2020-2021学年唐山市高一年级上册期末数学试卷(含解析)

2020-2021学年唐山市高一上学期期末数学试卷

一、单选题(本大题共8小题，共40.0分)

1.己知全集U=R,4={x|0<x<2},B={x|xNl},则AU(CuB)=()

A.(0,1)B.(0,+oo)C.(-oo,l)D.(一8,2)

2.化简sin(a+今•cos(a-当•tang-a)的结果是()

A.1B.sin2aC.-cos2aD.-1

3.下列命题正确的是()

A.在△ABC中，角4,B,C的对边分别是a,b,c,则a>b是cos4<cosB的充要条件

B.已知p：W>°'则rP：^77-0

C.命题p：对任意的xeR,%2+x+1>0,则-ip：对任意的％eR,%2+x+1<0

D.存在实数xeR,使sinx+cosx=]成立

4.设m,nez,已知函数f(x)=log2(-|%|+4)的定义域是值域是[0,2],若函数g(x)=

2lx-“+TH+1有唯一•的零点，则m+n=()

A.2B.-1C.1D.0

5.已知集合4={x}2x>1},B={x|0<x<1),则。B=()

A.(0,1)B.(0,1]C.(l,+8)D.[l,+8)

6.已知基函数/(%)=由针的图象过点(2,8),设a=f(V力,b=f(2),c=f(bi2),则()

A.c<a<bB.c<b<aC.b<c<aD.a<b<c

7.已知函数〃x)=2mx+4若在[一2,1]上存在%。，使f(Xo)=。，则实数小的取值范围为()

A.[-1,4]B.(-oo,-2]U[1,+co)

C.[-1,2]D.[-2,1]

8.<Iny"是婚<4的()

A.充分非必要条件B.必要非充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

二、多选题(本大题共4小题，共20.0分)

9.已知定义在R上的函数/(x)满足/Xx)+/(-x)=0,+6)=-/(%),且对任意的%i，x2G

[-3,0],当时，都有Xl/Ol)+X2/XX2)<XJ(X2)+则以下判断正确的是()

A.函数f(%)是偶函数B.函数/(%)在［-9,-6］单调递增

C.%=3是函数/(%)的对称轴D.函数/(%)的最小正周期是12

10.下列说法中，正确的有()

A,若a<b<0,则ab>b2

B.若a>b>0,贝修>：

ab

C.若对V%€(0,+8),x+恒成立，则实数m的最大值为2

D.若Q>0,b>0,a+b=l,则工+9的最小值为4

ab

11.若将函数/(乃=馆5(2%+5)的图象向右平移三个单位长度，得到函数9(©的图象，则下列说法

正确的是()

A.g(x)的最小正周期为兀B.g(x)在［一弓，9上的最大值为1

C.久是函数g(x)图象的对称轴D.g(x)在区间［0苧上单调递减

12.下列函数有两个零点的有()

A./(%)=—x4+x2+2B.g(x)-xex—ex—x2+1

D.t(x)=(3x-3-x)ln|x|

三、单空题(本大题共3小题，共15.0分)

13.函数y=cosx+cos(x+彳)的最大值是

14.若动直线ax+by=1过点A(b,a),以坐标原点。为圆心，04为半径作圆，则其中最小圆的面积

为.

15.在直角坐标系中，某等腰直角三角形的两个顶点坐标分别为(1,1),(2,2),函数f(x)=Asin^x+

9)(4>0,0<3q,切<今的图象经过该三角形的三个顶点，则/㈤的解析式为=

四、多空题(本大题共1小题，共5.0分)

16.某辆汽车购买时的费用是10万元，每年使用的保险费、高速公路费、汽油费等约为2万元，年维

修保养费用第一年0.1万元，以后逐年递增0.2万元.设这辆汽车使用n(nGN*)年的年平均费用

为f(n).(年平均费用=买车费用+需瞿产生的费用)则f(n)与n的函数关系式/⑺=」1)_；这辆汽

车报废的最佳年限约为_(2)_年.

