2022-2023学年江西省南昌外国语学校八年级（上）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年江西省南昌外国语学校八年级（上）期末数学试

卷

一、选择题（本大题共8小题，共24分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.下列运算正确的是()

3

A.a5-r-a5=aB.(a3)2=a6C.a2-a3—a6D.(^)3=y

2.某桑蚕丝的直径约为0.000016米，将0.000016用科学记数法表示是()

A.1.6x10-4B,1.6xIO-5C.1.6x10-6D.16x10-4

3.已知分式黑（a,b均为正数），若分式中每个字母的值都扩大为原来的3倍，则分式的值（）

A.扩大为原来3倍B.缩小为原来的gC.不变D.缩小为原来的2

4.如图，ANBC中，^ACB=90°,沿CD折叠△C8D,使

点B恰好落在4c边上的点E处.若44=22。，贝U/BDC等于

（）

A.44°B,60°C.67°D.77°

5.如图，地面上有三个洞口4、B、C,老鼠可从任意一个洞

口跑出，猫为能同时最省力地顾及到三个洞口，尽快抓住老鼠,

应该蹲在（）

A.AABC三条角平分线的交点

B.△ABC三条边的中线的交点

C.△ABC三条高的交点

D.△ABC三条边的垂直平分线的交点

6.已知:-3=3,则代数式铝筌孑的值是（）

人y人儿yy

A.B.-yC.ID.1

7.现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展.据调查，湘潭某家小型快递

公司的分拣工小李和小江，在分拣同一类物件时，小李分拣120个物件所用的时间与小江分

拣90个物件所用的时间相同，已知小李每小时比小江多分拣20个物件.若设小江每小时分拣

x个物件，则可列方程为（）

.12090n12090—12090—12090

A-=TB..=工C.—=^5D--=

8.如图，等腰三角形4BC的底边BC长为4,面积是16,腰4C的垂直平分线EF分别交AC,2B

边于E,F点.若点。为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则ACDM周长的最小值为（）

A.6B.8C.10D.12

二、填空题（本大题共6小题，共18分）

9.因式分解：%3—2%2+x=.

10.如图，矩形2BCD的周长是20cm,以为边向外作正方形ABEF

和正方形ADGH,若正方形2BEF和2DGH的面积之和68cm2,那么矩形

4BCD的面积是cm2.

EBC

11.如图，D,E,F分另IJ是ATIBC三边上的点，2。平分=8F.A

若ADCE的面积为4,则ADB尸的面积为一./\口

BDC

12.一辆货车送货上山，并按原路返回.上山的速度为x千米/时，下山的速度为y千米/时,

求货车上下山的平均速度千米/时.

13.若关于x的分式方程2--3=/。的解为正数，则小的取值范围是.

14.如图，在RtAABC的纸片中，NC=90。，NB=20。，点。在边BCA

上，以4。为折痕将AADB折叠得到△4DB',AB'与边BC交于点E.若

△DEB为直角三角形，则AB4D的大小是—.,

CB

三、解答题（本大题共8小题，共58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15.（本小题力，）

（1）化简:（x-2y）（x+2y）—%（%+2y）；

⑵解方程：击+“金.

16.（本小题为i）

如图所示，在△ABC中，Z,C=90°,Z-B=30°,/B4C的平分线40交于点。，过点。作OE1

48于点及求证：AACD=ABED.

17.（本小题分）

先化简，再求值：（去-吉）+三|，然后从-1，L3中选择适当的数代入求值•

18.（本小题分）

如图，点。是等边4A8C内部一点，且DB=DC,请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求画图.

（1）在图①中上找一点E,使

（2）若NBDC=2乙4,在图②中48、2C边上分别找点M、N,使MN=gBC.

图②

19.（本小题勿〉

某公司购买了一批4B型芯片，其中4型芯片的单价比B型芯片的单价少9元，己知该公司用

3120元购买2型芯片的条数与用4200元购买B型芯片的条数相等.

(1)求该公司购买的4、B型芯片的单价各是多少元？

(2)若两种芯片共购买了200条，且购买的总费用为6280元，求购买了多少条2型芯片？

20.(本小题分)

现定义运算“△”，对于任意实数a、b都有aAb=a2-2ab+b2,请按上面的运算计算(3久+

5)△(2-久)的值，其中x满足±-|=1.

21.(本小题分)

老师在讲完乘法公式(a±6)2=a2±2ab+/的各种运用后，要求同学们运用所学知识解答:

求代数式/+4%+5最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法：

解：%2+4%+5=(x+2)2+1

(x+2>>0(x+2)2+1>1

即：当0+2)2=0时，久2+4久+5=0+2)2+1的值最小，最小值是1,

请你根据上述方法，解答下列各题：

(1)直接写出：(%+I)2-2的最小值为一；

(2)求出代数式产+10%+28的最小值；

(3)若/+7x+y+2=0,求x+y的最大值.

