陕西省西安市鄠邑区2023-2024学年高三下学期高考模拟测试数学（文科）试题（含答案）

年普通高等学校招生全国统一考试数学模拟测试（文科）考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分．考试时间120分钟．2．请将各题答案填写在答题卡上．3．本试卷主要考试内容：高考全部内容．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，则（）A． B． C． D．2．在复平面内，对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．已知向量，，，则（）A．－3 B．－1 C．1 D．34．若过点可作圆的两条切线，则a的取值范围是（）A． B． C． D．5．已知和是两个平面，a，b，c是三条不同的直线，且，，，则“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件6．已知是等比数列的前n项和，，，则（）A．12 B．14 C．16 D．187．已知，函数，，，则的最小值为（）A． B． C． D．8．已知变量x与y具有线性相关关系，在研究变量x与y之间的关系时，进行实验后得到了一组样本数据，，…，，，，利用此样本数据求得的线性回归方程为，现发现数据和误差较大，剔除这两对数据后，求得的线性回归方程为，且，则（）A．8 B．12 C．16 D．209．已知是函数的极小值点，则a的取值范围为（）A． B． C． D．10．设抛物线E：的焦点为F，过点的直线与抛物线E相交于A，B两点，，，则（）A．1 B．2 C．4 D．2211．已知定义在上的奇函数满足，则（）A．0 B．105 C．210 D．22512．如图，用相同的球堆成若干堆“正三棱锥”形的装饰品，其中第1堆只有1层，且只有1个球；第2堆有2层4个球，其中第1层有1个球，第2层有3个球；…；第n堆有n层共个球，第1层有1个球，第2层有3个球，第3层有6个球，…．已知，则（）A．2290 B．2540 C．2650 D．2870第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．13．某厂有甲、乙、丙三个车间生产同一种零件，经统计，甲车间生产的100个零件中的次品率为0.03，乙车间生产的200个零件中的次品率为0.02，丙车间生产的200个零件中的次品率为0.03，则该厂零件的次品率的估计值为______．14．若x，y满足约束条件，则目标函数的最大值为______．15．已知，分别是双曲线的左、右焦点，过的直线交双曲线的左支于A，B两点，，，则双曲线的离心率为______．16．在半径为5的球体内部放置一个圆锥，则该圆锥体积的最大值为______．三、解答题：共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）为提升基层综合文化服务中心服务效能，广泛开展群众性文化活动，某村干部在本村的村民中进行问卷调查，将他们的成绩（满分：100分）分成7组：，，，，，，．整理得到如下频率分布直方图．（1）求a的值并估计该村村民成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；（2）从成绩在，内的村民中用分层抽样的方法选取6人，再从这6人中任选2人，求这2人成绩不在同一组的概率．18．（12分）在四棱锥中，平面平面ABCD，，，，．（1）证明：．（2）若为等边三角形，求点C到平面PBD的距离．19．（12分）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，．（1）求角A的大小；（2）若，的面积为，求的周长．20．（12分）已知函数．（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若当时，恒成立，求a的取值范围．21．（12分）已知椭圆C的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过，两点．（1）求椭圆C的方程．（2）A，B是椭圆C上两个动点，D为椭圆C的上顶点，是否存在以D为顶点，AB为底边的等腰直角三角形？若存在，求出满足条件的三角形的个数；若不存在，请说明理由．（二）选考题：共10分．请考生从第22，23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一个题目计分．22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为．（1）求直线l和曲线C的直角坐标方程；（2）若直线l和曲线C恰有一个公共点，求．23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）已知函数．（1）若，求不等式的解集；（2）对于任意的，都有，求a的取值范围．2024年普通高等学校招生全国统一考试数学模拟测试参考答案（文科）1．B因为，，所以．2．C因为，所以在复平面内对应的点为，位于第三象限．3．A由，可得，所以，解得．4．C圆，即圆，则，解得．过点有两条切线，则点P在圆外，即，解得．故．5．A当时，，所以，又，所以成立，当时，若a与c相交，则b与c异面，所以“”是“”的充分不必要条件．6．B设等比数列的公比为q，则，则，所以．7．B由题可知直线是图象的一条对称轴，则，解得，，因为，所以的最小值为．8．C设没剔除两对数据前的x，y的平均数分别为，，剔除两对数据后的x，y的平均数分别为，．因为，所以，则，因为两对数据为和，所以，所以，所以，解得．9．A，令，可得或．因为是的极小值点，所以，解得，则a的取值范围为．10．B设直线AB的方程为，，，联立，可得，所以，，则．因为，，所以，，则，解得或．因为，所以．11．C因为是奇函数，所以．由，可得，则．因为，，所以．12．D在第堆中，从第2层起，第n层的球的个数比第层的球的个数多n，记第n层球的个数为，则，得，其中也适合上式，则．在第n堆中，，当时，，解得．13．0.026该厂零件的次品率的估计值为．14．9画出可行域（图略）知，当l：过点时，z取得最大值，且最大值为9．15．由题可设，，由余弦定理可得，解得，因为，所以，即．在中，，，，所以，解得，则所求双曲线的离心率为．16．设圆锥的底面半径为r，高为，则，所以该圆锥的体积，．当时，，当时，，故当时，V取得最大值，且最大值为．17．解：（1）由图可知，，解得．该村村民成绩的平均数约为．（2）从成绩在，内的村民中用分层抽样的方法选取6人，其中成绩在内的村民有人，记为A，B，则成绩在内的村民有4人，记为a，b，c，d．从中任选2人，有AB，Aa，Ab，Ac，Ad，Ba，Bb，Bc，Bd，ab，ac，ad，bc，bd，cd，共15种情况，其中成绩不在同一组的情况有Aa，Ab，Ac，Ad，Ba，Bb，Bc，Bd，共8种，故这2人成绩不在同一组的概率为．18．（1）证明：因为，，所以，，由余弦定理可得，所以，则．因为平面平面ABCD，且平面平面，，所以平面PAD．因为平面PAD，所以．（2）解：过点P作，因为平面平面ABCD，且平面平面，所以平面ABCD．在中，，．设点C到平面PBD的距离为h，，则，解得，所以点C到平面PBD的距离为．19．解：（1），，所以，所以，则．（2）因为的面积为，所以，解得．由余弦定理可得，因为，所以，解得，．所以的周长为．20．解：（1）当时，，则．又，所以切线方程为，即．（2）．当时，在上恒成立，则在上单调递增，又，所以恒成立，满足题意；当时，，，不符合题意．综上，a的取值范围为．21．解：（1）设椭圆C的方程为，由椭圆C过点，，得，解得，，所以椭圆C的方程为．（2）存在以D为顶点，AB为底边的等腰直角三角形，个数为3．由题可知，设直线AD的方程为，不妨令，联立方程，得，，又因为，所以，所以．又直线BD与直线AD垂直，所以，则，化简可得，即，解得或或，故存在3个以D为顶点，AB为底边的等腰直角三角形．22．解：（1）消去参