五、解答题(本大题共6小题，共70.0分)

17.计算下列各式:

1122

⑴(24一(一9.6)。一(3》一三+(1.5厂2；

(2)log3器+句25+国4+7*2

2

(3)求函数y=log2(x-2x+3)的值域，并写出其单调区间.

18.(本小题满分14分)

已知集合4={x|log2(X-a)W2}，8力

(1)若3e＜，求实数4的取值范围；

(2)若(CRB)u.d，求实数a的取值范围.

19.已知函数/(%)=2cosx-sin(x+$+sinx-(cosx—V3sinx).

(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递减区间；

(2)在锐角△ABC中，a,b,c分别是角4、B、C的对边，若/(C)=l,c=VL求△ABC面积的最大

值.

20.某工厂建造一间地面面积为12nl2的背面靠墙的长方体仓库，其顶部总造价为5800元，正面造价

为1200元/爪2,侧面造价为800元/瓶2,如果墙高为3m,且不计背面及底面的费用，设正面底

部边长为x米，则正面底部边长为多少米时，建造此仓库的总造价最低，最低造价是多少元？

21.已知函数/(x)=x2-2\x\-1(—3<x<3).

(1)证明/(X)是偶函数；

(2)画出这个函数的图象；

(3)求函数f(x)的值域.

22.已知cosO=3,8G(0,^).

(1)求cos(0+£)的值；

(2)求比m2。的值.

参考答案及解析

I.答案：D

解析：解：•••U=R,B=[x\x>1),

={x|x<1}>

又4={x|0<x<2}.

AU(CyB)=(-00,2).

故选：D.

直接利用交、并、补集的混合运算求解得答案.

本题考查交、并、补集的混合运算，是基础题.

2.答案：C

解析：解：sin(a+-cos(a-y)-tan(^-a)

=cosa•(—sina)-cota

=—cos2a.

故选：C.

利用诱导公式即可化简得解.

本题主要考查了诱导公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题.

3.答案：A

解析：

本题考查充要条件的性质和应用，解题时要注意余弦函数单调性的合理运用，全称命题与特称命题

的相互转化.要注意两点：1)全称命题变为特称命题；2)只对结论进行否定.

选项A因为4、8是三角形的内角，所以力、BC(0,兀)，在(0,兀)上，y=cosx是减函数.由此知AABC

中，“4>B"«ucosA<cosB”,即可得答案；

选项B,根据命题的否定求解可知不正确：

选项C,根据命题“对任意的x2+x+l>0"是全称命题，其否定是对应的特称命题，从

而得出答案.

选项D,sinx+cosx的最大值为近，而三>或，从而可得结论.

解：对于A,在△ABC中，a>b<^A>B<^>cosA<cosB,

可得a>b是cos4<cosB的充要条件，A正确.

对于B,p：x>-1,则「p：x<-1,而*W0的解集是％V-1,B不正确；

对于C,命题p：对任意的x£R,%2+x+1>0,

则->p：存在xWR,%2+%+1<0,。不正确；

对于。，5讥%+。0$%=7^5也(％+45。)最大值为近，♦・'1>奁，，。不正确.

故选：A.

4.答案：C

解析：解：•・,/(%)=log2(-|x|+4)的值域是[0,2],

・••(一|%|+4)W[1,4]，

一|》|E[—3,0],

|%|e[0,3]—①

若若关于x的方程21xTl+m+l=。有唯一的实数解，

则m=-2,

又由函数/'(%)=log2(-|x|+4)的定义域是[?n,n],

结合①可得n=3,

即：m+n=1,

故选C.

由关于％的方程2l"il+m+1=0有唯一的实数解，我们易得m的值，然后根据函数=

log2(-|x|+4)的定义域是值域是[0,2]，结合函数/'(x)=Iog2(-|x|+4)的性质，可求出n的

值，进而得到答案.

