中国科学院大学601高等数学（甲）考试大纲解析

目录

专题1函数、极限、连续

第1部分考试内容

第2部分考试要求

第3部分考试大纲详解

专题2一元函数微分学

第1部分考试内容

第2部分考试要求

第3部分考试大纲详解

专题3一元函数积分学

第1部分考试内容

第2部分考试要求

第3部分考试大纲详解

专题4向量代数和空间解析几何

第1部分考试内容

第2部分考试要求

第3部分考试大纲详解

专题5多元函数微分学

第1部分考试内容

第2部分考试要求

第3部分考试大纲详解

专题6多元函数积分学

第1部分考试内容

第2部分考试要求

第3部分考试大纲详解

专题7无穷级数

第1部分考试内容

第2部分考试要求

第3部分考试大纲详解

专题8常微分方程

第1部分考试内容

第2部分考试要求

第3部分考试大纲详解

附录中国科学院大学601高等数学

（甲）考试大纲

专题1函数、极限、连续

第1部分考试内容

函数的概念及表示法函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性复合函

数、反函数、分段函数和隐函数基本初等函数的性质及其图形

数列极限与函数极限的概念无穷小和无穷大的概念及其关系无穷小的

性质及无穷小的比较极限的四则运算极限存在的单调有界准则和夹逼

准则两个重要极限：

，

函数连续的概念函数间断点的类型初等函数的连续性闭区间上连续

函数的性质函数的一致连续性概念

第2部分考试要求

（1）理解函数的概念，掌握函数的表示法，并会建立简单应用问题中

的函数关系式.

（2）理解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性.掌握判断函数这些

性质的方法.

（3）理解复合函数的概念，了解反函数及隐函数的概念.会求给定函数

的复合函数和反函数.

（4）掌握基本初等函数的性质及其图形.

（5）理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及函数极

限存在与左、右极限之间的关系.

（6）掌握极限的性质及四则运算法则，会运用它们进行一些基本的判

断和计算.

（7）掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限.掌握利用两个重

要极限求极限的方法.

（8）理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价

无穷小求极限.

（9）理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断

点的类型.

（10）掌握连续函数的运算性质和初等函数的连续性，熟悉闭区间上连

续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理等），并会应

用这些性质.

（11）理解函数一致连续性的概念.

第3部分考试大纲详解

一、函数

1．函数的定义

设数集DR，则称映射：D→R为定义在D上的函数，简记为

，其中x称为自变量，y称为因变量．D称为定义域，记作

，即．

2．函数的表示方法

（1）表格法

（2）图形法

（3）解析法（公式法）

二、函数的性质

1．有界性

（1）上界：若存在K1，对任意有，则称函数在Ｉ上有

上界，而K1称为函数在Ｉ上的一个上界.

（2）下界：若存在K2，对任意有，则称函数在Ｉ上有

下界，而K2称为函数在Ｉ上的一个下界.

（3）有界：若对任意，存在M＞0，总有，则称在I上

有界.

2．单调性

（1）单调递增当时，.

（2）单调递减当时，.

3．周期性

（1）定义（T为正数）.

（2）最小正周期函数所有周期中最小的周期称为最小正周期.

4．奇偶性

f（x）的定义域关于原点对称，则：

（1）偶函数f（－x）＝f（x），图形关于y轴对称.

（2）奇函数f（－x）＝－f（x），图形关于原点对称.

三、反函数、复合函数、隐函数

1．反函数

（1）定义

设函数f：D→f（D）是单射，则它存在逆映射f－1：f（D）→D，称此

映射f－1为函数f的反函数.

（2）特点

①当f在D上是单调递增函数，f－1在f（D）上也是单调递增函数；

②当f在D上是单调递减函数，f－1在f（D）上也是单调递减函数；

③f的图像和f－1的图像关于直线y＝x对称，如图1－1所示．

图1－1

2．复合函数

（1）复合函数概念

设函数y＝f（u）的定义域为，函数u＝g（x）的定义域为，且其值

域，则函数称为由函数u＝g（x）与函数y＝

f（u）构成的复合函数，它的定义域为，变量u称为中间变量.

注：函数g与函数f构成的复合函数，即按“先g后f”的次序复合的函

数，记为，即.

（2）构成复合函数的条件

g与f能构成复合函数的条件是：函数g的值域Rg必须包含于函数f的

定义域Df，即.

3．隐函数

如果变量ｘ，ｙ满足一个方程，在一定条件下，当ｘ取区间I任

一值时，相应地总有满足该方程的唯一的ｙ存在，则称方程在

区间I确定了一个隐函数．

四、基本初等函数

1．初等函数定义

由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤

所构成并可用一个式子表示的函数，称为初等函数.

2．基本初等函数性质和图形

（1）幂函数

①表达式：；

②定义域：使有意义的全体实数构成的集合；

③性质：

a．当n＞0时，图象过点（0，0）和（1，1），在区间上是增函

数;

b．当n＜0时，图象过点（1，1），在区间上是减函数

④图像：图像如图1－2所示：

图1－2

（2）指数函数

①表达式：；

②定义域：R；

③值域：

④性质：

a．当a＞1时，图象过点（0，1），在R上是增函数；

b．当0＜a＜1时，图象过点（0，1），在R上是减函数．

⑤图像：图像如图1－3所示：

图1－3

（3）对数函数

①表达式：；

②定义域：；

③值域：R

④性质：

a．当a＞1时，图象过点（1，0），在上是增函数；

b．当0＜a＜1时，图象过点（1，0），在上是减函数．

⑤图像：图像如图1－4所示：

图1－4

（4）三角函数

表1－1三角函数的性质和图像

（5）反三角函数

表1－2反三角函数的性质和图像

五、极限

1．数列极限

设为一数列，如果存在常数a，对于任意给定的正数，总存在正整

数N，使得当n＞N时，不等式都成立，则称常数a是数列的

极限，又称数列收敛于a，记为．

2．函数极限的定义

（1）函数的极限

在自变量的某个变化过程中，如果对应的函数值无限接近于某个确定的

数，则这个确定的数就称为在这一变化过程中函数的极限.

（2）函数f（x）极限的两种情形

①自变量x趋于有限值时函数的极限

a．定义

设函数f（x）在点的某一去心邻域内有定义.如果存在常数A，对于任

意给定的正数（不论它多么小），总存在正数使得当x满足不等式

时，对应的函数值f（x）都满足不等式则常数A称

为函数f（x）当时的极限，记作.