22.(本小题分)

在等腰直角AABC中，/.BAC=90°,点4,B分别是x轴、y轴上的两个动点，直角边4C交x轴

图1图2图3

⑴如图1,若4(0,1),8(2,0),则点C的坐标为一；

(2)如图2,当等腰直角A/IBC运动到点。恰为AC中点时，连接DE,求证：UDB=MDE；

⑶如图3,若4(—4,0),点B在y轴的正半轴上运动时，分别以08、48为直角边在第一、第二

象限作等腰直角ABOD与等腰直角△ABC,连接CD交y轴于P点，问当点B在y轴正半轴上移

动时，BP的长度是否变化？若变化请说明理由，若不变化，请求出其长度.

答案和解析

1.【答案】B

解：A、a5a5=1,故A不符合题意；

B、（。3）2=。6,故3符合题意；

C、a2-a3=a5,故C不符合题意；

。、（）3=.故。不符合题意；

故选：B.

利用分式的乘除法的法则，同底数基的除法的法则，同底数幕的乘法的法则，幕的乘方的法则对

各项进行运算即可.

本题主要考查分式的乘除法，塞的乘方，同底数暴的乘法，同底数暴的除法，解答的关键是对相

应的运算法则的掌握.

2.【答案】B

解：0.000016=1.6x10-5；

故选：B.

绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为axl（F",与较大数的科学记数法不

同的是其所使用的是负指数幕，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.

本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为ax10-",其中1<|a|<10,n为由原数左边

起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.

3.【答案】B

解：由题意可得：卷3(a+b)_1>叱+^

9ab3ab

•••分式的值缩小为原来的，

故选：B.

根据分式的基本性质进行计算即可解答.

本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解本题的关键.

4.【答案】C

解：△ABC中，ZXCB=90°,Z4=22°,

•••ZB=90°-N4=68°,

由折叠的性质可得：ZCED=ZB=68°,乙BDC=KEDC,

：.AADE=MED-ZX=46°,

180°-44DE

•••Z-BDC—=67°.

2

故选：c.

由△ABC中，乙4cB=90°,乙4=22°,可求得N8的度数，由折叠的性质可得：/.CED=ZB=68°,

ABDC=^EDC,由三角形外角的性质，可求得NADE的度数，继而求得答案.

此题考查了折叠的性质、三角形内角和定理以及三角形外角的性质.此题难度不大，注意掌握折

叠前后图形的对应关系，注意数形结合思想的应用.

5.【答案】D

解：•••三角形三边垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等，

•••猫应该蹲守在△力BC三边垂直平分线的交点处.

故选：D.

根据题意，知猫应该到三个洞口的距离相等，则此点就是三角形三边垂直平分线的交点.

本题考查线段垂直平分线的性质，掌握三角形三边垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等是本

题的解题关键.

6.【答案】D

【解析】

【分析】

本题主要考查分式的加减及分式的值，解题的关键是掌握分式加减运算法则和整体代入思想的运

用.由:一§=3得出煞=3,即％—y=—3xy,整体代入原式=筌集等，计算可得.

【解答】

解：••-1-1=3,

xy

.q=3,

xy

x—y=—3%y,

2(x—y)+3xy

则原式=

(%—y)—xy

—6xy+3xy

—3xy—xy

—3xy

—4xy

3

=4f

故选D

7.【答案】B

解：设小江每小时分拣久个物件，由题意可得,

120_90

x+20x

故选：B.

根据题意，找到相等关系即可列出相应的分式方程，本题得以解决.

本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程.

8.【答案】C

【解析】

【分析】

本题考查的是轴对称-最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键.

连接4),由于△ABC是等腰三角形，点。是底边BC的中点，故ADLBC,再根据三角形的面积公

式求出4。的长，再根据£尸是线段4C的垂直平分线可知，点。关于直线EF的对称点为点4,故4。

的长为CM+M。的最小值，由此即可得出结论.

【解答】

解：连接力D,

・・・△ABC是等腰三角形，点。是底边BC的中点,

•••AD1BC,

11

S—BC=^BC-AD=jx4xXO=16,解得40=8,

・•・EF是线段AC的垂直平分线，

•・•点C关于直线EF的对称点为点力，

4。的长为CM+MD的最小值，

••,ACDM的周长最短=CM+MD+CD=AD+CD

11

2-2-

故选c

9.【答案】穴万—1)2

【解析】解；x3—2/+x—x(x2—2x+1)-x(x—1)2,

故答案为：xQ—1)2.

先提公因式X,再利用完全平方公式，即可解答.

本题考查了提公因式法和公式法进行因式分解，解决本题的关键是熟记提公因式法和公式法.