本题考查的知识点是根的存在性及根的个数的判断，对数函数的定义域及对数函数的值域，其中利

用关于x的方程2"可+m+1=0有唯一的实数解，变形得到关于x的方程211-幻+1=一小有唯一的

实数解，即一m为函数y=2lirl+i的最值，是解答本题的关键.

5.答案：D

解析：

分别求出关于4、8的不等式，求出B的补集即可.

本题考查了集合的补集的运算，考查解指数不等式问题，是一道基础题.

解：A={x\2x>1]={x\x>0],

B={x|0<x<1],

CAB={x\x>1},

故选D.

6.答案：A

解析：解：塞函数f(x)=mxn的图象过点(2,8),

所嗯工，

解得m=1,n=8,

所以/(x)=X3,且为定义域R上的增函数；

又仇2<V2<2>

所以/(伍2)</(V2)</(2),

即c<a<b.

故选：A.

根据基函数/(x)的图象过点(2,8)求出m、n的值，写出f(x)的解析式，

判断函数单调性，再判断函数值的大小.

本题考查了事函数的定义与性质的应用问题，是基础题.

7.答案：B

解析：解：由题意知m于0,.•./")是单调函数，

又在［-2,1］上存在&，使/(&)=0，

⑴<0,

即(一4m+4)(2m+4)<0,解得m<-2或m>1.

故选：B.

由题意知函数/(x)必是单调函数，在［-2,1］上存在零点，应有〃-2)与/⑴异号，建立不等关系解不

等式求出数m的取值范围.

本题考查函数的单调性、单调区间，及函数存在零点的条件.解答的关键是根据题意转化成：

人-2»⑴<0.

8.答案：A

解析：解：由bix<"y"得0<x<y,由靖<6、得x<y,

则0<x<y是x<y的充分不必要条件，

即仇x<lny,r是e*<的充分不必要条件，

故选：A.

根据对数函数和指数函数的单调性求出不等式的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判

断即可.

本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合不等式的关系是解决本题的关键.

9.答案：BCD

解析：解：因为/"(%)+f(—x)=0,=-/(%),所以函数为奇函数，故A选项错误；

因为+6)=一/(久)，而/(—x)=所以/(x+6)=/(-X),所以函数的对称轴为x=等=3,

故C选项正确；

因为/(%+6)=-/(*),所以f(x+12)=-f(x+6)=〃x),即/0+12)=/(x),所以f(x)的最小

正周期是12,故。选项正确；

因为对任意的Xi，X2G［-3,0］,当4］刈*2时，都有+%2/(尤2)<+*2/(*1)，

由Xj(Xl)+X2/(X2)<Xi/(X2)+(/)化简得Q1-必)•(/(X1)-/(%2))<0,

所以［3,0］时,/(x)为减函数，

因为函数为奇函数，所以工€［0,3］时,/(%)为减函数,

又因为函数/'(x)关于久=3对称，所以xe［3,6］时，f(x)为增函数.

因为的最小正周期是12,所以x£［一9,一6］的单调性与xe［3,6］时的单调性相同.

故xe［-9,一6］时，f(x)单调递增，故B选项正确.

故选：BCD.

分别函数的奇偶性、周期性、对称性，单调性判断即可.

本题考查了函数的奇偶性、周期性、对称性，单调性，属于中档题.

10.答案：ACD

解析：

利用不等式的性质判断4B；根据基本不等式求最值判断C、D.

本题考查命题的真假判断，不等式的基本性质以及基本不等式的应用，是基础题.

解：若a<b<0,则ab—〃=b(a—b)>0,则ab〉/,所以A正确；

若a>6>0,则2_巴=巴贮<0,所以&<\所以B不正确：

ababab

对V%E(0,4-oo),%4-i>2lx--=2>m恒成立(当且仅当％=1时取等号)，则实数m的最大值为2,

xyjX

所以C正确;

若a>0,b>0,a+b=l,则}+*=(：+}(Q+b)=2+：+注4,当且仅当Q=b=1时取等

号，所以工+：的最小值为4,所以。正确；

ab

故选：ACD.