注：定义中表示，所以时f（x）有没有极限，与

f（x）在点是否有定义并无关系.

e．时极限存在的充分必要条件

左极限及右极限各自存在并且相等．

②自变量x趋于无穷大时函数的极限

a．定义

设函数f（x）当|x|大于某一正数时有定义．如果存在常数A，对于任意

给定的正数ε（不论它多么小），总存在着正数X，使得当x满足不等

式|x|＞X时，对应的函数值f（x）都满足不等式，则常数A就

称为函数f（x）当时的极限，记作

b．简单表述

3．函数极限的性质

（1）唯一性

如果存在，则这极限唯一．

（2）局部有界性

如果则存在常数M＞0和＞0，使得当时，有|f（x）|

≤M．

（3）局部保号性

①如果且A＞0（或A＜0），则存在常数使得当

时，有

②如果，则存在着的某一去心邻域当时，有

．

③如果在的某去心邻域内f（x）≥0（或f（x）≤0），而且则

A≥0（或A≤0）．

4．四则运算法则

如果，则

（1）

（2）

（3）若，则

六、极限存在准则及两个重要极限

1．极限存在准则

（1）夹逼准则

①夹逼准则1

如果数列及满足下列条件：

a．从某项起，即当时，有；

b．，则数列的极限存在，且．

②夹逼准则2

如果

a．当（或）时，；

b．，

则存在，且等于A．

（2）单调有界准则

单调有界数列必有极限．

2．两个重要极限

七、无穷小与无穷大

1．无穷小

如果函数f（x）当（或）时的极限为零，则称函数f（x）

为当（或）时的无穷小．特别地，以零为极限的数列称

为时的无穷小．

（1）相关无穷小的定义

①高阶无穷小

如果，则β是比α高阶的无穷小，记作．

②低阶无穷小

③同阶无穷小

如果，则β与α是同阶无穷小．

④k阶无穷小

如果，则β是关于α的k阶无穷小．

⑤等价无穷小

如果，则β与α是等价无穷小，记作．

（2）常用的等价无穷小

2．无穷大

设函数f（x）在的某一去心邻域内有定义（或|x|大于某一正数时有定

义）．如果对于任意给定的正数M（不论它多么大），总存在正数

（或正数X），只要x适合不等式（或|x|＞X），对应的函数

值f（x）总满足不等式|f（x）|＞M，则称函数是当

时的无穷大．

八、函数的连续性与间断点

1．函数的连续性

（1）连续

设函数y＝f（x）在点x0的某一邻域内有定义，如果

则称函数y＝f（x）在点x0连续．

（2）左连续和右连续

①左连续

如果存在且等于f（x0），即，则称函数f（x）在点

x0左连续．

②右连续

如果存在且等于f（x0），即，则称函数f（x）在

点x0右连续．

2．函数的间断点

（1）第一类间断点

①可去间断点：在间断点处函数左右极限相等．

②跳跃间断点：在间断点处函数左右极限不相等．

（2）第二类间断点

①无穷间断点：在间断点处函数极限为无穷大（或无穷小）．

②振荡间断点：在趋近间断点的过程中，函数值在某个区间内变动无限

多次．

九、连续函数的运算与初等函数的连续性

1．连续函数的和、差、积、商的连续性

设函数f（x）和g（x）在点x0连续，则它们的和（差）、积及

商（当时）都在点x0连续．

2．初等函数的连续性

（1）基本初等函数在它们的定义域内都是连续的．

（2）一切初等函数在其定义区间内都是连续的．定义区间，就是包含

在定义域内的区间．

十、闭区间上连续函数的性质

1．函数f（x）在闭区间[a，b]上连续

如果函数f（x）在开区间（a，b）内连续，在右端点b左连续，在左端

点a右连续，则函数f（x）就是在闭区间[a，b]上连续．

2．闭区间上连续函数的性质

（1）有界性与最大值最小值定理

①定理

在闭区间上连续的函数在该区间上有界且一定能取得它的最大值和最小

值．

②最大值与最小值

对于在区间I上有定义的函数f（x），如果有，使得对于任一

，都有

则称是函数f（x）在区间I上的最大值（最小值）．

（2）零点定理与介值定理

①零点

如果，则称为函数f（x）的零点．

②零点定理

设函数f（x）在闭区间上连续，且f（a）与f（b）异号（即f（a）

·f（b）＜0），则在开区间（a，b）内至少有一点ξ，使．

③介值定理

设函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，且在这区间的端点取不同的函数

值

则对于A与B之间的任意一个数C，在开区间（a，b）内至少有一点ξ，

使得

3．一致连续性

（1）一致连续性定义

设函数f（x）在区间I上有定义．如果对于任意给定的正数ε，总存在正

数δ，使得对于区间I上的任意两点x1、x2，当时，有

则称函数f（x）在区间I上一致连续．

（2）一致连续与连续的关系

如果函数f（x）在区间I上一致连续，则f（x）在区间I上一定连续；当

f（x）在区间I上连续，f（x）在区间I上不一定一致连续．

（3）一致连续性定理

如果函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，则它在该区间上一致连续．

专题2一元函数微分学

第1部分考试内容

导数的概念导数的几何意义和物理意义函数的可导性与连续性之间的

关系平面曲线的切线和法线基本初等函数的导数导数的四则运算复

合函数、反函数、隐函数的导数的求法参数方程所确定的函数的求导

方法高阶导数的概念高阶导数的求法微分的概念和微分的几何意义

函数可微与可导的关系微分的运算法则及函数微分的求法一阶微分形

式的不变性微分在近似计算中的应用微分中值定理洛必达法则泰勒

公式函数的极值函数最大值和最小值函数单调性函数图形的凹凸

性、拐点及渐近线函数图形的描绘弧微分及曲率的计算

第2部分考试要求

（1）理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几

何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，

会用导数描述一些物理量，掌握函数的可导性与连续性之间的关系。

（2）掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等

函数的求导公式。了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，

会求函数的微分。

（3）了解高阶导数的概念，会求简单函数的n阶导数。

