2023年高考考前押题密卷-数学（全国甲卷文科）（全解全析）

2023年高考考前押题密卷（全国甲卷）

数学（文科）全解全析

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如

需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写

在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回

第I卷

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的.

1.（改编）复数z在复平面内对应的点为（Z-I）,则々=（）

z—1

A.1+iB.1-iC.-1+iD.-1-i

【答案】C

【详解】复数z在复平面内对应的点为（2,-1）,则z=2-i

2i2i2i2i(l+i)2i(l+i)

=i(l+i)=-l+i故选：c.

z^l-(2-i)-l-T^i-(l-i)(l+i)--2-

2.已知全集。=卜€2|/-5》-640},集合A={xeZ|x(3-x)W0},8={1,2,4}则集合{-1,5,6}等于()

A.(^A)nBB.Q,(AB)C.AC&3)D.

【答案】B

【详解】由题意知。=卜€2|—14X46}={-1,0,1,2,3,4,5,6},A={xeZ|0<x<3}={0,1.2,3),

所以AuB={0,l,2,3,4},.•.{-l,5,6}=e(AB),故选:B.

3.某公司对2022年的营收额进行了统计，并绘制成如图所示的扇形统计图.在华中地区的三省中，湖北省

的营收额最多，河南省的营收额最少，湖南省的营收额约2156万元.则下列说法错误的是（）

A.该公司2022年营收总额约为30800万元

B.该公司在华南地区的营收额比河南省营收额的3倍还多

C.该公司在华东地区的营收额比西南地区、东北地区及湖北省的营收额之和还多

D.该公司在湖南省的营收额在华中地区的营收额的占比约为35.6%

【答案】D

【详解】A：湖南省的营收额约为2156万元，占比7.00%,

所以2022年营收额约为养±=30800万元，故A正确：

B：华南地区的营收额占比为19.34%,河南省的营收额占比为6.19%,

有多19常34%=3.12,所以华南地区的营收额比河南省的3倍还多，故B正确；

6.19%

C：华东地区的营收额占比为35.17%,西南地区的营收额占比为13.41%,

东北地区的营收额占比为11.60%,湖北的营收额占比为7.29%,

有13.41%+11.60%+7.29%=32.3%<35.17%,故C正确；

D；湖南的营收额占比为7.00%,华中地区的营收额占比为20.48%,

有与骼"=34.2%,故D错误.故选：D.

2U.48%

4.如图，网格小正方形的边长为1,网格纸上绘制了一个多面体的三视图，则该多面体的体积为（）

7

C.—D.

33

【答案】C

【详解】如图，由三视图还原可得，原几何体为三棱台，且有CG，CA,CC,1CB.ACIBC,

因为C4u平面ABC,C8u平面ABC,C4nCB=C,所以CGL平面ABC.

又CC、=2,所以，三棱台的高即为力=CG=2.

又AC=2,BC=4,AG=1，BIG=2,ACIBC,1B.C,,

所以S|=SA8c=gxACxBC=；x2x4=4,S2=S=1x4C,xB^,=1xlx2=l,

所以，由棱台的体积公式V=gN+S2+J^)/7=；x(l+4+2)x2=*故选：C.

5.(改编)从1,2,3,4,5中随机选取三个不同的数，若这三个数之积为偶数，则它们之和不小于9的

概率为()

A.-B.-C.-D.-

3399

【答案】D

【详解】从1，2,3,4,5中随机选取三个不同的数可得基本事件为

(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5),(2,3,4),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5),10种情况,

若这三.个数之积为偶数有(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,4,5),(2,3,4),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5),9种情况,

它们之和大于8共有(1,4,5),(2,3,4),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5),5种情况,

从1,2,3,4,5中随机选取三个不同的数，

若这三个数之积为偶数，则它们之和大于8的概率为P=故选:D.

6.函数=的图象大致为()

【答案】A

1।

【详解】由片r>0,可得—则“X)定义域为(-1,1),

1-X

则/(X)为偶函数，其图像关于y轴轴对称，排除选项CD；

=ln3<0,则排除选项B,正确选项为A.故选：A

1,2］_已L

<2>

7.数列｛q｝中,4=log向5+2)(〃eN*),定义：使q・%・q为整数的数二(%wN)叫做期盼数,则区

间［1,2023］内的所有期盼数的和等于()

A.2023B.2024C.2025D.2026

【答案】D

lg(n+2)

【详解】解：。„=1咆"〃+2)=氤+］,(〃eN*),

49。・…・以・柜•・・^^=]叫伏+2),

--k1g2lg3lg4]g(A+l)以'

又“「生・用,…・冬为整数，；/+2必须是2的"次幕(〃eN*),即幺=2"-2.

