极坐标方程与直角方程互化

关于极坐标方程与直角方程互化在平面直角坐标系中，方程x=1和y=1分别表示什么几何图形？在极坐标系中，方程ρ=1表示什么几何图形？第2页,共29页，2024年2月25日，星期天3、求曲线方程的步骤。复习回顾1、直角坐标系和极坐标系中怎样描述点的位置？2、曲线的方程和方程的曲线（直角坐标系中）定义？第3页,共29页，2024年2月25日，星期天问题1：在直角坐标系中，以原点O为圆心,1为半径的圆的方程是什么？

在直角坐标平面上,曲线可以用x、y的二元方程f(x,y)=0来表示，这种方程也称为曲线的直角坐标方程。知识探究第4页,共29页，2024年2月25日，星期天问题2：在极坐标系中，以极点O为圆心,1为半径的圆的方程是什么？知识探究问题3：曲线上的点的坐标都满足这个方程吗？以极点O为圆心,1为半径的圆上任意一点极径为1，反过来，极径为1的点都在这个圆上。因此,以极点为圆心,1为半径的圆可以用方程ρ=1来表示.在极坐标平面上,曲线也可以用关于r、q的二元方程f(r,q)＝0来表示,这种方程称为曲线的极坐标方程。第5页,共29页，2024年2月25日，星期天在极坐标系中，由于点的极坐标表示不唯一，因此，在极坐标系中，曲线上的点的极坐标中只要有满足曲线方程的坐标，但不要求曲线上的点的任意一个极坐标都满足方程。第6页,共29页，2024年2月25日，星期天定义：一般地,如果一条曲线上任意一点都有一个极坐标适合方程f(r,q)＝0

；

反之,极坐标适合方程f(r,q)＝0的点在曲线上,那么这个方程称为这条曲线的极坐标方程,这条曲线称为这个极坐标方程的曲线.1.曲线的极坐标方程,注意:由于点的极坐标表示不唯一，导致曲线的极坐标方程也不唯一。

如：以极点O为圆心，1为半径的圆可以用方程r=1表示，也可以用方程r=-1表示.第7页,共29页，2024年2月25日，星期天例1：求下列极坐标方程表示的曲线第8页,共29页，2024年2月25日，星期天第9页,共29页，2024年2月25日，星期天第10页,共29页，2024年2月25日，星期天第11页,共29页，2024年2月25日，星期天第12页,共29页，2024年2月25日，星期天第13页,共29页，2024年2月25日，星期天第14页,共29页，2024年2月25日，星期天第15页,共29页，2024年2月25日，星期天第16页,共29页，2024年2月25日，星期天第17页,共29页，2024年2月25日，星期天第18页,共29页，2024年2月25日，星期天第19页,共29页，2024年2月25日，星期天第20页,共29页，2024年2月25日，星期天4.已知直线的极坐标方程为ρsin(θ+)=，求点A(2，)到这条直线的距离.

【解析】直线的极坐标方程

ρsin(θ+)=化为直角坐标得

ρ(sinθcos+cosθsin)=，即ρsinθ+ρcosθ=1第21页,共29页，2024年2月25日，星期天由，得直线的直角坐标方程为x+y=1，即x+y-1=0.由，得点A的直角坐标为(2,-2)，所以点A到这条直线的距离第22页,共29页，2024年2月25日，星期天【例1】指出下列方程所表示的曲线的形状.(1)ρcos(θ-)=2;(2)ρ2cos2θ=3;(3)ρ2-3ρcosθ+6ρsinθ-5=0;(4)ρ=.极坐标方程与直角坐标方程的互化第23页,共29页，2024年2月25日，星期天【解析】(1)原方程变形为,

所以,即,

它表示倾斜角为150°，且过点(4，0)的直线.

(2)原方程变形为ρ2(cos2θ-sin2θ)=3,所以x2-y2=3,

它表示中心在原点，焦点在x轴上的等轴双曲线.第24页,共29页，2024年2月25日，星期天(3)原方程变形为x2+y2-3x+6y-5=0,它表示圆心为,半径为的圆.(4)原方程变形为ρ+ρsinθ=2,所以

,所以x2+y2=4-4y+y2,即x2=-4(y-1),它表示顶点为(0,1),开口向下的抛物线.第25页,共29页，2024年2月25日，星期天点评这类题多采用化生为熟的方法，即常将极坐标方程化为普通方程，再进行判断.第26页,共29页，2024年2月25日，星期天1.(2011·南通中学期末卷)

在极坐标系中，已知曲线C1：ρ=12sinθ，曲线C2：

ρ=12cos(θ-).(1)求曲线C1和C2的直角坐标方程；

(2)若P、Q分别是曲线C1和C2上的动点，求PQ的最大值.第27页,共29页，2024年2月25日，星期天

【解析】(1)因为ρ=12sinθ,所以ρ2=12ρsinθ,

所以x2+y2-12y=0，即曲线C1的直角坐标方程为x2+(y-6)2=36.

又因为ρ=12cos(θ-)，所以ρ2=12ρ(cosθcos+sinθsin)，所以x2+y2