（4）会求分段函数的一阶、二阶导数。

（5）会求隐函数和由参数方程所确定的函数的一阶、二阶导数

（6）会求反函数的导数。

（7）理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒

定理。

（8）理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极

值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其简单应用。

（9）会用导数判断函数图形的凹凸性，会求函数图形的拐点以及水

平、铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形。

（10）掌握用洛必达法则求未定式极限的方法。

（11）了解曲率和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径。

第3部分考试大纲详解

一、导数和微分

（1）导数的定义

设函数y＝f（x）在点x0的某个邻域内有定义，当自变量x在x0处取得增

量Δx（点仍在该邻域内）时，相应地，因变量取得增量

．当Δx→0时，如果Δy与Δx之比的极限存在，则称函

数y＝f（x）在点x0处可导，并称这个极限为函数y＝f（x）在点x0处的

导数，记为，即

又记作

（2）微分的定义

设函数y＝f（x）在某区间内有定义，在这区间内，如果函数

的增量

可表示为

其中A是不依赖于Δx的常数，则称函数在点是可微的，而AΔx

称为函数在点相应于自变量增量Δx的微分，记作，即

（3）导数的几何意义

函数y＝f（x）在点x0处的导数f'（x0）在几何上表示曲线y＝f（x）在点

M（x0，f（x0））处的切线的斜率，即，其中α是切线的倾

角．

（4）平面曲线的切线方程和法线方程

①切线方程

曲线y＝f（x）在点M（x0，y0）处的切线方程为

②法线方程

如果，法线方程为．

（5）导数的物理意义

①路程；

②速度；

③加速度．

（6）连续、可导、可微的关系

图2－1

（7）导数和微分的四则运算法则

表2－1

（8）复合函数的求导法则

如果u＝g（x）在点x可导，而y＝f（u）在点u＝g（x）可导，则复合函

数y＝f［g（x）]在点x可导，且其导数为

（9）基本初等函数的导数公式、微分公式

表2－2

（11）一阶微分形式的不变性设都可导，则复合函数

的微分为

二、高阶导数

1．二阶导数

函数y＝f（x）的导数仍然是x的函数．则把的导数称为

函数y＝f（x）的二阶导数，记作，即．

2.n阶导数

二阶导数的导数称为三阶导数，三阶导数的导数称为四阶导数，一般

地，（n－1）阶导数的导数称为n阶导数，分别记作

或

3．简单函数的n阶导数

（1）指数函数的n阶导数

（2）正弦函数的n阶导数

（3）余弦函数的n阶导数

（4）的n阶导数

（5）幂函数的n阶导数（是任意常数）

特别：

三、特殊函数的导数

1．分段函数的导数

（1）对于不是分界点的区间，直接利用求导法则和公式进行求导；

（2）判断分界点x0处的可导性：

①若函数在x0点不连续，则它在x0点不可导；

②若函数在x0点连续，且在x0的邻域内（x0除外）可导，则

a．当存在时，设其为A，函数f（x）在x0点可导，且；

b．当不存在时，要用定义判断；

c．当与都存在，但不相等时，函数f（x）在x0点不可导．

2．隐函数的导数

设y＝y（x）是由方程F（x，y）＝0所确定的可导函数，为求得，可

在方程F（x，y）＝0两边对x求导，可得到一个含有的方程，从中解

出即可．

3．由参数方程所确定的函数的导数

参数方程

（1）一阶导数

其中，φ（t）和ψ（t）都可导，且．

（2）二阶导数

其中，φ（t）和ψ（t）二阶可导，且．

4．反函数的导数

如果函数x＝f（y）在区间Iy内单调、可导，且，则它的反函数

在区间内也可导，且

四、微分中值定理

1．罗尔定理

如果函数f（x）满足：

（1）在[a，b]上连续；

（2）在（a，b）内可导；

（3），

则在（a，b）内至少有一点使得

2．拉格朗日中值定理

如果函数f（x）满足：

（1）在[a，b]上连续；

（2）在（a，b）内可导，

则在（a，b）内至少有一点，有

3．柯西中值定理

如果函数f（x）及F（x）满足：

（1）在闭区间[a，b]上连续；

（2）在开区间（a，b）内可导；

（3）对任意；

（4）F（b）≠F（a），

则在（a，b）内至少有一点，有

4．泰勒定理

如果函数f（x）在x0处具有n阶导数，则存在x0的一个邻域，对于该邻域

内的任意x，有

其中

五、函数的极值、最大值和最小值

1．函数的极值及其求法

（1）极大值

设函数f（x）在点x0的某邻域U（x0）内有定义，如果对于去心邻域

内的任一x，有，则称f（x0）是函数f（x）的一个极大值．

（2）极小值

设函数f（x）在点x0的某邻域U（x0）内有定义，如果对于去心邻域

内的任一x，有，则称f（x0）是函数f（x）的一个极小值．

2．求f（x）的极值点和极值的步骤

若函数f（x）在所讨论的区间内连续，且除个别点外处处可导，则：

（1）求出导数；

（2）求出f（x）的全部驻点与不可导点；

（3）考察的符号在每个驻点或不可导点的左、右邻近的情形，以

确定该点是否为极值点；如果是极值点，进一步确定是极大值点还是极

小值点；

（4）求出各极值点的函数值，就得函数f（x）的全部极值．

3．函数单调性的判定方法

设函数y＝f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，则：

（1）如果在（a，b）内，且等号仅在有限多个点处成立，则y＝

f（x）在[a，b]上单调增加；

（2）如果在（a，b）内，且等号仅在有限多个点处成立，则y

＝f（x）在[a，b]上单调减少．

４．最大值和最小值的求法

若f（x）在闭区间[a，b]上连续，在开区间（a，b）内除有限个点外可

导，且至多有有限个驻点，则：

（1）求出f（x）在（a，b）内的驻点及不可导点；

（2）计算f（x）在上述驻点、不可导点处的函数值及f（a），f（b）；

（3）比较步骤（2）中各值的大小，其中最大的便是f（x）在[a，b]上

的最大值，最小的便是f（x）在[a，b]上的最小值．

六、凹凸性、拐点、渐近线

