掌握正弦量的三要素及其相量表示

掌握正弦量的三要素及其相量表示2.1正弦交流电的基础知识在第1章，我们讨论的是直流电，其电压和电流的大小和方向都是不随时间变化的。而实际工程技术中所遇到的电压和电流，在多数情况下，其大小和方向都是随时间而变化的，称为交流电。若电压和电流随时间按正弦规律周期变化，则称为正弦交流电。正弦交流电容易产生，易于进行电压变换，便于远距离输电和安全用电，有利于电气设备的运行，所以，在实践中得到了广泛的应用。工程中一般所说的交流电通常都是指正弦交流电。在线性电路中，如果电源为时间的正弦函数，则在稳态下由电源所产生的电压和电流也为时间的函数，这样的电路称为正弦交流稳态电路，简称正弦交流电路。由于正弦电压和电流都是按正弦规律周期性变化的，所以，在电路图上所标的参考方向代表的都是正半周的方向。在负半周时，由于参考方向与实际方向相反，其值取负。2.1.1正弦量的三要素随时间按正弦规律变化的电压和电流等物理量统称为正弦量。下面以正弦电流为例介绍正弦量的三要素。正弦电流的一般表达式为：式（2-1）中，幅值Im、角频率ω和初相位φi称为正弦量的三要素。正弦电流的波形如图2-1所示。1.周期、频率和角频率正弦量变化一周所需的时间称为周期，用T表示，单位为秒（s），常用的周期单位还有毫秒（ms）、微秒（μs）和纳秒（ns）。正弦量在一秒内周期变化的次数称为频率，用f表示，单位为赫兹（Hz），常用的频率单位还有千赫（kHz）、兆赫（MHz）和吉赫（GHz）。我国和大多数国家都采用50Hz作为电力标准频率，有些国家（如美国和日本等）采用60Hz。这种供电频率在工业上广泛应用，称为工频。周期与频率互为倒数，即：正弦量在一秒内变化的电角度称为角频率，用ω表示，单位为rad/s。因为一个周期内经历了2π弧度，所以角频率为：式（2-3）为周期、频率和角频率三者之间的关系，它们从不同侧面反映了正弦量变化的快慢，只要知道其中一个，就可求出其他两个。2.瞬时值、幅值和有效值正弦量在任一瞬间的值称为瞬时值，用小写字母表示。例如，i、u、e分别表示电流、电压及电动势的瞬时值。瞬时值中的最大值称为幅值或最大值，它是正弦量在整个振荡过程中达到的最大值，用大写字母加下标m表示。例如，Im、Um、Em分别表示电流、电压及电动势的幅值。为了反映交流电在能量转换方面的实际效果，工程上常采用有效值来表示正弦量的大小。有效值是根据电流的热效应来规定的，一个交流电流i和一个直流电流I分别通过相同的电阻R，如果在相同的时间T（交流电流的周期）内，它们产生的热量相等，那么这个交流电流i的有效值就等于这个直流电流I的大小。有效值都用大写字母表示，和直流的情况一样。根据上述定义，有：式（2-4）表明，交流电的有效值等于其瞬时值的二次方在一个周期内积分平均值的平方根，因此，有效值又称为方均根值。式（2-4）适用于周期性变化的量，但不适用于非周期性变化的量。工程上，一般所说的交流电流和电压的大小，如无特别说明，均指的是有效值。例如，交流仪表所指示的读数及电气设备铭牌上的额定值等都是指有效值。3.相位和初相位ωt＋φi称为相位角或相位，它反映了正弦量的变化进程。t＝0时的相位称为初相位角或初相位。初相位与计时起点的选择有关，计时起点不同，初相位就不同，正弦量的初始状态也就不同。计时起点可以根据需要任意选择，通常规定初相位在其主值范围内取值，即：|φi|≤π（2-7）在一个正弦交流电路中，电压u和电流i的频率是相同的，但其初相位不一定相同，设其表达式分别为：两个同频率正弦量的相位之差或初相位之差称为相位差，用φ表示，即：可见，相位差是一个与时间和计时起点都无关的常数，当两个同频率正弦量的计时起点发生改变时，其相位和初相位会发生变化，但两者之间的相位差不会变化。相位差也通常在其主值范围内取值，即|φ|≤π。若两正弦量的相位差φ＝0，则称两者同相，如图2-2（a）所示。若两正弦量到达某一确定状态（如零值或最大值）的先后次序不同，则称先到达者为超前，后到达者为滞后。如图2-2（b）所示，因φ＞0，所以称u超前i，或i滞后u。若两正弦量的相位差φ＝π/2，则称两者正交，如图2-2（c）所示。若两正弦量的相位差φ＝π，则称两者反相，如图2-2（d）所示。图2-2相位差的几种情况注意在比较两个正弦量的相位关系时，这两个正弦量的频率必须相同才有意义。若其频率不同，则其相位差不再是一个常数，而是随时间变化，这种情况下，讨论它们的相位关系没有任何意义。分析计算正弦交流电路时，为了比较同频率各正弦量之间的相位关系，可选其中一个为参考正弦量，取其初相位为零。这样，其他正弦量的初相位便可由它们与参考正弦量之间的相位差来确定。由于各正弦量必须以同一时刻为计时起点才能比较相位差，因此，在一个电路中，只能选择一个计时起点，也就是说，只能选择一个参考正弦量，而究竟选哪一个则是任意的。2.1.2正弦量的相量表示正弦量可以用三角函数式和正弦波形表示，但在正弦交流电路的分析计算中，用这两种表示方法运算起来十分繁琐。为了简化运算，在电工技术中，正弦量常用相量表示。1.复数正弦量相量表示的基础是复数，即用复数来表示正弦量。下面我们首先对复数及其运算进行简要的复习。（1）复数的表示形式复数有多种表示形式，常见的有代数形式、复平面上的向量表示、三角函数形式、指数形式和极坐标形式等。①代数形式设A为一个复数，其实部和虚部分别为a和b，则复数A的代数形式为：式中：j——虚数单位，。②复平面上的向量表示以实轴（+1轴）和虚轴（+j轴）为坐标轴组成的平面称为复平面。如图2-3所示，复数也可用复平面上的有向线段（向量）OA表示。其中，r为向量OA的模，φ为向量OA的辐角。③三角函数形式由图2-3所示，可得复数的三角函数形式为：r、φ与a、b的关系为： ④指数形式根据欧拉公式可知于是，复数的三角函数形式可转变为指数形式，即：⑤极坐标形式复数的指数形式还可改写为极坐标形式，即：复数的五