PAC平面BDE．

…………(12分)19.(本小题满分12分)设函数，且的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为，(Ⅰ)求的值(Ⅱ)求在区间上的最大值和最小值参考答案：20.（本小题满分14分）在锐角△ABC中，已知：AB=5，AC=6，O为△ABC外接圆的圆心。（1）若S△ABC=12，求BC边的长；（2）求的值。参考答案：

略21.（本题满分12分）某小区在一次对20岁以上居民节能意识的问卷调查中，随机抽取了100份问卷进行统计，得到相关的数据如下表：

节能意识弱节能意识强总计20至50岁45954大于50岁103646总计5545100（1）由表中数据直观分析，节能意识强弱是否与人的年龄有关？（2）若全小区节能意识强的人共有350人，则估计这350人中，年龄大于50岁的有多少人？（3）按年龄分层抽样，从节能意识强的居民中抽5人，再是这5人中任取2人，求恰有1人年龄在20至50岁的概率。参考答案：（1）因为20至50岁的54人有9人节能意识强，大于50岁的46人有36人节能意识强，与相差较大，所以节能意识强弱与年龄有关……3分（2）年龄大于50岁的有（人）……6分（列式2分，结果1分）(3)抽取节能意识强的5人中,年龄在20至50岁的有人…………7分年龄大于50岁的有4人………………8分记这5人分别为,从这5人中任取2人,所有可能情况有10种,列举如下…10分设表示事件“这5人中任取2人，恰有1人年龄在20岁至50岁”，则中的基本事件有共4种…11分故所求概率为……12分22.某校举行高二理科学生的数学与物理竞赛，并从中抽取72名学生进行成绩分析，所得学生的及格情况统计如表：

物理及格物理不及格合计数学及格28836数学不及格162036合计442872（1）根据表中数据，判断是否是99%的把握认为“数学及格与物理及格有关”；（2）若以抽取样本的频率为概率，现在该校高二理科学生中，从数学及格的学生中随机抽取3人，记X为这3人中物理不及格的人数，从数学不及格学生中随机抽取2人，记Y为这2人中物理不及格的人数，记ξ=|X﹣Y|，求ξ的分布列及数学期望．附：x2=．P（X2≥k）0.1500.1000.0500.010k2.0722.7063.8416.635参考答案：【考点】CG：离散型随机变量及其分布列；BO：独立性检验的应用．【分析】（1）根据题意，求出X2=≈12.587＞6.635，从而有99%的把握认为“数学及格与物理及格有关”．（2）从数学及格的学生任抽取一人，抽到物理不及格的学生的频率为=，从数学不及格的学生任取一人，抽到物理不及格的学生的频率为=，X可能的取值为0，1，2，3，Y可能的取值为0，1，2，ξ的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和Eξ．【解答】解：（1）根据题意，得：=≈12.587，∵12.587＞6.635，∴有99%的把握认为“数学及格与物理及格有关”．（2）从数学及格的学生任抽取一人，抽到物理不及格的学生的频率为=，从数学不及格的学生任取一人，抽到物理不及格的学生的频率为=，X可能的取值为0，1，2，3，Y可能的取值为0，1，2，ξ的可能取值为0，1，2，3，P（ξ=0