1．凹凸性的判定定理

设f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内具有一阶和二阶导数，则：

（1）若在（a，b）内，则f（x）在[a，b]上的图形是凹的；

（2）若在（a，b）内，则f（x）在[a，b]上的图形是凸的．

2．拐点

（1）定义

设y＝f（x）在区间I上连续，x0是I内的点．如果曲线y＝f（x）在经过

点（x0，f（x0））时，曲线的凹凸性改变了，则称点（x0，f（x0））为

这曲线的拐点．

（2）求函数的拐点

①求；

②令，解出方程在区间I内的实根，并求出在区间I内不存在

的点；

③对于②中求出的每一个实根或二阶导数不存在的点x0，检查在x0

左、右两侧邻近的符号，则当两侧的符号相反时，点（x0，f（x0））是

拐点，当两侧的符号相同时，点（x0，f（x0））不是拐点．

3．渐近线

设曲线y＝f（x）：

（1）斜渐近线y＝kx＋b

特别地，当k＝0时，曲线有水平渐近线y＝b．

（2）垂直渐近线

若（或者左、右极限趋于无穷），则垂直渐近线为．

4．函数图形的描绘步骤

（1）确定函数y＝f（x）的定义域及函数所具有的某些特性（如奇偶

性、周期性等），并求出函数的一阶导数和二阶导数；

（2）求出一阶导数和二阶导数在函数定义域内的全部零点，并

求出函数f（x）的间断点及和不存在的点，用这些点把函数的定

义域划分成几个部分区间；

（3）确定在这些部分区间内和的符号，并由此确定函数图形的

升降、凹凸和拐点；

（4）确定函数图形的水平、铅直渐近线以及其他变化趋势；

（5）算出和的零点以及不存在的点所对应的函数值，定出图形

上相应的点；为了把图形描绘得准确些，有时还需要补充一些点，然后

结合第三、四步中得到的结果，联结这些点画出函数y＝f（x）的图

形．

七、洛必达法则

1．未定式

如果当（或）时，函数f（x）与F（x）都趋于零或都趋于

无穷大，则极限可能存在、也可能不存在．通常称这种极限为

未定式，并分别简记为或．

2．洛必达法则

（1）时，的洛必达法则

①当时，函数f（x）及F（x）都趋于零；

②在点a的某去心邻域内，都存在且；

③存在（或为无穷大），则

（2）时，的洛必达法则

①当时，函数f（x）及F（x）都趋于零；

②当时，都存在，且；

③存在（或为无穷大），则

注：对于或时的未定式，也有相应的洛必达法则．

（3）使用洛必达法则的注意事项

①如果不是未定式，则不能应用洛必达法则．

②其他还有一些0·∞、∞－∞、00、1∞、∞0型的未定式，也可通过或

型的未定式来计算．

③洛必达法则可以和其他求极限方法结合使用，可以应用等价无穷小或

重要极限．

a．常用的等价无穷小

b．重要极限

八、曲率和曲率半径

1．曲率及其计算公式

（1）平均曲率

设曲线C是光滑的，在曲线C上选定一点M0作为度量弧s的基点．设曲线

上点M对应于弧s，在点M处切线的倾角为α，曲线上另外一点对应于

弧在点处切线的倾角为，则弧段的长度为．当动

点从M移动到时切线转过的角度为，则平均曲率．

（2）曲率

①曲率

平均曲率的极限又称曲线C在点M处的曲率，记作K，即

在存在的条件下，K可表示为

②直角坐标方程的曲率公式

③参数方程

的曲率公式

2．曲率圆与曲率半径

（1）曲率圆

设曲线y＝f（x）在点M（x，y）处的曲率为K（K≠0）．在点M处的曲

线的法线上，在凹的一侧取一点D，使．以D为圆心，为半

径作圆（图2－2），这个圆称为曲线在点M处的曲率圆．

图2－2

（2）曲率半径

曲率圆的半径称为曲线在点M处的曲率半径．

（3）曲率K和曲率半径的关系

专题3一元函数积分学

第1部分考试内容

原函数和不定积分的概念不定积分的基本性质基本积分公式定积分

的概念和基本性质定积分中值定理变上限定积分定义的函数及其导

数牛顿－莱布尼茨公式不定积分和定积分的换元积分法与分部积分

法有理函数、三角函数的有理式和简单无理函数的积分广义积分（无

穷限积分、瑕积分）定积分的应用

第2部分考试要求

（1）理解原函数的概念，理解不定积分和定积分的概念。

（2）熟练掌握不定积分的基本公式，熟练掌握不定积分和定积分的性

质及定积分中值定理。掌握牛顿－莱布尼茨公式。熟练掌握不定积分和

定积分的换元积分法与分部积分法。

（3）会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分。

（4）理解变上限定积分定义的函数，会求它的导数。

（5）理解广义积分（无穷限积分、瑕积分）的概念，掌握无穷限积

分、瑕积分的收敛性判别法，会计算一些简单的广义积分。

（6）掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量（平面图形的面

积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、截面面积为已知的立体

体积、功、引力、压力）及函数的平均值。

第3部分考试大纲详解

一、原函数、不定积分和定积分

1．原函数

如果在区间I上，可导函数的导函数为，即对任意一，都有

，则函数就称为在区间I上的

一个原函数．

2．不定积分

（1）概念

在区间I上，函数的带有任意常数项的原函数称为（或）

在区间I上的不定积分，记作，其中称为积分号，称为被积

函数，称为被积表达式，x称为积分变量．

（2）基本公式

（3）性质

①性质1

设函数的原函数存在，则

注：性质1对于有限个函数都是成立的．

②性质2

设函数的原函数存在，k为非零常数，则

3．定积分

（1）概念

设有常数I，对于任意正数ε，总存在一个正数δ，使得对于区间[a，b]的

任何分法，不论在中怎样选取，只要

δ，总有成立，则称I是f（x）

在区间[a，b]上的定积分，记作．

（2）性质

①性质1

设α与β均为常数，则

注：性质1对于任意有限个函数的线性组合也是成立的．

②性质2

设a＜c＜b，则

注：不论a，b，c的相对位置如何，总有等式

成立．

③性质3

如果在区间[a，b]上f（x）≡1，则

④性质4

如果在区间[a，b]上f（x）≥0，则

a．推论1

如果在区间[a，b]上f（x）≤g（x），则

b．推论2

⑤性质5

设M及m分别是函数f（x）在区间[a，b]上的最大值及最小值，则

4．定积分中值定理