人［1,2023］内所有的“幸运数”的和:

S=(2'-2)+(22-2)+(23-2)+(24-2)+...+(2,<)-2)=2(1-2'^20^2026,故选：D.

1-2

8.(改编)在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为f+丁-分=0,若直线y=履-1上存在一点尸，使过

点P所作的圆的两条切线相互垂直，则实数2的值不可能是()

A.—1B.—C.gD.

424

【答案】B

【详解】由d+/-4y=0,得f+(y-2)2=4,则圆心C(0,2),半径r=2,

因为过点P所作的圆的两条切线相互垂直，所以P,C及两切点构成正方形，且对角线归。=2近，

P在直线丫=履-1上，则圆心到直线的距离d2Tw2应,解得左w也或A4-立

Jl+二44

根据选项，满足条件的为B.故选：B.

9.将函数/a)=3sin2x-2图象所有点的纵坐标伸长到原来的1倍，并沿x轴向左平移e(0<9<?个单位

长度，再向上平移2个单位长度得到g(x)的图象.若g(x)的图象关于点传,-|)对称，则函数g(x)在

手)上零点的个数是().

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

44X

【详解】将〃力图象所有点的纵坐标伸长到原来的1倍，得到y=§(3sin2x-2)=4sin2x-1的图象，

继续沿X轴向左平移个单位长度，再向上平移2个单位长度得g(x)=4sin(2x+2e)-1的图象，

•；g(x)的图象关于点6，-|)对称，得>2°=E,keZ.

又,.•Owe：,s=[,g(x)=4sin12x+41].

JJ\Dy3

人c2兀、[,7c3K.137c...2c.1it137r

令，=2x+—,当——<无<一时，有一</<——,由4sinf——=0,可得sinf=-,—<t<——,

344663666

结合函数，=而》的图象可得，sinf=!在<当上只有2个解,

666

即函数g(x)在卜;，亳上零点的个数是2.故选：B.

10.如图，在已知直四棱柱A8CD-A4Gp中，四边形ABCD为平行四边形，E,M,N,P分别是

8C,叫,A。,。的中点，以下说法错误的是()

A.若5c=1,例=&，则。P八BC\B.MN//CD

C.MV〃平面CQED.若A5=BC,则平面AACC，平面A3。

【答案】B

【详解】对于A,连接AA,tanNARA=^=^=&,tanZAPD=—=--->/2

4£/]DC—

TTIT

ZAD.A,=ZAPD,又NARA+NRM=],ZAPD+ZD,A4,即4。_LDP：

QDJ/CD//AB,CR=CD=AB,二.四边形ABCQ为平行四边形，BCJ/AA,OP，BG,A正确;

对于B,连接MP,CM,Ml分别为B%AA中点，又ABHCD,:.MPHCD,

.MNcMP=M,与CD不平行，B错误；

对于C,连接EM,8C，",E分别为中点，.•.£〃〃％€1,EM=3C：

\BJ!CD,A,q=CQ,.•.四边形ABC。为平行四边形，・'•A。〃与C,\D=B,C,

QN为A。中点，・•.N£)=gA。，ND//EM,ND=EM,：.四边形DEMN为平行四边形，：.DE//MN,

又£)Eu平面G°E,平面GO。〃平面CQE,C正确;

对于D,连接AB,AB=BC,四边形ABCD为平行四边形，四边形ABC。为菱形，.•.BDLAC；

MJ•平面ABC。，

又A4tAC=A,44PAeu平面A4CC，二%），平面A41cC，

Q8Du平面ABO,.•.平面A4CCL平面ABC,D正确.故选：B.

11.已知抛物线C:y2=2px（p>0）的焦点为F,直线/：2x+y-6=0与抛物线C交于A3两点，M是线段AB

的中点，过M作V轴的垂线交抛物线C于点N,则下列判断不正确的是（）

A.若/过点F,则C的准线方程为x=-3B.若I过点F,则空胆=3

\AB\

C.若NA-NB=。，则。=得D.若NA-NB=0,则点尸的坐标为（|，。

【答案】D

【详解】设A（A,，X）,B（孙冉），对于A项，若/过点F,则点尸的坐标为（3,0）,所以p=6,

故C的准线方程为x=-3,故A项正确；对于B项，由A可得C的方程为产=12孙

与/的方程联立，消去V并整理，WX2-9X+9=0,则为+々=9,玉/=9,

根据抛物线的定义,可得|心|=3+%,网=3+&,|阴=6+%+&=15.