10.【答案】16

解：设AB=x,AD=y,根据题意，得

(x2+y2=68①

i2(x+y)=20②

由②得：x+y=10,

由①，得(久+y)?—2孙=68,

100—2xy=68,

2xy=100—68=32,

・••xy=16.

矩形4BCD的面积是16cm2.

设出矩形的长与宽分别为久、y,根据两正方形的面积和矩形的周长列出方程，然后结合完全平方

公式求出盯的值，也就是矩形的面积.

熟练运用正方形的面积公式和长方形的周长公式表示等式，再根据完全平方公式变形代值计算，

不需要求出矩形的长与宽的具体数值，只要求出它们的积即可.

11.【答案】4

解：如图，过点D分别作DG14C,DH1AB,垂足分别为G,H,

•.•点。在NB4C的角平分线上，

•••DG=DH,

11

SADCE=AxCExDG—4,SADBF=5xBFxDH,

又•：CE=BF,

，•S^DBF=SMCE=4，

故答案为：4.

过点0分别作0G1AC,DHLAB,垂足分别为G,H,根据角平分线的性质可得。G=根据

11

XXD-

2-CE2-

RFCE=BF,即可得出SADBF=S“DCE~4.

本题考查了角平分线的性质，根据角平分线的性质得出DG=。“，再由三角形的面积计算公式得

出SADBF=SADCE是解答本题的关键.

12.【答案】篝

,2a2xy

解：设上山的路程为a,根据题意得出：罕

xy)

故答案为：篝・

根据路程+速度=时间，以及利用总路程除以总时间得出该货车的平均速度.

此题主要考查了列代数式，根据已知得出总路程以及总时间是解题关键.

13.【答案】m>一3且mH-2

【解析】

【分析】

先利用小表示出X的值，再由X为正数求出山的取值范围即可.

本题考查的是分式方程的解，掌握分式方程分母不为0是解题的关键.

【解答】

解：方程两边同时乘以(久一1)得，2x-3。一1)=一小，

解得久=m+3.

•・•丁为正数，

m+3>0,解得m>—3.

%1,

••・m+3H1,即THH—2.

根的取值范围是租>一3且7nW-2.

故答案为：m>—3且znH—2.

14.【答案】25。或35。

解：根据题意，当夕是直角三角形时，分乙B'DE=90。,=90。两种情况讨论:

①当NB'DE=90。时，如图1,

A

C

-1

由翻折的性质可知NEAD=乙BAD=a乙EAB,乙B'=ZB=20°,

•••乙DEB'=180°-NB'-4B'DE=70°,

又•••乙DEB'=NB+/-EAB,

•••^EAB=乙DEB'-ZB=50°,

•­•ABAD=^EAB=25°

②当NDEB'=90。时，如图2,

•••4EAB=180°-AACB-4B=70°,

1

々BAD=^EAB=35°,

综上所述，NB4D的大小为25。或35。；

故答案为：25。或35。.

当△DE8'是直角三角形时，分N8'DE=90。，NDEB'=90。两种情况求解，根据题意作图，然后分

别根据三角形内角和定理、外角的性质、翻折的性质等计算求解即可.

本题考查了翻折的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质等知识.解题的关键在于明确角

度之间的数量关系.

15.【答案】解：(l)(x-2y)(x+2y)-x(x+2y)

-(%—2y—x)(x+2y)

=(-2y)(x+2y)

=—2xy—4y2；

(2)4i+-=^7F

两边同时乘以/+2%得：3x+(%+2)=4,

去括号得：3%+%+2=4,

移项合并得：4%=2,

系数化为1得：%=|,

将x=，代入/+2%=|力0,

经检验久=3是原分式方程的解.

【解析】(1)先提公因式x+2y,然后运算化简即可；

(2)先将分式方程化为整式方程计算求解，然后将值进行检验即可.

本题考查了整式的混合运算，解分式方程等知识.解题的关键在于正确的计算.

16.【答案】证明：•・•△ABC中，ZC=90°,=30°,NB4C的平分线4D交BC于点D,过点。作

DE14B于点E.

•••^CAD=30°=KB,CD=DE,"CD=乙DEB=90°,

(/.CAD=乙B

在△4。。与4BE。中)乙/CD=乙BED,

CD=DE

••.△ACD=^BED.

【解析】根据直角三角形的性质和全等三角形的判定证明即可.

此题考查全等三角形的判定，关键是根据直角三角形的性质和全等三角形的判定解答.

17.【答案】解：•••(士一一三)七转

x—rxz—1

1+_1(%+1)(%-1)

~x+1x—2x—1x—2

x—1x+1

~x—2x—2

2

=-C

由题意得，xH±1,%H2,

••・当％=3时，

原式=_工

a-Z

=—2.