若函数f（x）在[a，b]上连续，则在[a，b]上至少存在一点，有

三、牛顿－莱布尼茨公式、换元积分法和分部积分法

1．牛顿－莱布尼茨公式

其中F（x）是连续函数f（x）在区间[a，b]上的一个原函数．

2．不定积分的换元积分法与分部积分法

（1）不定积分的换元积分法

①第一类换元法

设具有原函数，可导，则有换元公式

②第二类换元法

设是单调的可导函数，并且又设具有原函

数，则有换元公式

其中的反函数．

（2）不定积分的分部积分法

①分部积分法

设函数具有连续导数，则两个函数乘积的导数公式为

移项，得

对这个等式两边求不定积分，得

称为分部积分公式．

注：

②运用分部积分法需注意

a．v要容易求得；

b．要比容易积出；

c．遵循“反对幂指三”原则：“反对幂指三”分别指反三角函数、对数函

数、幂函数、指数函数和三角函数．“反对幂指三”原则是指在用分部积

分法计算积分时，若出现上面相关函数，把被积表达式按照“反对幂指

三”的积分次序，排在前面的看成“u”，排在后面的看成“dv”．

3．定积分的换元法和分部积分法

（1）定积分的换元积分法

①定理

设函数f（x）在区间[a，b]上连续，函数满足条件：

a．；

b．上具有连续导数，且其值域，则有

该公式称为换元公式．

②应用换元公式的注意事项

a．用把原来变量x代换成新变量t时，积分限也要换成相应于新

变量t的积分限；

b．求出的一个原函数后，不必像计算不定积分那样再

要把变换成原来变量x的函数，而只要把新变量t的上、下限分别代

入中然后相减即可；

c．换元公式也可反过来使用，即

d．在使用换元公式中，三角函数在去绝对值或者开根号时要考虑上下

限区间．

（2）定积分的分部积分法

四、有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分

1．有理函数的积分

对能化简成多个真分式之和的有理函数，先化简，然后对每个真分式分

别求积分，最后求出积分和．

2．三角函数有理式积分

（1）万能代换（令）

有关、、之间的转化公式

令，则，．

（2）简单方法（三角变形，换元，分部）

3．简单无理函数的积分

如果被积函数中含有简单根式或可以令这个简单根式为u．

五、变上限定积分及其导数

如果函数f（x）在区间[a，b]上连续，则积分上限的函数

在

[a，b]上可导，并且它的导数

六、反常积分及其审敛法

1．无穷限的反常积分

（1）上的反常积分

设函数f（x）在区间上连续，任取t＞a，作定积分，再求

极限

这个对变上限定积分的算式称为函数f（x）在无穷区间上的反常

积分，记为，即

（2）上的反常积分

设函数f（x）在区间上连续，任取t＜b，算式

称为函数f（x）在无穷区间上的反常积分，记为，即

（3）上的反常积分

①定义

设函数f（x）在区间上连续，反常积分与反常积分

之和称为函数f（x）在无穷区间上的反常积分，记为

，即

②收敛和发散

设函数f（x）在区间上连续，如果反常积分与反常积分

均收敛，则称反常积分收敛，并称反常积分

的值与反常积分的值之和为反常积分的值，否则就称

反常积分发散．

2．无穷限的反常积分审敛法

（1）定理1

设函数f（x）在区间上连续，且若函数

在上有上界，则反常积分收敛．

（2）定理2（比较审敛原理）

设函数在区间上连续，

①如果并且收敛，则

也收敛；

②如果并且发散，则

也发散．

（3）定理3（比较审敛法1）

设函数f（x）在区间上连续，且

①如果存在常数M＞0及p＞1，使得

则反常积分

收敛；

②如果存在常数N＞0，使得

则反常积分

发散．

（4）定理4（极限审敛法1）

设函数f（x）在区间[a，＋∞）上连续，且．

①如果存在常数p＞1，使得，则反常积分

收敛；

②如果（或），则反常积分

发散．

（5）定理5

设函数f（x）在区间[a，＋∞）上连续．如果反常积分

收敛，则反常积分

也收敛．

3．瑕积分

无界函数的反常积分称为瑕积分．

（1）f（x）在上的反常积分

设函数f（x）在区间上连续，点a为f（x）的瑕点．任取t＞a，作定

积分，再求极限

上式称为函数f（x）在区间上的反常积分，记为，即

（2）f（x）在上的反常积分

设函数f（x）在区间上连续，点b为f（x）的瑕点．任取t＜b，算

式

称为函数f（x）在区间上的反常积分，记为，即

（3）f（x）在上的反常积分

①定义

设函数f（x）在区间及区间上连续，点c为f（x）的瑕点．反

常积分与反常积分之和称为函数f（x）在区间[a，b]上的

反常积分，记为，即

②收敛和发散

设函数f（x）在区间及区间上连续，点c为f（x）的瑕点．如

果反常积分与反常积分均收敛，则称反常积分

收敛，并称反常积分的值与反常积分的值之和为反常

积分的值；否则，就称反常积分发散．

4．瑕积分的审敛法

（1）定理1（比较审敛法2）

设函数f（x）在区间（a，b]上连续，且f（x）≥0，x＝a为f（x）的瑕

点．

①如果存在常数M＞0及q＜1，使得

则反常积分收敛；

②如果存在常数，使得

则反常积分发散．

（2）定理2（极限审敛法2）

设函数在区间上连续，且为f（x）的瑕点．

①如果存在常数使得

存在，则反常积分收敛；

②如果

或

则反常积分发散．

七、定积分在几何学上的应用

1．平面图形的面积

（1）直角坐标情形

①设由曲线y＝f（x）及直线x＝a，x＝b（a＜b）与x轴所围成的曲边梯

形的面积是A，则：

a．当f（x）≥0时

b．当f（x）＜0时

②设由曲线y＝f（x）、y＝g（x）及直线x＝a，x＝b（a＜b）与x轴所

围成的曲边梯形的面积是A，则

注：根据区间来去绝对值符号．

（2）极坐标情形

①曲边扇形

由曲线及射线围成的图形称为曲边扇形．

②极坐标的面积公式

2．平面曲线的弧长

（1）参数方程

其中在上具有连续导数，且不同时为零，则

（2）直角坐标方程

y＝f（x）（a≤x≤b）

其中f（x）在[a，b]上具有一阶连续导数，则

（3）极坐标方程

其中在上具有连续导数，则

3．旋转体的体积

（1）绕x轴旋转一周而成的立体的体积

由连续曲线y＝f（x）、直线x＝a、x＝b及x轴所围成的曲边梯形绕x轴

旋转一周而成的立体，其体积公式

（2）绕y轴旋转一周而成的立体的体积

①由连续曲线、直线y＝c、y＝d（c＜d）与y轴所围成的曲边梯