\AF\-\BF\

所以|4/十忸尸|=9+3（司+电）+工/=9+27+9=45,所以=3,故B项正确;

对于C项，将/的方程与C的方程联立，得2x2-（p+12）x+18=0,所以内+々=与工，X,X2=9.

设N5,%）,则%=上产=_（3+引+6=/，所以即汽修-。

由NA-NB=Q得（%一一］）+（芦+与）（丫2+/）=°，即5占々一（12+学）（&+々）+^-+6°+36=0,

所以19P2+432p-576=0,所以p==，故C正确；

iy

对于D项，由C知，p==,所以焦点产偿,0],故D错误.故选：D.

+6x+5,xV—1

①3

12.已知函数〃x)=<若函数g(x)=[f(x)]2-(,"+2)f(x)+2,〃恰有5个零点，则实数

加的取值范围为()

C.[0,l]D.加

A.(-1,2)B.(-1,0)

【答案】D

【详解】因为函数g(x)=[/(x)]2-(，找+2)f(x)+2”恰有5个零点,

所以方程(叫2-(/«+2"卜)+2m=0有5个根,所以[/(X)-向[/(x)-2]=0有5个根,

所以方程“X)=2和〃力=机共有5个根；

当x>T时,=r(x)=2e<j：+l)e'T，

当一1<%<0时,用x)>0,函数〃x)在(—1,0)上单调递增；

当x>0时，r(x)<0,函数/(X)在(0,+8)I二单调递减;

因为x>-l,所以〃x)>0,/(0)=2,当x>T且xf-1时,/(X)TO,xf+8时,/(x)->0,

当x4-l时，/(X)=|X2+6X+5=|(X+2)2-1,/(T)=；,

故函数/(x)在1]上的图象为对称轴为x=-2,顶点为的抛物线的一段，

根据以上信息，作函数“X)的图象如下：

观察图象可得函数y=/(x)的图象与函数y=2的图象有2个交点，所以方程〃x)=2有两个根,

所以方程/(x)=%有3个异于方程=2的根，

观察图象可得g<〃?<2,所以m的取值范围为2）..故选：D.

第n卷

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.曲线y=/在点（3,4）处的切线方程为.

【答案】8x+y-8=0

…孰、,2/-室_2把2*-12e2x-,x-2e2v-'2e2^'（x-l）

【洋解】因为y'=-------：-------=-------：-----=-----——-,

XXX

2x（：-l）.

所以k=y'l尸一f—=-8,所以切线方程为：y_4=-8（x-：）,

-12

8

即：8x+y-8=0.故答案为：8x+y-8=0.

14.己知向量°,b满足卜|=1,忖=K，a，b的夹角为150。，则2a+8与〃的夹角为.

【答案】600

【详解】因为M=1，W=6a与b的夹角为150°,所以“?=而即150°=-｝

所以|2〃+0|2=（/2〃+0\）2-=442+〃+4〃为=4|々|2+|勿2+4。.》=],

2I_a-(2a-\-b)_1

得|2〃+。|=1,又a,(2a+h)=2a~+〃•/?=—,所以cos2a+b

2同2〃+42'

又因为（a,2a+6）e[0,1801，所以卜,2“+匕）=60°.故答案为：60.

15.写出一个具有下列性质①②的数列｛。,,｝的通项公式为=.①2。向=4+4+2；②数列｛。,,｝的前〃

项和5“存在最小值.

【答案】2〃-6（答案不唯一）

【详解】•.•2。田=%+〃2，；•数列｛%｝是等差数列，

•••数列｛%｝的前"项和S“存在最小值，.•.等差数列｛4｝的公差d>0,«,<0,

显然/=2〃-6满足题意.故答案为：2«-6.

16.已知双曲线C：T=l（a>0"）的左、右焦点分别为耳,6，点是C的一条渐近线上的两点，且

MN=2MO（。为坐标原点），|例N|=|耳闻.若尸为C的左顶点，且NMPN=135。，则双曲线C的离心率为

【答案】75

【详解】设双曲线的焦距为2c（c>0）,

因为MN=2M。，所以ON=MO,所以M，N关于原点对称，所以四边形心为平行四边形，

又|阿=忻6|,所以四边形峙人叫为矩形，因为以耳与为直径的圆的方程为V+y2=c2,

不妨设M,N所在的渐近线方程为y=^x,M（xn,y0），则N（-七，一%）,

由,一二，解得「（r=一：n或「（-=一-一。不妨设M（a,b）,N（—a,—b）,

k+y2.,[y-b[y=-b.

