二次函数中的数形结合

关于二次函数中的数形结合

“数”与“形”是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化。

数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的。

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二次函数图象的几何特征与数量特征

紧密结合，体现了数形结合的思想与方法.

二次函数的图象、性质蕴含信息丰富，能培养收集、整理和加工信息的能力，因此成为近年来中考的热点.

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信息从图象中来

____二次函数中的数形结合

第4页,共30页，2024年2月25日，星期天一．二次函数的图象特征与系数符号的关系

1.a的作用

(1)决定开口方向：

a>0开口向上；a<0开口向下；

(2)决定开口的大小：

∣a∣越大，抛物线的开口越小．

2.b的作用：

b的作用与抛物线的顶点及a有关

（1）若b与a同号,则顶点在y轴的左边；（2）若b与a异号，则顶点在y轴的右边；（3）若b=0,则顶点在y轴上，

左同右异第5页,共30页，2024年2月25日，星期天

3.c的作用c是抛物线与y轴交点的纵坐标．

（1）抛物线与y轴交于正半轴c>0；（2）抛物线与y轴交于负半轴c<0；（3）抛物线过原点

c=04.a+b+c的作用当x=1时,y=a+b+c

（1）抛物线与x轴交于（1，0）则a+b+c=0；（2）若x=1时y>0，则a+b+c>0

（3）若x=1时y<0，则a+b+c<05.a-b+c的作用当x=-1时,y=a-b+c

（1）若抛物线与x轴交于（-1，0)则a-b+c=0．（2）若x=-1时y>0，则a-b+c>0；（3）若x=-1时y<0，则a-b+c<0．第6页,共30页，2024年2月25日，星期天6.b2－4ac的作用

确定图象与x轴是否相交．(1)抛物线与x轴有两个交点△＞0

(2)抛物线与x轴有一个交点△=0

(3)抛物线与x轴没有交点△＜0第7页,共30页，2024年2月25日，星期天二.二次函数图象与性质的应用1.由抛物线的位置确定a，b，c的符号；由a，b，c符号确定抛物线的位置.例1二次函数y=ax2+bx+c的图象如图，则下列关系判断正确的是（）

A．ab<0 B．bc<0C．a+b+c>0D．a-b+c<0D第8页,共30页，2024年2月25日，星期天练习1．已知：a＜0,b＞0,c＞0那么抛

物线y=ax2+bx+c的顶点在（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限A第9页,共30页，2024年2月25日，星期天2.判断同一直角坐标系的函数图象例2抛物线y=ax2+bx+c图象如图所示，则一次函数y=-bx-4ac+b2与反比例函数在同一坐标系内的图象大致为（）

（2010甘肃兰州）D第10页,共30页，2024年2月25日，星期天练习2.

在同一平面直角坐标系中，一次函数

y=ax+b和二次函数y=ax2+bx+c的图象可能为()A第11页,共30页，2024年2月25日，星期天3.二次函数增减性

例3

二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，若点A（1，y1）、B（2，y2）是它图象上的两点，则y1与y2的大小关系是（ ）A.y1＜y2

B.y1＝y2．

C．y1

＞y2

D．不能确定（09深圳）C第12页,共30页，2024年2月25日，星期天练习3下列四个函数图象中，当x＞0时，y随x的增大而增大的是（）（2010浙江衢州）C第13页,共30页，2024年2月25日，星期天4.抛物线的平移例4把抛物线y=–x2向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的表达式（）（2010宁夏回族自治区)A.y=–(x–1)2+3B.y=–(x+1)2+3C.y=–(x–1)2–

3D.y=–(x+1)2–

3

平移：形状和开口方向不变，即a不变.

规律：“左加右减”；“上加下减”．B第14页,共30页，2024年2月25日，星期天练习4把抛物线y=x2+bx+c的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式为y=x2－4x＋5，则b、c的取值为（）

（2010年贵州毕节改编题）

A．b=2，c=4

B．b=1，c=2C．b=–10，c=28D.b=–10，c=24A第15页,共30页，2024年2月25日，星期天

5.由图象信息求抛物线的解析式

例5如图，抛物线y=x2+bx+c

与x轴交于A（-1，0），

B（3，0）两点．求该抛物线的表达式；第16页,共30页，2024年2月25日，星期天解法一∵抛物线y=x2+bx+c过点A（-1，0）和点B（3，0）∴

∴所求抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3解法二依题意得抛物线的对称轴为：直线x=1∴设所求抛物线的解析式为y=(x-1)2+k

∵该抛物线过点B（3，0）∴4+k=0∴k=-4∴y=(x-1)2-4即y=x2﹣2x﹣3解法三抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（-1，0），B（3，0）两点．

∴所求抛物线的解析式为y=(x+1)(x-3)=x2﹣2x﹣3

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练习5（四川成都）如图所示的抛物线是二次函数的图象，那么抛物线的解析式

为

．第18页,共30页，2024年2月25日，星期天

小结：

1.二次函数的图象特征与系数符号的关系

2.二次函数图象与性质的应用

3.巧妙地进行“数”与“形”的相互转化

4.重视图形信息的收集、整理和加工

5.培养思维能力,形成良好的数学思维习惯

回头一看，我想说…第19页,共30页，2024年2月25日，星期天提高题1.(山西)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示.有下列结论:

①

b2－4ac＜0

②ab＞o③a-b+c=0④4a+b=0⑤当y=2时,x只能等于0.其中正确的是()A.①④B.③④C.②⑤D.③⑤B第20页,共30页，2024年2月25日，星期天2.

二次函数的图象如图所示，下列几个结论①对称轴为直线x=2;②当y≤0时,x＜0或x＞4；③函数解析式为y=－x(x－4)；④当x≤0时，y随x的增大而增大.其中正确的结论有________

（2010广西百色）①③④第21页,共30页，2024年2月25日，星期天3.（贵州省贵阳）二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)

的图象如图所示，根据图象解答下列问题：（1）写出方程ax2＋bx＋c=0的两个根（2）写出不等式ax2＋bx＋c＞0的解集（3）写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围．（4）若方程ax2＋bx＋c=k有两个不相等的实数根，求k的取值范围．解：（1）x1=1x2=3（2）1＜x＜3（3）x＞2

（4）k＜2第22页,共30页，2024年2月25日，星期天知识的升华独立作业祝你成功！

A类《分层》P38---P39的选择题及填空题;

补充提高题

B类《分层》P38---P39的选择题及填空题

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谢谢指导!

数学缔造完美第24页,共30页，2024年2月25日，星期天

课后练习：1.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则下列结论正确的是()

（2010福建福州）

A．a＞0B．c＜0C．b2－4ac＜0D．a＋b＋c＞0D第25页,共30页，2024年2月25日，星期天2.（江西省中考题）已知二次函数的部分图象如图所示则关于的一元二次方程

的解为

．，；第26页,共30页，2024年2月25日，星期天3．（2010河北）如图，已知抛物线的对称轴x=2，点A，

B均在抛物线上，且AB与x轴平行，其中点A的坐标为（0，3），则点B的坐标为（）

A．（2，3）

B．（3，2）

C．（3，3）

D．（4，3）D第27页,共30页，