形，绕y轴旋转一周而成的旋转体的体积公式

②由连续曲线y＝f（x）、直线x＝a、x＝b及x轴所围成的曲边梯形绕y

轴旋转一周而成的立体，其体积公式

4．侧面积

曲线y＝f（x）（f（x）≥0）和直线x＝a，x＝b（0≤a＜b）及x轴所围成

区域绕x轴旋转所得旋转体的侧面积为

5．平行截面面积为已知的立体的体积

设定轴为x轴，立体在过点x＝a、x＝b且垂直于x轴的两个平面之间．以

A（x）表示过点x且垂直于x轴的截面面积．A（x）为已知的x的连续函

数，则

八、定积分在物理学上的应用

1．变力沿直线所作的功

变力沿曲线L作的功为．

2．引力

质量分别为m1、m2，相距为r的两质点间的引力的大小为

其中，G为引力系数，引力的方向沿着两质点的连线方向．

3．水压力

（1）水深为h处的压强为，其中是水的密度，g是重力加速度；

（2）面积为A的平板水平地放置在水深为h处，则平板一侧所受的水压

力为P＝p·A．

4．平均值

函数f（x）在区间[a，b]上的平均值

专题4向量代数和空间解析几何

第1部分考试内容

向量的概念向量的线性运算向量的数量积、向量积和混合积两向量

垂直、平行的条件两向量的夹角向量的坐标表达式及其运算单位向

量方向数与方向余弦曲面方程和空间曲线方程的概念平面方程、直

线方程平面与平面、平面与直线、直线与直线的夹角以及平行、垂直

的条件点到平面和点到直线的距离球面母线平行于坐标轴的柱面旋

转轴为坐标轴的旋转曲面的方程常用的二次曲面方程及其图形空间曲

线的参数方程和一般方程空间曲线在坐标面上的投影曲线方程

第2部分考试要求

（1）熟悉空间直角坐标系，理解向量及其模的概念．

（2）熟练掌握向量的运算（线性运算、数量积、向量积），掌握两向

量垂直、平行的条件．

（3）理解向量在轴上的投影，了解投影定理及投影的运算。理解方向

数与方向余弦、向量的坐标表达式，会用坐标表达式进行向量的运算．

（4）熟悉平面方程和空间直线方程的各种形式，熟练掌握平面方程和

空间直线方程的求法．

（5）会求平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的夹角，并会利

用平面、直线的相互关系（平行、垂直、相交等）解决有关问题．

（6）会求空间两点间的距离、点到直线的距离以及点到平面的距离．

（7）了解空间曲线方程和曲面方程的概念．

（8）了解空间曲线的参数方程和一般方程．了解空间曲线在坐标平面

上的投影，并会求其方程．

（9）了解常用二次曲面的方程、图形及其截痕，会求以坐标轴为旋转

轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程．

第3部分考试大纲详解

一、空间直角坐标系

1．坐标分解式

如图4－1所示，，则

设

则

上式称为向量r的坐标分解式，xi、yj和zk称为向量r沿三个坐标轴方向的

分向量．

2．向径

向量称为点M关于原点O的向径．

图4－1

二、向量

1．向量和向量的模

（1）向量的定义

既有大小，又有方向的这一类量称为向量（或矢量）．

（2）向量的模

向量的大小称为向量的模．

2．向量的线性运算

（1）向量的加法

①定义

设有两个向量a与b，任取一点A，作，再以B为起点，作，连

接AC（图4－2），则向量称为向量a与b的和，记作a＋b，即c＝a

＋b．

图4－2

②运算规律

a．交换律a＋b＝b＋a；

b．结合律（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）．

（2）向量的减法（差）

①负向量

a为一向量，与a的模相同而方向相反的向量称为a的负向量，记作－a．

②向量的差

向量b与a的差，即把向量－a加到向量b上，便得b与a的差b

－a．

③向量加法和减法的不等式

（3）向量与数的乘法

①定义

向量a与实数λ的乘积记作λa．

②乘积的模

模．

③乘积的运算规律

a．结合律

b．分配律

3．两向量的数量积

（1）定义

向量a与b的数量积等于|a|、|b|及它们的夹角θ的余弦的乘积，记作a·b，

即

（2）性质

①；

②a·b＝0⇔a⊥b（a、b都为非零向量）．

（3）运算规律

①交换律a·b＝b·a；

②分配律（a＋b）·c＝a·c＋b·c；

③结合律．

（4）两向量夹角余弦的坐标表示式

4．两向量的向量积

（1）定义

，则称向量c为向量a与b的向量积，记作a×b，即c＝a×b，其中θ为a、b

间的夹角．

（2）方向

c的方向垂直于a与b所决定的平面．

（3）性质

a．a×a＝0；

b．a×b＝0⇔a∥b（a、b都为非零向量）．

（4）运算规律

a．b×a＝－a×b；

b．分配律（a＋b）×c＝a×c＋b×c；

c．结合律（λa）×b＝a×（λb）＝λ（a×b）（λ为数）．

（5）向量积的坐标表示式

，则

即

5．两向量垂直、平行的条件

（1）两向量垂直的条件

a⊥b⇔a·b＝0（a、b都为非零向量）．

（2）两向量平行的条件

当向量时，向量相当于，坐标表示式为

即．

6．向量在轴上的投影

（1）定义

如图4－3所示，点O及单位向量e确定u轴．任给向量r，作，再过点

M作与u轴垂直的平面交u轴于点，则称点为点M在u轴上的投影，

向量称为向量r在u轴上的分向量．设，则数λ称为向量r在u轴

上的投影，记作或（r）u．

图4－3

（2）符号表示

向量a在直角坐标系Oxyz中的坐标、、为a在三条坐标轴上的投

影，即

或记作

（3）投影的运算

①，其中为向量a与u轴的夹角；

②

③．

7．方向数与方向余弦

（1）方向数

直线的任一方向向量S的坐标m、n和p称为这个直线的一组方向数．

（2）方向余弦

称为向量r的方向余弦，且．

8．用坐标表达式进行向量的运算

（1）线性运算

设，λ为实数，则

（2）向量积

，则

即

三、平面方程和空间直线方程

1．平面的点法式方程

（1）法线向量

如果一非零向量垂直于一平面，则称这向量为该平面的法线向量．

（2）平面的点法式方程

设平面上一点（）和它的一个法线向量n＝（A，B，C），其

平面方程表达式为

此表达式又称平面的点法式方程.

2．平面的—般方程

方程Ax＋By＋Cz＋D＝0称为平面的一般方程，其中x，y，z的系数就是

该平面的一个法线向量n的坐标，即n＝（A，B，C）.