因为P为双曲线的左顶点，所以P（-a,O）,所以忸M|="（a+4+/,|PN|=-（一明2+k=°,

XIA»v|=2c,ZMPN=135°,由余弦定理得|MNV=|MP|2+|NP『-2|MP||NP18sl35°,

即4c2=3+0）2+/+〃+伤・痴+。）2+尸,整理得人=为，所以离心率0=£=，1+勺=石.

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17〜21题为必考题，每个试题考

生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

（-）必考题：共60分.

17.在一ABC中，角A,B,C的对边分别为。，b,c,sinAcosB=2sin4-cosAsinB.

（1）求当的值；（2）若b=3,从下列三个条件中选出一个条件作为已知，使得；.A5C存在且唯一确定，求

sinA

45c的面积.条件①：cos8=y；条件②：sinC=姮；条件③：，ABC的周长为9.

164

【答案】（1）2（2）竺1

【详解】（1）:sinAcos3=2sinA—cosAsin/?,则251114=5104858+85加105=0皿（4+8）=$后。，（3分）

.•.皿=2.（4分）

sinA

（2）由（1）可得sinC=2sinA,由正弦定理可得c、=2〃，（5分）

若选条件①：由余弦定理cosB="-+c-6，即竺二2=11,°分）

2ac4a216

注意到a>0,解得。=2,则c=4,由三角形的性质可知此时存在且唯一确定，（9分）

cosB=77>0,则Bejo,7],可得sinB=Jl-cos,B=,（11分）

16I2）16

:...ABC的面积=；acsinB=gx2x4x4名=（12分）

若选条件②：••">”，可得C>A,则有：

若C为锐角，则cosC=Jl—sin?C=」,由余弦定理cosC=,即2=二+9-44-,

42ah46a

3

整理得：2a2+a-6=0,且a>0,解得〃=万，则c=3；（7分）

若C为钝角，则cosC=-Jl-sin2c=-1,由余弦定理cosC='「+"-c-，即一！=色巴出1,

42ah46a

整理得：2a2-a-6=0,且。>0,解得4=2,则c=4；（10分）

综上所述：此时4?C存在但不唯一确定，不合题意.（12分）

若条件③：由题意可得：a+b+c=9,即a+3+2a=9,解得a=2,则c=4,（6分）

由三角形的性质可知此时J3C存在且唯一确定，（7分）

由余弦定理可得cosB=dr=4+16-9=U>0,（9分）

2ac2x2x416

则可得sin8=Jl-cos?^（11分）

.ABC的面积=^csinB=^-x2x4x•（12分）

18.一企业生产某种产品，通过加大技术创新投入降低了每件产品成本，为了调查年技术创新投入x（单位:

千万元）对每件产品成本y（单位：元）的影响，对近10年的年技术创新投入占和每件产品成本

101101

X0=1.2,3,,10）的数据进行分析，得到如下散点图，并计算得：[=6.8,亍=70,工一=3,汇―=1.6,

/=1Xii=\Xi

10,,

之&=350

片茗

每件产品成本/元

250-

200-*

150-•

100-•

50-•••

••••

02468101214

年技术创新投入/千万元

（1）根据散点图可知，可用函数模型y=2+〃拟合y与X的关系，试建立y关于x的回归方程；

X

（2）已知该产品的年销售额加（单位：千万元）与每件产品成本y的关系为机=-*+3+用累+100.该企

50025y-10

业的年投入成本除了年技术创新投入，还要投入其他成本10千万元，根据（1）的结果回答：当年技术创新

投入x为何值时，年利润的预报值最大？（注：年利润=年销售额一年投入成本）

参考公式：对于一组数据（如匕）、（应，彩）、L、其回归直线口=&+"，的斜率和截距的最小乘估计

分别为:H/3=卫---------a=v-^u•

"_2

i=l

700

【答案】（l）y=10+生⑵当年技术创新投入为20千万元时，年利润的预报值取最大值

x

【详解】（1）解：令“=2，则y关于“的线性回归方程为y=a+#〃，（1分）

X

“__

350-210

由题意可得?,=200,«=y-/?x=70-200x0.3=10.（3分）

X«,2-10w"-OnSn

贝i]y=10+200“，所以，》关于x的回归方程为y=10+H.（5分）

X

（2）解：由y=10+迎可得（7分）

xy-10

年利润M=,"-;<:-10=-工+空+-^-+100-----10=--—（y-20）2+90.8,（9分）

50025y-10y-10500V'

2（v）2f）（）

当y=20时，年利润M取得最大值，此时x=——==20-（11分）

y-1020-1in0

所以，当年技术创新投入为20千万元时，年利润的预报值取最大值.（12分）

19.如图，已知正方体ABC。-48c。的棱长为2,瓦F分别为ADCG的中点.

