2023-2024学年云南省大理民族中学高一（下）月考数学试卷（4月份）（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年云南省大理民族中学高一（下）月考数学试卷（4月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若AB=(3,4)，A.(1,3) B.(5,2.已知复数z=3−i1+A.2 B.2i C.−2 3.在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，且bsinA.π6 B.π3 C.5π4.若cos(α+π3)=A.−473 B.475.在△ABC中，若点D满足BCA.AD=13AB+236.下列区间为函数y=2siA.[−π2,π2] B.7.已知A，B，C是平面直角坐标系内的三点，若AB=(2,1)，A.15 B.12 C.152 D.8.若向量a,b满足|a|=4，|b|=3A.−12b B.−13b二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.设z是非零复数，则下列说法正确的是(

)A.若z∈R，则z−∈R B.若zz−=|z|，则|z10.已知向量a=(1,3A.若a//b，则tanα=3

B.若a⊥b，则tanα=−33

11.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=2，A.若b=3，则△ABC有两解 B.若B=45°，则c=三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知复数z满足1+zi=z−i13.设向量a=(x,−4)，b=(1,14.圣⋅索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美.为了估算圣⋅索菲亚教堂的高度，某人在教堂的正东方向找到一座建筑物AB，高约为36m，在它们之间的地面上的点M(B,M,D三点共线)处测得建筑物顶A、教堂顶C的仰角分别是45°和60°，在建筑物顶A处测得教堂顶C的仰角为15°四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

设O为坐标原点，向量OZ1、OZ2、OZ3分别对应复数z1、z2、z3，且z1=a2+(2−a)i，z2=−16.(本小题15分)

已知平面向量a，b的夹角为2π3，且|a|=2，|b|=3，c=λa+b．

17.(本小题15分)

在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cosA−2cosCcosB=2c18.(本小题17分)

“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出.该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答，当△ABC的三个内角均小于120°时，使得∠AOB=∠BOC=∠COA=120°的点O即为费马点；当△ABC有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点为费马点.试用以上知识解决下面问题：

已知△ABC的内角A，B，C19.(本小题17分)

已知O为坐标原点，对于函数f(x)=asinx+bcosx，称向量OM=(a,b)为函数f(x)的伴随向量，同时称函数f(x)为向量OM的伴随函数．

(1)设函数g(x)=sin(x+2π3)+si答案和解析1.【答案】A

【解析】解：设B(x,y)，则AB=(x+2,y+1)=(3,4)，

∴x+2.【答案】C

【解析】解：由题意可得z=3−i1+i=(3−i)3.【答案】B

【解析】解：∵bsinA=3acosB．

由正弦定理可得：sinBsinA=3sinAcos4.【答案】B

【解析】解：由题意得，π3<α+π3<5π6，

又cos(α+π3)=5.【答案】A

【解析】【分析】本题考查了平面向量基本定理的应用，考查了运算转化能力，属于基础题．

由已知可得点D为靠近点C的BC【解答】

解：因为BC=3DC，所以BD=23BC6.【答案】B

【解析】解：要求y=2sin(x+π4)的单调增区间，

可令2kπ−π2≤x+π4≤2kπ+π2(7.【答案】C

【解析】解：因为AB=(2,1)，AC=(3,−6)，

所以AB⋅AC=2×3+1×(−8.【答案】D

【解析】解：由|a|=4，|b|=3，

可得(2a−3b)⋅(2a+b)

=4a9.【答案】AB【解析】解：设z=a+bi，a，b∈R，但a，b不同时为0，则z−=a−bi，可得|z|=|z−|=a2+b2，

对于A：若z=a+bi∈R，则b=0，

故z−=a∈R，A正确；

对于B：∵z−⋅z=(a+bi)(a−bi)=a2+b2=|z|210.【答案】AB【解析】解：向量a=(1,3)，b=(cosα,sinα)，

对于A，由a//b，得sinα=3cosα，因此tanα=3，故A正确；

对于B，由a⊥b，得3sinα+c11.【答案】AB【解析】解：因为a=2，A=π6，由正弦定理可得sinB=bsinAa=34，

又sinB=34>12=sinA，所以△ABC有两解，A正确；

由B=45°，A=30°可得C=105°，sin10512.【答案】1

【解析】解：由1+zi=z−i，

得(1−i)z=1+13.【答案】{x|x【解析】解：向量a=(x,−4)，b=(1,−x)，由a//b得，x×(−x)−1×(−4)=0，所以x=±2．

由已知得，0<〈a,b14.【答案】54m【解析】解：由题可得在直角△ABM中，∠AMB=45°，|AB|=36，

所以|AM|=362，

在△AMC中，∠AMC=180°−60°−45°=75°，∠MA15.【答案】解：(1)由题意可得z1−+z2=a2−1+(1−a)i，

由于复数z1−+z2是纯虚数，则a2−1=01−a≠0，解得a=−1【解析】(1)根据z1−+z2是纯虚数，结合共轭复数、纯虚数的定义求解即可；16.【答案】解：(1)λ=−1时，|c|2=|−a+b|2=(−a+b)2

=a2【解析】(1)先得到|c|2=|−a+b|2=17.【答案】(本题满分为12分)

解：(1)由正弦定理，则2c−ab=2sinC−sinAsinB，

所以cosA−2cosCcosB=2sinC−sinAsinB，

即(co【解析】(1)由正弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式化简已知可得sinC=2sinA，即可得解sinC18.【答案】解：(1)△ABC中，cos2B+cos2C−cos2A=1，

即1−2sin2B+1−2sin2C−1+2sin2A=1，

化简得sin2【解析】(1)根据二倍角公式和正弦定理，以及勾股定理的逆定理，求解即可．

(2)由A=19.【答案】解：(1)g(x)=sin(x+2π3)+sinx=−12sinx+32cosx+sinx=12sinx+32