（1）当D＝0时，平面的一般方程成为Ax＋By＋Cz＝0，它表示一个通

过原点的平面；

（2）当A＝0时，平面的一般方程成为By＋Cz＋D＝0，法线向量n＝

（0，B，C）垂直于x轴，方程表示一个平行于（或包含）x轴的平面；

同理，方程Ax＋Cz＋D＝0和Ax＋By＋D＝0分别表示平行于（或包含）

y轴和z轴的平面；

（3）当A＝B＝0时，平面的一般方程成为Cz＋D＝0或z＝－，法线向

量n＝（0，0，C）同时垂直x轴和y轴，方程表示一个平行于（或重合

于）xOy面的平面．同理，方程Ax＋D＝0和By＋D＝0分别表示一个平

行于（或重合于）yOz面和xOz面的平面．

3．空间直线的—般方程

空间直线L可以看做是两个平面的交线

的方程：A1x＋B1y＋C1z＋D1＝0

的方程：A2x＋B2y＋C2z＋D2＝0

直线L上的任—点的坐标应同时满足这两个平面的方程，即

则称该方程组为空间直线的—般方程．

4．空间直线的对称式方程与参数方程

（1）方向向量

如果—个非零向量平行于—条已知直线，则称该向量为这条直线的方向

向量．

（2）直线的对称式方程

如果直线L上一点和它的一方向向量s＝（m，n，p），则直

线Ｌ的对称式方程（或点向式方程）为

（3）直线的参数方程

令直线的对称式方程

则称方程

为直线的参数方程．

四、夹角

1．平面与平面之间的夹角

（1）定义

两平面的法线向量的夹角（锐角或直角）称为两平面的夹角．

（2）计算公式

设平面的法线向量依次为和，则平面

的夹角应是或两者中的锐角,因此

，则

（3）结论

①互相垂直⇔；

②互相平行或重合⇔．

2．平面与直线之间的夹角

（1）定义

当直线与平面不垂直时，直线和它在平面上的投影直线的夹角（0≤

＜），称为直线与平面的夹角．当直线与平面垂直时，规定直线与平

面的夹角为．

（2）计算公式

设直线的方向向量为s＝（m，n，p），平面的法线向量为n＝（A，B，

C），直线与平面的夹角为，则，因此，

则

（3）结论

①直线与平面垂直⇔；

②直线与平面平行或直线在平面上⇔Am＋Bn＋Cp＝0．

3．直线与直线之间的夹角

（1）定义

两直线的方向向量的夹角（锐角或直角）称为两直线的夹角．

（2）计算公式

直线L1和L2的方向向量依次为和，则的夹角

应是和两者中的锐角，因此，则

（3）结论

①两直线互相垂直⇔；

②两直线互相平行或重合⇔．

五、距离

1．空间两点间的距离

设点和点，则A、B两点间的距离

2．点到直线的距离

平面上的点到平面直线Ax＋By＋C＝0的距离公式

3．点到平面的距离

点到平面Ax＋By＋Cz＋D＝0的距离公式

六、空间曲线及其方程

1．空间曲线的一般方程

设F（x，y，z）＝0和G（x，y，z）＝0是两个曲面的方程，两曲面的交

线为C,则空间曲线C的一般方程为

2．空间曲线的参数方程

称方程组

为空间曲线的参数方程．

3．空间曲线在坐标面上的投影

以曲线C为准线、母线平行于z轴（即垂直于xOy面）的柱面称为曲线C

关于xOy面的投影柱面，投影柱面与xOy面的交线称为空间曲线C在xOy

面上的投影曲线，又称投影．

七、曲面及其方程

1．曲面方程的概念

如果曲面S与三元方程F（x，y，z）＝0有下述关系：

（1）曲面S上任一点的坐标都满足F（x，y，z）＝0；

（2）不在曲面S上的点的坐标都不满足F（x，y，z）＝0，则方程

F（x，y，z）＝0就称为曲面S的方程.

2．曲面的分类

（1）球面方程

①球心在点，半径为R的球面的方程

②球面的一般方程

（2）旋转曲面

①定义

以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲

面，旋转曲线和定直线依次称为旋转曲面的母线和轴．

②分类

a．圆锥面

直线L绕另一条与L相交的直线旋转一周，所得旋转曲面称为圆锥面．

两直线的交点称为圆锥面的顶点，两直线的夹角称为圆锥面

的半顶角．

b．旋转单叶双曲面

将xOz坐标面上的双曲线

绕z轴旋转所成的旋转曲面称为旋转单叶双曲面（图4－4），方程为

图4－4

c．旋转双叶双曲面

将xOz坐标面上的双曲线

绕x轴旋转所成的旋转曲面称为旋转双叶双曲面（图4－5），方程为

图4－5

（3）柱面

①定义

直线L沿定曲线C平行移动形成的轨迹称为柱面，定曲线C称为柱面的准

线，动直线L称为柱面的母线．

②分类

a．圆柱面

凡是通过xOy面内圆上一点M（x，y，0），且平行于z轴的直线l

都在这曲面上，称这曲面为圆柱面（图4－6），圆称为准线，

直线l称为母线．

图4－6

b．抛物圆柱面

方程表示母线平行于z轴的柱面，它的准线是xOy面上的抛物线

，该柱面称为抛物柱面（图4－7）．

图4－7

c．母线平行于x轴的柱面

只含y、z而缺x的方程B（y，z）＝0表示母线平行于x轴的柱面．

d．母线平行于y轴的柱面

只含x、z而缺y的方程G（x，z）＝0表示母线平行于y轴的柱面．

e．母线平行于z轴的柱面

只含x、y而缺z的方程F（x，y）＝0表示母线平行于z轴的柱面．

（4）二次曲面

①定义

把三元二次方程F（x，y，z）＝0所表示的曲面称为二次曲面．

②分类

a．椭圆锥面；

b．椭球面；

c．单叶双曲面；

d．双叶双曲面；

e．椭圆抛物面；

f．双曲抛物面.