11.答案：ABC

解析：解：将函数f(x)=cos(2x+勺的图象向右平移g个单位长度，得到函数g(x)=cos(2x*+

")=cos(2x—》的图象，

故g(x)的最小正周期7=零=兀，故A正确；

当工€[-？勺，2x-JGf-=当2x—=0时，g(x)取得最大值为1,故2正确；

当％=工时，g(x)=l,是最值，故C正确；

当xe[0,J2x-=e[-^，5,g(x)没有单调性，故£>错误；

故选：ABC.

由题意利用函数y=4sin(3x+9)的图象变换规律，得到g(x)的解析式，再利用正弦函数的图象和

性质，得出结论.

本题主要考查函数y=4sin(3x+@)的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，属于中档题.

12.答案：ABD

解析:解:对于4,令—X4+%2+2=0,即——x2—2=0,亦即(/-2)(x2+1)=0,解得x=+>/2>

符合题意；

x

对于B,令xe*-e*—/+1=o,gp(x—l)(e—%—1)=0,解得x=1或x=0,符合题意；

对于C,令詈=0,解得x=-l,不符合题意；

对于D,令(3》-3-z)ln|x|=0,则吏-3r=0或ln|x|=0,解得x=0(舍去)或x=±1,符合题意.

故选：ABD.

令解析式为0,然后解方程即可作出结论.

本题考查函数零点与方程根的关系，考查运算求解能力，属于中档题.

13.答案：V3

解析：

本题主要考查两角和与差的余弦公式的应用和与余弦函数的性质，属于基础题.

先根据两角和与差的余弦公式进行展开合并，最后根据余弦函数的性质可得到答案.

解：vy—cosx+cos(x4-§

1V3.

=cosx+-cosx———sinx

3V3

=-cosx———sinx

22

=V3cos(x+》

故y=cosx+cos(%+g)的最大值是旧

故答案为：V3

14答案:7T

解析：试题分析：把点A代入直线方程，求得好的值，进而根据均值不等式求得圆的半径的最小值,

进而求得最小圆的面积.

直线a%+by=1过点4(b,a)

・•・2ab=1

・•・ab=-

2

2

OA=Q2+炉>=2ab=1

**•Smm=71。/2—TT

故答案为：n

15.答案：2sin(^x-^)

Jo

解析：解：等腰直角三角形的第三个顶点可能y

A

的位置如图中的点A,B,C,D,E,F,3

卢

其中力，B,C,。与己有的两个顶点的横坐标重B

2'x1

A

复，舍去，F

1)

若为点E,则点E与点(2,2)的中间位置的点不可

/0

//\

能为(1,1),因此点E也舍去，只有点尸满足题意.-2-10123\4*

此时点(2,2)为最大值点，所以/(为=

+(p),

-2

又0<3<M则?=F>1，

242co

所以点(1,1)，(2,2)之间的图象单调,

将(1,1),(2,2)代入/"(乃的表达式有「"1(3+。)=5,

(sin(2d)+0)=1

3+尹=巳+2kn

所以［6〃,fcez,

2a)+9=—+2kn

*2

n

o)=-

3由1*1<3知8=一£,

所以Zo

(p=------F2kn,k£Z

\6

因此/(x)=2sin(^x-g.

3D

故答案为：2sin(^x-^).

3O

根据图象确定三角形的第三个顶点位置，再由三角函数的图象与性质求解即可.

本题主要考查三角函数的图象与性质，考查学生的识图能力和运算求解能力，考查的核心素养为逻

辑推理与数学运算，属于中档题.

16.答案:尹丹+2

10

解析：解：根据题意，年维修保养费用构成以0.1为首项，0.2为公差的等差数列;

•••n年的维修保养费用为0.In+的罗•0.2；

10+2n+0.1n+n(--1)0.2n2+100n,10,

/(n)=----------------=-------,Fn2=--1----1-2，

n107110n

即f(m=^+T+2,neN*；

•・・加4,当*学即r=10时取“=”；

.•.这辆汽车报废的最佳年限约为10年.

故答案为：-^-+—+2,10.