【解析】此题考查了运用分式的混合运算进行代数式求值的能力，关键是能进行准确的分式计算

化简.

先进行分式的化简，再选取X合适的值进行求解.

18.【答案】解：（1）如图①，连接4。并延长与8C的交点即为点E,理由如下:

连接4D并延长交BC于点E,

•・•△ABC为等边三角形，

AB=AC,

则点4在BC的垂直平分线上,

•••DB=DC,

.••点。在BC的垂直平分线上，

则4D垂直平分BC,

(2)如图②，分别延长CD,BD与AB,AC的交点即为点M、N,理由如下：

•・•△ABC为等边三角形，

•••AB=AC=BC,Z.BAC=AABC=AACB=60°,

贝UNBDC=2ZX=120°,

•••DB=DC,

1

・•・乙DBC=i(180°-乙BDC)=30°,

贝Ij/ABD=乙ABC一乙DBC=30°,

由(1)可知/D垂直平分BC,

1

・•・4BAD=^BAC=30°,

贝此BAD=乙ABD,

AD=BD,

由(1)同理，得CD垂直平分

.•.点M为2B的中点，

同理得点N为AC的中点，

MN为AABC的中位线，

则MN=

【解析】(1)由4B=AC,DB=DC得力D垂直平分BC,所以连接2D并延长与BC的交点即为点E；

-1

(2)由NBDC=244=120°,DB=DC得4DBC=久180。-4BDC)=30°,^ABD=4ABe-

乙DBC=30°,又4。垂直平分BC,所以NB4D=|zBXC=30°,贝必。=BD,由(1)同理得CD垂

直平分AB,则延长CD与AB的交点即为点M,同理也可得到点N.

本题考查作图-应用与设计作图，理解题意，灵活运用所学知识是解决问题的关键.

19.【答案】解：(1)设B型芯片的单价为x元/条，贝必型芯片的单价为(％-9)元/条，

根据题意得：卫义=幽，

x—9x

解得：久=35,

经检验，无=35是原方程的解，且符合题意，

：.x—9—26.

答：4型芯片的单价为26元/条，8型芯片的单价为35元/条.

(2)设购买a条力型芯片，则购买(200-a)条B型芯片，

根据题意得：26a+35(200—a)=6280,

解得：a=80.

答：购买了80条4型芯片.

【解析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，

正确列出分式方程；(2)找准等量关系，正确列出一元一次方程.

(1)设B型芯片的单价为“元/条，则4型芯片的单价为(久-9)元/条，根据数量=总价+单价结合用

3120元购买4型芯片的条数与用4200元购买8型芯片的条数相等，即可得出关于x的分式方程，解

之经检验后即可得出结论；

(2)设购买a条4型芯片，则购买(200-a)条B型芯片，根据总价=单价X数量，即可得出关于a的一

元一次方程，解之即可得出结论.

20.【答案】解:去分母得，%2-3(x-l)=x(x-l),

解得x=|，

经检验，久=5是原方程的解，

则(3久+5)△(2—x)

=(3%+5)2-2(3%+5)(2-x)+(2-%)2

=16%2+24%+9

=(4%+3)2

=(4x|+3)2

=81.

【解析】先解分式方程，再把(3久+5)△(2-x)转化为基本运算，代入久的值计算即可.

本题考查了整式的混合运算，解分式方程，掌握新运算的法则是解题的关键.

21.【答案】一2

解：⑴(x+1)2>0,

(x+1)2—2>—2,

；.(久+1)2—2的最小值为一2,

故答案为：-2；

(2)x2+10%+28=(X+5)2+3

(%+5)2>0,

•1.(%+5)2+3>3,

■­•X2+10%+28的最小值为3；

(3)%2+7x+y+2=0,

x+y--x2—6x—2=-(%+3y+7,

V-(x+3)2<0,

-(x+3)2+7<7,

•1•%+y的最大值为7.

(1)根据。+l)2>0,以及不等式的性质求解即可；

(2)由题意知/+io久+28=(X+5)2+3,根据(x+5)220,以及不等式的性质求解即可；

(3)由题意得x+y=-%2-6%-2=-(%+3)2+7,根据一(久+3)2<0,以及不等式的性质求解

即可.

本题考查了完全平方公式、不等式的性质等知识，解题的关键在于对完全平方公式的熟练应用.

22.【答案】(

解：(1)如图1,过点C作CFly轴于点F.

图1

•••4(0,1),8(2,0),

OA=1,OB=-2,

•・・CF1y轴于点F,

・•.Z,CFA=90°,^ACF+^CAF=90°,

•・•乙CAB=90°,

・••Z.CAF+乙BAO=90°,

•••Z-ACF=Z.BAO,

在和△48。中，

/-ACF=^BAO

“凡4=乙AOB=90°,

AC=AB

：.AACF=AABO(AAS),

CF=