专题5多元函数微分学

第1部分考试内容

多元函数的概念二元函数的几何意义二元函数的极限和连续有界闭

区域上多元连续函数的性质多元函数偏导数和全微分的概念及求法全

微分存在的必要条件和充分条件多元复合函数、隐函数的求导法高阶

偏导数的求法空间曲线的切线和法平面曲面的切平面和法线方向导

数和梯度二元函数的泰勒公式多元函数的极值和条件极值拉格朗日

乘数法多元函数的最大值、最小值及其简单应用全微分在近似计算中

的应用

第2部分考试要求

（1）理解多元函数的概念、理解二元函数的几何意义。

（2）理解二元函数的极限与连续性的概念及基本运算性质，了解二元

函数累次极限和极限的关系会判断二元函数在已知点处极限的存在性

和连续性了解有界闭区域上连续函数的性质。

（3）理解多元函数偏导数和全微分的概念了解二元函数可微、偏导数

存在及连续的关系，会求偏导数和全微分，了解二元函数两个混合偏导

数相等的条件了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解全微分形

式的不变性。

（4）熟练掌握多元复合函数偏导数的求法。

（5）熟练掌握隐函数的求导法则。

（6）理解方向导数与梯度的概念并掌握其计算方法。

（7）理解曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，会求它

们的方程。

（8）了解二元函数的二阶泰勒公式。

（9）理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的

必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，

会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值、最小

值，并会解决一些简单的应用问题。

（10）了解全微分在近似计算中的应用

第3部分考试大纲详解

一、多元函数

1．多元函数的概念

设D是Rn的一个非空子集，称映射f：D→R为定义在D上的n元函数，记

作

或

其中点集D称为该函数的定义域，x1，x2，…，xn称为自变量，u称为因

变量．当n≥2时，n元函数就称为多元函数．

2．二元函数的几何意义

二元函数z＝f（x，y）在空间直角坐标系中表示的是一个曲面．

3．二元函数的极限

设二元函数f（P）＝f（x，y）的定义域为D，P0（x0，y0）是D的聚

点．如果存在常数A，对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得当点

时，都有成立，则称常数A为

函数f（x，y）当（x，y）→（x0，y0）时的极限，记作

4．二元函数的连续性

（1）连续性的定义

设二元函数f（P）＝f（x，y）的定义域为D，P0（x0，y0）为D的聚

点，且．如果，则称函数f（x，y）在点

P0（x0，y0）处连续．

（2）二元函数累次极限和极限的关系

①若累次极限和，极限

都存在，则三者相等．

②若累次极限和存在但不相等，则极

限必不存在．

（3）有界闭区域上连续函数的性质

①有界性与最大值最小值定理

在有界闭区域D上的多元连续函数，必定在D上有界，且能取得它的最

大值和最小值．

注：若f（P）在有界闭区域D上连续，则必定存在常数M＞0，使得对一

切，有；且存在，使得

②介值定理

在有界闭区域D上的多元连续函数必取得介于最大值和最小值之间的任

何值．

③一致连续性定理

在有界闭区域D上的多元连续函数必定在D上一致连续．

注：若f（P）在有界闭区域D上连续，则对于任意给定的正数ε，总存在

正数δ，使得对于D上的任意两点P1，P2，只要当|P1P2|＜δ时，都有

成立．

二、偏导数

1．偏导数的定义

设函数z＝f（x，y）在点（x0，y0）的某一邻域内有定义，当y固定在y0

而x在x0处有增量Δx时，相应的函数有增量

如果

存在，则称此极限为函数z＝f（x，y）在点（x0，y0）处对x的偏导数，

记作

函数z＝f（x，y）在点（x0，y0）处对y的偏导数定义为

记作

2．偏导函数

如果函数z＝f（x，y）在区域D内每一点（x，y）处对x的偏导数都存

在，则该偏导数是x，y的函数，称为函数z＝f（x，y）对自变量x的偏

导函数，记作

同理，函数z＝f（x，y）对自变量y的偏导函数，记作

3．高阶偏导数

设函数z＝f（x，y）在区域D内具有偏导数于是在

D内fx（x，y），fy（x，y）都是x，y的函数．如果这两个函数的偏导数

也存在，则称它们是函数z＝f（x，y）的二阶偏导数．按照对变量求导

次序的不同有下列四个二阶偏导数

其中第二、三两个偏导数称为混合偏导数．同样可得三阶、四阶……以

及n阶偏导数．二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数．

4．二元函数两个混合偏导数相等的条件

如果函数z＝f（x，y）的两个二阶混合偏导数及在区域D内连续，

则在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等．

三、全微分

1．全微分存在条件（二元函数可微、偏导数存在及连续的关系）

如果函数z＝f（x，y）的偏导数在点（x，y）连续，则函数在该点

可微分．

2．全微分计算

（1）二元函数z＝f（x，y）的全微分：；

（2）三元函数u＝f（x，y，z）的全微分：．

3．全微分存在的必要条件和充分条件

（1）必要条件

如果函数z＝f（x，y）在点（x，y）可微分，则该函数在点（x，y）的

偏导数与必定存在，且函数z＝f（x，y）在点（x，y）的全微分为

．

（2）充分条件

如果函数z＝f（x，y）的偏导数在点（x，y）连续，则函数在该

点可微分．

4．全微分形式不变性

设函数z＝f（u，ν）具有连续偏导数，则有全微分

注：无论u和ν是自变量还是中间变量，函数z＝f（u，ν）的全微分形式

是一样的，即复合函数的全微分

．

四、多元复合函数偏导数的求导法则

1．一元函数与多元函数复合的情形

如果函数及都在点t可导，函数z＝f（u，ν）在对应点（u，

ν）具有连续偏导数，则复合函数在点t可导，且有

2．多元函数与多元函数复合的情形

如果函数及都在点（x，y）具有对x及对y的偏导数，函

数z＝f（u，ν）在对应点（u，ν）具有连续偏导数，则复合函数z＝

在点（x，y）的两个偏导数都存在，且有

3．其他情形

如果函数u＝φ（x，y）在点（x，y）具有对x及对y的偏导数，函数v＝

ψ（y）在点y可导，函数z＝f（u，v）在对应点（u，v）具有连续偏导

数，则复合函数在点（x，y）的两个偏导数都存在，且

有

五、隐函数的求导法则

1．隐函数存在定理1

设函数F（x，y）在点P（x0，y0）的某一邻域内具有连续偏导数，且

，则方程F（x，y）＝0在点（x0，y0）的某一邻域

内恒能惟一确定一个连续且具有连续导数的函数y＝f（x），它满足条

件y0＝f（x0），并有．

2．隐函数存在定理2

设函数F（x，y，z）在点P（x0，y0，z0）的某一邻域内具有连续偏导

数，且，，则方程F（x，y，z）＝0在点

（x0，y0，z0）的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数

的函数z＝f（x，y），它满足条件z0＝f（x0，y0），并有

3．隐函数存在定理3

设在点的某一邻域内具有对各个变量的连续

偏导数，又，且偏导数所组成的函数行

列式（又称雅可比式）

在点不等于零，则方程组在点

的某一邻域内恒能唯一确定一组连续且具有连续偏导数的函

数，满足条件，并有

六、方向导数与梯度

1．方向导数

设函数f（x，y）在点可微分，则函数在该点沿任一方向l的方向

导数存在，且方向导数为

其中cosα和cosβ是方向l的方向余弦．

2．梯度

在二元函数的情形，设函数f（x，y）在平面区域D内具有一阶连续偏导

数，则对于每一点，都可定出一个向量这向

量称为函数f（x，y）在点的梯度，记作或，

即

其中称为向量微分算子.

3．方向导数与梯度关系

方向el是与方向l同向的单位向量，该向量与梯度在三种特殊情况下的关

系有：

（1）当θ＝0，即方向el与梯度的方向相同时，函数f（x，y）

增加最快．函数在这个方向的方向导数达到最大值，此最大值就是梯度

的模，即

（2）当θ＝π，即方向el与梯度的方向相反时，函数f（x，y）

减少最快，函数在这个方向的方向导数达到最小值，即

（3）当