10n

根据条件可以看出年维修保养费用构成以0.1为首项，0.2为公差的等差数列，由等差数列的前n项和

公式即可求出n年的维修保养费用，而n年的险费、高速公路费、汽油费等为2n万元，从而可以得出

这辆汽车使用n年的总费用，从而可以得出/(n)=E+T+2,n€N*,而根据基本不等式即可求出

n=10时，f(n)取最小值，即得出这辆汽车报废的最佳年限约为10年.

考查等差数列的概念，以及等差数列的前n项和公式，根据实际问题建立函数关系式的方法，基本不

等式用于求最值，清楚基本不等式等号成立的条件.

17.答案：W：(1)(27)-(-9.6)°-(3^)~3+(1.5)~2

48

=$^-1-[(|)3]-5+(|)-2

=1-1-(1)-2+(1)-2

_1

=2；

(2)log3等+句25+旬4+7%2

3

=10g3y+lg(25x4)+2

=log33_4+IglOO+2

=---F4

4

=—15•

41

(3)令t=x2-2x+3,则tN2

2

函数y=Iog2(x-2x+3)=log2t>1,

2

故函数y=log2(x-2x+3)的值域为[1,+8),

Xvt=x2-2x+3在(一8,1]上为减函数，在口,+8)上为增函数，

y=log2t为增函数，

2

故函数y=log2(x-2x+3)的单调递增区间为口,+8),单调递减区间为(一8,1].

解析：(1)根据指数的运算性质，代入可得答案；

(2)根据对数的运算性质，代入可得答案；

(3)利用换元法，结合二次函数的图象和性质及对数函数的图象和性质，可得函数的值域；进而根据

复合函数单调性“同增异减”的原则，可得函数的单调区间.

本题考查的知识点是指数的运算性质，对数的运算性质，复合函数单调性，难度中档.

18.答案:解：(1)若3€力,

则log2(3-<7)<2,

所以0<3-£7<4，

解得-l<dr<3.

(2)J4={x|log2(r-<3?)<2}=(e7,<?+4],

所以CRB=[0,2],

因为CRB=4,所以a<0且a+4"2,

解得-24a<0.

解析：本题主要考查集合的基本运算，以及利用集合关系求参数问题.

(1)利用3e4把x=3代入集合4中的不等式，解关于含a的对数不等式即可得解;

(2)先求CRB,再根据CRB=A,即可求得a的取值范围.

19.答案：解：(1)根据题意，

/(x)=2cosx-sin(x+g)+s<-nx'(cosx—yfSsinx)

=2cosx(^sinx+孚cosx)+sinx-cosx—V3sin2x

=sin2x+\p3cos2x=2sin(2x+g),

・•・函数/(X)的最小正周期为7=y=7T,

令

2/C7TH—2W2x4—3W22/CTT4,k&Z<

解得ZOT+<X<fc/r+V(keZ),

即函数f(X)单调递减区间为即+$而+等(keZ)；

⑵由/'©=2sin{2C+》=1,解得sin(2C+$*，

・；ce(唱，

2C+^=-,得C=[,

364

由余弦定理，得2=a2+Z?2—2ab•.>2ab—\[2ab，

・•・ab£&=2+/，(当且仅当Q=b=，中方时取等号)

因此，△ABC面积的最大值为S=-ab-sinC=ix(2+V2)x—=叵i.

221722

解析：本题给出三角函数的表达式，求函数的周期与单调区间，并依此求三角形面积的最值.着重

考查了三角函数的图象与性质、余弦定理和基本不等式求最值等知识，属于中档题.

(1)利用三角恒等变换公式，化简得f(x)=2sin(2x+》再由三角函数的周期公式和单调区间的公式

解不等式，可得/(x)的最小正周期和单调递减区间；

(2)由函数/(X)的表达式，解出C=*利用余弦定理,2=£12+川-2(1加05(7的式子，结合基本不等式

解出ab<2+&.由此利用三角形的面积公式，可得△4BC的面积的最大