（1）已知点G满足QR=4QG,求证B,E,G,尸四点共面；（2）求点G到平面8E尸的距离.

DiC,

AB

【答案】（D证明见解析⑵笄

【详解】（1）证明：如图，作中点”，连接尸,

因为是平行四边形，所以8尸〃44,（2分）

在.AHD中，EG为中位线，故EG〃A”，所以EG〃BF,故比瓦G,F四点共面.（5分）

（2）设G到平面8即的距离为点E到平面BG的距离为他=2，（7分）

在△BEP中,BE=BF=6EF=娓.故zXB所的面积九w=子.（9分）

同理SgF=l，由三棱锥G-8EF的体积分_B£F=%_8GF，（10分）

所以芦敏/《Sg-Z得人巫.故C1到平面3殖的距离为迪L（12分）

332121

22

20.已知椭圆C:=V+4V=1（">〃>0）的长轴长为4,A,B是其左、右顶点，M是椭圆上异于4,B的动点，

ab

且《心•3》=-1.（1）求椭圆C的方程；（2）若尸为直线x=4上一点，PA,PB分别与椭圆交于C,。两点.①

证明：直线CO过椭圆右焦点鸟：②椭圆的左焦点为写，求.CFQ的周长是否为定值，若是，求出该定值，

若不是，请说明理由.

【答案】⑴三+汇=1（2）①证明见解析；②定值为8.

43

【详解】（1）由已知得:a=2,A（-2,0）,8（2,0）,

设M（XO，%）（/H±2）,因为M在椭圆上，所以从片+4y=4/①（2分）

%以二万3

因为尤以

x（）+2Xg—2x；-44

将①式代入，得4从一从4=12-3*,得从=3,（4分）

所以椭圆C:片+£=1.（5分）

f

-2

（2）①证明：设「（41）Q*0）,6-:x=-y+2,（6分）

x=-y-2

18/54-2/⑻'

联立方程'得＞C=黑，则（7分）

2'2赤7,C127+*'27+”,

土+匕=1、c=

U3

2

x=-y+2

2"-6-6t]

同理联立方程,2’2，可得%=券，（8分）

“3’则回W/

——+—=1

43

又椭圆的右焦点为鸟（1,0），所以BC=（苓*，袅）6。=（金，券）（9分）

因为幺二MxC-一曳二x==0,说明C,D,片三点共线，即直线CD恒过K点.（10分）

②周长为定值.因为直线CO恒过《点，根据椭圆的定义，所以CFQ的周长为4a=8.（12分）

21.已知函数*x）=±+lnx-2ax,。为常数，且。>0.（1）判断/（x）的单调性；⑵当0<”1时，如果存在

两个不同的正实数机，，且〃，句+"”）=1—4a,证明：m+n>2.

【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析

【详解】（】）*■*/（x）=^-+lnx-2ar.

,A2ax+1

/./（x）=x+--2<7--txe（O,-K»）,记g（x）=f-2or+l,（1分）

XX

①当Aud/—dWO，即OVQWI时，g（x）=X2-A+INO恒成立，

所以尸（x）NO在（0,+8）上恒成立，所以，（力在（0,+。）上单调递增.（2分）

②当△=4a2一4>0，即a>1时,

方程有两个不等实根，且24一“片上4_疝不0,如巫三.+庐J〉。，

22

2

.­.Vxe（0,«-77^i）,x-2ar+l>0,/^x）>0,/（x）单调递增，

Vxe^-T^i^+TT^T）,2g+1<0,.f（x）<0,/（x）单调递减，

Vxe^+>/a2-l,-K»）,x2-2ax+l>0>/"）>。，/（x）单调递增，（4分）

综上所述：①当0<。41时，〃x）在（0,+包）上单调递增，②当a>l时，/（可在（0,“-77二，）和

上单调递增，在二?,。+庐工）上单调递减.（5分）

（2）=.•./（加）+”〃）=l—4a=2/⑴，（6分）

山（1）U］■知0<。<1时，/（X）在（0,+8）上单调递增，故不妨设0<加<1<〃，

要证：m+n>2,即证：（7分）

又•.•当0<"1时，"X）在（0,+8）上单调递增，...只需证”〃）>〃2—〃?），

又••"（加）+/（〃）=1一4%.•.只需证：1一4〃—〃利）>/（2—〃?），（8分）

即证：/（/«）+/（2-/n）<l-4tJ,（0<m<l）,记F（x）=/（x）+/（2-x）,xe（0,l）,

F\x）=f'（x）-f'（2-x）=x+--2a-（2-x）--^—+2a=-2^^-,

X乙X